北京市密云区2021-2022学年第一学期期末初三数学答案
2021-2022学年北师大版九年级数学第一学期期末复习综合训练题1(附答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学第一学期期末复习综合训练题1（附答案）1．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（）A．k＝0B．k＝1C．k＝﹣1D．k＝1或k＝﹣1 2．菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（）A．cm B．2cm C．1cm D．2cm3．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．4．在一个不透明的袋子里，装有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同．将袋子里的棋子摇匀，随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色棋子的频率稳定在0.1，由此估计袋子里黑色棋子的个数为（）A．60B．56C．54D．525．已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x没有交点，且双曲线图象上有三点A（﹣1，a）、B（﹣3，b）、C（4，c），则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m，种植花草的区域的面积为100m2，设水池半径为xm，可列出方程（）A．（2x+3）2﹣πx2＝100B．（x+6）2﹣πx2＝100C．（2x+3）2﹣2x2＝100D．（2x+6）2﹣2πx2＝1007．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE等于（）A．9B．4C．6D．38．矩形的正投影不可能是（）A．矩形B．梯形C．正方形D．线段9．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．10．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（）A．6B．24C．26D．1211．下列关于比例线段和相似的叙述，不正确的是（）A．若a：b＝c：d，则ac＝bdB．相似三角形的面积比等于相似比的平方C．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则D．经过位似多边形对应顶点的直线一定交于同一点12．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（）A．48cm3B．72cm3C．144cm3D．288cm313．x2＝﹣x方程的根是．14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是AB边上的一点，当AD＝时，△ABC ∽△ACD．15．点（m+3，2）和点（3，）是同一个反比例函数图象上的点，则m的值为．16．如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点Q是边CD的中点，点P是边BC上的一点，连接AP，PQ，且∠APQ＝∠P AD，则线段PQ的长为cm．17．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．（1）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；（2）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．18．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升．某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系．每时生产口罩的数量/万只2346时间/时72483624（1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？19．如图，转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120°和240°．（1）让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是多少？（2）让转盘自由转动两次，请用树状图或者列表法求出两次指针都落在白色区域的概率．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G．（1）求证：四边形ADCF是矩形．（2）若AB＝5，BC＝6，线段CG的长为．21．某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，（1）你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；（2）若AB＝6米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．22．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求CG的长．23．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝kx﹣4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与y轴分别交于点C．（1）求k的值；（2）点D与点O关于AB对称，连接AD，CD．证明：△ACD是直角三角形；（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若S△ECD＝S△OCD，直接写出点E 的坐标．参考答案1．解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，得k2﹣1＝0，解得k＝﹣1或1；又k﹣1≠0，即k≠1；所以k＝﹣1．故选：C．2．解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．3．解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，故选：A．4．解：设袋子里黑色棋子的个数为x个，根据题意得：＝0.1，解得：x＝54，经检验：x＝54是分式方程的解，估计袋子里黑色棋子的个数为54个．故选：C．5．解：∵反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝﹣2x没有交点，∴函数y＝﹣2x在二、四象限，则反比例函数y＝（k≠0）图象在一、三象限，∵﹣3＜﹣1＜0，∴点A（﹣1，a）、B（﹣3，b）在第三象限，∴a＜b＜0，∵4＞0，∴C（4，c）在第一象限，∴c＞0，∴a、b、c的大小关系是c＞b＞a，故选：C．6．解：设水池半径为xm，则正方形的边长为（2x+6）m，根据题意得：（2x+6）2﹣2πx2＝100，故选：D．7．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝3，∴BC＝3CE，∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝12，∴CE＝3．故选：D．8．解：用平行光线对矩形从不同的方向，不同的角度正投影，可以得到矩形、正方形、线段，不可能是梯形，故选：B．