切线的判定与性质练习题
初中圆的切线判定和性质练习
圆的切线性质与判定测试题选择题1．下列命题正确的是( )A. 经过半径外端的直线是圆的切线B. 直线和圆有公共点，则直线和圆相交C. 过圆上一点有且只有一条圆的切线D. 圆的切线垂直于半径2. 下列图形一定有内切圆的是（）A. 平行四边形 B矩形. C. 菱形 D. 梯形3. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 位置不定如图，PA切⊙O于点A，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O半径是( )A. B. 1 C. 2 D. 45．如图，AB、AC分别与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的动点，则∠BPC的度数是( )A. 65° B. 115° C. 65°和115° D. 130°和150°6.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°`7．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）A．B．C．D8.如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，则∠ABD的度数是( )A. 72°B. 63°C. 54°D. 36°9. 已知：PA、PB切⊙O于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A. B. C. 5 D. 810. 已知：如图1直线MN与⊙O相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）A. 50°B. 40°C. 60°D. 55°11. 圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm12. 在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD ，BD ＝3cm ，DC ＝4cm ，如果E 是AD的延长线与△ABC 的外接圆的交点，那么DE 长等于（ ）A. B. C. D.13. 如图2，已知∠AOB=30°，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作⊙M ，当OM=______cm 时，⊙M 与OA 相切．图214. ⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ，那么CE ＝_________cm 。
圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc
D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。
的半径为厂，圆心。
到直线/的距离为丈 ①直线/和0。
相交②直线 /和。
相切od=r ；③直线/和。
0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。
C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。
，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。
C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。
是MBC 的内切圆，切点为。
、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。
人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。
圆的切线综合练习题与答案完整版
圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。
与圆有关的位置关系-切线的判定与性质专题复习练习题
与圆有关的位置关系-切线的判定与性质专题复习练习题1．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )A．AB＝4，AT＝3，BT＝5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝55°，∠TAC＝55° D．∠ATC＝∠B2. 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠C ＝40°，则∠ABO的度数是( )A．50° B．40° C．25° D．20°3. 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连结OB交⊙O 于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A．5 B．6 C．7 D．84. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A.12B.22C.32D.335. 如图，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、B ，且与CD 相切，若正方形ABCD 的边长为2，则⊙O 的半径为( )A ．1 B.52 C.43 D.546. 如图所示，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于______时，AC 才能成为⊙O 的切线．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠DCB＝30°，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若AB ＝4，则DE 的长为_______.8. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连结OC.若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为_______9. 如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC ＝30°，弦EF∥AB，则EF 的长度为______．10. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是_______．11. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D ，求证：AC 是⊙O 的切线．12. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上(异于A 、B 两点)，AD⊥CD. (1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．13. 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.