抛物线中的最值问题(公开课)
人教版九年级上 22.1.4 二次函数抛物线型最值问题精讲(共32张PPT)
第一课时
刘芙蓉
学习目标
1.复习二次函数顶点式的相关知识 2.学习探究二次函数抛物线型最值 问题。
复
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
习
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
解：当水位上升 hm 时，D 点的纵坐标为 h－4.将它代入抛物线的解析 式，得 h－4＝－215x2，∴x＝±5 4－h，于是桥下水面宽度 d＝10 4－h.
(3)为保证过往船只顺利通航，桥下水面宽度不得小于 18m，则水深超 过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通航？
解：当 d≥18 时，10 4－h≥18，∴h≤0.76.∴当水深超过正常水位大 于 0.76m 时，会影响过往船只顺利通航．
7．已知烟花弹爆炸后某个残片在空中的飞行轨迹可以看成是二次函数
y＝－1x 3
2＋2x
＋5
图象的一部分，其中
x(s)为爆炸后经过的时间，y(m)
为残
片离地面的高度，请问在爆炸后 1s 到 6s 之间，残片距离地面的高度范围为
(
B
)
A．0m 到 8m
B．5m 到 8m
C．230m 到 8m
D．5m 到 230m
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
《2.3.1 抛物线的定义与标准方程》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品
17 2.
答案 A
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误区警示 因忽视条件而出错 【示例】 求与圆(x－3)2＋y2＝9 外切，且与 y 轴相切的圆的圆 心的轨迹方程．
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[错解] 设轨迹上任意一点 P(x，y)，圆(x－3)2＋y2＝9 的圆心 A(3，0)，半径 r＝3.设圆 P 的半径为 r0，如图所示，|AP|＝r0＋3.P 到直线 l：x＝－3 的距离|PP′|＝r0＋3，故 P 的轨迹是以 A(3，0) 为焦点，以 l：x＝－3 为准线的抛物线，其方程为 y2＝12x(x>0)．
2．3 抛物线 2．3.1 抛物线的定义与标准方程
1．掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、 准线、焦点坐标及对应的几何图形．
2பைடு நூலகம்利用定义会求抛物线方程．
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自学导引
1．抛物线的定义
平面上到一定点F和定直线l(F∉l)距离 相等 的点的轨迹叫做抛物 线．定点F叫做抛物线的 焦点 ，定直线l叫做抛物线的 准线 ．
即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，
得 x＝2.∴点 P 坐标为(2，2)．
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点评 数形结合，弄清定点与抛物线的位置关系，将|PF| 转化为到准线的距离．
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3．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0， 2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．
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《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》PPT课件
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20 m；②足球飞行路 线的对称轴是直线 t＝92； ③足球被踢出 9 s 时落地； ④足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是 11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照 图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y＝ax2＋bx(a≠0) 表示．已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为34 m，到墙 边 OA 的距离分别为12 m，32 m.
A．此抛物线对应的解析式是 y＝－15x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是 2 m 【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， ∴可设抛物线对应的函数解析式为 y＝ax2＋3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是 2.25 m．故本选项错误．
7．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢 出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球 距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单 位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
*4.(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最 后 4 s 滑行的距离是___2_4____m.
