几个有趣的悖论的数学辨析
十大数学悖论
十大数教悖论之阳早格格创做1．理收师悖论（罗素悖论）：某村惟有一人理收，且该村的人皆需要理收，理收师确定，给且只给村中不自己理收的人理收.试问：理收师给不给自己理收？如果理收师给自己理收，则违背了自己的约定；如果理收师不给自己理收，那么依照他的确定，又该当给自己理收.那样，理收师坠进了二易的境天.2．道谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的形而上教家伊壁门僧德斯犹如许断止：“所有克里特人所道的每一句话皆是谎话.”如果那句话是果然，那么也便是道，克里特人伊壁门僧德斯道了一句真话，然而是却与他的真话——所有克里特人所道的每一句话皆是谎话——相悖；如果那句话不是果然，也便是道克里特人伊壁门僧德斯道了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所道的每一句话皆是真话，二者又相悖.所以何如也易以自圆其道，那便是出名的道谎者悖论. :公元前4世纪，希腊形而上教家又提出了一个悖论：“尔当前正正在道的那句话是假的.”共上，那又是易以自圆其道！道谎者悖论于今仍困扰着数教家战逻辑教家.道谎者悖论有许多形式.如：尔预止：“您底下要道的话是‘不’，对于分歧过失？用‘是’或者‘不是’去回问.”又如，“尔的下一句话是错（对于）的，尔的上一句话是对于（错）的”.3．跟无限相闭的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数仄圆的数集.那二个数集不妨很简单形成一一对于应，那么，正在每个集中中有一般多的元素吗？4.伽利略悖论：咱们皆了解完全大于部分.由线段BC上的面往顶面A连线，每一条线皆市与线段DE(D面正在AB上,E面正在AC上)相接，果此可得DE与BC一般少，与图冲突.为什么？5.预料不到的考查的悖论：一位教授宣布道，正在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将举止一场考查，然而他又报告班上的共教：“您们无法了解是哪一天，惟有到了考查那天的早上八面钟才报告您们下午一面钟考.您能道出为什么那场考查无法举止吗？6.电梯悖论：正在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑统造运止的，它每层楼皆停，且停顿的时间皆相共.然而，办公室靠拢顶层的王先死道：“每当尔要下楼的时间，皆要等很暂.停下的电梯经常要上楼，很罕见下楼的.真偶怪！”李小姐对于电梯也很不谦意，她正在靠近下层的办公室上班，每天中午皆要到顶楼的餐厅用饭.她道：“不管尔什么时间要上楼，停下去的电梯经常要下楼，很罕见上楼的.真让人烦死了！”那到底是怎么回事？电梯明显正在每层停顿的时间皆相共，可为什么会让靠近顶楼战下层的人等得不耐烦？7.硬币悖论：二枚硬币仄搁正在所有，顶上的硬币绕下圆的硬币转化半圈，截止硬币中图案的位子与启初时一般；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是往下的才对于！您能阐明为什么吗？8.谷堆悖论：隐然，1粒谷子不是堆；如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；……如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；……如果1粒谷子降天不克不迭产死谷堆，2粒谷子降天不克不迭产死谷堆，3粒谷子降天也不克不迭产死谷堆，依此类推，无论几粒谷子降天皆不克不迭产死谷堆.那便是令所有古希腊震惊一时的谷堆悖论.从真正在的前提出收，用不妨担当的推理，然而论断则是明隐过失的.它证明定义“堆”缺少精确的鸿沟.它分歧于三段论式的多前提推理，正在一个前提的连绝聚集中产死悖论.从不堆到有堆中间不一个精确的界限，办理它的办法便是引进一个朦胧的“类”.那是连锁（Sorites）悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides，厥后的猜疑论者不启认它是知识.“Soros”正在希腊语里便是“堆”的意义.最初是一个游戏：您不妨把1粒谷子道成是堆吗？不克不迭；您不妨把2粒谷子道成是堆吗？