抛物线中的最值问题
抛物线上的点到直线的最大值
抛物线上的点到直线的最大值在二维平面几何中，我们经常会遇到抛物线与直线的关系。
本文将讨论一个有趣的问题：如何求解抛物线上的点到一条给定直线的距离的最大值。
问题描述设抛物线方程为y=ax2+bx+c，直线方程为y=mx+d，现在我们要找到在抛物线上的点(x,ax2+bx+c)到直线y=mx+d的距离的最大值。
求解方法为了求解这个问题，我们先要确定点到直线的距离公式。
点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为：$$ \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} $$接下来，我们假设我们要求解的最大距离对应的点为(x1,ax12+bx1+c)，那么点(x1,ax12+bx1+c)到直线y=mx+d的距离为：$$ \\frac{|m x_1 - ax_1^2 - bx_1 - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}} $$为了找到最大距离，我们需要最大化上式。
我们可以通过微分来解决这个问题。
令 $f(x) = \\frac{|m x - ax^2 - bx - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}}$，我们需要求解f(x)的极值点。
通过对f(x)求导并令导数为零，我们可以得到最大距离对应的x1的值。
接着，我们将x1的值代回到点的坐标中，即可以得到最大距离对应的点(x1,ax12+bx1+c)。
结论通过以上的求解过程，我们可以找到抛物线上的点到直线的最大距离。
这个问题涉及到了距离的计算和微分，通过适当的数学推导和分析，我们能够有效地解决这类问题。
在实际应用中，这个问题可能会有不同的变体或扩展，但基本的思路和方法仍然适用。
通过深入研究和灵活运用数学原理，我们可以解决更为复杂的几何问题，为实际问题的求解提供有力的支持。
以上是关于抛物线上的点到直线的最大值问题的基本介绍和解法，希望对读者有所启发。
感谢阅读！。
关于抛物线的十个最值问题-模板
关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。
抛物线的最大最小值怎么求
抛物线的最大最小值怎么求
概述
在数学中，我们经常要求解抛物线函数的最大值和最小值，这对于确定函数的
凹凸性和函数图像的特点都具有重要意义。
本文将介绍如何求解抛物线函数的最大值和最小值的方法。
抛物线函数的一般形式
抛物线函数通常表示为y=ax2+bx+c的形式，其中a eq0。
其中，a控制
了抛物线开口的方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b控制了抛物线的
位置；c是y轴的截距。
最大最小值的求解
对于抛物线函数y=ax2+bx+c，它的最大值或最小值发生在顶点处。
因此，我们只需找到抛物线的顶点坐标即可求解最大最小值。
求解顶点坐标
抛物线的顶点坐标可以通过公式 $x = -\\frac{b}{2a}$ 求解得到。
将x的值代入
抛物线函数中即可得到对应的y值，从而确定顶点坐标。
确定最大最小值
通过观察a的正负性可以确定抛物线的开口方向，若a>0，则抛物线开口向上，顶点为最小值点；若a<0，则抛物线开口向下，顶点为最大值点。
示例
假设有抛物线函数y=2x2−4x+3，我们按照上述方法求解其最大最小值。
1. 求解顶点坐标： $x = -\\frac{-4}{2*2} = 1$，将x=1代入函数得到y=2∗12−
4∗1+3=1，所以顶点坐标为(1,1)。
2. 确定最大最小值：由于a=2>0，故
顶点为最小值点，最小值为1。
结论
通过以上方法，我们可以求解任意抛物线函数的最大最小值，进而帮助我们理
解函数的特性和性质。
抛物线函数的最大最小值计算在数学建模和实际问题求解中具有广泛的应用。
抛物线最值问题
2
= x2 - 2x + 9
= ( x - 1) 2 + 8
min
x³ 0
= 2 2, 此时M (1, 2)
变3
\ 当x = 1时，
２
变式训练：
已知点M 在抛物线y = 4 x上运动， 点Q在圆(x - 3) + y = 1上运动,则 MQ 的最小值是
.