【点拨】当 y 取得最大值时，飞机停下来．因为 y＝60t－32t2＝－32(t －20)2＋600，所以 t＝20 时，飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来．
新人教版九年级上册数学优质公开课课件22.3.3 用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题
2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题； 这类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物 体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想 方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立 直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求 出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数 的性质去分析、解决问题．
知1－练
1 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，
2 建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关
系
1
25
3
式为y＝－ x2，当水面离C 桥拱顶的高度DO
是4
4 m时，这时水面宽度AB 为( )
5 A．－20 m
B．10 m
6 C．20 m
D．－10 m
知1－练
2 如图是一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞
(0,2), 代入解析式得
2 0
此时二次函数解析式为y=-
131464a(ax-h6h,)2,解+ 得8 , ah
8 3
1 54
,
,
此时球若不出边界，则h≥ 5；4
3
8
当球刚能过网,此时函数图象3过(9,2.43),
抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得
顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以
水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取
点A为坐标原点时抛物线对应的函数解析式是
y＝－
1 9
(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时
抛物线对应的函数解
析式是__________．
y＝－ 1 (x＋6)2＋4
9
知2－导
知识点 2 求实际中“抛物线”型的最值问题
抛物线(公开课)
过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交
于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是
√A.p＝4
√B. D→F＝F→A
√C.|BD|＝2|BF|
D.|BF|＝4
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点 E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l 的斜率为 3，所以其倾斜角为60°. 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°， 由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|， 则△AEF为等边三角形， 所以∠EFP＝∠AEF＝60°， 则∠PEF＝30°， 所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4， 故A正确；
线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|， ①
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小. 由最小值为 41，得 20＋p2＝41，解得 p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F 三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
A.y1y2＝－1
√B.|AB|＝25 16
√C.PB平分∠ABQ √D.延长AO交直线x＝－14 于点C，则C，B，Q三点共线
设抛物线的焦点为F， 则 F14，0. 因为 P4116，1， 且l1∥x轴， 故A(1,1)， 故直线 AF：y＝11－－014x－14＝43x－13.
由y＝43x－13， y2＝x
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋
p 2
＝12，解得p＝6.
(2)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一 点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_4_2_或__2_2__.
【教案】 求“抛物线”形最值问题(3)