9．解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为＝，＝2，所以，夹直角的两边的比为＝，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B．10．解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，，得，∴图1中菱形的面积为：×4＝12，故选：D．11．解：若a：b＝c：d，则ad＝bc，A不正确；相似三角形的面积比等于相似比的平方，B正确；点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则，C正确；经过位似多边形对应顶点的直线一定交于同一点，D正确．故选：A．12．解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为8cm，∴长方体的体积为：6×6÷2×8＝144（cm3）．故选：C．13．解：x2＝﹣x，x2+x＝0，x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1．14．解：∵△ABC∽△ACD，AB＝6，AC＝4，∴，即，解得AD＝．故答案为：．15．解：∵点（m+3，2）和点（3，）是同一个反比例函数图象上的点，∴2（m+3）＝3×，∴m＝﹣6．故答案为：﹣6．16．解：如图，延长AD，PQ交于点H，设PC＝xcm，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝4cm，AD∥BC，∵点Q是边CD的中点，∴DQ＝CQ＝2cm，∵AD∥BC，∴∠H＝∠QPC，又∵∠DQH＝∠CQP，∴△DQH≌△CQP（AAS），∴PC＝DH＝xcm，PQ＝QH，∴AH＝AD+DH＝（4+x）cm，∵∠APQ＝∠P AD，∴AH＝PH＝（4+x）cm，∴PQ＝QH＝（）cm，∵PQ2＝CQ2+PC2，∴（）2＝4+x2，∴x＝或x＝0（舍），∴PQ＝cm，故答案为：．17．解：若设BC＝x米，则AB＝（49+1+1﹣3x）＝（51﹣3x）米．（1）依题意得：x（51﹣3x）＝210，整理得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．当x＝7时，51﹣3x＝51﹣3×7＝30＞25，不合题意，舍去；当x＝10时，51﹣3x＝51﹣3×10＝21＜25，符合题意．答：栅栏BC的长为10米．（2）矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理由如下：依题意得：x（51﹣3x）＝240，整理得：x2﹣17x+80＝0．∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，∴原方程没有实数根，∴矩形围栏ABCD的面积不可能达到240平方米．18．解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例；（2）设反比例函数解析式为：y＝，把（2，72）代入得：k＝144，故反比例函数解析式为：y＝，∴y＝＝18（时），答：完成这项任务一共需要18小时．19．解：（1）∵转盘黑色扇形和白色扇形的圆心角分别为120°和240°，∴白色扇形是黑色扇形的2倍，∴让转盘自由转动一次，指针落在白色区域的概率是；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，两次指针都落在白色区域的结果有4种，∴两次指针都落在白色区域的概率为．20．（1）证明：∵点E是AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（SAS），∴AF＝DB，∠AFE＝∠DBE，∴AF∥DB，∵AB＝AC，点D是BC中点，∴DB＝DC，AD⊥BC，∴AF＝DC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形；（2）解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：则GH∥AD，∵AB＝AC＝5，点D是BC中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，∴AD＝＝＝4，由（1）得：AF＝DC＝BD＝3＝BC，AF∥BC，∴△AGF∽△CGB，∴＝＝，∴AG＝CG，∴AG＝AC＝，∴CG＝AC﹣AG＝5﹣＝，故答案为：．21．解：（1）如图所示：（2）设木杆AB的影长BF为x米，由题意，得＝，解得x＝8．答：木杆AB的影长是8米．22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∵∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°，又∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG，∵CF＝3FD，∴DF＝1.5，设DE＝x，∵△ABE∽△DEF，∴，即，解得x＝3，∴DE＝3，∵DE∥CG，∴△DEF∽△CGF，∴，∵CF＝3FD，∴，∴CG＝9，23．（1）解：令AB＝BO＝m，∵∠ABO＝90°，∴AB⊥x轴，则设点A的坐标为（m，m），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，∴＝m，解得m＝±2，∵m＞0，∴m＝2，∵点A（2，2）在直线y＝kx﹣4上，∴2＝2k﹣4，∴k＝3；（2）证明：由（1）可知B（2，0），AB＝2，∵AB⊥BO，点D与点O关于AB对称，∴D（4，0），BD＝2，∴AD2＝AB2+BD2＝22+22＝8，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，则点E（0，2），AE＝2，∵直线y＝3x﹣4与y轴交于点C，∴C（0，﹣4）则CE＝6，∴AC2＝AE2+CE2＝22+62＝40，∵∠OCD＝90°，OD＝4，OC＝4，∴CD2＝OD2+OC2＝42+42＝32，∵8+32＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形；（3）解：①当点E在CD上方时，如下图，过点O、A作直线m，由点O、A的坐标知，直线OA的表达式为y＝x，由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为y＝x﹣4，则直线CD∥m，即OA∥CD，∵S△ECD＝S△OCD，即两个三角形同底，则点E与点A重合，故点E的坐标为（2，2）；②当点E（E′）在CD下方时，在y轴负半轴取CH＝OC＝4，则点H（0，﹣8），∵则S△ECD＝S△OCD，∴过点H作直线m′∥CD，则直线m′与反比例函数的交点即为点E，∴直线m′的表达式为y＝x﹣8，联立y＝x﹣8和y＝并解得（不合题意值已舍去），故点E的坐标为（4+2，2﹣4），综上，点E的坐标为（4+2，2﹣4）或（2，2）．。
