抛物线最值点与增减性
函数的最值与单调性
函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。
在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。
一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。
在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。
2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。
3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。
4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。
举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。
首先，我们需要找到函数的定义域。
由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。
然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。
将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。
由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。
因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。
另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。
对于这个函数，它的定义域是整个实数集。
由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。
函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。
二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。
一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。
要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。
2. 研究导数的符号。
如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。
如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。
比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。
我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。
通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。
y=ax2的图像与性质
2、抛物线：
二次函数的图象都是抛物线。
3、抛物线 y=ax2 的图象 ：
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是__y__轴，顶 点是____原__点_. 当a > 0时，抛物线的开口向__上，顶 点是抛物线的___最__低__点_，a 越大，抛物线的开口越 ___小;当a < 0时，抛物线的开口向____下，顶点是抛 物线的最____高点，a 越大，抛物线的开口越___大_.
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
开口大小
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
a 越大,开口越小.
知识要点
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是__y__轴，顶
顶点都是原点(0,0)
顶点都是原点(0,0)
a < 0，开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.
只是开口 大小不同
y 2x2 y x2
y = ax2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=ax2 (a>0) （0，0）
y轴
y= ax2 (a<0) （0，0）
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
y
y x2
y x2
y = x2、y= - x2
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴
y = x2 （0，0）
y轴
y = - x2 （0，0）
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a≠0$。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中心线，一定经过抛物线的顶点。
对称轴的方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
4. 二次函数的顶点（最值点）：当 $a>0$ 时，抛物线的顶点是最小值点；当$a<0$ 时，抛物线的顶点是最大值点。
顶点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。
可以通过求根公式来求得二次函数的零点。
求根公式为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
6. 二次函数的判别式：判别式是指 $b^2-4ac$ 的值，用于判断二次函数的零点个数及其性质。
当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，函数有两个不相等的实数根；当判别式$b^2-4ac=0$ 时，函数有两个相等的实数根；当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，函数没有实数根。
7. 二次函数的增减性：当 $a>0$ 时，二次函数是增函数；当 $a<0$ 时，二次函数是减函数。
10. 二次函数在平面直角坐标系中的表示：二次函数在平面直角坐标系中的图像，以抛物线的形式展现。
其中，参数 $a$ 决定了抛物线的开口方向和大小，参数 $b$ 决定了抛物线在 $x$ 轴上的位置，参数 $c$ 决定了抛物线在 $y$ 轴上的位置。
二次函数图像与性质分析
二次函数图像与性质分析引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将对二次函数的图像和性质进行详细的分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这是因为二次函数的一次导数是一次函数，其斜率为常数，因此二次函数的图像是平滑的曲线。
2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其横坐标为-x轴对称的点，纵坐标为函数值最大或最小的点。
顶点的坐标可以通过求导数或使用顶点公式来确定。
3. 抛物线的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程的形式为x=h，其中h为顶点的横坐标。
4. 抛物线的焦点和准线当抛物线开口向上时，焦点在对称轴上方，准线在对称轴下方；当抛物线开口向下时，焦点在对称轴下方，准线在对称轴上方。
焦点和准线的计算可以使用焦点公式和准线公式。
三、二次函数的性质分析1. 零点和因式分解二次函数的零点是函数值为0的横坐标，可以通过求解二次方程来求得。
而二次函数可以因式分解为两个一次因子的乘积形式，这在求解零点和分析函数性质时非常有用。
2. 增减性和极值二次函数的增减性取决于二次项系数a的正负。
当a>0时，函数在对称轴两侧递增；当a<0时，函数在对称轴两侧递减。
二次函数的极值即为顶点，当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3. 零点和系数的关系二次函数的零点与系数之间存在着重要的关系。
对于形式为y=ax^2+bx+c的二次函数，其零点的和为-x轴对称点的横坐标的相反数，即x1+x2=-b/a；而零点的乘积等于常数项c的相反数，即x1*x2=c/a。
26.1.5抛物线中a,b,c的作用
13 5 若A( , y1 ) B( 1, y 2 )C ( , y 3 )为 4 3 2 二 次 函 数 x 4 x 5的 图 象 上 y 的 三 点 ， 则 1 , y 2 , y 3的 大 小 关 系 是 y ________
1
y
2
1
x
(1)已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且顶点坐标为(1,-5) 的函数解析式为 .