2 2 2
小组讨论、交流：
只需求出动点M到圆心 A(3,0)距离最小值再 减去圆半径即可。
y
M
F
练习
A
Q .
x
所以 MQ min = 2 2 - 1
2
的最小值是多少？
小组讨论、交流：
y
M
F
x
l
已知点F为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,A(3,2) 为定点，点M 是抛物线上任意一点，则 MA + MF 的最小值是 ，此时点M的 坐标是
小组活动：
。
探究2
y
M A
讨论解决方案
F
x
探究3
已知抛物线y ＝４x和定点Ａ(7,8), 抛物线上有一动点Ｍ，点Ｍ到点Ａ 的距离为d1，点Ｍ到抛物线准线距离 为d 2，则d1＋d 2的最小值是 .
2 2 最小值为ＡF ＝（7-1） +（8-0) =10
y M F
A
M
x
思考：已知点Ａ３０，点 ( , ) M在抛物线y２＝４x 上运动，求 MA 的最小值，及此时点M的坐标.
解：设点Ｍ( x, y)是抛物线y 2＝４x 上任一点,则y = 4 x
AM =
=
2
y M F Ax
抛物线的性质与定理应用
抛物线的性质与定理应用抛物线是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和定理。
作为一位初中数学特级教师，我将在本文中向大家介绍抛物线的性质与定理，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、抛物线的基本性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的曲线，具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于准线对称，即准线是抛物线的对称轴。
这个性质使得我们在研究抛物线时可以利用对称性简化问题，节省计算时间。
2. 焦点与准线的关系：抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
这个性质被广泛应用于抛物线的测量和设计中，例如卫星天线的调整和太阳能聚光器的设计等。
3. 切线性质：抛物线上的切线与准线垂直。
这个性质使得我们可以通过求解切线斜率为零的方程来确定抛物线上的顶点，从而得到抛物线的标准方程。
二、抛物线的定理应用1. 焦半径定理：焦半径定理是抛物线的一个重要定理，它指出抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。
这个定理可以用来解决很多与焦点和准线有关的实际问题，例如抛物线反射器的设计和抛物面反射望远镜的原理等。
2. 焦点坐标定理：焦点坐标定理是抛物线的另一个重要定理，它指出抛物线的焦点坐标为（p，0），其中p是焦准距。
这个定理可以用来确定抛物线的焦点位置，从而进一步求解抛物线的标准方程。
3. 抛物线的最值问题：抛物线在一定范围内的最值问题是数学中常见的优化问题。
通过求解抛物线的最值，我们可以确定抛物线的最高点、最低点以及最值对应的自变量值。
这个问题在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
三、抛物线的实际应用举例1. 抛物线的轨迹问题：假设有一个人站在地面上，以一定的初速度和角度抛出一个物体。
我们可以利用抛物线的轨迹性质来计算物体的飞行距离、最大高度和落地点等。
这个问题在射击、投掷和运动等领域都有实际应用。
2. 抛物线的抛物面反射望远镜：抛物面反射望远镜是一种常见的望远镜设计，它利用抛物线的焦点和准线性质来聚集光线，从而实现远距离的观测。
抛物线中的最值问题探究
抛物线中的最值问题探究福建漳州市第一外国语学校（363000） 张芙蓉［摘 要］抛物线中的最值问题一直是中考数学的重难点，这类问题考查学生利用数学知识和思想方法解决问题的能力。
文章结合几道例题，从四个方面对抛物线中的最值问题进行分析探讨，以帮助学生突破难点，提升学生的思维品质，发展学生的核心素养。
［关键词］抛物线；最值问题；最大值；最小值［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0031-03抛物线中的最值问题一直是中考数学的重难点，它包括抛物线中内接四边形面积的最大值或最小值、抛物线中线段和的最大值或最小值、抛物线中线段比的最大值或最小值、抛物线中面积的最大值或最小值等。
如何解答这类问题？下面笔者就此进行分类例析。
一、求抛物线内接四边形面积的最大值抛物线内接四边形是指四边形的四个顶点都在抛物线上，求抛物线内接四边形面积时，一般将其分割为两个三角形的面积，其中一个三角形的面积是固定的，另一个三角形的面积是可变的，只需求得它的最大值，即可求得内接四边形面积的最大值。
［例1］如图1所示，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M ()-2，92和N ()2，- 72两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）若点M 是抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线的解析式及A 、B 、C 的坐标；（2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上的一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标。
分析：（1）设抛物线的顶点式为y =a（x +2）2+92，将点N 坐标代入即可求a 的值，从而确定抛物线的解析式。
（2）设P ()t ，-12t 2-2t +52，先求出直线AC 的解析式为y =12x +52，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，则G ()t ，12t +52，得到S △PAC =-54()t +522+12516，当t =-52时，△PAC 的面积有最大值12516，此时P ()-52，358，求出直线CN 与x 轴的交点为()56，0，再求S △ACN =12×()56+5×()72+52=352，即可求四边形APCN 面积的最大值为40516。
初中数学专题分类突破：抛物线中几何图形的最值问题