2021-2022学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )A. y=x+1B. y=x2C. y=(x−4)2D. y=1x2.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A. B.C. D.3.抛物线y=(x−2)2+1的顶点坐标为( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,−1)D. (−2,1)4.在△ABC中，CA=CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定5.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案(如图)，则α可以为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°6.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )A. x2=2(2−x)B. x2=2(2+x)C. (2−x)2=2xD. x2=2−x7.如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是( )A. A，B，C都不在B. 只有BC. 只有A，CD. A，B，C8.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数m5001000150020002500300040005000“正面向上”的次数n26551279310341306155820832598“正面向上”的频率nm0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是( )A. ②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是.(写出一个符合题意的答案即可)10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．11.若点A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=2x2的图象上，则y1，y2的大小关系为：y1____ y2(填“>”，“=”或“<”)．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−2,0)，点B(0,1).将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．13.若关于x的方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．14.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧AB⏜上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是．15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为cm.(π取3.1)16.给定二元数对(p,q)，其中p=0或1，q=0或1.三种转换器A，B，C对(p,q)的转换规则如下：规则a.转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b.在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．(1)在图1所示的“A−B−C”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为；(2)在图2所示的“①−C−②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“−C−”.(写出一种组合即可)．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。
2024年北京密云区初三九年级上学期期末数学试题和答案
北京市密云区2023-2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷2024.1考生须知1.本试卷共7页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用．．．．．．2．B ．铅笔．．.4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．选项是符合题意的.1.二次函数y =3(x +1)2-4的最小值是（）A ．1B．-1C ．4D ．-42.已知⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则线段OP 的长度可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分．瓷器上的图案设计精美，极富变化．下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4.下列事件中，为必然事件的是（）A ．等腰三角形的三条边都相等；B ．经过任意三点，可以画一个圆；C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D ．任意画一个三角形，其内角和为360°．5.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A ．x +2=0B ．x 2-x =0C ．x 2-4=0D ．x 2+4=06.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A =60°，⊙O 的半径为3，则的长为（）A ．πB ．2πC．3πD ．6π7.如图，在正方形网格中，A ，B 两点在格点上，线段AB 绕某一点逆时针旋转一定角度后得到线段A'B'，点A'与点A 对应，其旋转中心是（）A ．点B B ．点GC ．点ED ．点F8．某种幼树在相同条件下进行移植试验，结果如下：移植总数n 400750150035007000900014000成活数m 364651133031746324807312620成活的频率0.9100.8680.8870.9070.9030.8970.901下列说法正确的是（）A ．由于移植总数最大时成活的频率是0.901，所以这种条件下幼树成活的概率为0.901；B ．由于表格中成活的频率的平均数约为0.90，所以这种条件下幼树成活的概率为0.90；C ．由于表格中移植总数为1500时成活数为1330，所以移植总数3000时成活数为2660；D ．由于随着移植总数的增大，幼树移植成活的频率越来越稳定在0.90左右，所以估计幼树成活的概率为0.90．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若关于x 的方程(k +3)x 2-6x ＋9=0是一元二次方程，则k 的取值范围是．10．将抛物线y=x 2向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为．11．用配方法解一元二次方程x 2-4x =1时，将原方程配方成(x -2)2=k 的形式，则k 的值为．12．如图，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 为切点，连接OC 并延长到D ，使CD =OC ，连接AD ．若∠BAD =75°，则∠AOC 的度数为．mnB D13.若点A （-2，y1），B （-1，y 2），C （3，y 3）三点都在二次函数y =-3x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（按从小到大的顺序，用“<”连接）．14.请写出一个常数a 的值，使得二次函数y =x 2+4x +a 的图象与x 轴没有交点，则a 的值可以是．15.