第六章 误差理论基础与最小二乘原理
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。
用函数表示为：用欧几里得度量表达为：最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。
误差理论基础
真值
• 理想真值：同一量值自身之差为零而自 身之比为一。如平面三角形的内角之和 恒定为180°。
• 计量学约定真值：如国际单位制的七个 基本单位的定义。
• 标准器相对真值：指当标准器的误差与 低一级标准器或普通计量仪器的误差相 比，为其1/5（或1/3～1/20）时，可认为 前者是后者的相对真值。
返回
解：
∵x1＝820.0 kg/m3 Δx1＝＋0.2kg/m3 x2＝830.0kg/m3 Δx2＝＋0.5kg/m3 x＝826.5kg/m3
∴Δx＝Δx1＋（Δx2－Δx1）/（x2－x1） ×（x－x1）
＝0.2＋（0.5－0.2）/（830.0－820.0） ×（826.5－820.0）
＝（0.2％×100）/70＝0.28％
返回
解
可见，测量70mA电流时，只 要量程选择得当，用0.2级电流表 反而比0.1级电流表测量相对误差 小，更准确。因此用第二块表测 量准确度高。
返回
测量误差的来源
在测量过程中，引起测量误差 的因素是众多的，但在分析和计算 误差时，不可能也没有必要逐一的 对所有误差因素进行分析计算，而 是着重分析引起误差的主要因素。 通常情况下，误差的主要来源有以 下几个方面：
返回
引用误差（r）
计量器具的绝对误差与其特定 值（XN）之比。 即：r＝ΔX/XN 引用误差一般用百分数（﹪） 表示，也可以用A×10-n表示。
返回
量程、特定值
• 量程（或标称范围）：计量器具
标称范围上、下限之差的模。当下 限为“0”时，量程即为标称范围的 上限值（或称最高值）。
• 特定值：一般称为引用值，是指计
• 测量结果减去被测量的真值。 误差＝测量结果－真值
最小二乘误差
最小二乘误差最小二乘误差是一种常见的回归分析方法，它用于研究变量之间的关系。
它的核心思想是找到一个函数，使得函数和实际数据之间的误差平方和最小，以此来拟合数据。
下面将从几个步骤来介绍最小二乘误差的具体内容。
第一步，定义模型在进行最小二乘误差分析之前，我们需要首先明确研究的对象和需要解决的问题。
在此基础上，我们需要定义一个数学模型，以此来描述我们想要研究的现象。
例如，如果我们想要探究身高和体重之间的关系，那么我们可以定义线性回归模型：y = a + bx，其中y表示体重，x表示身高，a表示截距，b表示斜率。
第二步，获取数据在定义好模型之后，我们需要收集数据，并对数据进行处理。
对数据进行处理的方式很多，例如清洗数据、去除异常点、缺失值填充等。
在处理数据的过程中，我们需要保证数据的质量和准确性。
只有这样，我们才能得到准确的分析结果。
第三步，确定误差误差是指模型预测值和实际值之间的差异，它是最小二乘误差分析中一个非常重要的概念。
通过计算误差，我们可以评估模型的拟合效果。
常用的误差指标包括平均绝对误差、均方误差、均方根误差等。
在确定误差的过程中，我们需要注意，误差越小并不一定意味着模型拟合效果越好，我们还需要根据实际情况来确定误差的可接受范围。
第四步，计算系数在确定了误差之后，我们可以通过最小化误差来求解模型参数。
具体操作是使用最小化误差的方法来计算模型的系数，以此得到最佳拟合线。
在线性回归模型中，我们通常使用最小二乘法来计算系数。
最小二乘法的主要思想是让残差的平方和最小，通过求导可以得到一组方程，从而求解出模型的系数。
第五步，评估模型最后，我们需要对模型进行评估。
对模型进行评估的方式有很多，例如使用交叉验证、计算R-squared值、F-test等。
在评估模型的过程中，我们需要注意，评估结果不一定是绝对的，有时候需要根据实际情况来进行权衡，来确定最终的模型。
总之，最小二乘误差是一种常见的回归分析方法，它具有简单、易于理解的优点，在实际应用中广泛使用。
最小二乘法基本原理
最小二乘法基本原理
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计数据中的未知参数。
其基本原理是通过最小化实际观测值与估计值之间的残差平方和，来找到一个最佳拟合曲线或者平面。
在进行最小二乘法拟合时，通常会假设观测误差服从正态分布。
具体而言，最小二乘法寻找到的估计值是使得实际观测值与拟合值之间的差的平方和最小的参数值。
也就是说，最小二乘法通过调整参数的取值，使得拟合曲线与实际观测值之间的误差最小化。
在回归分析中，通常会假设数据服从一个特定的函数形式，例如线性函数、多项式函数等。
根据这个假设，最小二乘法将找到最合适的函数参数，使得这个函数能够最好地拟合数据。
最小二乘法的步骤包括以下几个方面：
1. 根据数据和所假设的函数形式建立回归模型；