(1)若点A(0，6)，N(0，2)，∠ABN＝30°，求点B的坐标；(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．答案：1---5 DCDAD6. 60°7. 2 38. 80°.9. 2 310. 2 211. 证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD.∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．12. 解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝3，AB＝5，∴AC＝AB2－BC2＝52－32＝4.(2)证明：∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切．13. 解：(1)∵A的坐标为(0，6)，N(0，2)，∴AN＝4.∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，∴AB＝2AN＝8，∴NB＝AB2－AN2＝43，∴B(43，2)．(2)证明：连结MC，NC，∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN＝∠NCB＝90°.在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD＝12NB＝ND，∴∠CND＝∠NCD. ∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC.∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线．。
中考数学分类汇总5.切线的判定与性质
注意请用页面视图显示，才可以看到完整试题！ 5.切线的判定与性质第1题. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ，且∠C =∠BED ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长．答案：（1）证明：∵∠BED =∠BAD ，∠C =∠BED∴∠BAD =∠C ∵OC ⊥AD 于点F∴∠BAD +∠AOC =90o ∴∠C +∠AOC =90o ∴∠OAC =90o ∴OA ⊥AC∴AC 是⊙O 的切线. （2）∵OC ⊥AD 于点F ，∴AF =21AD =8 在Rt △OAF 中，OF=22AF OA -=6 ∵∠AOF =∠AOC ，∠OAF =∠C ∴△OAF ∽△OCA ∴OAOFOC OA = 即 OC =35061002==OF OA 在Rt △OAC 中，AC =34022=-OAOC ．第2题. 如图，PA 为O ⊙的切线，A 为切点．直线PO 与O ⊙交于B C 、两点，30P ∠=°，连接AO AB AC 、、．求证：ACB APO △≌△．C ED A F O B AOBPC答案：证明：PA 为O 的切线，90PAO ∴∠=°． 又30P ∠= °，60AOP ∴∠=°，1302C AOP ∴∠=∠=°， C P ∴∠=∠， AC AP ∴=．又BC 为O 直径，90CAB PAO ∴∠=∠=°， ACB APO ∴△≌△（ASA ）．第3题. 已知，如图，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ，CO 的延长线交O 于点E ．连接BE 、BD ，30ABD =︒∠，求EBO ∠和C ∠的度数．答案：解：∵DE 是O 的直径∴90DBE =︒∠ ∵30ABD =︒∠∴903060EBO DBE ABD =-=︒-︒=︒∠∠∠ ∵AC 是O 的切线 ∴90CAO =︒∠又260AOC ABD ==︒∠∠∴180180609030C AOC CAO =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠第4题. 如图，AC 是O ⊙的直径，P A ，PB 是O ⊙的切线，A ，B 为切点，AB =6，P A =5． 求（1）O ⊙的半径； （2）sin BAC ∠的值．EC答案：解：（1）连接PO OB ，．设PO 交AB 于D ． PA PB ，是O ⊙的切线． ∴90PAO PBO ∠=∠=°，PA PB =，APO BPO ∠=∠． ∴3AD BD ==，PO AB ⊥．∴4PD ==．在Rt PAD △和Rt POA △中，tan AD AOAPD PD PA==∠． ∴·351544AD PA AO PD ⨯===，即O ⊙的半径为154． （2）在Rt AOD △中，94DO ===．∴934sin 1554OD BAC AO ∠===．第5题. 如图，MP 切O ⊙于点M ，直线PO 交O ⊙于点A 、B ，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．答案：证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° ∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB ∴∠MOP ＝∠BCP 第16题图从而，MO ∥BC ．第6题. 如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，36APO ∠=°，则AOP ∠的度数为（）A ．54°B ．64°C ．44°D ．36°答案：A第7题. 如图，在Rt ABC △中，斜边1230BC C =∠=，°，D 为BC 的中点，ABD △的外接圆O ⊙与AC 交于F 点，过A 作O ⊙的切线AE 交DF 的延长线于E 点． （1）求证：AE DE ⊥；（2）计算：AC AF ·的值．答案：（1）证明：在Rt ABC △中，9030BAC C D ∠=∠=°，°，为BC 的中点， 60ABD AD BD DC ∴∠===°，．ABD ∴△为等边三角形．O ∴点为ABD △的中心（内心，外心，垂心三心合一）．∴连接OA ，OB ，30BAO OAD ∠=∠=°．60OAC ∴∠=°．又AE 为O ⊙的切线，90OA AE OAE ∴⊥∠=，°． 30EAF AE BC ∴∠=∴．∥．又四边形ABDF 内接于圆O ．90AEF FDC ∴∠=∠=°．即AE DE ⊥．（2）解：由（1）知，ABD △为等边三角形．60ADB ∴∠=°．30ADF C FAD DAC ∴∠=∠=∠=∠°，．ADF ACD ∴△∽△，则AD AFAC AD =．2AD AC AF ∴=·．又16362AD BC AC AF ==∴=．·．O P图90FDC BAC ∴∠=∠=°．第8题. 如图，在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B M ，两点的O ⊙交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O ⊙的直径． （1）求证：AE 与O ⊙相切；（2）当14cos 3BC C ==，时，求O ⊙的半径．