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则正六边形ABCDEF 的面积为_________．16.在平面直角坐标系xOy 中，点A 、点B 的位置如图所示，抛物线y =ax 2-2ax 经过A 、B 两点，下列四个结论中：①抛物线的开口向上②抛物线的对称轴是x =1③A 、B 两点位于对称轴异侧④抛物线的顶点在第四象限所有不．正确．．结论的序号是．三、解答题(本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分)17.解方程：x 2+8x -20=0．18.下面是小宁设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD .求作：AE ⊥BC ，垂足为E .作法：如图所示,①连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P ,Q 两点；②作直线PQ ，交AC 于点O ;③以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，交线段BC 于点E （点E 不与点C 重合），连接AE .所以线段AE 就是所求作的高.12AC根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AP=CP，AQ=，∴点P、Q都在线段AC的垂直平分线上，∴直线PQ为线段AC的垂直平分线，∴O为AC中点．∵AC为直径，⊙O与线段BC交于点E，∴∠AEC=°．（）(填推理的依据)∴AE⊥BC．19.已知：二次函数y=x2+bx-3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求该函数的顶点坐标．20.二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是___________；（2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D 表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．21.2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年进出口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出口贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率．22.玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物．据《尔雅·释器》记载：“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分（边），“好”指中央的孔．结合图1，“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d=2h．图2是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图3，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧所对的弦长AB为6cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD=1cm，连接OB，求该玉环的中孔半径的长．图1图2图323．已知关于x的一元二次方程x2-5x+m=0（m<0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根．24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD=6，求线段CD的长．25．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：x（米）00.5 2.0 3.55y（米） 1.67 2.25 3.00 2.250小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象；（2）直接写出水流最高点距离地面的高度为米；（3）求该抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3m处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为m（结果精确到0.1m）．26．在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和（5，n）在抛物线y=x2+2bx上，设抛物线的对称轴为x=t．（1）若m=0，求b的值；（2）若mn＜0，求该抛物线的对称轴t的取值范围．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D为AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE、BE．（1）依据题意，补全图形；（2）直接写出∠ACE+∠BCD的度数；（3）若点F为BD中点，连接CF交AE于点P，用等式表示线段AE与CF之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，点A的坐标为（-1，0）．点B是⊙O上的一个动点（点B不与点A重合）．若点P在射线AB上，且AP=2AB，则称点P 是点A关于⊙O的2倍关联点．（1）若点P是点A关于⊙O的2倍关联点，且点P在x轴上，则点P的坐标为_______；（2）直线l经过点A，与y轴交于点C，∠CAO=30°．点D在直线l上，且点D是点A关于⊙O的2倍关联点，求D点的坐标；（3）直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围．北京市密云区2023-2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷参考答案及评分标准2024.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678选项D A B C C B C D二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．k≠-3；10．y=(x-2)2-1；11．k=5；12．65°；13.y3<y1<y2；14．6；（答案不唯一，大于4均可）15．16．①④．三、解答题（本题共68分．其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．17.解：x2+8x-20=0(x+10)(x-2)=0………………………………2分∴x+10=0或x-2=0………………………………3分∴x=-10或x=2………………………………4分∴x1=-10，x2=2………………………………5分18.（1）………………………………2分（2）CQ………………………………3分90°，直径所对的圆周角是直角．………………………………5分19.（1）解：将点A（2，5）代入y=x2+bx-3解析式4+2b-3=5………………………………1分2b=4b=2………………………………2分∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3………………………………3分（2）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4………………………………4分∴该函数的顶点坐标是(-1，-4)………………………………5分20．