不克不迭；您不妨把3粒谷子道成是堆吗？不克不迭.然而是您早早会启认一个谷堆的存留，您从哪里区别他们？9.浮图悖论：如果从一砖塔中抽与一齐砖，它不会塌；抽二块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了.当前换一个场合启初抽砖，共第一次纷歧样的是，抽第M块砖是，塔塌了.再换一个场合，塔塌时少了L块砖.以此类推，每换一个场合，塔塌时少的砖块数皆不尽相共.那么到底抽几块砖塔才会塌呢？10.出名的鸡与蛋问题：天下上是先有鸡仍旧先有蛋？▲一些瞅面：老套的问题，天然是先有鸡，不过刚刚启初它不是鸡，而是别的动物，厥后它们的繁衍办法爆收了变更，——成为了卵死，所以才有了蛋.最早不卵死动物，很多死物仍旧无性繁殖的，厥后缓缓进化成卵死战哺乳动物，所以按原理该当进步化成死物原体才大概有蛋的由去.“蛋”有大概去自中星球，厥后环境符合而孵化，之后正在天球繁衍.....便产死了鸡死蛋，蛋又孵化成鸡.。
10大悖论
10大悖论1. 邱奇-图灵悖论邱奇-图灵悖论源自数理逻辑中的一个重要命题：不可能存在一个算法，能够判断任意算法是否停机。
这个命题的证明过程非常复杂，但其结论却具有深刻的哲学意义。
在计算机科学中，图灵机是一种抽象的计算模型，被认为是现代计算机的理论基础。
邱奇和图灵分别独立提出了图灵机的概念，并证明了它的等价性。
然而，他们的工作也揭示出了一个无法解决的问题：无法判断一个算法是否会停机。
这意味着，即使我们拥有了最强大的计算机和最聪明的算法，我们仍然无法预测一个算法是否会在有限的时间内停止运行。
这个悖论挑战了我们对计算机科学的基本认识，也引发了对人工智能和机器学习领域的深思。
2. 赫胥黎悖论赫胥黎悖论是关于集合论的一个重要悖论。
在集合论中，我们通常认为一个集合是由它的成员所确定的。
然而，赫胥黎悖论却质疑了这一观点。
考虑一个由所有不包含自己的集合组成的集合。
根据我们的直觉，这个集合应该是一个合法的集合。
然而，如果我们问这个集合是否包含自己，我们会发现一个悖论：如果这个集合包含自己，那么根据定义，它不应该包含自己；如果这个集合不包含自己，那么根据定义，它应该包含自己。
这个悖论揭示了我们对集合的理解存在一些隐含的问题，也引发了对集合论基础的深入思考。
3. 费尔马定理悖论费尔马定理是数学中一个著名的未解之谜。
它声称没有正整数解的方程x^n + y^n = z^n，其中n大于2。
然而，费尔马定理悖论在于，虽然费尔马定理已经被证明是正确的，但其证明过程却非常复杂，以至于无法在有限时间内完成。
这个悖论引发了对数学证明的思考：我们如何确定一个命题是否为真？费尔马定理悖论表明，即使我们相信一个命题是真的，我们也可能无法证明它。
这对于数学和逻辑的发展产生了重要影响。
4. 佩亚诺悖论佩亚诺悖论源自数学中的一个基本问题：是否存在一个能够判断所有数学命题真假的公理系统？佩亚诺悖论证明了这是不可能的。
如果我们假设存在这样一个公理系统，那么我们可以构造一个命题：这个命题在公理系统中是不可证明的，但它却是真的。
史上十大烧脑悖论
史上十大烧脑悖论悖论是指在逻辑上自相矛盾的陈述、思想或行为。
它们常常出现于哲学、数学、物理学和其他理论学科中。
在历史上有很多著名的悖论，这些悖论颠覆了人们的常识和思考方式，使人们产生了深刻、困惑的思考。
这里列出的是史上十大烧脑悖论：1.质数与素数悖论：数学家们认为质数是不可分解的，只能用它本身和1来表达；而素数是一个数只存在两个因子1和它本身。
尽管两者看似相似，但实际上它们之间存在着一个悖论：不是所有的质数都是素数。
2.史派罗悖论：这是一个关于假设的悖论，它表明一个假设的真假取决于假设中所涉及的条件。
换句话说，这个假设无法得到证明或证伪。
3.睡眠悖论：这是一个涉及睡眠长度的悖论，它表明人们需要越来越多或越来越少的睡眠时间来保持清醒。
4.隧道悖论：这是一个描述隧道长度的悖论，它表明一个隧道的长度可以无限地扩大，仍然保持有限。
5.猜疑悖论：这是一个涉及推理和怀疑的悖论，它表明如果我们说“我不会相信任何人”，那么我们也不能相信我们自己。
6.自指悖论：这是一个描述自我指涉和定义的悖论，它表明如果一个命题把自己定义为假，那么它自身应该是真的，但这又意味着它应该是假的。
