数学文化读书报告——有趣的悖论
有趣的数学悖论说（二）
有趣的数学悖论说（二）“你站在桥上看风景”“看风景的人在楼上看你”“明月装饰了你的窗子”“你装饰了别人的梦”上图是被称为矛盾空间的作品《画廊》。
从左下角顺时针向右下角看：图中是一个正在举办画展的画廊，在这个画廊中，一位年轻人在仔细看一幅画；画中是一个港口，轮船后面是一排房子，在这排房子的右上方有个女士正在窗台远眺海边，而这位女士的楼下是正在举办一个画展的画廊，在这个画廊中，站着一位年轻人，这位年轻人正在仔细地看一幅画：画中是一个港口……这个世界就在这幅图中无限循环下去。
而在逻辑论证中不能出现循环论证，否则这个证明过程就会视为无效，而无限往往是出现bug的原因之一。
今天我们就来讲讲数学中的悖论——无限悖论。
希帕索斯悖论第一次数学危机起因于“希帕索斯悖论”。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是有名的数学家，他的数学信仰是“一切数均可表示成整数或分数”，整数和分数后来被称为“有理数”。
然而，在“勾股定理”被提出后，有人考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现，这一长度不能用整数和分数表示，只能引用一个新数，后来被称为无理数。
据说，希帕索斯后来还因为这个研究被发现被人扔进大海淹死了……这次数学危机表明，几何量不能完全用整数及其比表示，而数却可以用几何量来表示。
于是，整数的尊崇地位受到挑战，数学思想也因此经历一次革命。
伽利略悖论通常我们认为，整体大于部分，或者说“整体在数量上多于部分”。
举例来说，从直观上看，自然数远远多于其平方数，假如给出一个很短的自然数数列：1,2,3,4,5,6,7,8,9,101,4,9,16,25,36,49,64,81,100显然，自然数的平方比自然数少得多，或者说“稀”的多。
不过，伽利略指出，假如自然数序列无限延伸，则会出现戏剧性的结果，自然数系列与其平方数的序列可建立一一对应，这两个序列一样长：对于任一自然数n，都有另一个平方数与其对应，并且仍然是一个自然数……1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，……，n,……1,4,9,16,25,36,49,64,81,100，……，，……伽利略意识到这是一个重要发现，但是他不知道从中可以得出什么结论。
学习心得小论文“浅谈悖论”
浅谈悖论悖论，它就在我们身边，是随着人类文明产生的一种不符合正常逻辑的事物。
生活中，总会有一些事物想不明白、辩不清楚，对悖论的研究也就随之发展起来。
我看过一些关于悖论的作品，学习研究一些关于悖论的知识对我们是有所帮助的，所以我来浅谈一下悖论。
首先，从概念上：悖论，亦称为吊诡、诡局或佯谬，是指一种导致矛盾的命题。
在逻辑学上指可以同时推导或证明出两个互相矛盾的命题的理论体系或命题。
悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B 为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题呢？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
比如无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。
集合是指表示在某一个范围内，无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。
无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。
到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。
集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。
子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。
有趣的数学悖论
问题就在于亚里士多德的观念是错的
▪ 现在我们都知道在不计空气阻力的情况下， 不管物体质量大小，物体下落速度总是相同 的。
毕达哥拉斯悖论
▪ 毕达哥拉斯是公元前5世纪的数学家和哲学家。 他曾创立了著名的毕达哥拉斯学派。该学派认为任 何两条线段都是可通约的，即万物皆数。然而其学 派中一个成员希帕索斯却发现边长为一的正方形的 对角线与边长是无法比的。在当时这与毕达哥拉斯 学派的数学观点不符，于是人们就将其称为毕达哥 拉斯悖论或希帕所斯悖论。还因此引发了第一次数 学危机。
卖亏了
▪ 一个商贩卖 葱，1元钱1斤。过来个买葱人说： 这一大捆葱我都要了，不过要分开秤，葱白7 角钱一斤，葱叶3角钱一斤。这样葱白加葱叶 还是1元，对不对？商贩想，7角加3角正好是 1元，没错，就同意了。结果买葱人走后，商 贩发现少卖了许多钱。商贩为什么卖亏了？
知道为什么吗？
其实道理很简单，我们假设葱白葱叶 一样重。那么葱1元1斤相当与斤葱白 斤葱叶卖1元，也就是说1斤葱白+1斤 葱叶要卖2元钱，而按买葱人的算法1 斤葱白+1斤葱叶只卖1元钱，当然要 亏了。
什么是悖论（paradox）？
▪ 即同人们通常的见解相抵触的理论，观点， 或说法。
பைடு நூலகம்悖论主要有三中类型
第一种：似是而非型
▪ 这种悖论论断看起来是正确的，实际上却错 了，这种讲假话的悖论也称假语悖论。这类 悖论的生成都是通过一个微妙而隐蔽的推理 错误生成一个矛盾。
下面看几个例子
1元钱到哪去了？
▪ 三个学生住店，服务员收费30元，于是三个 学生每人交10元。后来老板说今天特价，只 收25元，要服务员把多的5元退给三人。爱贪 小便宜的服务员想：“5元给三人也不好分， 自己留下2元，给他们每人1元刚好。”于是， 服务员退还了学生3元并私吞了2元。现在的 结果是：每位学生只出了9元，一共27元，加 上服务员的2元，才29元。剩下的1元钱到哪 去了？
有趣的数学悖论小故事
