与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论重庆市开县临江中学张帮军2011.08/复习备考【内容摘要】关于抛物线的焦点弦到底有哪些结论呢？总结一下有四大类共18个结论，第一类是常见的基本结论；第二类是与圆有关的结论；第三类是由焦点弦得出有关直线垂直的结论；第四类是由焦点弦得出有关直线过定点的结论。
【关键词】证明抛物线焦点弦现在通过下面的例题来证明这些结论。
例：过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的一条直线AB 和此抛物线相交于A ，B 两点（α是直线AB 的倾斜角），准线l 的方程：x =-p 2，设点A （x 1,y 1），B（x 2,y 2），则有关抛物线的焦点弦有以下八个基本结论：（1）x 1x 2=p 24；（2）y 1y 2=-p 2；（3）|AF |=x 1+p 2；|BF |=x 2+p2（4）|AB |=x 1+x 2+p ；（5）|AB |=2p sin α；（6）|AF||BF|=p 2sin 2α；（7）;1|AF |+1|BF |=2p（8）S △AOB =p22sin α证明：如图若α≠π2，则k =tan α因为点F(p 2,0)，所以设直线AB 的方程为y =k (x -p 2)由y =k (x -p 2)y 2=2p px得k 2x 2-p (k 2+2)x +k 2p 24=0由根与系数的关系得：x 1x 2=p 24;x 1+x 2=p (k 2+2)k2∴（1）式得证∵A ，B 两点都在直线y 2=2px 上∴y 12=2px 1；y 22=2px 2∴(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2=p 4∵y 1y 2<0，∴y 1y 2=-p 2即(2)式得证过点A ，B 分别作AA 1，BB 1与直线l 垂直，垂足为A 1，B 1即A 1(-p 2,y 1)，B 1(-p 2,y 2)由抛物线定义知|AF |=|AA 1|=x 1+p 2;|BF |=|BB 1|=x 2+p 2即(3)式得证∵|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p ∴(4)式得证∵x 1+x 2=p (k 2+2)k2，k =tan α∴|AB |=x 1+x 2+p =2p (k 2+1)k 2=2p (tan 2α+1)tan 2α=2p sin 2α即(5)式得证∵|AF ||BF |=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1·x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=p 2(x 1+x 2+p )=p 2·2p sin 2α=p 2sin 2α∴(6)式得证∵1|AF |+1|BF |=|AF |+|BF ||AF |·|BF |=|AB ||AF |·|BF |=2psin 2α·sin 2αp 2=2p∴(7)式得证∵点O 到直线AB 的距离d 就是△AOB 的高∴h =d =p|k|21+k2姨=p sin α2∴S △AOB =12|AB|·h =12·2psin 2αp sin α2=p 22sin α∴(8)式得证下面来探究焦点弦与圆有关的四条结论：（1）以AB 为直径的圆M 与准线相切；（2）以AF 为直径的圆C 与y 轴准线相切；（3）以BF 为直径的圆D 与y 轴准线相切；（4）分别以AB ，AF ，BF 为直径的圆关系有：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切又圆M 相内切。
抛物线勾股定理
抛物线勾股定理的深入探索一、引言勾股定理，作为数学领域中最古老且最重要的定理之一，自公元前6世纪被毕达哥拉斯学派发现以来，一直在几何学和代数学中发挥着重要的作用。
然而，当我们将视线转向更为复杂的几何图形——抛物线时，我们会发现，勾股定理依然在其中找到了新的应用。
抛物线勾股定理不仅揭示了抛物线上点、焦点和准线之间的特殊关系，还在多个领域中展现出了广泛的应用价值。
本文将详细探讨抛物线勾股定理的内涵、证明、应用及其背后的数学原理，以期为读者展现这一古老定理在新的领域中的独特魅力。
二、抛物线勾股定理的内涵抛物线勾股定理，也被称为抛物线的焦准距性质，是描述抛物线上任意一点到焦点和准线的距离之和等于常数（即焦距）的定理。
这一性质在抛物线的定义和性质中占据了重要的地位。
具体来说，对于任意一个抛物线，我们都可以找到一个焦点和一个准线。
对于抛物线上的任意一点P，我们可以分别计算它到焦点F的距离PF和到准线的距离PQ。
根据抛物线勾股定理，这两段距离之和PF+PQ等于一个常数，这个常数就是抛物线的焦距。
抛物线勾股定理的内涵远不止于此。