初中数学专题分类突破：抛物线中几何图形的最值问题 , 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝1100x 2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )变式图A ．12.75米B ．13.75米C ．14.75米D ．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝⎛⎭⎪⎫0，32例2图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，10 ．, 类型 3 面积的最值问题【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD ＝12OD·AD＝12×2×4＝4；S△ACD ＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD ＝12BD·CF＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12x2＋3x＝－x2＋6x，则S＝S△OAD ＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.1．（泸州中考）已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴第1题图的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是( C)A．3 B．4 C．5 D．6第2题图2．如图所示，抛物线y＝－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)写出A，B，C三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P 在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．解：(2)由抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x＝－1，设点M的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)， ∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．（东营中考）如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)， ∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3，∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b－2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496， 显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x＝5时，MN有最大值，32×⎝⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.。
高中数学抛物线最值问题讲课稿
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
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解：设 = P (x, y ) ∴ y
2 2
Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， PA = = = (x − 3)2 + y x 2 − 6x + 9 + x x 2 − 5x + 9 5 2 11 (x − ) + 2 4
例三、 例三、 已知定点M ），F是抛物线y =2x的焦点 的焦点， 已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P |PM|+|PF|取得最小值 取得最小值， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P 求点P的坐标
分析： ，由抛物线的定义： 如图， 分析： 如图 由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。 与到准线的距离相等。 即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。 线时距离之和最小。
N F F
M
P M
解： 如图所示 在抛物线 y2 = 2x上任取一点 上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线 ，作MN 准线L， 作 交抛物线于P（ ， ） ⊥L ，MN交抛物线于 （x，y） 交抛物线于 由抛物线的定义得： 由抛物线的定义得： |P’F|= |P’N’|
练习： 练习：
1.已知M(a,0) 为抛物线y = 2px(p> 0)的对称轴
2
上的一个定点在抛物线上求一点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 、求抛物线 上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 距离最小值， 时抛物线上的点的坐标
课堂小结： 课堂小结：
分析1 动点在弧AB上运动， 分析1：动点在弧AB上运动，可以设 AB上运动 出点P的坐标，只要求出点P 出点P的坐标，只要求出点P到线段 AB所在直线AB的最大距离即为点 所在直线AB的最大距离即为点P AB所在直线AB的最大距离即为点P到 线段AB的最大距离， AB的最大距离 线段AB的最大距离，也就求出了 ABP的最大面积 的最大面积。 △ABP的最大面积。 分析2：我们可以连接AB， 分析 ：我们可以连接AB，作平行 AB AB的直线 与抛物线相切， 的直线L AB的直线L与抛物线相切，求出直 的方程，即可求出直线L 线L的方程，即可求出直线L与AB 间的距离，从而求出△ABP面积的 间的距离，从而求出△ABP面积的 最大值和点P的坐标。 最大值和点P的坐标。