2. 计算模型的预测值；
3. 计算实际观测值与预测值之间的残差；
4. 将残差平方和最小化，求解最佳参数值；
5. 利用最佳参数值建立最优拟合曲线。
最小二乘法的优点是简单易用，并且在经济学、统计学和工程学等领域都有广泛应用。
但需要注意的是，最小二乘法所得到的估计值并不一定是真实参数的最优估计，它只是使得残差平方和最小的一组参数估计。
因此，在使用最小二乘法时，需要对模型的合理性进行评估，并考虑其他可能的回归分析方法。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计线性回归模型中的参数。
在实际应用中，最小二乘估计被广泛应用于数据拟合、信号处理、统计分析等领域。
本文将介绍最小二乘估计的原理及其应用。
最小二乘估计的原理是基于最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来进行参数估计。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项。
最小二乘估计的目标是找到最优的β0和β1，使得观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。
为了形式化地描述最小二乘估计的原理，我们可以定义损失函数为误差的平方和，即L(β0, β1) = Σ(Yi β0 β1Xi)²。
最小二乘估计的思想就是通过最小化损失函数来求解最优的参数估计值。
为了找到最小化损失函数的参数估计值，我们可以对损失函数分别对β0和β1求偏导数，并令偏导数等于0，从而得到最优的参数估计值。
在实际应用中，最小二乘估计可以通过求解正规方程来得到参数的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来进行数值优化。
无论采用何种方法，最小二乘估计都能够有效地估计出线性回归模型的参数，并且具有较好的数学性质和统计性质。
除了在线性回归模型中的应用，最小二乘估计还可以推广到非线性回归模型、广义线性模型等更加复杂的模型中。
在这些情况下，最小二乘估计仍然是一种有效的参数估计方法，并且可以通过一些变形来适应不同的模型结构和假设条件。
总之，最小二乘估计是一种重要的参数估计方法，它具有简单直观的原理和较好的数学性质，适用于各种统计模型的参数估计。
通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，最小二乘估计能够有效地估计出模型的参数，并且在实际应用中取得了广泛的成功。
希望本文对最小二乘估计的原理有所帮助，谢谢阅读！。
最小二乘法的基本原理
最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计参数。
它的基本原理是通过最小化实际观测值与理论值之间的差异来找到最优的拟合曲线或者参数估计。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，例如经济学、统计学、工程学等。
首先，让我们来看一下最小二乘法的基本概念。
在最小二乘法中，我们通常会有一组观测数据，我们希望找到一个函数或者模型来描述这些数据。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2,y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)来拟合这些数据。
最小二乘法的目标就是找到一个函数f(x)，使得所有数据点到f(x)的距离之和最小。
为了实现这一目标，我们需要定义一个衡量拟合程度的指标。
通常情况下，我们会使用残差平方和作为衡量指标。
残差指的是每个观测数据点的实际值与拟合值之间的差异，残差平方和则是所有残差的平方之和。
最小二乘法的核心思想就是通过最小化残差平方和来找到最优的拟合函数。
在实际操作中，我们可以通过求解偏导数为0的方程组来得到最小二乘法的解析解，也可以利用数值计算方法来求解。
无论采用哪种方法，最终得到的拟合函数都是使得残差平方和最小的函数。
最小二乘法的优点在于它具有较好的数学性质和稳定性。
它对异常值具有一定的鲁棒性，能够有效地减小异常值对拟合结果的影响。
另外，最小二乘法还可以用于估计参数，例如在线性回归模型中，最小二乘法可以用来估计回归系数。
然而，最小二乘法也存在一些局限性。
首先，它对数据的分布和误差的性质有一定的要求，如果数据不满足最小二乘法的假设条件，拟合结果可能会出现偏差。
其次，最小二乘法在处理大规模数据时，计算量较大，效率较低。
总的来说，最小二乘法是一种简单而有效的数据拟合和参数估计方法。
它的基本原理清晰易懂，应用范围广泛。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的拟合模型和方法，以达到最佳的拟合效果和参数估计结果。