通过深入探索，我们还可以发现它与传统的勾股定理有着深刻的联系。
在传统的勾股定理中，直角三角形的三边关系被简洁地表达为a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
而在抛物线勾股定理中，我们同样可以找到一个类似的表达式：PF²=PQ²+QF²，其中PF是抛物线上点到焦点的距离，PQ是到准线的距离，QF是焦点到准线的距离（即焦距）。
这个表达式在形式上与传统的勾股定理非常相似，只是其中的边被替换为了距离。
三、抛物线勾股定理的证明为了证明抛物线勾股定理，我们可以采用几何方法和代数方法两种途径。
1.几何证明：首先，我们作点P到准线的垂线，垂足为Q。
然后，连接点P和焦点F。
由于抛物线的定义，我们知道PQ=PF。
接着，过点F作准线的垂线，垂足为M。
抛物线的定义与性质
抛物线的定义与性质抛物线是由平面上一点P到一个定点F的距离与点P到一条直线L的距离相等的轨迹。
在平面直角坐标系中，抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
抛物线具有许多有趣的性质，下面将逐一介绍。
性质一：焦点和直线L抛物线的焦点是定点F，直线L是平行于y轴的直线，距离焦点F的垂直距离是h。
根据抛物线的定义，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，我们可以得到以下关系：PF = PL√[(x - p)² + (y - q)²] = |y - h|其中，(p, q)是抛物线的顶点。
性质二：焦半径焦半径是从焦点F到抛物线上任意一点P的线段。
根据性质一中的等式，我们可以得到焦点与抛物线上的任意一点之间的距离PF与抛物线切线的夹角θ满足以下关系：PF = |PC|cosθ其中，切线的斜率可以通过抛物线的方程求出。
性质三：对称轴抛物线的对称轴是直线x = p，其中p是抛物线的顶点的横坐标。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，具有关于对称轴的对称性。
性质四：焦点的坐标对于抛物线y = ax² + bx + c，焦点的横坐标可以通过以下公式计算：p = -b / (2a)焦点的纵坐标可以通过以下公式计算：q = c - b² / (4a)性质五：切线与法线抛物线上的任意一点P的切线与该点的法线垂直，并且共线。
对于抛物线y = ax² + bx + c，点P(x0, y0)处的切线的斜率可以通过以下公式计算：m = 2ax0 + b点P处的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)该切线的法线与切线斜率的乘积为-1。
性质六：焦点的几何意义抛物线的焦点F到任意一点P的线段PF的长度与FP的长度相等。
这说明，焦点是抛物线上各点到抛物线的一条对称轴的距离之差的等分点。
性质七：离心率离心率是抛物线焦点到抛物线对称轴的距离与焦点到抛物线上任意一点P的距离之比的绝对值。
解析几何解题小论文精选：与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法
所以 所以 ，
所以 三点共线，
同理可证 三点共线．
五、点 处的角平分线：
过 任作直线交抛物线 于 ，
点 为定点，则 ．
证法一：(几何法)过 分别作准线 的垂线，
垂足为 ，延长 交 的延长线于 ，
由 及
得： ，
所以 ，又 ，
所以
又
所以 ．
证法二：(代数法)设 的方程为： ，联立 得 ，显然 ，设 ，
过 任作直线交抛物线 于 ，
过 分别作准线 的垂线，垂足为 ，
为坐标原点，则 三点共线， 三点共线．
证法一：(几何法)连结 交 轴于 点，由已知 ，由抛物线定义 于是 ，所以 ，即 为 的中点，即 与 重合.所以 三点共线，
同理可证 三点共线．
证法二：(代数法)设直线 的方程为 ，
联立 得 ，显然 ，
与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法
本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法．
定理及证明
图形
1、抛物线的焦点弦的点的坐标的性质
若AB是抛物线 的焦点弦（过焦点的弦），
且 ， ，则： ， ．
两种证法比较：
证法一：斜率设法（ ）需要讨论，比较复杂；
注意：AB为通径时， ， 的值最大， 最小．
证法二：设直线的参数方程
因为焦点坐标为F( ,0),所以可设直线AB的参数方程为： ，
代入 ，得 ，
即 ，
，
所以 ，
所以 ．
证法三：利用抛物线的定义，仍然用证法一的设法，没有斜率要单独说明
三、抛物线焦半径长的倒数和是定值
直线AB是过抛物线 焦点F，求证： 为定值．
解析几何中的抛物线方程
解析几何中的抛物线方程抛物线是一种特殊的曲线，它在解析几何中起着重要的作用。
