完整版)抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结
第二章 2.4 抛物线抛物 线)0(22>=p pxy)0(22>-=p pxy)0(22>=p pyx)0(22>-=p pyx定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MF M =点M 到直线l 的距离}范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点(2p ,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线 方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离pxyO lFxyOl FlF x y Oxy O l F焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦 点弦 长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 切线 方程 00()y y p x x =+00()y y p x x =-+00()x x p y y =+00()x x p y y =-+1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，ox ()22,B x y Fy ()11,A x y，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结抛物线是数学函数中的基础，而相关的知识点也有一定的难度。
下面是小编推荐给大家的抛物线知识点总结，希望能带给大家帮助。
抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线y = ax^2 + bx + c (a≠0)就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c置于平面直角坐标系中a > 0时开口向上a < 0时开口向下(a=0时为一元一次函数)c>0时函数图像与y轴正方向相交c< 0时函数图像与y轴负方向相交c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)还有顶点公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值和对称轴抛物线标准方程：y^2=2px (p>0)它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py。
关于抛物线的知识点总结
关于抛物线的知识点总结抛物线是数学中一个重要的曲线形状，它具有独特的特性和应用。
本文将围绕抛物线展开，总结其中的知识点。
一、定义和性质抛物线是平面几何中的一种曲线，其定义为平面上到一个定点距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹。
抛物线是对称的，其对称轴是垂直于定直线且过定点的直线。
抛物线上的点与对称轴的距离称为焦距，记作f。
焦距与抛物线的形状有关，决定了抛物线的开口方向。
二、抛物线的方程抛物线的方程通常使用二次函数的形式表示，即y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c是常数，a决定了抛物线的开口方向和形状，b决定了抛物线在x轴上的平移，c决定了抛物线在y轴上的平移。
三、焦点和直径抛物线的焦点是定点到抛物线上任意一点的距离与该点到对称轴的距离相等的点。
焦点在对称轴上，距离定点的距离为焦距f。
抛物线上的任意一条线段，其两个端点都在焦点上，称为抛物线的直径。
抛物线的焦点和直径是抛物线的重要特性，具有重要的几何和物理应用。
四、焦点和顶点的关系抛物线的顶点是抛物线的最高(或最低)点，位于抛物线的对称轴上。
抛物线的焦点与顶点的距离等于焦点与定直线的距离。
这个性质对于确定抛物线的焦点位置很有帮助。
五、抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用。
例如，某些天体运动的轨迹可以用抛物线来描述，比如抛出的物体在无阻力情况下的运动轨迹。
此外，抛物线在建筑设计、射击、摄影等领域也有应用。
抛物线的特性使得它在某些问题的求解中更加简便和直观。
六、抛物线与其他曲线的关系抛物线与其他曲线有一些相似和相关的特性。
例如，当a=0时，抛物线退化为直线；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
此外，抛物线也可以看作是椭圆的特殊情况，其离心率为1。
抛物线是数学中一个重要的曲线形状，具有独特的特性和应用。
通过了解抛物线的定义、方程、焦点和直径等知识点，我们可以更好地理解和应用抛物线。
抛物线在数学和实际问题中都有广泛的应用，是我们学习和研究的重要对象之一。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结抛物线，又称双曲线，是一类几何图形，它具有以下共同特征：它是一条二次曲线，在平面直角坐标系中可以表示成一般方程y=ax^2+bx+c（a != 0）的形式。
抛物线的几何特性 1、抛物线的定义式：y=ax^2+bx+c （a≠0） 2、抛物线的射线法则：任意一点P到该抛物线上的每一点Q，连接PQ的竖直平分线与抛物线交于一点R，PR/RQ=1：-1 3、抛物线的焦点：抛物线的焦点是F(h,k)，其中h为抛物线的x轴截距，k为抛物线的y轴截距 4、抛物线的准线：抛物线的准线的斜率为-b/(2a)，且准线通过焦点F(h,k) 5、抛物线的对称轴：抛物线的对称轴的斜率为-b/(2a)，且对称轴的方程是x=h抛物线的应用 1、抛物线的主要应用是求解一元二次方程，当a≠0时，一元二次方程可以化为y=ax^2+bx+c的标准型，一元二次方程的解为抛物线上的水平线与抛物线的交点，根据抛物线的焦点法则可以求出其解； 2、抛物线在工程学和物理学中也有重要的应用，如弹道学中的弹道运动就是抛物线的特例； 3、抛物线在经济学上也有应用，如货币价值的变动曲线，可以看作是抛物线； 4、抛物线也可以用来描述某些统计数据，如商品价格随时间变化的曲线，某种疾病在不同地区发病率之间的变化曲线等； 5、抛物线也可以用来描述某些社会现象，如教育水平与社会地位之间的关系，收入水平与消费水平之间的变化等。
抛物线的图形特性 1、抛物线的几何形状：抛物线的几何形状取决于参数a的正负，当a>0时，抛物线的几何形状为凸弯；当a<0时，抛物线的几何形状为凹弯； 2、抛物线的斜率：抛物线上任一点P(x,y)处的斜率为dy/dx=-2ax-b； 3、抛物线的单调性：当a>0时，抛物线呈递增趋势；当a<0时，抛物线呈递减趋势； 4、抛物线的对称性：抛物线的准线和对称轴都是抛物线的对称轴；5、抛物线的射线法则：任意一点P到该抛物线上的每一点Q，连接PQ的竖直平分线与抛物线交于一点R，PR/RQ=1：-1。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结定义与性质：抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。
焦点并不在准线上。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
抛物线具有镜像对称性，其形状大致为U形。
垂直于准线并通过焦点的线被称为“对称轴”。
与对称轴相交的抛物线上的点被称为“顶点”，是抛物线最锋利弯曲的点。
沿着对称轴测量的顶点和焦点之间的距离是“焦距”。
“直线”是抛物线的平行线，并通过焦点。
抛物线可以向上、向下、向左、向右或向另一个任意方向打开。
标准方程：抛物线有多种标准方程形式，根据开口方向和焦点位置的不同，可以分为右开口、左开口、上开口和下开口抛物线。