最小二乘法的基本原理
最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的数学工具，用于拟合数据和估计参数。
它在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、经济学、工程学等。
最小二乘法的基本原理是通过最小化观测数据的残差平方和来找到最佳拟合曲线或估计参数。
在本文中，我们将介绍最小二乘法的基本原理及其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解最小二乘法的基本思想。
假设我们有一组观测数据，表示为(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)，我们希望找到一个模型来描述这些数据。
通常情况下，我们会选择一个函数形式来拟合这些数据，比如线性函数、多项式函数等。
我们的目标是找到最佳的函数参数，使得该函数与观测数据的残差平方和最小。
为了实现这一目标，我们首先定义拟合函数的形式，比如线性函数y = ax + b。
然后，我们需要定义一个衡量拟合效果的指标，通常选择残差平方和作为衡量标准。
残差即观测数据与拟合函数值之间的差异，将每个观测数据的残差平方求和，得到残差平方和。
最小二乘法的核心思想就是通过调整函数参数，使得残差平方和达到最小。
在实际应用中，最小二乘法可以用于拟合数据、估计参数以及解决最优化问题。
比如在统计学中，我们可以利用最小二乘法来拟合回归模型，估计回归系数；在工程学中，最小二乘法可以用于信号处理、滤波器设计等领域。
总之，最小二乘法是一种非常强大的工具，可以帮助我们处理各种数据分析和建模问题。
最小二乘法的优点在于它简单易用，计算效率高，而且有较好的数学性质。
但是，最小二乘法也有一些局限性，比如对异常值比较敏感，对数据分布有一定的要求等。
在实际应用中，我们需要结合具体问题的特点来选择合适的拟合方法，有时候可能需要借助其他工具来处理特殊情况。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数学工具，它在数据分析、参数估计、模型拟合等方面都有着广泛的应用。
通过对最小二乘法的基本原理和应用进行深入理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，提高数据分析和建模的效率和准确性。
最小二乘法的应用及原理解析
最小二乘法的应用及原理解析最小二乘法，英文称为 Least Squares Method，是一种经典的数学优化技术，广泛应用于数据拟合、信号处理、机器学习、统计分析等领域。
本文将从应用角度出发，介绍最小二乘法的基本原理、优缺点以及实际应用中的具体操作流程。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本思路是：已知一组样本数据（x1,y1），(x2,y2)，...(xn,yn)，要求找到一条曲线（如直线、多项式等），使得该曲线与样本数据的误差平方和最小。
其数学表示式为：$min {\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}$其中，$\hat{y}_i$是曲线在$x_i$处的预测值，代表曲线对样本数据的拟合程度。
显然，当误差平方和最小时，该曲线与样本数据的拟合效果最好，也就是最小二乘法的优化目标。
最小二乘法的求解方法有多种，比较常用的有矩阵求导法、正规方程法、QR分解法等。
这里以正规方程法为例进行介绍。
正规方程法的思路是：将目标函数中的误差平方和展开，取它的一阶导数为零，求得最优解的系数矩阵。
具体过程如下：1.将样本数据表示为矩阵形式，即 $X=[1,x_1,x_2,...,x_n]^T$。
2.构建方程组 $X^TX\beta=X^TY$，其中$\beta=[\beta_0,\beta_1,...,\beta_p]$是待求系数矩阵。
3.求解方程组，得到最优解的系数矩阵 $\beta$。
最小二乘法的优点是：对于线性问题，最小二乘法是一种解析解，可以求得精确解。
同时，最小二乘法易于理解、简单易用，可以快速拟合实际数据，避免过度拟合和欠拟合。
二、最小二乘法的优缺点最小二乘法虽然有很好的拟合效果，但是也存在一些不足之处：1.对异常值敏感。
最小二乘法基于误差平方和的最小化，如果样本中存在离群值或噪声，会对最终结果产生较大影响，导致拟合结果不准确。
2.对线性假设敏感。
最小二乘法只适用于线性问题，如果样本数据的真实规律是非线性的，则拟合效果会大打折扣。
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2 z 2 2 2
使用误差传播定律的注意事项：