21.4 求“抛物线”形最值问题教学目标【知识与技能】通过建立数学模型学会用二次函数知识解决有关的实际问题.【过程与方法】1.掌握数学建模的思想,体会数学与生活的密切联系.2.在数学建模中,使学生学会交流、合作.【情感、态度与价值观】培养学生独立思考和合作探究的能力,在交流、探讨的过程中培养学生的交际能力和语言表达能力,促进学生综合素质的养成.重点难点【重点】根据具体情境建立适当的直角坐标系,并将有关线段转化为坐标系中的点. 【难点】建立适当的直角坐标系,并选用简便的方式求出二次函数表达式.教学过程一、创设情境,导入新知师:前面我们把一些实际问题转化成了求二次函数的极值问题.本节我们继续学习二次函数的应用.同学们看这样一个问题.教师多媒体课件出示:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图所示,现测得当水面宽1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞宽是多少?是否会超过1 m?你能求出来吗?二、共同探究,获取新知师:我们以前求过坐标系里的这种问题,现在没有坐标系怎么办呢?学生思考,讨论.生:建立坐标系.师:你怎么建立呢?生甲:以A、B所在的直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴建立坐标系.生乙:以过涵洞最高点且在水平方向的直线为x轴,以的垂直平分线为y轴,建立坐标系.师:这两种方法都是可以的,但哪种更方便呢?学生讨论,交流.生:用第二种方法建立的坐标系更为简便.师:为什么?生:因为这样的表达式是2的形式,比较简单.师:对.那你能用第二种方法建立坐标系吗?学生作图、计算.教师提示:建立坐标系要用到已知了的哪些条件?生:当水面宽1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.师:这个条件怎么用呢?生:把0.82.4代入2,得到关于a的一元一次方程,解这个方程得到a的值,进而得到表达式.师:很好!我们再看一个例子.【例1】上抛物体不计空气阻力的情况下,有如下的表达式:2,其中h是物体上升的高度是物体被上抛时竖直向上的初始速度是重力加速度(取10 2)是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10 .(1)问排球上升的最大高度是多少?(2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?(精确到0.1s)解:(1)根据题意,得10×10t25(1)2+5(t≥0).因为抛物线开口向下,顶点坐标为(1,5).答:排球上升的最大高度是5 m.(2)当2.5 m时,得105t2=2.5解方程,得t 1≈0.3(s)2≈1.7(s).排球在上升和下落中,各有一次经过2.5 m的高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3s,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功.答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳.教师多媒体课件出示:【例2】行驶中的汽车,在制动后由于汽车具有惯性,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能,对其进行了测试,测得数据如下表:制动时车速度·10 10 20 30 40 50 制动距离0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故,现场测得制动距离为46.5 m,则交通事故发生时车速是多少?是否因超速(该段公路最高限速为110 )行驶导致了交通事故?学生思考交流.教师提示:前面我们在学习一次函数时,给出一些数据让你根据数据来用一次函数模拟,现在你用什么函数来模拟呢?学生讨论.生:在坐标系中描点,看这些点大致在什么样的曲线上.师:对!现在请同学们以制动时车速的数据为横坐标(x值),在平面直角坐标系中描出这些数据对应的点.学生作图,作完图象后,观察图象上点的整体分布后回答:应用二次函数模拟.师:为什么选用二次函数呢?生:因为这些点的分布近似在一条抛物线上.师:你能求出这条抛物线的表达式吗?生:能.教师找一生回答:你是怎样求的?生:设抛物线的表达式为2,在已知数据中,任选三组,如取(0,0),(10,0.3),(20,1.0),分别代入所设函数关系式,得到一个三元一次方程组,然后解这个三元一次方程组求出a、b、c的值,从而得到表达式.师:很好!现在请同学们写出得到的方程组并求解.学生得到方程组:解方程组,得∴表达式为0.002x2+0.01x(x≥0).师:你怎样算出这起交通事故发生时车速是多少呢?生:把46.5 m代入函数关系式,得到一个关于x的一元一次方程,解这个方程得出x的值,即车速.即46.5=0.02x2+0.01x,解方程,得x1=150()2155()(舍去).故车速为150 .师:你怎样知道这辆车有没有超速呢?生:当得到的速度大于限速时就超速,否则不超速.因为150 >110 ,所以在事故发生时,该汽车属于超速行驶.师:对.三、练习新知教师多媒体课件出示:1.周长为12的矩形窗户,当面积最大时,其边长为( )A.3B.6C.2D.【答案】A2.从地面垂直向上抛出一个小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(秒)的函数关系式是9.84.9t2,那么小球在运动中的最大高度为 m.【答案】4.93.一跳水运动员从10 m的高台上跳下,他的高度h(m)与所用时间t(s)的关系为5(2)(1).请你帮助该运动员计算一下,他起跳后多长时间达到最大高度?最大高度是多少?【答案】5(2)(1)5(t22)5()2+.∵5<0,∴抛物线开口向下.当时最大=.四、课堂小结师:今天你又学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课的教学目标:继续经历利用二次函数知识解决最值问题;会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、建立函数模型等问题;发展应用数学知识解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.建立函数模型时采用最简便的法则,即一般把图象的顶点放在坐标系的原点,这样就可以设表达式为2的形式了,只需求出一个未知量a即可.有的情况下要设顶点式和交点式.在求出表达式后的问题一般是给出一点的x值求y值或给出一点的y值求x值.在解题过程中要注意利用二次函数图象的对称性.。