7.约翰霍奇悖论：这是一个描述关于真实性的悖论，它表明一个命题的真实性不能被确定，因为它需要更多的知识和信息来确定。
8.卡利姆尼斯悖论：这是描述涉及推理和惯性的悖论，它表明我们的推理可能会被我们的惯性所影响。
9.悖论悖论：这是描述关于悖论本质的悖论，它表明一些悖论的特性令人困惑和矛盾，这可能是我们理解悖论的障碍。
10.时间悖论：这是一个描述时间可逆性的悖论，它表明我们无法解释时间的单向性和不可逆性。
这十个悖论是有代表性的，虽然它们看起来让人感到困惑和矛盾，但它们也能促使人们去思考，深入研究和质疑自己的认知方式和思维逻辑。
它们都是我们理解世界和探索真理的重要组成部分。
12个经典悖论
12个经典悖论1. 赫塞尔巴赫悖论（Hilbert's paradox of the Grand Hotel）：一个无限大的酒店已经满了，但是还能接纳更多的客人。
2. 巴塞尔问题（Basel problem）：求和公式Σ（1/n^2）的结果等于π^2/6，这看起来与直觉相悖。
3. 伯特兰悖论（Bertrand paradox）：选择一个随机的线段，然后选择一个随机的角度，使得这个线段能够成为一个等边三角形的一条边的概率是多少？4. 托尔斯泰悖论（Tolstoy's paradox）：如果人类的生命是短暂的，那么人们为什么要耗费时间去做一些无意义的事情？5. 俄罗斯套娃悖论（Russian doll paradox）：一个大套娃里面有一个中等大小的套娃，里面又有一个小套娃，依此类推，那么这个套娃的大小是多少？6. 巴贝尔塔斯曼悖论（Babel's paradox）：如果每个人都说谎，那么谁在说谎？7. 哥德尔不完备定理（Gödel's incompleteness theorems）：任何一个形式化的数学系统都无法包含所有真实陈述的完全集合。
8. 孔雀悖论（Peacock's paradox）：为什么孔雀的尾巴上有如此华丽的羽毛，而不是简单的尾巴？9. 本杰明·利伯曼悖论（Benjamin Libet's paradox）：我们的决定是基于神经活动的结果，那么自由意志是否存在？10. 船上的修补悖论（Ship of Theseus paradox）：如果一艘船的所有部件都被逐渐替换，那么当所有部件都被替换后，这艘船还是原来的那艘船吗？11. 等待帕尔悖论（Waiting paradox）：如果每一个人都等待别人先行动，那么最终谁都不会行动。
12. 赫拉克利特悖论（Heraclitus' paradox）：你无法两次踏入同一条河流，因为河水在不断流动。
分享14个比较有意思的悖论
分享14个比较有意思的悖论1. 全能悖论The Omnipotence Paradox假如一个万能的人（例如神）制造一颗重连到他也无法举起的石头，那他还是万能的吗? 这悖论表示假如一个万能的人可以做任何的事，那他也可以限制自己做某些事，因此他就无法做任何的事，但另一方面假如他无法限制自己的能力的话，那这就会是一件他无法做的事。
2. 堆垛悖论The Sorites’ Paradox这悖论可以用沙子来解释:情况1：1,000,000粒沙子是一个丘情况2：一个丘减掉一粒沙子还是一个丘你假如一直重复这情况的话（每次都减掉一粒沙子），最后的结果会是一个丘等于一粒沙子。
一个人也许可以反驳说情况2不正确，他可以说1,000,000粒沙子不是一个丘，或他也可以说把一粒沙子拿掉就不算一个丘了，但这就必须先否定有丘的存在。
或他可以坚持一个丘就是一粒沙子。
3. 阿罗悖论The arrow paradox阿罗悖论里Zeno表示一个东西要移动时，它必须改变原本的位置。
他用一只射出的箭来举例，他说在任何时间的瞬间，箭要移动就必须到它在的位置，或到它不在的位置。
它无法到它不在的位置，因为这是一个时间的瞬间，而它无法到它在的位置因为它已经在那了。
换一句话说在任何时间的瞬间没有任何动作产生，因为瞬间就像一张照片。
这也被称作弗莱彻的悖论(fletcher’s paradox)，弗莱彻是弓箭制造者。
4. 阿基里斯与乌龟的悖论Achilles & the tortoise paradox阿基里斯与乌龟的悖论里，阿基里斯与乌龟比赛。
阿基里斯让乌龟先开始100英尺。
你应该会想一个跑得很快一个跑得很慢，阿基里斯应该可以追上乌龟。