答案：（1）证明：连结OM ，则OM OB =． ∴12∠=∠．∵BM 平分ABC ∠． ∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OM BC ∥．∴AMO AEB ∠=∠．在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线， ∴AE BC ⊥． ∴90AEB ∠=°． ∴90AMO ∠=°． ∴OM AE ⊥． ∴AE 与O ⊙相切．（2）解：在ABC △中，AB AC =，AE 是角平分线，∴12BE BC ABC C =∠=∠，． ∵14cos 3BC C ==，， ∴11cos 3BE ABC =∠=，． 在ABE △中，90AEB ∠=°，∴6cos BEAB ABC==∠． 设O ⊙的半径为r ，则6AO r =-． ∵OM BC ∥，∴AOM ABE △∽△． ∴OM AOBE AB =． ∴626r r -=． 解得32r =．B∴O ⊙的半径为32．第9题. 如图，已知点E 在△ABC 的边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切于点D ，且AD 平分∠BAC ． 求证：AC ⊥BC ．答案：证明：连接OD∵OA = OD ，∴∠1 =∠3；∵AD 平分∠BAC ，∴∠1 =∠2； ∴∠2 =∠3； ∴OD ∥AC ， ∵BC 是⊙O 的切线 ∴OD ⊥BC ∴AC ⊥BC ．第10题. 如图，O ⊙是Rt ABC △的外接圆，点O 在AB 上，BD AB ⊥，点B 是垂足，OD AC ∥，连接CD ． 求证：CD 是O ⊙的切线．答案：证明：连接CO OD AC COD ACO CAO DOB ∴∠=∠∠=∠ ∥．，ACO CAO COD DOB ∠=∠∴∠=∠又OD OD OC OB ==，． COD BOD ∴△≌△D BA O C90OCD OBD ∴∠=∠=°OC CD ∴⊥，即CD 是O ⊙的切线第11题. 如右图，已知△ABC 中，AB=AC ，DE ⊥AC 于点E ，DE 与半⊙O 相切于点D ． 求证：△ABC 是等边三角形．答案：证明：连结OD ∵DE 切半⊙O 于D∴DE OD ⊥ ∴︒=∠90ODE ∵AC DE ⊥ ∴︒=∠90DEA∴=∠ODE DEA ∠∴OD ∥AC ∴C DOB ∠=∠∵AC AB = ∴DOB C B ∠=∠=∠ ∴OD BD =∵OB OD = ∴BOD △是等边三角形 ∴︒=∠60B∵AC AB = ∴ABC △是等边三角形第12题. 如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB 的长为（ ） A ． B ．4C ．D ．2答案：BBBO第13题. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否是⊙O 的切线，并说明理由；（2）若CD = 33 ，求BC 的长．答案：（1）CD 是⊙O 的切线． 证明：连接OD ． ∵∠ADE =60°，∠C =30°，∴∠A =30°． ∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A =30°． ∴∠ODE=∠ODA+∠ADE =30°+60°=90°，∴OD ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △ODC 中，∠ODC =90°， ∠C =30°， CD =33． ∵tan C =CDOD， ∴OD=CD ·tan C =33×33=3． ∴OC=2OD =6．∵OB=OD =3，∴BC=OC -OB =6-3=3．第14题. 如图 ，矩形ABCD 中，53AB AD ==，．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的O ⊙与AB 交于点F ，过点F 作FG BE ⊥于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：①tan EAB ∠的值为______________； ② 证明：FG 是O ⊙的切线；（2）试探究：BE 能否与O ⊙相切?若能，求出此时DE 的长；若不能，请说明理由．图10C B答案：（1）①65②法一：在矩形ABCD 中，AD BC =，ADE BCE ∠=∠，又CE DE =， ∴ADE BCE △≌△，得AE BE EAB EBA =∠=∠，，连OF ，则OF OA =， ∴OAF OFA ∠=∠， OFA EBA ∠=∠， ∴OF EB ∥， ∵FG BE ⊥， ∴FG OF ⊥， ∴FG 是O ⊙的切线（法二：提示：连EF DF ，，证四边形DFBE 是平行四边形．参照法一给分．） （2）法一：若BE 能与O ⊙相切， ∵AE 是O ⊙的直径， ∴AE BE ⊥，则90DEA BEC ∠+∠=°，又90EBC BEC ∠+∠=°， ∴DEA EBC ∠=∠，∴Rt Rt ADE ECB △∽△， ∴AD DE EC BC =，设DE x =，则53EC x AD BC =-==，，得353xx =-， 整理得2590x x -+=．∵242536110b ac -=-=-<， ∴该方程无实数根．∴点E 不存在，BE 不能与O ⊙相切．法二： 若BE 能与O ⊙相切，因AE 是O ⊙的直径，则90AE BE AEB ∠=⊥，°，设DE x =，则5EC x =-，由勾股定理得：222AE EB AB +=，即22(9)[(5)9]25x x ++-+=， 整理得2590x x -+=，∵242536110b ac -=-=-<， ∴该方程无实数根．∴点E 不存在，BE 不能与O ⊙相切． （法三：本题可以通过判断以AB 为直径的圆与DC 是否有交点来求解，参照前一解法给分）第15题. 已知，如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2）A ∠=30°，CDO ⊙的半径r ．答案：（1）BC AB AD BD ⊥⊥，，DF FE BD BE ==，，BDF BEF △≌△，BDF △∽BAD △，BDF BEF ∠=∠，A E DE BC ∠=∠，∥等 （每写出一个正确结论得１分，满分４分．） （2）解:AB 是O ⊙的直径90ADB ∴∠=° 又30E ∠= ° 30A ∴∠=°12BD AB r ∴== 又BC 是O ⊙的切线 90CBA ∴∠=° 60C ∴∠=︒在Rt BCD △中，3CD =tan 602BD rDC ∴==° 2r ∴=第16题. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的切线AP 于点P ，连结AC ．（1）求证：ABC POA △∽△； （2）若2OB =，72OP =，求BC 的长．答案：（1）证明：BC OP ∥ AOP B ∴∠=∠ AB 是直径 90C ∴∠=°PA 是O ⊙的切线，切点为A90OAP ∴∠=° C OAP ∠=∠ABC POA ∴△∽△（2）ABC POA △∽△ BC AB OA PO∴= 722OB PO == ，24OA AB ∴==， 4722BC ∴=716827BC BC ∴==，第17题. 