数学悖论推理题

数学悖论推理题1=2？史上最经典的“证明”设?a = b?，则?a·b = a^2?，等号两边同时减去?b^2?就有?a·b - b^2 = a^2 - b^2?。

注意，这个等式的左边可以提出一个?b?，右边是一个平方差，于是有?b·(a - b) = (a + b)(a - b)?。

约掉?(a - b)?有?b = a + b。

然而?a = b?，因此?b = b + b?，也即?b = 2b?。

约掉?b?，得?1 = 2?。

这可能是有史以来最经典的谬证了。

?Ted Chiang?在他的短篇科幻小说?Division by Zero?中写到：引用There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the mi ddle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以?a - b?的，因为我们假设了?a = b?，也就是说?a - b?是等于?0?的。

无穷级数的力量?(1)小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …= 0 + 0 + 0 + …= 0另一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1这岂不是说明?0 = 1?吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于?1/2?。

不妨设?S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + …?，?于是有?S = 1 - S，解得?S = 1/2?。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。

无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

无穷级数的力量?(2)同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。

例如，令x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1也就是说：1 +2 + 4 + 8 + 16 + … = -1平方根的阴谋?(1)定理：所有数都相等。

证明：取任意两个数?a?和?b?，令?t = a + b?。

于是，a +b = t(a + b)(a - b) = t(a - b)a^2 - b^2 = t·a - t·ba^2 - t·a = b^2 - t·ba^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2a - t/2 =b - t/2a = b怎么回事儿？问题出在倒数第二行。

永远记住，?x^2 = y^2?并不能推出?x = y?，只能推出?x = ±y?。

平方根的阴谋?(2)1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1嗯？只有?x?、?y?都是正数时，?√x·y = √x·√y?才是成立的。

-1?的平方根有两个，?i?和?-i?。

?√(-1)(-1)?展开后应该写作?i·(-i)?，它正好等于?1?。

复数才是王道考虑方程x^2 + x + 1 = 0移项有x^2 = - x - 1等式两边同时除以?x?，有x = - 1 - 1/x把上式代入原式中，有x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0即x^2 - 1/x = 0即x^3 = 1也就是说?x = 1。

把?x = 1?代回原式，得到?1^2 + 1 + 1 = 0?。

也就是说，?3 = 0?，嘿嘿！其实，?x = 1?并不是方程?x^2 + x + 1 = 0?的解。

在实数范围内，方程?x^2 + x + 1 = 0?是没有解的，但在复数范围内有两个解。

另一方面，?x = 1?只是?x^3 = 1?的其中一个解。

?x^3 = 1?其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。

考虑方程?x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0?，容易看出?x^3 = 1?的两个复数解正好就是x^2 + x + 1?的两个解。

因此，?x^2 + x + 1 = 0?与?x^3 = 1?同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。

或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。

颇具喜剧色彩的错误众所周知，1 +2 +3 + … + n = n(n+1) / 2让我们用?n - 1?去替换?n?，可得1 +2 +3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2等式两边同时加?1?，得：1 +2 +3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1也就是n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1展开后有n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1可以看到?n = 1?是这个方程的唯一解。

也就是说???1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2?仅在?n = 1?时才成立！这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。

等式两边同时加?1?后，等式左边得到的应该是1 +2 +3 + … + (n-2) + (n-1) + 11?块钱等于?1?分钱？我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：1?元?= 100?分?= (10?分)^2 = ?元)^2 = ?元?= 1?分用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。

事实上，?“100?分?= (10?分)^2”?是不成立的，?“10?分”?的平方应该是?“100?平方分”，正如?“10?米”?的平方是?“100?平方米”?一样。

数学归纳法的杯具?(1)下面这个“证明”是由数学家?George Pólya?给出的：任意给定?n?匹马，可以证明这?n?匹马的颜色都相同。

对?n?施归纳：首先，当?n = 1?时命题显然成立。

若命题对?n = k?成立，则考虑?n = k + 1?的情形：由于?{#1, #2, …, #k}?这?k?匹马的颜色相同，?{#2, #3, …, #k+1 }?这?k?匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这?k+1?匹马的颜色也都相同了。

这个证明错在，从?n = 1?推不出?n = 2?，虽然当?n?更大的时候，这个归纳是正确的。

这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。

数学归纳法的杯具?(2)下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。

为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数?a?、?b?，都有?a = b?。

为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数?n?，如果?max(a, b) = n?，那么?a = b?。

我们对?n?施归纳。

当?n = 1?时，由于?a?、?b?都是正整数，因此?a?、?b?必须都等于?1?，所以说?a = b?。

若当?n = k?时命题也成立，现在假设?max(a, b) = k + 1?。

则?max(a - 1, b - 1) = k?，由归纳假设知?a - 1 = b - 1?，即?a = b?。

这个问题出在，?a - 1?或者?b - 1?有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。

所有三角形都是等腰三角形别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。

下面就是一个经典的几何谬论。

画一个任意三角形?ABC?。

下面我将证明，?AB = AC?，从而说明所有三角形都是等腰三角形。

令?BC?的中垂线与?∠A?的角平分线交于点?P?。

过?P?作?AB?、?AC?的垂线，垂足分别是?E?、?F?。

由于?AP?是角平分线，因此?P?到两边的距离相等，即?PE = PF?。

于是，由?AAS?可知?△APE?≌△APF?。

由于?DP?是中垂线，因此?P?到?B?、?C?的距离相等，由?SSS?可知?△BPD?≌?△CPD?。

另外，由于?PE = PF?，?PB = PC?，且?∠BEP =?∠CFP = 90°?，由?HL?可知?△BEP?≌?△CFP?。

现在，由第一对全等三角形知?AE = AF?，由最后一对全等三角形知?BE = CF?，因此?AE + BE = AF + CF?，即?AB = AC?。

这个证明过程其实字字据理，并无破绽。

证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上，?BC?的中垂线与?∠A?的角平分线不可能交于三角形的内部。

我们可以证明，?P?点总是落在?△ABC?的外接圆上。

如图，?P?是?BC?的中垂线与外接圆的交点，显然?P?就是弧?BC?的中点，即弧?BP =?弧?PC?。

因此，?∠BAP =?∠CAP?，换句话说?P?恰好就在?∠A?的角平分线上。

?P?在?△ABC?外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化——F?跑到?AC?外面去了！也就是说，结论?AE + BE = AF + CF?并不错，只是?AF + CF?并不等于AC?罢了。

一个可怕的逻辑错误下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在?1896?年的?The American Mathematical Monthly?杂志上：假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到AB^2 = AC^2 + BC^2BC^2 = CD^2 + BD^2AC^2 = AD^2 + CD^2把后两式代入第一个式子，有AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2但?CD^2 = AD·BD?，因此AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2即AB^2 = (AD + BD)^2即AB = AD + BD而这显然成立。