假设人的速度是乌龟的10倍，那么当人跑完那100英尺后乌龟向前跑了10英尺；当人再跑完那10英尺后乌龟又向前跑了1英尺；如此无限跑下去，人永远追不上乌龟。
所以不管阿基里斯如何追乌龟都有追不完的距离，因为乌龟到过的地方有无限的点让阿基里斯去追。
哲学上的十大悖论,没有不可能!
哲学上的十大悖论,没有不可能!悖论一.价值悖论作为生活必需品的水价值很低，奢侈品如钻石的价值却很高，但为什么水的价值比钻石低？价值悖论(也被叫做钻石与水悖论)就是一类典型的自相矛盾的例子，尽管在维持生存的价值上水要高出钻石，但是市场价水却不如钻石。
我们来试着解释一下这个悖论，当消费量较小时，两者相比水的边际效用要大于钻石，因此两者都缺少的时候，水的价值就更高。
事实上，现在我们对水的消费量往往都比较大，钻石的消费量却远没有那么大。
我们可以天天喝水喝到吐，却不能天天买钻石。
所以，大量水的边际效用小于少量钻石的边际效用。
按照边际效用学派的解释，比较钻石和水的价值并不是比较两者的总价值，而是比较每份单位的价值。
尽管水的总体价值对于人类来说再大也不为过，毕竟水是生存必需品，但是，考虑到全球的水资源足够充沛，水的边际效用也就处在相对较低水平。
另一方面，急需用水的领域一旦被满足，水就被用作不那么紧急的用途，边际效用因此递减。
所以，水的总量增加，水的总体价值就减少。
钻石的情况就不同了，不管地球上到底有多少钻石，市场上的钻石始终是少量，一颗钻石的用途比一杯水大得多得多得多。
所以钻石对于人更有价值。
钻石的价格远高于水，消费者愿意，商人也乐意，一个愿打一个愿挨。
悖论二.：祖父悖论如果你乘坐时光机回到你祖父祖母相遇之前并杀死你的祖父会发生什么？关于时间旅行最有名的悖论是科幻小说作家赫内·巴赫札维勒1943年的小说《不小心的旅行者》(《Future Times Three》)中提出的。
悖论内容如下：时间旅行者回到自己的祖父祖母结婚之前的时空，时间旅行者在该时空杀死了自己的祖父，也就是说，时间旅行者自身从未降生过；但是，如果时间旅行者从未降生，也就不能穿越时空回到以前杀死自己的祖父，如此往复。
我们假设时间旅行者的过去和现在存在因果联系，那么扰乱这种因果关系的祖父悖论看上去似乎是不可能实现的。
(也就杜绝了人可以任意操纵命运的可能)但是，有许多假说绕开了这种悖论，比如有人说过去无法改变，祖父一定已经在孙子的谋杀中幸存下来(如前所说)；还有种可能是时间旅行者开启/进入了另一条时间线或者平行宇宙什么的，而在这个世界，时间旅行者从未诞生过。
数学十大著名悖论
十大数学著名悖论1. 二分法悖论概述：运动的不可分性，由古希腊哲学家芝诺提出。
每次到达一个点都需要先到达中点，形成无限过程，直到19世纪数学家解决了无限过程的问题。
脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，探讨物质、时间和空间的无限可分性。
2. 飞矢不动概述：箭在瞬间位置不动，暗示了时间的瞬间性。
关联到量子力学和相对论，强调运动在特定时刻的相对性。
脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。
咳咳，飞矢不动，我没心动。
3. 忒修斯之船概述：船上的木头逐渐替换，引发同一性的哲学争议。
讨论木头替换后船是否仍然是原来的船。
脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。
4. 托里拆利小号概述：体积有限的物体，表面积可以无限。
源自17世纪的几何悖论，涉及到平凡的几何图形和无限的概念。
脑洞：平胸不一定能为国家省布料的时候。
5. 有趣数悖论概述：将数字的特征定义为有趣或无趣，涉及质数、斐波那契数列等。
引出无趣数概念，研究整数的有趣属性。
脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，你想起数列是个什么鬼了吗？6. 球与花瓶概述：无限个球和一个花瓶进行操作，放10个球再取出1个，引发花瓶内球的数量无限和可变的讨论。
脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。
7. 土豆悖论概述：土豆的含水量和干物质之间的矛盾，涉及百分比的计算。
展示了百分比在特定情境下的谬误。
脑洞：理科生们笑到内伤。