如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．答案：60第18题. 如图，AB 是O ⊙的直径，10AB DC =，切O ⊙于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交O ⊙于点E ． （1）求证：AC 平分BAD ∠；（4分）（2）若3sin 5BEC ∠=，求DC 的长．（4分）PBA答案：（1）证明：连结OC由DC 是切线得OC DC ⊥ 又AD DC ⊥ AD OC ∥∴DAC ACO ∠=∠又由OA OC =得BAC ACO ∠=∠D A C B A C ∴∠=∠ 即AC 平分BAD ∠（2）解：方法一：AB 为直径∴90ACB ∠=°又BAC BEC ∠=∠sin sin 6BC AB BAC AB BEC ∴=∠=∠=··8AC ∴==又DAC BAC BEC ∠=∠=∠ 且AD DC ⊥24sin sin 5CD AC DAC AC BEC ∴=∠=∠=·· 方法一：AB 为直径 90ACB ∴∠=°又BAC BEC ∠=∠sin sin 6BC AB BAC AB BEC ∴=∠=∠=··8AC ∴==又90DAC BAC D ACB ∠=∠∠=∠= ，° ADC ACB ∴△∽△DC AC CB AB =，即8610DC = 解得245DC =第19题. 如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，A 为切点，连结BC 交圆O 于点D ，连结AD ，若45ABC ∠=°，则下列结论正确的是（ ）A ．12AD BC = B ．12AD AC = C ．AC AB > D ．AD DC >BA答案：A第20题. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90B ∠= ，AB =AD ，∠BAD 的平分线交BC 于E ，连接DE ．（1）说明点D 在△ABE 的外接圆上；（2）若∠AED =∠CED ，试判断直线CD 与△ABE 外接圆的位置关系，并说明理由．答案：（1）证法一：∵∠B =90°，∴AE 是△ABE 外接圆的直径． 取AE 的中点O ，则O 为圆心，连接OB 、OD ． ∵AB =AD ，∠BAO =∠DAO ，AO =AO ， ∴△AOB ≌△AOD ． ∴OD =OB ．∴点D 在△ABE 的外接圆上． 证法二：∵∠B =90°，∴AE 是△ABE 外接圆的直径． ∵AB =AD ，∠BAE =∠DAE ，AE =AE ， ∴△ABE ≌△ADE ． ∴∠ADE =∠B =90°．取AE 的中点O ， 则O 为圆心，连接OD ，则OD =12AE ．∴点D 在△ABE 的外接圆上．（2）证法一：直线CD 与△ABE 的外接圆相切．理由：∵AB ∥CD ， ∠B =90°． ∴∠C =90°． ∴∠CED +∠CDE =90°． 又∵OE =OD ， ∴∠ODE =∠OED ． 又∠AED =∠CED ， ∴∠ODE =∠DEC ．∴ODC ∠=∠CDE +∠ODE =∠CDE +∠CED =90°． ∴CD 与△ABE 的外接圆相切． 证法二： 直线CD 与△ABE 的外接圆相切． 理由：∵AB ∥CD ， ∠B =90°． ∴∠C =90°． 又∵OE =OD ， ∴∠ODE =∠OED ． 又∠AED =∠CED ，∴∠ODE =∠DEC ． ∴OD ∥BC ．∴90ODC ∠= ． ∴CD 与△ABE 的外接圆相切．第21题. 如图，AB 是O ⊙的直径，O ⊙交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ）AD BC ⊥① EDA B ∠=∠② 12OA AC =③ ④DE 是O ⊙的切线 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D第22题. 如图，O ⊙与AB 相切于点A ，BO 与O ⊙交于点C ，26B ∠=°，则OCA ∠= 度．答案：58第23题. 如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°，B（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为3，求 BC 的长．（结果保留π）答案：（1）证明：连结OC ， 30AC CD D =∠= ，°， 30A D ∴∠=∠=° OA OC = ，230A ∴∠=∠=°， 160∴∠=°， 90OCD ∴∠=°．CD ∴是O ⊙的切线． （2）160∠= °，BC∴的长=π60π3π180180n R ⨯⨯==． 答： BC的长为π第24题. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，∠C =20°． 求∠CDA 的大小．答案：解：∵连接OD∵CD 与⊙O 相切于点D ，∴∠CDO =90° ∵∠C =20°，∴∠COD =90°-20°=70° ∵OD =OA ，∴∠A =∠ADO又∵∠ADO =∠A =21∠COD =35° ∴∠CDA =∠CDO +∠ADO =125°第25题. 如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．答案：3第26题. 如图，两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．答案：60°第27题. 如图所示，已知AB 是半圆O 的直径，弦106CD AB AB CD ==∥，，，E 是AB 延长线上一点，103BE =．判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论．答案：直线DE 与半圆O 相切． 证明：法一：连接OD ，作OF CD ⊥于点F ．∵6CD =，∴132DF CD ==． ∵1025533OE OB BE =+=+=． ∴35325553DF OD OD OE ===，，A∴DF ODOD OE=． ∵CD AB ∥，∴CDO DOE ∠=∠． ∴DOF OED △∽△， ∴90ODE OFD ∠=∠=°， ∴OD DE ⊥∴直线DE 与半圆O 相切．法二：连接OD ，作OF CD ⊥于点F ，作DG OE ⊥于点G ．∵6CD =，∴132DF CD ==．在Rt ODF △中，4OF = ∵CD AB ∥，DG AB OF CD ⊥，⊥， ∴四边形OFDG 是矩形，∴43DG OF OG DF ====，． ∵1025533OE OB BE =+=+=，2516333GE OE OG =-=-=， 在Rt DGE △中，203DE ===．∵2222025533⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴222OD DE OE += ∴CD DE ⊥．∴直线DE 与半圆O 相切．第28题. 