（1）14………………………………1分（2）根据题意，可以画出如下树状图：………………………………3分由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，即AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，并且它们出现的可能性相等.其中，恰好抽到的两张邮票是“立春”和“立夏”（记为事件A）的结果有2种，即AB或BA.………………………………4分∴()21 126P A==.………………………………5分21．解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，则：………………………………1分60000(1+x)2=86400………………………………2分(1+x)2=36251+x=65±解得：x1=0.2，x2=-2.2………………………………4分经检验：x=-2.2不符实际意义，舍去∴x=0.2=20%答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%.………………………………5分22.解：∵OC是⊙O的半径，且OC⊥AB∴AD=BD∵AB=6∴BD=3………………………………1分设⊙O的半径为x，则OC=OB=x∵CD=1∴OD=x-1………………………………2分在Rt△ODB中∵OD2+BD2=OB2∴(x-1)2+32=x2………………………………3分x=5∴OB=5………………………………4分∵玉环的中孔直径d=2h∴玉环的中孔半径为2.5cm.………………………………5分23.（1）该方程有两个不相等的实数根，理由如下：………………………………1分解：△=(-5)2-4m………………………………2分=25-4m∵m<0∴-4m＞0∴25-4m＞0即△＞0………………………………3分∴方程有两个不相等的实数根（2）解：将x=6代入原方程∴36-30+m=0∴m=-6………………………………4分原方程为x2-5x-6=0(x-6)(x+1)=0解得：x1=6，x2=-1………………………………5分∴方程的另一个根为-1．………………………………6分24.（1）证明：连接OA………………………………1分∵⊙O是△ABC的外接圆，且∠ABC=45°∴∠AOC=90°………………………………2分∵OC//AD∴∠AOC+∠OAD=180°∴∠OAD=90°∴AD是⊙O的切线………………………………3分（2）解：过点C作CF⊥AD于点F，∴∠AFC=90°∴∠AOC=∠OAD=∠AFC=90°∴四边形AOCF是矩形∵OC=OA∴矩形AOCF是正方形∵⊙O的半径为4∴AF=CF=OC=4………………………………4分∵AD=6∴FD=AD-AF=2………………………………5分在Rt△CFD中CD==∴线段CD的长为………………………………6分25．（1）………………………………1分（2）3；………………………………2分（3）解：设y=a(x-2)2+3(a<0)………………………………3分∵将（5，0）代入函数表达式，则9a+3=0a=∴………………………………4分自变量的取值范围为：0≤x≤5．………………………………5分（4）2.7m（误差均可）………………………………6分26．（1）解：当m=0时，将（2，0）代入y=x2+2bx∴4+4b=0………………………………1分4b=-4∴b=-1………………………………2分（2）解：由题意，抛物线经过点（2，m）和（5，n）∵a>0∴抛物线开口向上，且经过坐标原点（0，0）如果t≤0，那么当x≥t时，y随x的增大而增大∴m>0，n>0，与mn＜0不符，舍去如果t≥5，那么当x≤t时，y随x的增大而减小∴m＜0，n＜0，与mn＜0不符，舍去∴0＜t＜5∵mn＜0∴函数图象示意图为：图1图213-21(2)33y x=--+0.1±由图1，当0<t <2时作（0，0）关于x=t 的对称点（x 0，0）∵抛物线为轴对称图形∴点（x 0，0）在抛物线上∴x 0=2t∵a >0∴x ≥t 时，y 随x 的增大而增大∵m ＜0＜n ∴2＜2t ＜5………………………………3分∴512t <<∴12t <<………………………………4分由图2，当2≤t <5时作（5，n ）关于x=t 的对称点（x 1，n ）∵抛物线为轴对称图形∴点（x 1，n ）在抛物线上∴x 1=2t -5∵a >0∴x ≤t 时，y 随x 的增大而减小∵m ＜0＜n ∴2t -5＜0＜2………………………………5分其中0＜2恒成立，解2t -5＜0得t ＜52∴522t ≤<综上所述，512t <<………………………………6分27.（1）………………………………1分（2）∠ACE+∠BCD=180°………………………………2分（3）AE与CF之间的数量关系为：AE=2CF………………………………3分证明：延长CF至H，使FH=CF∵点F为BD中点∴DF=BF∵∠DFH=∠CFB∴△DFH≅△CFB………………………………4分∴DH=BC，∠H=∠BCF∵AC=BC∴DH=AC∵∠H=∠BCF∴DH//BC∴∠DCB+∠CDH=180°∵∠DCB+∠ACE=180°∴∠CDH=∠ACE………………………………5分∵CD=CE∴△CDH≅△ECA………………………………6分∴CH=AE∵CH=2CF∴AE=2CF………………………………7分28.（1）（3，0）………………………………1分（2）解：当直线l 与y 轴正半轴交于点C 时∵点D 在直线l 上，且点D 是点A 关于⊙O 的2倍关联点，∴直线l 与⊙O 的另一个交点为点B ，点D 在射线AB 上，满足AD =2AB 过点O 作OE ⊥AB ∴AB =2AE………………………………2分在Rt △AOE 中，∠CAO =30°，OA=1∴OE =12∴2AE ==∴AB =2∵AD =2AB∴AD =………………………………3分过点D 作DF ⊥x 轴，交x 轴于点F ∵在Rt △AOE 中，∠CAO =30°∴DF ，3AF ==∴OF =2∴D （2）………………………………4分同理可证，当直线l 与y 轴负半轴交于点C 时，D （2，……………………5分综上所述，D 点坐标为（2，）或（2，）（3）1b -≤≤或11b <≤………………………………7分。
2021-2022学年北京市密云区九年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如果4m=5n(n≠0)，那么下列比例式成立的是( )A. m4=n5B. m5=n4C. mn=45D. m4=5n2.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是( )A. OP>4B. 0≤OP<4C. OP>2D. 0≤OP<23.抛物线y=(x−1)2+2的对称轴是( )A. 直线x=−1B. 直线x=1C. 直线x=−2D. 直线x=24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA的值为( )A. 35B. 45C. 34D. 435.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是2米，则路灯AB 的高为( )A. 5米B. 6.4米C. 8米D. 10米6.如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为( )A. 65°B. 50°C. 30°D. 25°7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为( )A. 12B. 14C. 2D. 48.