抛物线中的最值问题ppt课件
则 由 (y2x3x2)y2 r2
x 2 5 9 x r 2 0
可 得 :Δ( -25)41( 9r2)0
r
11 2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
练习：
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上
练习、
P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,求 P到x轴与到点A的距离之和的最小值 9
y P A
F
O
xy P AFra bibliotek所求p
F
点位置
O
x
Q
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
小结：
几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化，使最值问题得以求解
几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。
及此时点P的坐标。
分析1：动点在弧AB上运动，可以 设出点P的坐标，只要求出点P到线 段AB所在直线AB的最大距离即为 点P到线段AB的最大距离，也就求 出了△ABP的最大面积。
分析2：我们可以连接AB，作平 行AB的直线L与抛物线相切，求 出直线L的方程，即可求出直线L 与AB间的距离，从而求出△ABP 面积的最大值和点P的坐标。
y x2
y
y=x2
3x 4y 6 d
5
3x 4x 2 6
5
4 ( x 3 ) 2 87
8
抛物线的最值公式
抛物线的最值公式抛物线是数学中常见的曲线，其最值是解决优化问题和求最大最小值的重要工具。
抛物线的一般方程可以写为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线开口方向和最值取决于系数a的正负性。
下面将介绍抛物线的最值情况及对应的公式。
1. 抛物线的最值问题给定抛物线方程y=ax^2+bx+c，若a大于0，则抛物线开口朝上；若a小于0，则抛物线开口朝下。
在求解抛物线的最值时，需要确定最值点的横坐标。
2. 抛物线的最值公式1.当抛物线开口朝上（a>0）时，最值出现在抛物线的顶点处。
抛物线的顶点横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
2.当抛物线开口朝下（a<0）时，最值出现在抛物线的底部。
抛物线的底部横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
综上所述，抛物线的最值公式可以总结如下：•当a>0时，最大值为f(-b/(2a))，最小值为负无穷；•当a<0时，最小值为f(-b/(2a))，最大值为正无穷。
3. 案例分析以一个具体的抛物线方程为例：y=x^2-4x+3。
首先根据系数a=1>0，确定抛物线开口朝上。
然后利用最值公式，顶点横坐标为x=2，纵坐标为y=1。
因此，该抛物线在x=2处取得最小值1。
通过以上分析，可以看出抛物线最值的计算是通过抛物线的顶点或底部来确定的。
这是优化问题和最大最小值问题中常用的方法，也对解决实际问题具有重要意义。
以上是关于抛物线最值的公式及应用的介绍。
希望对理解抛物线性质和应用有所帮助。
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抛物线中的最值问题
y O x
开课人：黄卫华
知识回顾
a a
（1）在直线a上找一点P， （2）在直线a上找一点P， 使PA+PB的值最小 使PA+PB的值最小
a a
（3）在直线a上找一点P， （ 4 ）在直线 a 上找一点 P ， 使︱PB-PA ︱的值最大 使︱PB-PA︱的值最大
， 如图：抛物线 y x bx+c 的对称轴为 x 1 与x轴交于A,B两点，与轴交于点C,其中 C(0,-3) （1）求这条抛物线的函数解析式． （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 ︱ ︱ AQ △ BQ QBC － － CQ CQ 的周长最小 ︳的值最大？ ︳的值最大？ QB+QC 的值最小 ？ 若存在，求出Q点的坐标。 若不存在，请说明理由。
2
y
灵活应用
A
O C
B x
如图：抛物线 y x 2 bx+c 的对称轴为 x 1 ， 与x轴交于A,B两点，与轴交于点C,其中 C(0,-3) (3)连接AC,点P是抛物线的第三象限上的一个动点， 是否存在一点 P，使△ PAC 的面积 S最大？若存在， 过点P作PE⊥x轴于 E,交AC 于点 D，请问线段 PD有最大值 吗？若有，请求出线段 PD的面积 的最大值 没有请说明理由。 求出点 P的坐标及△PAC S,的最大值，若没有
请说明理由。
y
E A
D
●
O P
●
B x
C
拓展提高
如图：抛物线 y x bx+c 的对称轴为 x 1 ， 与x轴交于A,B两点，与轴交于点C,其中点 C(0,-3) 点D(0，-0.5），在x 轴和对称轴上是否分别存在一点 M和N,使得DM+MN+NC的值最小，若存在请求出点 M和点N的坐标；不存在请说明理由。 y
2
M
●
D’
D
O
A
N
●
●
B
ห้องสมุดไป่ตู้
x
C’
●
C
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学以致用
1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x 轴相交于点B,连接OA，抛物线y=x2 与x轴相交于点B，连接 OA，抛物线y=x² 顶点M从点O沿OA方向平移，与直线x=2交 于点P，顶点M到A点时停止移动。 （1）求线段OA所在直线的函数解析式 （2）设抛物线顶点M的横坐标为m， ①用m的代数式表示点P； ②当m为何值时，线段PB最短；