如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB =∠，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为 ．答案：3πP第29题. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，取AC 的中点E ，连结DE 、OE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果⊙O 的半径是23cm ，ED=2cm ，求AB 的长．答案：证明：（1）连结OD ．由O 、E 分别是BC 、AC 中点得OE ∥AB ． ∴∠1=∠2，∠B =∠3，又OB=OD ． ∴∠2=∠3． 而OD=OC ，OE=OE ∴△OCE ≌△ODE ． ∴∠OCE=∠ODE ．又∠C=90°，故∠ODE =90°． ∴DE 是⊙O 的切线． （2）在Rt △ODE 中，由32OD =，DE =2 得52OE =又∵O 、E 分别是CB 、CA 的中点∴AB =2·5252OE =⨯=∴所求AB 的长是5cm ．第30题. 如图，︒=∠30MAB ，P 为AB上的点，且BADOCEB6=AP ，圆P 与AM 相切，则圆P 的半径为 ．答案：3第31题. 如图，PA 、PB 是半径为1的O ⊙的两条切线，点A 、B 分别为切点，60APB OP AB C O D ∠=°，与弦交于点，与⊙交于点．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．答案：解：（1）ACO BCO APC BPC PAO PBO △≌△，△≌△，△≌△ （2）PA 、PB 为O ⊙的切线PO ∴平分90APB PA PB PAO ∠=∠=，，° PO AB ∴⊥∴由圆的对称性可知：AOD S S =阴影扇形在Rt PAO △中，11603022APO APB ∠=∠=⨯=︒°90903060AOP APO ∴∠=-∠=-︒=︒°°260π1360AODS S ⨯⨯∴==阴影扇形π6=第32题. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ； （2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．答案：解：（1）∵∠ABC ＝90°，∴OB ⊥BC ． ∵OB 是⊙O 的半径， ∴CB 为⊙O 的切线． 又∵CD 切⊙O 于点D ， ∴BC ＝CD ；（2）∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°．∴∠ADE ＋∠CDB ＝90°． 又∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°．由（1）得BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ． ∴∠ADE ＝∠ABD ；（3）由（2）得，∠ADE ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ．∴△ADE ∽△ABD ． ∴AD AB ＝AEAD． ∴21BE+＝12，∴BE ＝3， ∴所求⊙O 的直径长为3．第33题. 如图，PA 是O ⊙的切线，切点为30A PA APO =∠=，°，则O ⊙的半径长为 ．∙ABCD EO∙ABCD EO答案：2第34题. 如图，射线PQ 是O ⊙相切于点A ，射线PO 与O ⊙相交于B 、C 两点，连接AB ，若12PB BC :=:上，则PAB ∠的度数等 于（ ）A ．26°B ．30°C ．32°D ．45°答案：B第35题. 在平面直角坐标系中，已知(40)A -，，(10)B ，，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点(02)C ，，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． （1）求过A B C ，，三点的抛物线的解析式（2）求点D 的坐标（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E F ，两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？图4答案：解：（1）令二次函数2y ax bx c =++，则164002a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴过A B C ，，三点的抛物线的解析式为213222y x x =--+．（2）以AB 为直径的圆圆心坐标为302O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，52O C '∴=32O O '= CD 为圆O '切线 O C C D '∴⊥ 90O CD DCO '∴∠+∠=°90CO O O CO ''∠+∠=° C OO D C O '∴∠=∠ O CO CDO '∴△∽△ //O O OC OC OD '= 3/22/2OD = 83OD ∴= D ∴坐标为803⎛⎫ ⎪⎝⎭，（3）存在抛物线对称轴为32X =-设满足条件的圆的半径为r ，则E 的坐标为3()2r r -+，或3()2F r r --， 而E 点在抛物线213222y x x =--+上 21333()()22222r r r ∴=--+--++112r ∴=-+212r =-- 故在以EF 为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为1-，1+．第36题. 已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC =，O ⊙交BC 于D ，DE AC ⊥于E ． （1）请判断DE 与O ⊙的位置关系，并证明； （2）连结AD ，若O ⊙的半径为52，3AD =，求DE 的长．答案：解:(1)DE 与⊙O 相切． 证明：连结OD ．∵OB =OD ∴∠B =∠1∵AB =AC ∴∠B =∠C ∴∠C =∠1∴OD ∥AC (同位角相等，两直线平行) ∵DE ⊥AC ∴∠DEC =90°∴∠ODE =∠DEC =90°(两直线平行，内错角相等)∴OD ⊥DE ∵OD 为⊙O 半径∴DE 是⊙O 的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）（2）∵AB 为⊙O 直径∴∠ADB =90° ∴在Rt △BDA 中，∠ADB =90°∴BD =4∵AB =AC ∴BD =CD =4∵DE ⊥AC ∴S △ADC =AD CD ∙21 S △ADC =DE AC ∙21∴AD CD ∙21=DE AC ∙21∴DE ⨯=⨯534 ∴DE =512第37题. 如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AB AC =，过点A 作AP BC ∥，交BO 的延长线于点P ．（1）求证：AP 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径58R BC ==，，求线段AP 的长．