(2)若抛物线y＝a(x-m )2+n的图象与函 数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为 (-3,2),则函数的解析式为 . (3)已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=x2 形状相同,但开口方向相反,且顶点 坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
抛物线与坐标轴的交点 ①抛物线 y ax bx c与y轴的
2
交点坐标为（0，c） 2 ②抛物线 y ax bx c与x轴交点坐标为
x1 , 0 , x2 , 0 ，其中 x1 , x2 为方程
6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、 三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的 大致图象是 (C) y
o A
y
x o B -3 x o C -3
y
x o D -3
y
x
-3
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+ bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能 是（ C ） y o A x o B y x o C y x o D y x
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结一、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般的形如c bx ax y ++=2（其中0,,≠a c b a 是常数且）的函数叫做二次函数. 注：c bx ax y ++=2不一定是二次函数，只有当0≠a 时，c bx ax y ++=2才是二次函数. 二、二次函数y ＝ax ²的图像与性质1. 2ax y =的图像性质：一般的，当0>a 时，抛物线2ax y =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线2ax y =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. 2ax y =的增减性：如果a >0，当x <0时，y 随着x 的增大而减小，当x >0时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <0时，y 随着x 的增大而增大，当x >0时，y 随着x 的增大而减小. 三、二次函数y ＝a （x －h ）²＋k 的图像与性质1. k h x a y +-=2)(的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向上，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线k h x a y +-=2)(的开口向下，对称轴是h x =，顶点是),(k h ，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. k h x a y +-=2)(的增减性：如果a >0，当x <h 时，y 随着x 的增大而减小，当x >h 时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当x <h 时，y 随着x 的增大而增大，当x >h 时，y 随着x 的增大而减小. 四、二次函数的平移1. 二次函数的平移：任意抛物线k h x a y +-=2)(可由2ax y =平移得到，k h x a y +-=2)(是由2ax y =向上平移k 个单位，向右平移h 个单位得到（k ，h 为正数时）.2. 平移原则：左加右减，上加下减.五、二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像与性质1. c bx ax y ++=2的图像与性质：一般的，当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向上，对称轴是ab x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0<a 时，抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴是a b x 2-=，顶点是)44,2(2a b ac a b --，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.2. c bx ax y ++=2的增减性：如果a >0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当ab x 2->时y 随着x 的增大而增大；如果a <0，当a b x 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当ab x 2->时，y 随着x 的增大而减小. 3. 二次项系数a 的特性：a 的大小决定抛物线的开口大小，a 越大抛物线的开口越小，a 越小抛物线的开口越大.4. 左同右异：当a 、b 符号相同时，对称轴在y 轴的左面；当a 、b 符号不同时，对称轴在y 轴的右面.5. 常数项c 的意义：c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x=0时y=c.6. 一般式的赋值：判断c b a c b a c b a c b a ++++++2-424-、、、值的正负时，令x=1、-1、2、-2时y 值的正负.六、二次函数的最值 1. 形如c bx ax y ++=2的最值：当a >0时抛物线在a b x 2-=时取到最小值a b ac y 442min -=，当a <0时抛物线在ab x 2-=时取到最大值a b ac y 442max -=七、待定系数法求二次函数解析式1. 一般式（三点式）：一般的，所给的条件是三个点的坐标是时可以设解析式为c bx ax y ++=2，再将三个点带入解析式解三元一次方程组来求解。
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抛物线及其性质知识点大全推荐文档1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其定义式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