在二维平面上，抛物线是一条非直线的曲线，由于它具有一些独特的性质，因此在物理学、数学、天文学等领域中都有广泛的应用。
一、抛物线的定义与性质抛物线是由平面上的一点（焦点）和一条直线（准线）共同确定的一条平面曲线。
其定义可以采用以下几种方式：（1）一个点到直线的距离等于另一个点到同一直线的距离，其中一个点为焦点。
（2）准线上一点到焦点的距离等于该点到抛物线的距离。
（3）一条过焦点且垂直于准线的直线与抛物线的交点和该点到焦点的距离成正比。
抛物线还有一些重要的性质：（1）对称性：抛物线与其准线关于焦点对称。
（2）焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。
（3）方程：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 为常数。
二、求解抛物线方程的方法对于给定的焦点和准线，我们需要求出抛物线的具体方程。
在解析几何中，有几种求解抛物线方程的方法：（1）几何法：通过画图作图的方式来求解。
（2）代数法：通过利用抛物线的性质，利用代数方法求解方程。
（3）微积分法：通过对抛物线进行微积分分析，求解方程。
其中，代数法是最为常用的一种方法。
在解析几何中，可以通过已知点和方程中的参数来求出方程。
例如，当给定抛物线的焦点为F(x1,y1)和准线为y=k时，我们可以根据抛物线的性质列出该方程如下：y = 1/4p(x-x1)²+y1其中，p为焦距，即p=(y1-k)/2，由此可以求出抛物线的具体方程。
三、抛物线的一些应用抛物线具有多种实际应用，以下就是一些典型的应用场景：（1）物理学：在自由落体、抛射运动等物理学问题中，都可以利用抛物线进行模拟和计算。
（2）工程学：在建筑工程中，抛物线可以用于设计拱形和圆顶。
（3）计算机图形学：在计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和表面，以及模拟自然物体的形态等。
（4）天文学：在天文学中，抛物线可以用于描述行星和彗星的轨道。
抛物线焦点弦的八大结论推导过程
抛物线焦点弦的八大结论推导过程抛物线焦点弦是一个重要研究课题，它可以帮助我们理解抛物线的切线、焦点、双曲线、点到弦距离等微积分概念。
抛物线焦点弦推导过程通常被认为是一个好方向，它具有很多有益的特点，例如微积分知识的运用。
该过程包括以下步骤：一、首先，要确定抛物线的方程，它可以是一元二次方程，也可以是一般的双曲线方程。
二、然后，求解出抛物线的焦点和弦长，可以利用不同的函数求解方法来求解，或者可以利用几何的推导原理。
三、然后，可以运用微积分来求解抛物线的切线，可以利用极限的方法来求解抛物线的切线，同时也可以利用微分形式来求解抛物线的切线。
四、然后，可以利用数学分析的方法，用一元二次型或者双曲线型去绘制抛物线的切线，来求解抛物线焦点弦。
五、接着可以利用微积分中的定义来计算抛物线焦点弦的弧长，可以利用定积分的方法来计算抛物线弦的长度。
六、然后，利用向量的知识来求解抛物线焦点弦的方向，即利用向量的几何性质，推导出抛物线焦点弦的方向。
七、最后，可以利用抛物线焦点弦的方向和弦长，来进一步检验焦点弦是否符合抛物线的法则。
八、完成全部推导后，可以得到抛物线焦点弦的八个结论：1）抛物线的焦点和弦长可以用一元二次方程或者双曲线函数来求解。
2）抛物线的切线可以通过极限的方法和微分来求解。
3）焦点弦的长度可以通过定积分的方法来求解。
4）焦点弦的方向可以通过向量的几何性质来求解。
5）焦点弦的长度与抛物线的焦点和切线总是垂直。
6）距离抛物线在不同点上的距离是固定的，与抛物线的焦点和弦长相关。
7）抛物线在每个焦点点处均有弦，其长度总是相等的。
8）抛物线的弦长和焦点会满足正弦和余弦函数方程的要求。
证明抛物线焦点弦的18个结论
证明抛物线焦点弦的18个结论
抛物线是一种椭圆形的函数图形，它是由抛物线焦点弦决定的。
抛物线焦点弦是指抛物线的两个焦点和连接它们的弦段。
围绕抛物线焦点弦可以建立18个结论。
1. 两个焦点之间的距离与抛物线弦段长度相同，即它们之间的距离等于抛物线弦段的1倍。
2. 弦段连接抛物线的两个焦点，因此，任何一点的垂直距离都等于其焦点的距离。
3. 对抛物线的焦点取中对称，则其两点之间的距离一定是直线的1倍．
5. 相对于一个焦点而言，另一个焦点总是处于弦段的同一边，而且位于弦段上面。
6. 抛物线是对称的，即抛物线的对称轴是连接两个焦点的直线段。
8. 抛物线准线与切线交于抛物线的焦点。
12. 对任意点A而言，从A点向任意点B连线便构成一条直线，此直线连接A点和B 点的距离有正有负，正值表示线段到抛物线焦点的距离是它的弦段长度所乘以2倍的直线段距离，负值则表示抛物线焦点到线段的距离也是它的弦段长度乘以2倍的直线段距离。
17. 抛物线的对称轴与它的弦段垂直，因此它的弦段将对称轴分为2个相等的距离。
以上就是抛物线焦点弦的十八个结论，也是其对称性规律、准确性和完整性的总结。