如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2.设矩形的宽为x cm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是( )A. S=4x+6B. S=4x−6C. S=x2+3xD. S=x2−3x二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如果cosA=√3，那么锐角A的度数为______．210.点A(2,y1)，B(3,y2)是反比例函数y=−12图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是xy1______y2.(填“>”，“<”或“=”)11.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为______．12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,−5)的抛物线的表达式______．13.已知扇形的圆心角为120°，其半径为3，则该扇形的面积为______．14.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE= 60°，则点C到底座DE的距离为______cm.(结果保留根号)15.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50°，则∠AOB=______ ．16.如图，抛物线y=−x2+2.将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C1，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作C2，C1和C2构成的图形记作C3．关于图形C3，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3有最小值，且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着x的增大而增大的；④当−2≤x≤2时，图形C3恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点).以上四个结论中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。
2021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）()=-+2y 2x 31A.B. C. D.()2,3()2,1()3,1-()3,1【答案】D【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线解析式为 ，()=-+2y 2x 31∴ 其顶点坐标为(3，1)，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（ ）A B C O OAB ACB ∠A. 60°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C【解析】 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．OAB ∆【详解】解：∵为等边三角形，OAB ∆∴∠AOB=60°，∴=∠AOB =×60°=30°． ACB ∠1212故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确28100x x -+=()2x a b +=的是（ ）A. B. C. D. ()246x -=()286x -=()246x -=-()2854x -=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，28100x x -+=∴，2810x x -=-∴，即，28161016x x +=-+-2(4)6x -=故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为O ABCD O ABCD （ ）A. 4B. 8C.D. 【答案】D【解析】 【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE ，由垂径定理可知BC=2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，∴OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，45BOE ∠=︒∴OE=BE，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴ BE ===∴BC=2BE=ABCD 的边长是．故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可x 以列方程为（ ）A.B. ()2.51 3.2x +=()2.512 3.2x +=C.D. ()22.51 3.2x +=()22.513.2x -=【答案】C【解析】 【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列x 出方程即可．【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，x 由题意得：，()22.513.2x +=故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题()21a x b ±=的关键．7. 下列说法中，正确的是（ ）A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A ，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B ，可判断C ，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D ．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A 不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B 正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C 不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D 不正确． 故选择B ．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物0ac <0a b c -+>90m a +=线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序(),C t n 4t +2ax bx c n ++=号是（ ）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】 【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则(),C t n ()4,-C t n 可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a ⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．