8. 饮酒悖论概述：酒吧里的人是否都在喝酒，引出实质条件的悖论。
通过逻辑演绎表明酒吧中的每个人都在喝酒。
脑洞：一人喝酒导致全场人喝酒，数学的实质条件逻辑。
9. 理发师悖论概述：小城理发师的承诺，引出对自己刮脸的矛盾。
赫赫有名的罗素悖论，影响了数学领域的发展。
脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。
10. 祖父悖论概述：通过时光机回到过去，引发关于杀死祖父的时间旅行悖论。
涉及对时间和平行宇宙的思考。
脑洞：时间旅行中的命运操纵与平行宇宙的可能性。
世界十大著名悖论你都知道你吗其中证明乌鸦悖论只要一个苹果
世界十大著名悖论你都知道你吗其中证明乌鸦悖论只要一个苹果乌鸦悖论的提出是对传统的归纳法的挑战，众所周知的是，我们很多东西得出的结论都是通过归纳来证明的，但是乌鸦悖论说明归纳法违反直觉，利用我们传统的知识向归纳法发出了挑战，而像这样的问题并不是这一个，难道我们以前学到的知识都是错的？一、乌鸦悖论乌鸦悖论是关于证据本质的悖论，是对归纳法的一种挑战，悖论是来自两句话：1、所有乌鸦都是黑色的2、所有不是黑色的东西都不是乌鸦。
有为哲学家说道，首先我们所看到的乌鸦都是黑色的，这就为第一句提供了证据，其次，我们看到的不是黑色的东西，比如红苹果，就不是乌鸦，也就为第二句提供了证据。
看起来似乎都是对的，那么乌鸦悖论又是怎么产生的呢？其实红苹果不只是能够证明第二句话，它也能证明第一句话所有乌鸦都是黑色的，因为两句话在逻辑上是对等的，所以能够证明一个，那么也能够证明另外一个。
但是由于前面一个论据太少了，所以两者之间的因果关系不是很明显而已。
二、伽利略悖论在学术上出现的还真不知是乌鸦悖论，像我们熟悉的伽利略，在天文上可是有着无人能够达到的成就，甚至还涉足数学，发明了无限和正偶数。
这里我们要说的不是伽利略的成就，而是说说伽利略悖论，伽利略认为，正整数中，有些是偶数有些不是，因此他猜测正整数一定比偶数多。
但是我们算一下，每一个正整数乘以2都能得到一个偶数，而每一个偶数除以2也能够得到一个正整数，也就是说偶数和正整数都有与其相对应的，那么这就说明，在这个无穷大的世界里，部分可能等于全体。
显然这也是不符合逻辑，但是你又能够证明它是错的呢？像乌鸦悖论一样，都只能拿出一部分证明，但是数量是无限的，谁有知道下一个是不是呢？三、睡美人悖论我们让睡美人在星期天入睡，同时抛掷一枚硬币，如果正面朝上，那么睡美人会在星期一被唤醒，回答硬币的朝向问题，然后服用含有失忆剂的药物后继续入睡；如果反面朝上，那么睡美人会在星期一和星期二分别被唤醒，回答硬币的朝向问题，然后服药入睡。
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几个有趣的悖论的数学辨析数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。
作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣1 芝诺悖论在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。
芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。
芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。
巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。
但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。
芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。
其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。
作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。
限于篇幅, 在此只辑录其二。
二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。