2.抛物线的图像：抛物线的图像呈现出对称性，它的开口方向由抛物线的系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线向上开口；当a小于0时，抛物线向下开口。
3.抛物线的顶点：抛物线的顶点为曲线上的最低点（向上开口）或最高点（向下开口）。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))，其中f(x)为抛物线的函数。
4. 抛物线的焦点：抛物线的焦点是曲线上与直线y = mx + n相交的点的轨迹，其中m、n为常数。
焦点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点和焦点的垂直平分线。
对称轴的方程为x=-b/(2a)。
6. 抛物线的判别式：抛物线的判别式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ的值决定了抛物线的性质。
若Δ大于0，则抛物线与x轴有两个交点，即开口向上或向下的抛物线。
若Δ等于0，则抛物线与x轴有一个交点，即开口向上或向下的抛物线。
若Δ小于0，则抛物线与x轴没有交点，即开口向上或向下的抛物线。
7.抛物线的焦距：焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到对称轴的距离，即焦距等于对称轴到顶点的距离。
8.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的切线斜率相等，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x)为抛物线函数的导数。
9.抛物线的性质：抛物线是一条连续曲线，它具有对称性、单调性（a的符号决定）、可导性（除去顶点的地方都可导）、增减性（导数的符号决定）、可微性（除去顶点的地方都可微）、凸凹性（a的符号决定）等性质。
10.抛物线的应用：抛物线在物理学中常用于描述自由落体、抛体运动等；在工程学中常用于设计桥梁、铁轨等；在经济学中常用于描述成本、收益等。
初三数学函数的增减区间判断方法
初三数学函数的增减区间判断方法函数是数学学科中一个重要的概念，它描述了一种依据特定规则对每一个输入值产生输出值的关系。
而函数的增减性质则是函数分析中的一个重要部分。
在初三数学学习中，我们需要学会判断函数的增减区间，以便更好地理解和应用函数。
本文将介绍一些简单而实用的方法来判断函数的增减区间。
一、导数判断法导数是函数增减性质的重要判断工具之一。
我们可以通过函数的导数来判断函数在某一区间上的增减情况。
首先，需要明确函数的导数表示函数的变化趋势。
当导数大于0时，函数递增；当导数小于0时，函数递减。
其次，我们需要求出函数的导数。
对于多项式函数或者其他简单的函数，我们可以直接求导。
如果函数表达式比较复杂，我们可以利用导数的性质和求导法则进行化简，或者使用计算工具进行求导。
最后，利用导数的符号来判断函数的增减区间。
通过求导得到的导数函数可以根据导数的符号变化判断函数的增减区间。
举例来说，对于函数f(x)=x^2，我们首先求导得f'(x)=2x，然后我们可以绘制出函数f'(x)的符号图，通过观察符号变化来判断函数f(x)的增减区间。
二、函数值判断法函数值判断法是另一种简单而有效的判断函数增减区间的方法。
首先，我们选取函数图像上的几个关键点，包括函数的极值点、拐点等。
对于一次函数、二次函数等简单的函数，我们可以直接通过求解函数的极值点来得到关键点的横坐标。
其次，我们需要计算这些关键点对应的函数值。
通过计算得到的函数值，我们可以观察函数值的变化情况判断函数的增减区间。
举例来说，对于函数f(x)=x^3+2x^2+x，我们可以通过求解f'(x)=0得到函数的极值点x=-1/3。
然后我们可以计算f(x)在x=-1/3以及其他关键点处的函数值。
根据函数值的变化情况，我们可以得到函数f(x)的增减区间。
三、二次函数判断法对于二次函数，我们可以通过观察其二次项的系数来判断函数的增减区间。
首先，我们需要找出二次项的系数。
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《抛物线最值点与增减性》
二次函数522-+=x x y 有
A ． 最大值5-
B ． 最小值5-
C ． 最大值6-
D ． 最小值6- 由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3-=x
C ．其最小值为1
D ．当3<x 时，y 随x 的增大而增大
已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a ＞0
B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大
C ．c ＜0
D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根
已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x
…… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 1 0 1 4 …… 点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是
A ．12y y >
B ． 12y y <
C ． 12y y ≥
D ． 12y y ≤ 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是
（ ）
A ．m =l
B ．m >l
C ．m ≥l
D ．m ≤l
已知二次函数215
y x x =-+-,当自变量x 取m 时,对应的函数值大于0,当自变量x 分别取m-1,m+1时对应的函数值1y 、2y ,则必值1y ,2y 满足 ( )
A. 1y >0,2y >0
B. 1y <0,2y <0
C.1y <0,2y >0
D.1y >0,2y <0
如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k x
+ x 2 + 1 < 0的解集是 ( )
A ．x > 1
B ．x < −1
C ．0 < x < 1
D ．−1 < x < 0
如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而
增大时，x 的取值范围是 ．
（第10题）
（第题） c
+。