1、正确列出函数式 例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差 为ml =±5 mm，求全长D及其中误差mD。 2、在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。 例：设有函数z=3x+2y，且y=3x，已知x的中误差为为 mx，求z的中误差mz
最或然值：最可靠值 观测条件：观测者、观测仪器和外界环境
精密度：测量结果中的偶然误差大小的程度 正确度：测量结果中的系统误差大小的程度 准确度：测量结果中的系统误差与偶然误差的综合， 表示测量结果与真值的一致程度
例如： 在相同的观测条件下，对一平面三角形的三个内角重复进 行普通角度测量358次，每次测得一个高差闭合差，现取 误差区间的间隔3〃，现分析闭合差的误差规律。
误差 钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C
消除或削弱的方法： 测量系统误差的大小，并对观测值进行改正 采用对称测量法 检校仪器
误差
钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C
处理方法
计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)
观测时所处的外界环境
由于测量时所处的外界环境中的空气温度、压力、风力、日光照射、 大气折光、烟尘等客观因素的不断变化，必将使测量结果产生误差。
三、观测误差的分类 1、按照误差产生的规律分 （1）系统误差：在相同的条件下作多次观测，如 果误差值在大小和符号上表现出一致性或者按照一 定的函数规律变化。
则函数中误差为：
m m m
2 Z 2 x
2 y
例题： 在ΔABC中，∠C=180°－∠A－∠B，∠A和∠B的 观测中误差分别为3″和4″，则∠C的中误差为多少？
三、一般线形函数的中误差 一般的线性函数为 Z=k1x1±k2x2±……±knxn 则函数中误差为：
mz k m k m k m
（3）权只有相对意义 （4）权始终是正值 （5）在同一问题中只能选定一个C值
设对某角作了三次不等精度观测，已知观测值L1的中 误差m1=±3〃，L2的中误差m2=±4〃，L3的中误差 m3=±5〃,求观测值的权。
L1 L2 Ln [ L] X n n
2、等精度观测值的改正数及其数学特性 （1）等精度观测值改正数的代数和为零，即[v]=0 （2）等精度观测值改正数平方和最小，即[vv]=最小
3、精度评定 用真误差求中误差
m
n
用改正数求观测值中误差公式
m
[vv] n 1
次数
1 2 3 4 5 6
观测值
75°32’13〃 75°32’18〃 75°32’15〃 75°32’16〃 75°32’14〃 75°32’17〃
观测值
75°32’13〃 75°32’18〃 75°32’15〃 75°32’16〃 75°32’14〃 75°32’17〃
x [ L ] / n 7 5 3 2 '1 5 . 5 "
负的误差
正的误差 个数k 相对个数 k/n
误差区间 0~3〃 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上 ∑
个数k
相对个数 k/n
备注 等于区间 左端值的 误差计入 该区间
45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505
（2）偶然误差：在相同的条件下作多次观测，其 误差值在大小和符号上都不相同，表面看不出明显 的规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。 （3）粗差亦称错误，是由于观测者使用的仪器不 合格、观测者的疏忽大意或外界条件发生意外变动 引起的错误。
系统误差——找出规律，加以改正 偶然误差——多余观测，制定限差 粗 差——细心，多余观测
最或然值的中误差
1 1 1 1 L (l1 l2 L ln ) l1 l2 ln n n n n
1 M m n
m n n
算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,这说 明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测 次数愈多，精度愈高。 所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影 响、提高成果精度的有效方法。
一、测量误差的定义
观测误差 X为观测量的真值 L为该量的观测值 Δ为该量的真观测误差：Δi= Li- X
二、测量误差来源 仪器工具的质量
由于受到测量仪器精确度、仪器结构不完善的限制，使得测量误差 受到一定的影响。
观测者感觉器官鉴别能力的局限性