练习、 练习、
P为抛物线 2=4y上的一动点，定点 （8,7）,求 为抛物线x 上的一动点， 为抛物线 上的一动点 定点A（ ） 求 P到x轴与到点 的距离之和的最小值 9 轴与到点A的距离之和的最小值 到 轴与到点
y P A
F O
y P A
所求p 所求p 点位置
F
x
O
x
Q
小结： 小结：
几何法，运用数形结合的思想， 几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 将到焦点的距离转化为到准线的距离， 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化， 形局部进行转化，使最值问题得以求解
2
y
y=x2
∴ y = x2
P(x,y)
o x
−6
87 。 80
法二、 法二、判别式法
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的 平移到与抛物线y=x 只有一个公共点时, 直线为L1 其方程为3x 4y-b=0。 L1， 3xL1的距离即为所求 的距离即为所求。 直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。 3x-4y+b=0 ① y=x2 ② 代入①可得： ②代入①可得：4x2 -3x+b=0 ∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可 4 ⋅ 1 ⋅(9 − r 2 ) = 0 11 ∴ r= 2
练习： 练习： 为抛物线y 上一动点， 为圆 为圆（ 上一动点 若P为抛物线 2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上 为抛物线 一动点， 一动点，求|PQ|的最小值 的最小值 11
2 −1
例二、 例二、 为抛物线y= 上的一动点， 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 3x-4y-6=0的距离的最小值 的距离的最小值。 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 法一、 法一、目标函数法
解：设 P ( x, y ) Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， 3x − 4y − 6 d = 5 5 3 2 87 4(x − ) + 8 16 = 5 3 当 x = 时， d 有最小值为 8 = 3x − 4x
在解析几何中， 在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要 有以下几种： 有以下几种： 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数， 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数， 再探求目标函数的最值方法。 再探求目标函数的最值方法。 判别式法： 判别式法： 利用已知条件构造一个含有某一变量的一 元二次方程， 元二次方程，通过判断方程的判别式寻求 题目的答案。 题目的答案。 几何法：利用数形结合的思想， 几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化， 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。 题得以求解。
L y A(4,4)
P o B(1,-2) x
小结： 小结：
对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值 问题， 问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的 距离公式建立目标函数， 距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 造一个含有某一变量的一元二次方程， 造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判 断方程的判别式寻求题目的答案。 断方程的判别式寻求题目的答案。
N’ N
P’ M P F
即：|P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M|
重合时， 三点共线， 当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线， 和 重合时 ⊥ ， 、 、 三点共线 ∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF| 的纵坐标等于点M的纵坐标 又∵点P的纵坐标等于点 的纵坐标，即y=2 的纵坐标等于点 的纵坐标， 所以， 的坐标为（ ， ） 所以，点P的坐标为（2，2） 的坐标为
y
y=x2
L1 L
9 16 ∴ L 与 L 1 的距离是 b = −
o
x
d = 为所求
− 6 − (− 3
2
9 16
)
+ (− 4 )2
87 = 80
.
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点 练习：已知抛物线y =4x， A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边 ABP，其顶点P 的连线为底边△ A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P 在抛物线的弧AB上运动， AB上运动 ABP的最大面积 在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积 及此时点P的坐标。 及此时点P的坐标。
= x
5 当 x = 时， PA 取最小值 2
11 。 2
法二、 法二、判别式法 过Ａ作同心圆,当圆与抛物线相 作同心圆 当圆与抛物线相 切时,Ｐ 点的距离最小,设为 设为r 切时 Ｐ到Ａ点的距离最小 设为
(x − 3)2 + y 2 = r 2 则由 2 y =x
⇒ x − 5x + 9 − r = 0