答案：解：（1）证明：过点A 作AE BC ⊥，交BC 于点E ． AB AC =，AE ∴平分BC ． ∴点O 在AE 上． 又AP BC ∥， AE AP ∴⊥．AP ∴为O ⊙的切线． （2）142BE BC == ，3OE ∴=．又AOP BOE ∠=∠ ， OBE OPA ∴△∽△．BE OE AP OA∴=． 即435AP =． 203AP ∴=．第38题. 已知，如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ， BCBD =，O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD BF ∥；（2）连结BC ，若O ⊙的半径为4，3cos 4BCD ∠=，求线段AD 、CD 的长．答案：解：（1） 直径AB 平分 CD， ∴AB CD ⊥．BF 与O ⊙相切，AB 是O ⊙的直径，AB BF ∴⊥． CD BF ∴∥． （2）连结BD ，AB 是O ⊙的直径， 90ADB ∴∠=°， 在Rt ADB △中，3cos cos 4A C ∠=∠=，428AB =⨯=． 3cos 864AD AB A ∴=∠=⨯= ．AB CD ⊥于E ， 在Rt AED △3cos cos 4A C ∠=∠=，sin A ∠=．sin 6DE AD A ∴=∠== 直径AB 平分 CD ，2CD DE ∴==．第39题. 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC PC =，2COB PCB ∠=∠． （1）求证：PC 是O ⊙的切线； （2）求证：12BC AB =； （3）点M 是 AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若4AB =，求MN MC 的值．答案：解：（1）OA OC A ACO =∴∠=∠ ，， 又22COB A COB PCB ∠=∠∠=∠ ，， A ACO PCB ∴∠=∠=∠． 又AB 是O ⊙的直径， 90ACO OCB ∴∠+∠=°，90PCB OCB ∴∠+∠=°，即OC CP ⊥， 而OC 是O ⊙的半径， ∴PC 是O ⊙的切线．（2）AC PC A P =∴∠=∠ ，， A ACO PCB P ∴∠=∠=∠=∠，O N B PCAMO N B PCAM又COB A ACO CBO P PCB ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，，12COB CBO BC OC BC AB ∴∠=∠∴=∴=，，． （3）连接MA MB ，，点M 是AB 的中点， AM BM ∴=，ACM BCM ∴∠=∠， 而ACM ABM ∠=∠，BCM ABM ∴∠=∠，而BMN BMC ∠=∠，MBN MCB ∴△∽△，BM MN MC BM∴=，2BM MN MC ∴= ， 又AB 是O ⊙的直径， AM BM=， 90AMB AM BM ∴∠==°，．4AB BM =∴= ，28MN MC BM ∴== ．第40题. 如图，等腰OAB △中，OB OA =，以点O 为圆心作圆与底边AB 相切于点C ．求证：BC AC =．答案：证明：∵AB 切⊙O 于点C ，∴AB OC ⊥． ∵OB OA =， ∴BC AC =．（若用三角形全等、勾股定理、三角函数等知识证明的按相应步骤给分．）第41题. 如图，AB 是O ⊙的直径，O ⊙交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ）AD BC ⊥① EDA B ∠=∠② 12OA AC =③ ④DE 是O ⊙的切线 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个B答案：D第42题. 如图，AB 与O ⊙相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．答案：28°第43题. 如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ，MN AC ⊥于点N ．（1）求证MN 是O ⊙的切线；（2）若1202BAC AB ∠==°，，求图中阴影部分的面积．答案：（1）证明：连接OM ．∵OM OB =，∴B OMB ∠=∠，∵AB AC =，∴B C ∠=∠． ∴OMB C ∠=∠，∴OM AC ∥．又MN AC ⊥，∴OM MN ⊥，点M 在O ⊙上，∴MN 是O ⊙的切线． （2）连接AM ．∵AB 为直径，点M 在O ⊙上，∴90AMB ∠=°． ∵120AB AC BAC =∠=，°，∴30B C ∠=∠=°，∴60AOM ∠=°． 又∵在Rt AMC △中，MN AC ⊥于点N ，∴30AMN ∠=°．1sin sin 30sin 302AN AM AMN AC =∠==°°，cos sin 30cos302MN AM AMN AC =∠==°°，C∴()28ANMOAN OM MN S +==梯形，260π1π3606OAM S == 扇形，∴4π24S =阴影．第44题. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，过点D 作DF ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，已知OE ＝1cm ，DF ＝4cm ． (1)求⊙O 的半径；(2)求切线CD 的长答案：解：（1）连接OD ， 在O ⊙中，直径AB ⊥弦DF 于点E ，122DE DF ∴==．在Rt ODE △中，1OE =，2DE =，OD ∴cm ）． （2）CD 切O ⊙于点D ，OD CD ∴⊥于点D ．在OED △与ODC △中，90OED ODC ∠=∠=°，EOD DOC ∠=∠． ∴OED ODC △∽△． 则OE ED OD DC =2DC =．CD ∴=cm ）．第45题. 如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连结DB ，且AD=DB ． （1）求证：DB 为⊙O 的切线．（2）若AD=1，PB=BO ，求弦AC 的长．ACD FO E B 图答案：（1）证明： 连结OD∵ P A 为⊙O 切线 ∴ ∠OAD = 90°∵ OA=OB ，DA=DB ，DO=DO ， ∴ΔOAD ≌ΔOBD ∴ ∠OBD =∠OAD = 90°， ∴P A 为⊙O 的切线 （2）解：在RtΔOAP 中， ∵ PB =OB =OA ∴ ∠OP A =30° ∴ ∠POA =60°=2∠C ， ∴PD =2BD =2DA =2 ∴ ∠OP A =∠C =30° ∴ AC =AP =3第46题. 如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．答案：证明：（1）连接OD OE BD 、、．AB 是O ⊙的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=°， E 点是BC 的中点，DE CE BE ∴==． OD OB OE OE ODE OBE ==∴ ，，△≌△． 