有趣的数学悖论小故事1、唐·吉诃德悖论小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。
”旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他，可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他，但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！2、梵学者的预言一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
苏椰：你是一个大骗子，爸爸。
你根本不能预言未来。
学者：我肯定能。
苏椰：不，你不能。
我现在就可以证明它！苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。
她说：“我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。
请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。
要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗？”“好，一言为定。
”学者在卡片上写了一个字。
3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道：“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。
”学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了：“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。
但如果他在卡片上写的是“不”呢？也还错！因为写“不”就表示他预言卡片上的事不会发生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。
苏椰笑了：“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。
”3、意想不到的老虎公主要和迈克结婚，国王提出一个条件：“我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。
迈克必须顺次序开门，从1号门开始。
他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。
这只老虎的出现将是料想不到的。
”迈克看着这些门，对自己说道：“如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。
可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论数学史上十个有趣的悖论1. 贝尔曼-福特悖论：贝尔曼和福特提出了一个悖论，即在某些情况下，一个更短的路径可能比一个更长的路径需要更多的时间来到达。
这与我们直觉中的常识相悖，但在一些特殊的网络或图形结构中确实存在。
2. 贝利悖论：贝利悖论是一个关于概率的悖论。
它认为，如果一个事件在无穷次试验中发生的概率为1，那么在有限次试验中发生的概率也应该接近1。
然而，这个悖论表明，在某些情况下，有限次试验中事件发生的概率可以远远小于1。
3. 监狱悖论：监狱悖论是一个涉及概率和信息理论的悖论。
它认为，如果一个被告的定罪率很高，那么当一个新的证据出现时，这个被告的定罪率反而会降低。
这个悖论挑战了我们对证据和定罪率之间关系的直觉。
4. 伯罗利悖论：伯罗利悖论是概率论中的一个悖论。
它指出，在一个非常大的随机样本中，某个事件的概率与在一个较小的样本中的概率可能截然不同。
这个悖论揭示了我们在处理大样本和小样本时概率的表现方式的差异。
5. 孟克顿悖论：孟克顿悖论是一个关于集合论的悖论。
它指出，如果一个集合包含了所有不包含自身的集合，那么它既包含自身又不包含自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些潜在的矛盾和难题。
6. 伊普西隆悖论：伊普西隆悖论是一个关于几何学的悖论。
它认为，在一个无限大的平面上，可以找到两个面积完全相等的形状，但一个形状的周长比另一个形状的周长更长。
这个悖论在无限性的背景下挑战了我们对形状和大小的直觉。
7. 赫尔曼悖论：赫尔曼悖论是一个关于游戏理论的悖论。
它指出，在一个竞争性的游戏中，一个玩家的最佳策略可能会使其处于劣势的局面。
这个悖论挑战了我们对最佳决策和优势策略的理解。
8. 麦克阿瑟悖论：麦克阿瑟悖论是一个关于进化生物学的悖论。
它认为，自私的个体在一个群体中可以获得更大的优势，但在整个群体中自私的个体却会导致整体效益较低。
这个悖论揭示了个体利益和群体利益之间的矛盾。
9. 巴塞尔悖论：巴塞尔悖论是一个关于级数求和的悖论。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论1. 赫拉克利特悖论：你永远无法踏入同一条河流。
因为河流的水流不断更替，所以你每次接触到的都是不同的水。
2. 亚里士多德悖论：有一只鸟，如果它每天吃一只虫子就会活下去，那么它连续吃两只虫子会发生什么？它会死亡，因为它每天只需要一只虫子来维持生命。
3. 形而上学悖论：如果一个人把一艘船的每一块木头一块一块地替换掉，那么到最后是否还是同一艘船呢？4. 希尔伯特问题的悖论：是否存在一个包含所有数学真理的最终公式列表？如果是，那么这个列表将包含说真话的几句话和谎言。
但如果它不能说出哪句话是真话，哪句话是谎言，那么这个列表就不完整。
5. 斯特芬兹悖论：如果你有一个无穷的房间，房间里有一个无穷大的桶，里面装满了无穷多的球，但只有两种颜色：红和白。
你是否能用有限的步骤将球分成两堆，一堆红的，一堆白的？6. 孪生数悖论：对于任何一个素数，若将它加一或减一，它们之间的差值必定是二。
因此，两个素数之间一定有一个偶数。
