20080109高一数学(4.1.2圆的一般方程)
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高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程课件
2 2
观察方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 ，它有何特征？ x2、y2的系数皆为 1 的二元二次方程 ,且不含xy 项; 反过来，如下式：x2、y2的系数皆为 1、且不 含xy 项的二元二次方程是不是就表示圆？
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F 将上式变形为： x y 2 2 4
这个圆的半径和圆心坐标.
解 设所求圆的方程为
2 2
x y Dx Ey F 0 若已知条件涉及圆心和半径 , D 8 其中D, E, F 待定. F 0 我们一般采用圆的标准方程较简单 . E6. 解得 由题意得 D E F 2 0 ,
y C y y
C
o x
x
o
C x
o
D=0
E=0
F=0
练习：
. 1、 例 下列各图各表示什么图形
2 2 1 （ ）x y 0 2 2 （2）x y 2 x 4 y 6 0
表示原点 ( x 1)2 ( y 2)2 11
例2、求下列各圆的半径和圆心坐标： ( x 3)2 y 2 9 （） 1 x2 y 2 6x 0 （2）x y 2by 0
2
2
展开后，会得出怎样的形式？
x y 2ax 2by a b r 0
2 2 2 2
令 2a D,2b E, a b r F得
2 2 2
x y Dx Ey F 0
2 2
这样有结论：凡是圆的方程都可以化成：
x y Dx Ey F 0 的形状
2
4.1.2圆的一般方程
例题分析
例1、求过三O(0,0),M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个 圆的半径和圆心坐标.
例2、已知线段AB的端点B的坐标是 1
(4,3),2 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动， 求线段AB的中点M的轨迹方程，
1、求下列各圆的一般方程： (1)过点A(5，1)， 圆心在点C(8，-3)； (2)过三点A(-1，5)、 B(5，5)、C(6，-2)．
2、求圆心在直线 l：x+y=且过
两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和 C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的 圆的方程．
小结
（1）任何一个圆的方程都可以写
X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是
方程X2+y2+Dx+Ey+F=( D0,的E) 曲线不
22
一r 定1 是D2 圆E2 ，4F 只有在D2+E2-4F>0时，
能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示 的曲线一定是圆呢？
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0
圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 圆心（3，-1）半径 10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
§4.1.2 圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，
4.1.2圆的一般方程课件
r = 1 D2 + E2 - 4F
-
D 2
，-
E 2
为半径为
2
配方
2.一般方程
标准方程
展开
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业 A组1、6，B组1、2、3
E 2
）.
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
-
D 2
，-
E 2
为半径为
2
配方
2.一般方程
标准方程
展开
3.方程形式的选用： ①若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程 ②若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解.
作业 A组1、6，B组1、2、3
E 2
）.
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 25
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
M(x,y) OC
复习 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
4.1.2《圆的一般方程》课件
即 x+2y-6=0.②,
x 4, 解①②组成的方程组得 y 1.
2
∴圆心为(4,1),半径 r=
(4 2) (1 2) 5 .
2
17
∴圆心为(4,1),半径 r=
(4 2) (1 2) 5 .
2 2
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 ( x 4) ( y 1) 5.
2 2
D E 4F r 2
2 2
D E 表示点 , （2）当 D E 4F 0 时， 2 2
2 2 不表示任何图形 D E 4F 0 时， （3）当
7
圆的一般方程
2 2 ，其中 x y Dx Ey F 0 D E 4F 0
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
15
∴点 C 在该圆上.
D E 4F ∴圆心为(4,1),r= 5 2
2 2
E D ∵ =4, =1, 2 2
综上,可得四点共圆，圆心为(4,1),半径为 5 , 方程为 x +y -8x-2y+12=0.
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
3
问题引入：
直线方程有五种不同的形式， 它们之间可以相互变通，每一 种形式都是关于x,y的一次方程， 我们学习了圆的标准方程，它 的方程形式具备什么特点呢？ 还有其他形式吗？
y
M(x,y) O C x
4
圆的一般方程
1.圆的标准方程 展开得
x y 2ax 2by a b r 0
课件7：4.1.2 圆的一般方程
1＋16＋D＋4E＋F＝0
D＝－2
∴4＋9－2D＋3E＋F＝0 ，解得E＝2
.