90ODE OBE ∴∠=∠=∴°，直线DE 是O ⊙的切线． （2）作OH AC ⊥于点H ，由（1）知，BD AC ⊥，EC EB =．OA OB OE AC =∴ ，∥，且12OE AC =． CDF OEF ∴∠=∠，DCF EOF ∠=∠．CF OF = ，DCF EOF ∴△≌△，DC OE AD ∴==． 45BA BC A ∴=∴∠=，°． OH AD OH AH DH ∴== ⊥，．13tan 3OH CH OH ACO CH ∴=∴∠==，．CEB A OF D C EBAOF D H第47题. 如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC =90°，点P 是圆外一点，P A 切O ⊙于点A ，且P A=PB ．（1）求证：PB 是O ⊙的切线；（2）已知P ABC =1，求O ⊙的半径．答案：解：（1）证明：连接OBOA OB OAB OBA =∴∠=∠ ，． PA PB PAB PBA =∴∠=∠ ，．OAB PAB OBA PBA ∴∠+∠=∠+∠． 即PBO ∠．又PA 是O ⊙的切线，9090P A O P B O ∴∠=∴∠=°，°， OB PB ∴⊥．又OB 是O ⊙的半径，PB ∴是O ⊙的切线．说明：还可连接OB 、OP ，利用OAP OBP △≌△来证明OB PB ⊥．（2）解：连接OP ，交AB 于点D ．PA PB =∴ ，点P 在线段AB 的垂直平分线上． OA OB =∴ ，点O 在线段AB 的垂直平分线上． OP ∴垂直平分线段AB ． 90PAO PDA ∴∠=∠=°又APO DPA APO DPA ∠=∠∴ ，△∽△．2AP POAP PO DP DP PA∴=∴=，·． ()21122OD BC PO PO OD AP ==∴-= 又，．即2212PO PO -=，解得2PO =．在Rt APO △中，1OA ==，即O ⊙的半径为1．（图）（图）P第48题. 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6OA OB ==，AB =（1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．答案： （1）连结OC ，则 OC AB ⊥．∵OA OB =，∴1122AC BC AB ===⨯= 在Rt AOC △中，3OC ===． ∴ ⊙O 的半径为3．（2）∵ OC =12OB , ∴ ∠B =30o , ∠COD =60o ． ∴扇形OCD 的面积为OCD S 扇形=260π3360⨯⨯=32π． 阴影部分的面积为Rt Δ=OBC OCD S S S -阴影扇形 =12OC CB ⋅－3π2－3π2．C O A B D。
圆的切线的性质与判定-练习题 含答案
圆的切线的性质与判定副标题一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定【答案】C【解析】解：半径，圆心到直线的距离，，即，直线和圆相交，故选C．由直线和圆的位置关系：，可知：直线和圆相交．本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．2.在中，，，，以点C为圆心，以为半径画圆，则与直线AB的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定【答案】A【解析】解：过C作于D，如图所示：在中，，，，，的面积，，，即，以为半径的与直线AB的关系是相交；故选A．过C作于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3.如图，已知是的内切圆，切点为D、E、F，如果，，，则内切圆的半径______ ．【答案】1【解析】解：是的内切圆，切点为D、E、F，，，，，，，，，，，，，是直角三角形，内切圆的半径，故答案为1．根据切线长定理得出，，，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．4.如图，AD、AE、CB均为的切线，D，E，F分别是切点，，则的周长为______ ．【答案】16【解析】解：、AE、CB均为的切线，D，E，F分别是切点，，，，的周长，的周长，，的周长为16．根据切线长定理得：，，，再由的周长代入可求得结论．本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；此题运用线段间的等量代换将周长转化为一条线段长的2倍，得出结论．5.如图，PA、PB是的切线，A、B是切点，已知，，那么AB的长为______．【答案】【解析】解：过点O作于点C，，、PB是的切线，，，，是等边三角形，，，在中，，，．故答案为：．首先过点O作于点C，由垂径定理可得：，又由PA、PB是的切线，由切线长定理可得，由，即可得是等边三角形，继而可求得，则可求得AC的长，继而求得答案．此题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．7.如图，AB为的直径，C为上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交于点E，连接CE，CB．求证：；若，，求AE的长．【答案】证明：连接OC，是的切线，．，，．又，，，；解：是直径，，，，．，，∽，，即，，．在直角中，，．【解析】连接OC，利用切线的性质和已知条件推知，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；，通过相似三角形∽的对应边成比例求得，在直角中，由勾股定理得到，故AE．本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时，注意辅助线的作法．8.如图，AB为的直径，C是上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，，垂足为E，F是AE与的交点，AC平分．求证：DE是的切线；若，，求图中阴影部分的面积．【答案】证明：连接OC，，，平分，，，，，，，，，点C在圆O上，OC为圆O的半径，是圆O的切线；解：在中，，，，在中，，，，，，，，，，，，阴影部分的面积为．【解析】连接OC，先证明，进而得到，于是得到，进而证明DE是的切线；分别求出的面积和扇形OBC的面积，利用即可得到答案．本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解的关键是证明，解的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．。
课题：切线的性质与判定及切线长定理专题