7. 吉尔伯特-陶逊悖论：如果一个村庄中只有男人和小孩，那么这个村庄中一定存在一个人至少有红色头发吗？实际上是可以的，因为这个悖论只是一个错综复杂的抽象预测。
8. 无穷大悖论：如果你将自然数的所有数字分成偶数和奇数，你会发现奇数会比偶数多一些。
但是，当你将这些数字除以二，结果是每个数字都是整数，因此奇数和偶数应该在数量上相同。
9. 托勒密悖论：在托勒密的地球中心宇宙模型中，一颗星星的轨道被假定为匀速圆周运动。
这导致了一个悖论，因为我们观察到的星星的视差应该与其轨道的半径有关，但实际上并非如此。
10. 蒙提霍尔悖论：你在面前有三个门，其中一个门后面是奖品，另两个门后面没有奖品。
你选择了一个门，然后主持人打开了另一个没有奖品的门。
你是否应该更改你的选择以提高你获得奖品的机会？是的，你应该更改你的选择，因为这将让你获得奖品的机会增加到2/3。
有趣的数学悖论 - 副本
预料不到的考试的悖论 一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星 期一到星期五）的某一天将进行一场考试， 但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是 哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才 通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？
做一个假设，假设周一考试，在周一早上的八点， 在学生的角度接到通知下午一点考试，但老师说过 我们无法知道哪一天考试，当然也包括今天，假如 通知是真的那我们就知道今天考试了，与老师的话 不符，所以通知是假的。依次递推，一直到周五考 试也未能完成。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛 盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫 “罗素悖论”。
悖论的几种形式
２.循环式悖论．传统的＂先有鸡，还是先有蛋？＂等问题． ．这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要 实际的考证，如考古学和生物学的研究成果等，才 能打破这一循环。
它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是 由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出来的。”单独来 看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的 假设。
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。
正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
悖论是缺憾的美
悖论的几种形式
１.自相矛盾式．理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招 牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他： “你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属 于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。
趣味数学：7个有趣悖论
趣味数学：7个有趣悖论悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。
产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当做思维方式。
白话来说就是：自相矛盾。
悖论往往揭示了真实，这种无法成立的争论却可以提高批判思维能力，今天和极客数学帮一起来看看7个有趣的悖论吧。
•祖父悖论时间旅行者回到自己的祖父祖母结婚之前的时空，在该时空杀死自己的祖父，也就是说，时间旅行者自身从未降生过；但是，如果时间旅行者从未降生，也就不能穿越时空回到以前杀死自己的祖父。
祖父悖论的另一个版本是希特勒悖论，这个想法被许多科幻小说运用：主人公回到二战前，杀死了希特勒，成功阻止了二战的爆发。
矛盾之处在于，如果没有发生二战，为什么我们要回到二战前刺杀希特勒，时间旅行本身就消除了旅行的目的。
但是，有许多假说绕开了这种悖论，比如说“时间旅行者开启并进入了另一条时间线或平行宇宙。
”•匹诺曹悖论匹诺曹悖论属于谎言悖论的一种。
谎言悖论是一种哲学和逻辑悖论，就像“这句话是假的。
”认为这句话是真的或是假的都会导致矛盾或者悖论的形成。
因为如果这句话是真的，按照字面意思这句话就是假的；如果这句话是假的，按照字面意思，这句话其实是真的。
匹诺曹悖论不同于传统谎言悖论的地方在于，悖论本身没有做出语义上的预测，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但如果匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪。
•秃头悖论假设你面前站着一个有很多头发的人，如果你承认拔掉一根头发不能使一个不秃的人变秃，那么拔一根，他不会秃；再拔一根，还是不秃……推而广之，把他头发拔光了，他还是不秃。
怎么，一个光头还不秃？你得到的是这样一个荒谬的句子：如果有很多头发的人不秃，那么一个一根头发也没有的人也不秃。
这是一个典型的悖论：合理的前提+合理的推理步骤=不合理的结果。
•黄油猫悖论常识一：猫在半空中跳下，永远用脚着陆。
常识二：把黄油吐司抛到半空中，永远是涂上?黄油的一面落地。
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有趣的“悖论”
—《数学文化》的读书报告
袁凤平
采矿10-2班 2010304198
摘要:什么是悖论,悖论该怎么解释,又对我们日常生活和社会发展有什么影响呢?