抛物线焦点弦的这些结论，既给抛物线函数提供了数学化的更直观的解释，又为描述抛物线的属性提供了一定的参考依据。
高中抛物线性质总结
高中抛物线性质总结高中数学中，抛物线是一种重要的二次曲线，具有许多重要的性质。
在学习和理解抛物线的过程中，我们需要研究和掌握这些性质。
本文将总结和介绍高中抛物线的一些重要性质。
首先，抛物线的定义对于理解它的性质至关重要。
抛物线是由一系列平面上满足特定关系的点组成的图形。
它的定义方程可以写成y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b和c是实数，且a不等于零。
根据a的正负和b的零或非零，抛物线可以有不同的形状。
第一个要介绍的性质是抛物线的焦点和准线。
抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。
这个性质被称为焦准性质，是抛物线最重要的性质之一。
焦点和准线的位置可以通过抛物线的定义方程来确定，其中焦点的坐标可以用a和b表示，准线的方程是x=-b/2a。
第二个要介绍的性质是抛物线的对称性。
抛物线的定点坐标是它的开口朝上或者朝下的端点，被称为顶点。
抛物线以顶点为中轴线对称，也就是说，如果点P(x, y)在抛物线上，那么点P'(-x, y)也在抛物线上。
这个性质可以用定义方程来证明。
第三个要介绍的性质是抛物线的切线和法线。
抛物线上的任意一点P(x, y)处的切线是过点P且与抛物线相切的直线。
切线的斜率等于抛物线在该点的导数。
法线是与切线垂直的直线，它的斜率等于切线的斜率的负倒数。
第四个要介绍的性质是抛物线的拐点。
抛物线在顶点处有一个拐点，也就是说，抛物线在开口朝上或者朝下端点处的切线是水平的。
第五个要介绍的性质是抛物线的焦直径性质。
对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点的距离等于它到准线的距离的二倍。
这个性质可以用定义方程和几何性质来证明。
第六个要介绍的性质是抛物线的判别式。
通过判别式可以判断给定的二次方程是否表示一条抛物线，并且可以确定抛物线的开口朝上还是朝下。
判别式的符号取决于二次方程的系数。
如果判别式大于零，那么抛物线开口朝上；如果判别式小于零，那么抛物线开口朝下；如果判别式等于零，那么二次方程表示一条抛物线。
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与抛物线的焦点有关的六个性质的多种证明方法
本文在证明性质中用到了直线方程的三种设法：设斜率法，设斜率倒数法和参数法，有些证明还用到几何法和代数法．
定理及证明
图形
一、抛物线的焦点弦的点的坐标的性质
若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），
且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2
124
p x x =，212y y p =-．
两种证法比较：
证法一：斜率设法（()2
p
y k x =-）需要讨论，比较复杂；
证法二：斜率倒数（=2
p
x y λ+）设法比较简单．
证法一：因为焦点坐标为F(2
p
,0),当AB 不垂直于x 轴时，
可设直线AB 的方程为： ()2
p
y k x =-，显然0k ≠．
由2()22p
y k x y px ⎧
=-⎪⎨
⎪=⎩
得: 2220ky py kp --=，（这种设法下，要注意把2
2y x p
=代入直线，这样消元比较简单，可以叫做以曲代
直，即把曲线代入直线）
∴2
12y y p =-，2242
121222244
y y p p x x p p p =⋅==． 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2
p
x =
，则1y p =，
2y p =-，∴2
12y y p =-，同上也有：2
124
p x x =．
证法二：因为焦点坐标为F(
2
p
,0),当AB 平行于x 轴时，不合题意，所以可设直线AB 的方程为： =2
p
x y λ+，
联立22(0)y px p =>得：22()2
p
y p y λ=+， 即2220y p y p λ--=，
∴2
12y y p =-，2242
121222244
y y p p x x p p p =⋅==．
二、抛物线焦点弦长公式
若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则
22sin P
AB α
=
（α≠0）．
证法一：设直线的点斜式，要讨论
（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2
p
y k x =-
由2()22p y k x y px ⎧
=-⎪⎨
⎪=⎩
得:,2220ky py kp --=