xOy ()4,7-【答案】（-4，7）【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），()4,7-故答案是：（-4，7）．【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．10. 关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．x 240x mx ++=m 【答案】-5【解析】【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是1，240x mx ++=∴12+m+4=0，解得：m=-5．故答案是：-5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．800π【答案】900【解析】【分析】由弧长公式l=得到R 的方程，解方程即可． 180n R π【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm ）． 800π160180R π答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角180n R π的度数．12. 写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_______．y 【答案】y=-x 2-2x+1【解析】【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为y=-x 2-2x+1，故答案为：y=-x 2-2x+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点xOy A B C 作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线xOy ()21422y x =--+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线的过程：_______． 2122y x =+()21422y x =--+【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【解析】【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此2122y x =+()21422y x =-+时正好与关于直线对称，即可得到答案． 2122y x =-+2y =【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线2122y x =+()21422y x =-+后，正好与关于直线对称， 2122y x =-+2y =∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关()21422y x =--+2122y x =+于直线轴对称得到的， 2y =故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰ABC A ()090αα︒<<︒ADE B D 好落在边上，则_______．（用含的式子表示）BC ADE ∠=α【答案】 1802α-【解析】【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB ，∠B，进而即可求解．αADE ∠=【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，ABC A ()090αα︒<<︒ADE ∴∠DAB=，AD=AB ，∠B，αADE ∠=∵∠B=， 1802α-∴， ADE ∠=1802α-故答案是：． 1802α-【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足Rt ABC △90ACB ∠=︒D ABC．若，则长的最小值为_______．222AC AD CD -=AB =4BC =BD【答案】2【解析】【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，由1D BD 1BD 此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵，即，222AC AD CD -=222=AC AD CD +∴∠ADC=90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，1D BD 1BD∵，，∠ACB=90°，AB =4BC =∴，AC =∴， 1132OC OD AC ===∴，5OB ==∴，112BD OB OD =-=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：．2220x x --=【答案】1211x x =+=【解析】【分析】把方程化成x 2=a 的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.【详解】2220x x --=221120x x -+--=2213x x -+=2(1)3x -=1x =∴原方程的解为1211x x ==【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出AB O C O ABC 中边上的高.AB 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长交于点，延长交于点；AC O D BC O E ②分别连接，并延长相交于点；AE BD F ③连接并延长交于点．FC AB H所以线段即为中边上的高．CH ABC AB （1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴________°．（______）（填推理的依据）ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，________是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 【答案】（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【解析】【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据） ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，_BD__是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．19. 已知二次函数．243y x x =++（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写()10,A y ()2,B m y 12y y <出的取值范围．