关键词: 悖论发展意义
引言: 如果直接说“悖论”，大家肯定会觉得陌生，感觉离我们很遥远。
其实我们不知道的是，悖论就存在我们生活中间，也许你早已听说过，只是不知道这就是悖论而已。
想必大家都听过这样的问题：假设上帝是万能的，上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？第一次听到这种问题感觉很古怪，然后我们会想：如果说他能，那么他创造出来的东西自己不能举起这个东西，就证明他不是万能的。
如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，也证明他在创造方面不是万能的。
我们就非常矛盾，而此时问我们的人就会非常开心。
没错，这就是悖论，现在让我们一起了解一下这有趣的“悖论”吧。
一.定义
所谓悖论，其实就是从一个看似正确的前提出发，经过看似正确的推论，而得到了荒唐的答案。
即可以这么解释：假设一句话A（比如上帝是万能的）是真的，而由这句话可以推出另一句话B（上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西）,然后，若假定B真，就可推出A不是真的（因为上帝既然造出自己举不起的东西，那他就不是万能的）。
而我们就会陷入矛盾中。
二.几种主要悖论
其实悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。
“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。
而其中比较著名的有以下几种悖论：
1.罗素悖论
如果R是第一类的，R是自己的元素，但由定义，R只由第二类集合组成，于是R又是第二类集合；如果R是第二类集合，那么，由R的定义，R必须是R的元素，从而R又是第一类集合。
而其中比较有代表性的像理发师问题（即理发师说他只给村里不给自己理发的人理发，而经过推理他自己的头发却没办法）。
2.伽利略悖论
每个人都知道“整体大于部分”这个事实，而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。
在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。
3.芝诺悖论：
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷
“阿基里斯追不上乌龟”：奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。
因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。
因而乌龟必定总是跑在前头。
“飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。
如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。
但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。
所以飞出的箭不能处于运动状态。
三.几个悖论的解释
尽管悖论的历史悠久，但是开始我们的研究却很少，知道后来我们才真正开始专门研究悖论的本质，才逐渐认识到悖论也有其积极作用。
而随着研究的深入与科学的发展，很多悖论都有了相应的解释。
比如：
1.棘手的电灯
一盏电灯，用按钮来开关。
假定把灯拧开一分钟，然后关掉半分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1／8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。
那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着？
但是学习了无限理论我们知道，根本就不会有末了，它是无限的，没有终结。
2.全能悖论
上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗？
现在我们的回答是上帝是全能的，所以“不能举起”是毫无意义的条件。
其他的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就像“正方形的圆”一样。
3.祖父悖论
一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。
这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生因此这个人自己也不会出生；这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。
现代量子力学可以解释这个问题:当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。
四.研究悖论的意义
从上面的例子我们可以看出，随着科学的发展和进步，很多悖论不在是悖论了，而且有的悖论本身条件是不成立的。
那么悖论是怎么产生的？又有什么意义呢？
我觉得悖论之所以产生，一方面是因为看问题的角度不一样，思考有一定的局限性；另一方面是由于我们体系的不完美。
而正是这种不完美的存在，激发了人们求知和精密的思考，而且解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
像数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
数学由此获得了蓬勃发展。
由上可知，研究悖论具有很深远的意义！悖论的存在转换了我们思维的角度，它使我们反思原有的思维，走出思维定势。
还可以我们的锻炼思维,使我们勇于创新，达到别人意想不到的效果而悖论的部分问题的解决基本都是一项理论的创新与发展，它客观地促进科学的发展与进步，逐步完善了我们的思维体系与各种理论体系。
现在还有很多悖论未能解决，而我们正是在深入研究它们并加以解决的路上不断前进，促进科学的发展与辉煌，未来的路还有很长！
参考文献:
[1] 孟云剑,非是非非[M],辽宁教育出版社,2004
[2]马丁·加德纳,悖论与谬误[M],上海科技教育出版社,2012。