切线的性质与判定、切线长定理专题班级：姓名：1、切线的性质例1：（1）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 . （2）．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，且点为N，则DM的长为（）A． B．8 C． D．2（1）（2）练习：1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=115°，过D点的切线PD与射线BA交于点P，则∠ADP的度数为；2．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为；3．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． B． C． D．（1）（2）（3）4．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当⊙O与边BC所在的直线与相切时，则AB的长是．5．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值（） A．5 B．4 C．4.75 D．4.82、切线的判定例2：(1)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D 为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=10，EB=6．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．(2)如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．练习：1．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．3、切线长定理例3：（P102，第11题）若AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO=6,CO=8.(1)求∠BOC的度数；（2）求BC的长；（3）求半径OF的长；（4）E、O、G共线吗？说明理由.(5)连接G、F,求证OB∥FG(6)连接EF 、GF 分别交OB 于P ，交OC 于Q,求证：四边形OPFQ 为矩形.(7)若延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于点N ，求MN 的长．变式1．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12cm ，AD=8cm ，BC=22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？变式2．如图，四边形ABCD 中，AD 平行BC ，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB 为直径的半⊙O 切CD 于点E ，F 为弧BE 上一动点，过F 点的直线MN 为半⊙O 的切线，MN 交BC 于M ，交CD 于N ，则△MCN 的周长为（ ）A ．9B ．10C ．3D ．2（变式2） （变式3） （变式4） （变式5） 变式3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．6变式4．如图，PA 、PB 、分别切⊙O 于A 、B 两点，∠P=40°，则∠C 的度数为 ;变式5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为PQ变式6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3 D．（变式6） (例4)4、动态问题例4：如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时运动时间是 s.练习：1．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 cm.(1题) (2题)2．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是．变式：如2题图，已知∠AOB=60°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．若⊙M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切．3．如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．则⊙P与直线x=2相切时点P的坐标为．4．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．。
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切线的性质及判定练习题
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，以C点为圆心，作半径为R的圆，求：
(1)当R为何值时，⊙C和直线AB相离?
(2)当R为何值时，⊙C和直线AB相切?
(3)当R为何值时，⊙C和直线AB相交?
2．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．求证：⊙P与OB相切．
3．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．
4、如图4，ΔABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E。
求证：DE是⊙O的切线。
5、如图5，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，
∠C=20°。
求∠CDA的度数。
3、如图6，AB是⊙O直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O 于D，CO的延长线交⊙O于E。
连接BE、BD，∠ABD=30°.
求∠EBO 和∠C的度数。
7、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°
（1）求∠P大小。
（2）AB=2，求PA的长。
8．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．
9．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．
10．如图，直线PA 交园O 于A 、E 两点，过点A 作园o 的直径AB ，AC 平分∠PAB 交园o 于点C ，作CD 垂直于PA 点D (1) 求证CD 为园O 的切线 (2) 若DC=4，DA=2求园O 的直径
11如图园o 的直径为AB ，直线ED 切园O 于点C ，过 B 作BD 垂直ED 于D 求证∠ABC=∠CBD
（2）若将直线ED 向上平移其他条件不变，∠CBD 与哪个角相等。
A
B
D
C E B
E
D P
C
A
12如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦，过点C 作CD⊥AB 与点D ，将△ACD 沿AC 翻折，点D 落在点E 处，AE 交⊙O 于点F ,连接OC 、FC. (1）求证：CE 是⊙O 的切线。
（2）若FC∥AB，求证：四边形 AOCF 是菱形。
B
D
A
C E
A
B。