16＋25＋4D－5E＋F＝0
F＝－23
∴△ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
跟踪练习 2 求过点 C(－1,1)和 D(1,3)且圆心在直线 y＝x 上的圆的一般方程．
解：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为(－D2 ，－E2)，
F＝0
F＝0
∴22＋2D＋F＝0 ，解得D＝－2 .
32＋3E＋F＝0
E＝－3
∴所求圆的方程为 x2＋y2－2x－3y＝0.
3．已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是__(_－__2_，__－__4_)___，半径是___5____.
【解析】 由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆， 故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．
因为 B、C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5)． 又因为 B、C 不能为一直径的两个端点， 所以x＋2 3≠4，且y＋2 5≠2， 即点 C 不能为(5，－1)．
故端点 C 的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5) 和(5，－1))，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径 的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
－D2 ＝－E2 ∴2－D＋E＋F＝0
10＋D＋3E＋F＝0
D＝－2
，∴E＝－2 . F＝－2
∴所求圆的一般方程为 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
规律方法 求轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程． 步骤如下：
4.1.2 圆的一般方程
[名师批注] AP 垂直于 x 轴 时及 x＝0 时容 易漏掉.
y－2 y 2 2 · ＝－ 1 ，即 x ＋ y －x－ x－ 1 x
2y＝0(x≠0，且 x≠1)．(8 分)
返回
经检验，点 (1,0) ， (0,0) 适合上 式．(10 分) 综上所述，点 P 的轨迹是以
1 ，1为圆心， 以 2
求轨迹方程的常用方法
1、直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直
角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足
的关系式.
2、代入法（相关点法）：若动点P（x,y）随着圆
上的另一动点Q（ x1,y1 ）运动而运动，且x1,y1可
用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，
即得动点P的轨迹方程.
课时小结
得的弦长等于6的圆的一般方程.
[典例] (12 分)已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，求经过 点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹．
返回
[解题流程]
欲求弦的中点 P 的轨迹，需先求出点 P 的轨迹方程.
画出图形，结合圆的弦的 中点的性质，由 AP⊥OP 建立关系求解．
设动点 P 的坐标x， y―→由 AP⊥OP―→ 讨论 AP 垂直于 x 轴情形―→列 kAP· kOP＝ －1 的关系式―→检验―→得出结论
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
4.1.2《圆的一般方程》课件daqiang
小结2：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
解析几何
4.1.2圆的一般方程
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
尝试一下
2
探 究
2
判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
( x 2) ( y 3) 9
2 2
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4 x 6 y 13 0 ( x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
m≠0
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得:
X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0….(1) 其中a，b，r均为常数 思 考 我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
x y 2ax 2by a b r 0
高中数学《4.1.2圆的一般方程》课件新人教A版
方程
x2 y2 Dx Ey F
0表示以点
D 2
,
E 2
为圆,
1 D2 E2 4F为半径的圆. 2
（2）当D2 E2 4F 0时，
方程
x2 y2 Dx Ey F
0表示点
D 2
,
E 2
（3）当D2 E2 4F 0时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
1
❖ 教学目标:能将圆的一般方程化为圆的标准方程从 而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由 已知条件导出圆的方程．
❖ 教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出 圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条 件导出圆的方程．
❖教学难点：圆的一般方程的特点． ❖教学疑点：圆的一般方程中要加限制条件．
圆心为(1, 2),半径为 11的圆.
（3）x2 y2 2ax b2 _________
当a,b不同时为0时，圆心为(a, 0),半径为 a2 b2的圆. 当a, b同时为0时，表示一个点.
12
练一练
2 ：求下列各圆方程的半径和圆心坐标.
(1)x2 y2 6x 0, (2)x2 y2 2by 0, (3)x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0.
即 x0 12 y02 4
②
把①代入②，得 2x 4 12 2y 32 4
所以，点M的轨迹是以
3 2
,
32为 圆心，半径长是1的圆.
11
练一练
1:下列方程各表示什么图形?
（1）x2 y2 0 _________ 原点（0,0）.
（2）x2 y2 2x 4 y 6 0 _________
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理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
y B
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D2 E 2 4F 0 时， D ，半径 E 方程表示圆心为 ( , ) 为 1 D 2 E 2 4 F 的圆. 2 2
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.
知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 0 思考5:当 D E 4F 0或 D E 时， 2 2ห้องสมุดไป่ตู้方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？