在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。
这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑110千米, 然后让阿喀琉斯去追。
于是问题来了。
当阿喀琉斯追到110千米的地方, 乌龟又向前跑了1100千米, 当阿喀琉斯又追到1100千米时, 乌龟又向前跑了110000千米, … …, 这样一来, 一直追下去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗?之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。
然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。
1 . 1 芝诺悖论的数学意义芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。
“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。
芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。
可以说, 这是对反证法的最早的运用。
大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
1. 2 “芝诺悖论” 的数学解释芝诺关于“二分法”的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么; “ 阿喀琉斯追龟”的实质是无穷级数求和的问题。
1 . 2. 1 关于“ 二分法” 的解释“ 二分法” 的实质问题是无穷多个无穷小之和是什么的问题。
这里我们对无穷小做一个讨论。
若无穷小是0 , 则无穷多个0 之和仍为0。
也就是说此时的无穷是所谓的实无穷。
但若无穷小是一个变量, 即不是一个恒为0的数(称为潜无穷) , 亦即无穷多个无穷小的和。
那么该问题相当于极限中的未定式, 该极限可能存在,也可能不存在; 可能等于0, 可能是一个常数, 或者是无穷大。
但对同一个问题, 不可能既等于零又可为无穷大。
确定该极限的方法, 就是用微分学中的罗必达法则。
对于“ 二分法” , 如果给定的距离一定, 不妨设为1 , 那么先走一半即12,再走剩下的一半即14, 再走剩下的一半的一半即18, … ,以此类推则在一定时间走的距离为:显然n时, 该式的极限为1 , 那么只要距离一定, 人们可以在一定的时间穿过无穷个点。
1 . 2.2 关于“ 阿喀琉斯追龟” 的解释按照该问题的条件,让乌龟先跑110千米, 那么阿喀琉斯要追上乌龟, 得先跑110 千米,由于乌龟的速度是阿喀琉斯的110 , 则在阿喀琉斯 追到110 千米时,乌龟又跑了1100 千米,当阿喀琉斯追到1100 千米时,乌龟又跑了110000 千米, …, 这样一来 , 阿喀琉斯一共跑的距离是下列无穷级数的和 :对该式在n 时取极限, 显然其极限是19 , 所以只要阿喀琉跑够19 千米, 就能追上乌龟 。
2 贝特朗奇论2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。
对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,P = CD 弧长圆周长= 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。
解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。
若 A B 的中 点落在此圆 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积= 14 。
2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。
解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能, 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆的落点处处等可能。