∴122p
y y k
+=，212y y p =-， ∴122
1
1AB y y k =+-
22
121222
11211()41p k y y y y k k k
+=++-=+
222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα
++===．
易验证，结论对斜率不存在时也成立．
注意：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12
p AF x =+
，22
p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB p -，且
由结论一知：2
124
p x x =．
则：2
12121211()()()2224AF BF AB AB p p
p p
AF
BF
AF BF
x x x x x x ++==
=⋅+++++ =
22
2()2
424
AB
AB
p
p p p p
AB AB p ==
⨯+-+（常数）
证法二：利用直线参数方程
因为焦点坐标为F(2
p
,0),所以可设直线AB 的参数方程为：
cos 2sin p x t y t α
α
⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩， 代入22(0)y px p =>，得2(sin )2(cos )2
p
t p t αα=+，
即222(sin )(2cos )0t p t p αα--=，
222224cos 4sin 4p p p αα∆=+=，
所以22
2cos 2(cos 1)
2sin sin p p p t αααα
±±==， 所以12
22111111
(cos 1)(cos 1)sin sin p p AF BF t t αααα
+=-=-
+-
2sin 11()
cos 1cos 1p ααα=-+-
22sin 22
cos 1p p
αα-==-．
本题有几何解释，读者思考（提示：用比例线段）
四、原点(0,0)O 处的三点共线
过(,0)2
p
F 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，
过A B 、分别作准线2
p
x =-的垂线，垂足为11A B 、，
O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线．
证法一：(几何法)连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知
11AA FK BB ∥∥，由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是
11111111O F BB B K O K O K
BF FA BA BA B A AA FA
=====，所以11O F O K =，即1O 为KF 的中点，即O 与1O 重合.所以1A O B 、、三点共线，
同理可证1A O B 、、三点共线．
证法二：(代数法)设直线AB 的方程为 2
p x y λ=+， 联立22y px =得2220y p y p λ--=，显然0∆>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212y y p =-，又12(,)2
p
B y -， 所以111
2,OA y p
k x y =
=1212,2
OB y p k p y ==-所以1OA OB k k =， 所以1A O B 、、三点共线， 同理可证1A O B 、、三点共线．
五、点(,0)2
p K -处的角平分线：
过(,0)2
p
F 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于,A B ，
点(,0)2
p K -为定点， 则AKF BKF ∠=∠．
证法一：(几何法) 过A B 、分别作准线2
p
x =-
的垂线， 垂足为11A B 、， 延长1BB 交AK 的延长线于2B ， 由11AA FK BB ∥∥及11,,AA AF BB BF ==
所以AKF
∠
设AB的方程为：
∴
121221
12222
FB FA y y y y p p p p p k k =⋅==----⋅2
21p
p -=-，
∴11FA FB ⊥.
证法二：(几何法)
由定义，1AF AA =，
∴1111
(180)2
AFA AA F FAA ∠=∠=-∠，
1BF BB =，∴1111
(180)2BFB BB F FBB ∠=∠=-∠，
∴11111
180()2
AFA BFB FAA FBB ∠+∠=-∠+∠，
又∵11BB AA ∥，
∴11180FAA FBB ∠+∠=，
∴1190AFA BFB ∠+∠=，∴1190A FB ∠=，∴11.A F B F ⊥。