例如，右开口抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），其中p为焦准距。
焦点与准线：焦点是抛物线上所有点到准线距离相等的点。
准线是抛物线上所有点到焦点距离相等的直线。
焦点和准线的位置关系决定了抛物线的开口方向和大小。
焦半径公式：对于抛物线y²=2px（p>0），任意一点M(x0,y0)到焦点的距离（焦半径）为|MF|=2x0。
焦点弦：焦点弦是过焦点的任意一条弦，其长度可以用焦点坐标和弦端点坐标之间的关系来表示。
焦点弦的长度与焦点到弦的端点的距离之和是一个定值。
应用：抛物线在几何光学和力学中有重要的用处，特别是反射光的材料制成的抛物面天线或抛物线麦克风等。
抛物线也广泛应用于工程学和建筑学中，如建筑设计中的门廊、拱桥等结构的设计，以及照明设计中的抛物面反射等。
在数学教育中，抛物线作为一个经典的数学曲线，对于培养学生的几何直观和空间想象能力具有重要作用。
总之，抛物线是一个具有丰富性质和应用价值的数学曲线，在各个领域都有广泛的应用。
通过深入学习和理解抛物线的性质和应用，可以更好地掌握相关领域的知识和技能。
抛物线的知识点总结大全
抛物线的知识点总结大全抛物线的知识点总结大全抛物线是高考数学的一个重要考点。
抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹。
下面是小编为大家整理的抛物线的知识点总结，欢迎参考~抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明.抛物线知识点总结1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
抛物线方程知识点总结
抛物线方程知识点总结1.抛物线的定义和性质：抛物线可以由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等。
抛物线对称于准线，焦点位于抛物线的对称轴上。
2.抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
这个方程表示了抛物线的形状和位置。
a 决定了抛物线的开口方向和形状，b 决定了对称轴的位置，c 决定了抛物线的纵轴截距。
3.抛物线的顶点和焦点：抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，它位于抛物线的对称轴上。
顶点的坐标可以通过将抛物线方程转换成顶点形式来简化计算。
焦点是抛物线的焦点，它位于抛物线的对称轴上，并且与顶点的距离称为焦距。
4.抛物线的焦距和准线：抛物线的焦距是焦点到抛物线的最高（或最低）点的距离，它等于抛物线参数a的倒数的绝对值。
准线是抛物线上的一条直线，与对称轴平行且与焦点和顶点的距离相等。
准线的公式可以通过将焦点的坐标与焦距相加或相减得到。
5.抛物线的对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
这意味着如果(x,y)是抛物线上的一个点，那么对称轴上的点(-x,y)也是抛物线上的一个点。
6.抛物线的与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点称为横轴截距，可以通过令y=0解方程得到。
抛物线与y轴的交点称为纵轴截距，它等于常数项c。
7.抛物线的方程转化和变形：8.二次函数和抛物线的关系：以上是抛物线方程的关键知识点总结。
掌握了这些知识，我们就能够理解和计算抛物线上的点的坐标，进一步应用到实际问题中。
抛物线的知识点总结
抛物线的知识点总结抛物线是一种二次函数，具有以下特点：1. 方程和形式：抛物线的一般方程是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，a不等于0。
a决定了抛物线的开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：抛物线与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax^2+bx+c=0得到。
如果方程无实根，说明抛物线与x轴没有交点。
3.頂点：抛物线的最高点或最低点称为顶点。
当a>0时，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
4.对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程是x=-b/2a。
5. 判别式：抛物线方程的判别式Δ=b^2-4ac可以用来确定抛物线的性质。
当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，开口向上或向下；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，开口向上或向下；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，开口向上或向下。
6.曲线的性质：抛物线在顶点处取得极值。
当a>0时，极小值为顶点的纵坐标；当a<0时，极大值为顶点的纵坐标。
抛物线在对称轴两侧的函数值相等。
7.平移与缩放：对抛物线进行平移和缩放会改变抛物线的位置和形状。
平移可以通过在x和y上加上常数来实现；缩放可以通过对a、b和c乘以常数来实现。
8.抛物线的应用：抛物线在物理、数学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，抛物线可以描述物体抛出和自由落体的轨迹。
在数学中，抛物线是二次函数的一个特例，可以用来研究函数的性质。
在工程中，抛物线可以用来设计桥梁、建筑和道路等。
9.拟合与插值：抛物线可以用来拟合和插值一组给定的数据点。
通过最小二乘法，可以找到最佳的抛物线模型来拟合数据。
10.抛物线的求导：抛物线的导函数是一次函数，通过对抛物线方程进行求导来得到。
导函数描述了抛物线在每个点的斜率。
总结起来，抛物线是一种二次函数，具有开口方向、零点、顶点、对称轴、判别式和曲线性质等特点。
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完整版)抛物线知识点归纳总结
抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以
下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上
一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物
线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，
由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对
称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴
的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一
个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +
c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
19.抛物线与其他图形的关系：抛物线与其他图形的关系可以通过其方程和图像进行分析，例如抛物线与直线或者其他抛物线之间的交点、切点等。
总结:
抛物线是一种重要的二次函数，具有许多重要的性质和特点。
了解这些性质对于理解和分析抛物线的方程和图像非常有帮助，也为研究更高级
的数学概念奠定了基础。
通过掌握抛物线的知识点，可以更好地理解和应用数学。