三种答案对于各自的假定都是正确的。
这样的解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。
其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率mn逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。
概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)= mn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A 的测度/区域Ω的测度。
概率的统计定义虽然直观, 但据此计算某事件的概率是困难的, 仅能以A的频率作为P( A) 的近似值。
然而n要多大,准确到什么程度,都没有确切的说明,在概率的古典定义中,不需要试验即可直接根据公式求出事件的概率, 这是它的最大优点, 但是它也有局限性, 因为它要求试验的全部可能结果的数目是有限的, 而且每个试验结果出现的可能性相等。
如果试验的全部可能结果是无限的,古典定义就不适用了。
概率的几何定义虽然不要求试验结果有限,但同样强调试验结果的等可能性。
可是怎样才算等可能性? 这都无从回答。
即便古典定义的提出者拉普拉斯本人对此也是含糊其词: “ 如果找不到可能性大小不等的任何理由, 就可以看作是等可能的。
” 当然这种说法欠妥, 并且招致许多矛盾。
如果进一步分析,所谓“等可能性” 就是“等概率”。
这无异于用概率去定义概率, 逻辑上出现了循环。
正是因为这种矛盾的存在, 人们希望找一个一般的概型, 以便更广泛更确切地描述随机现象, 通过对随机现象的数学本质的研究和对上述三个定义的分析知道了概率具有一些基本性质并由此得到概率的公理化定义3 理发师悖论“理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。
说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。
这就引出一个问题: 他该不该给自理发?或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。
要是他不给自己理发, 他也违反了自己的规定; 因为按规定, 他一定得给自己不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。
理发师发难了: 他不论怎么做“都自己打自己的耳光” 。
3 . 1 “理发师悖论”的数学表示设要回答的问题是: “ 一切不包含自身的集合所组成的集合” 是否包含自身的问题。
如果说它不包含自身, 那么他就应当是这个集合的元素, 即包含自身; 如果说它包含自身, 即属于这个集合那么它又不应包含自身。
用符号表示就是:R ∈R ≡R R即命题R ∈R 等价于它的否命题R R 。
3 . 2 “ 罗素悖论” 的辨析及历史意义“ 罗素悖论” 产生的原因在于集合的辩证性与数学方法的形式特性或者形而上学思维方法的矛盾。
集合既是一种完成了的对象, 又具有无限扩的可能性, 它是完成与过程的统一。
而人们在认识集合这种辩证性时, 由于形式逻辑的驱使或者形而上学的思维方法往往是片面强调矛盾的一方, 且把它推向极端, 然后又把对立的双方机械的重新联结起来, 这样出现矛盾就不可避免了, 在“罗素悖论”的形成中,它一方面肯定的是集合本身无限扩的可能性, 即强调集合的过程性。
另一方面,又对不能再予以扩的集合即全集的绝对肯定,即又强调了集合的完成性。
这样一来, 把绝对化了的双方又机械的联系起来,就必然构成了悖论。
“罗素悖论” 来自作为数学基础的集合论的部, 推理简单明了, 毫不含糊, 一针见血地指出了当时集合论中存在的矛盾。
大家知道,数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础, 正如一个宏伟大厦的地基出现了问题一样, “罗素悖论” 的提出, 使人们如闻霹雳, 震惊不已, 从而引发了第三次数学危机,但正是这一次数学危机, 促进了公理化集合论的诞生。