由于受观测者的感觉器官的鉴别能力的影响，使得在对仪器进行对 中、整平、照准、读数、观测者技能的熟练程度等方面均会产生误差。
二、极限误差 在测量规范中，为了确保成果质量，根据测量的精 度要求，通常取3倍或2倍中误差作为测量中偶然误 差的极限值，成为极限误差，简称限差。 ∆ 限= 3m
三、相对误差 相对误差等于绝对误差的绝对值与相应观测值 之比。 比值，无量纲
误差传播：直接观测值不可避免地含有偶然误差， 使得由直接观测值求得的函数值，也必定受到影 响而产生误差，这种现象称为误差传播。 误差传播定律：在测量上用以描述直接观测值中误 差同函数中误差之间的关系的定律，称为误差传 播定律。
改正数
2.5 ″ -2.5 ″ 0.5 ″ -0.5 ″ 1.5 ″ -1.5 ″
vv
6.25 6.25 0.25 0.25 2.25 2.25
[vv ] 17 . 5
[v ] 0
解： 观测值的最或然值： x=75°32′15.5″ 观测值的中误差：
[vv ] m 1.98" n 1
一、倍乘函数的中误差 设有函数 z=Kx 则函数中误差为：
2 2 2 mz K mx
m z km x
例题： 在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度 为 d=23.4 mm，其中误差 md=±0.2 mm，求该 两点的实际距离D及其中误差 mD 。
二、和差函数的中误差 设有函数Z=X±Y
m
n
例题：有甲、乙两人在相似条件下，观测同样10个 三角形 之所有内角，得两列三角形的闭合差，结果如表所示：
闭合差 甲 乙 1 3 0 2 -2 1 3 -4 -7 4 2 -2 5 1 1 6 0 -1 7 4 8 8 -3 0 9 -2 -3 10 3 1
由公式可以求得：
72 m甲 2.7 10 130 m乙 3.6 10
2 1 2 1 2 2 2 2 2 n
2 n
例题： 有一函数 Z 2x1 x 2 3x 3 ，其中x1、x2及x3的 中误差分别为±3mm、±2mm和±1mm，则Z的 中误差是多少？
四、非线性函数的中误差 设有一般函数 式中x1、x2、…、xn为独立观测值，已知其中误 差为mi （i=1,2, …,n），则中误差为：
一、水准测量的精度分析
M h n mh
二、水平角的精度分析 三、距离测量的误差及精度分析
一、最小二乘法原理
改正数：若某量的观测值与某量的最或然值的差值即 为改正数（v）
在[vv]最小的条件下求该量的最或然值的方法为最小 二乘法。
二、等精度平差 1、最或然值 在相同的观测条件下，对某量进行了n 次观测，其 观测值分别为 L1，L2……Ln，则
1 n
当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观 测次数n的平方根成反比。
观测次数 算数平均值的中误差M
2 4 6 10 20
0.71m 0.50m 0.41m 0.32m 0.22m
例题： 对某角等精度观测6次，其观 测值见表。试求观测值的最或 然值、观测值的中误差以及最 或然值的中误差。
M m n
1.98" 6 0.8"
最或然值中误差为：
一、权的概念 1、定义 在一组非等精度观测值中，权是表示观测结果质 量相对可靠程度的一种权衡值。
C Pi 2 mi
2、特点
（1）权与中误差均是用来衡量观测值精度的指标， 权是相对性数值，表示观测值的相对精度。 （2）权与中误差的平方成反比，中误差越小，其 权就越大。表示观测值越可靠，即精度越高
lim
n
1 2 ...... n lim 0 n n n
观测误差 X为观测量的真值 L为该量的观测值 Δ为该量的真观测误差：Δ= L- X
一、中误差 设对未知量X进行了多次观测，其结果为 L1， L2……Ln，每个观测结果相应的真误差为Δ1， Δ2 …… Δn ，我们取各真误差平方和的平均 数，在开平方根作为衡量标准。
46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
0.126 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495
（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出 一定的限值（误差有界性） （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 （小误差的密集性） （3）绝对值相等的正误差和负误差出现的概率大致相等 （正负误差的对称性） （4） 随着观测次数的无限增多，偶然误差的算术平均值 趋向于零。
2、按误差产生的来源分 （1）人差 （2）仪器误差 （3）外界环境误差
四、多余观测
多余观测：测量工作往往都要进行多余必要次数的观测。 闭合差：多余观测后，观测结果之间的矛盾。 测量平差：处理带有偶然误差的观测结果的工作。