m 【答案】（1）抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；（2）见解析；（3）2x =-或4m <-0m >【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图像求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ()224321y x x x =++=+-∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；2x =-（2）列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 …243y x x =++ (3)0 -1 0 3 … 函数图像如下所示：（3）由函数图像可知，当时，或．12y y <4m <-0m >【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．20. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋ABCD AE CD E AE A 转，与的延长线交于点，，连接．CB F BF DE =FE（1）求证：；AF AE =（2）若，，直接写出的面积．30DAE ∠=︒2DE =AEF 【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据SAS 证明即可得到结论；ADE ABF ≅ （2）根据直角三角形的性质求出AE=4，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD=AB=BC=CD，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒∴90ABF D ∠=∠=︒在和中，ADE ∆ABF ∆AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ABF ≅ ∴AF AE =（2）由（1）得ADE ABF ≅ ∴，DAE BAF ∠=∠AF AE =∴90BAF BAE BAE DAE BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴是等腰直角三角形，FAE ∆在Rt△ADE 中，，，30DAE ∠=︒2DE =∴AE=2DE=4∴AF=4∴ 1144822AEF S AE AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、三角形的面积以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程． x ()25620x k x k -+++=（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．1-k 【答案】（1）见详解；（2）k ＜-4【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×()25620x k x k -+++=（6+2k ）=k 2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵， ()()[]2562320-+++=-+-=⎡⎤⎣⎦x k x k x k x ∴x 1=2，x 2=k+3．∵此方程恰有一个根小于，1-∴k+3＜-1，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k 的一元一次不等式．22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；2-乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规5-m 则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个a 球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．b a b <a b =a b >（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；2m =-（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的m m 值．【答案】（1）见详解；（2）m=-1【解析】【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；（2）取一个符合条件的m 的值，即可．【详解】解：（1）画树状图如下：∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，a b <a b >∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=； 1312（2）当m=-1时，画树状图如下：此时，小明和小刚获胜的概率相同．【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键．23. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于AB AC O B C CO O 点，过点作的切线交的延长线于点，于点．D D O ABE EF AC ⊥F（1）求证：四边形是矩形；CDEF（2）若，求的长.．CD =2DE =AC【答案】（1）见详解；（2）5【解析】【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB=AC ，BE=DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，DE 是的两条切线，于点AC O EF AC ⊥F ∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，∴四边形是矩形；CDEF （2）∵四边形是矩形，CDEF∴EF=，CF=，CD =2DE =∵，，DE 是的两条切线，AB AC O ∴AB=AC，BE=DE ，设AB=AC=x ，则AE=x+2，AF=x-2，在中，， Rt AEF ()(()22222x x -+=+解得：x=5，∴AC=5．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的y x 图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为A 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把()()23 3.30y a x a =-+≠x=0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）； （2）设抛物线的解析式为：，()()233.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得B ()23 3.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+，解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，AB O ABCD O D AC DE BC ⊥交的延长线于点．BC E（1）求证：是的切线；DE O （2）若，，求的长． 10AB =8BC =BD【答案】（1）见详解；（2） 【解析】【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；（2）连接AC ，交OD 于点F ，利用勾股定理可得AC ，，再证明四边形DFCE 是6=4OF =矩形，进而即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD ，∵是的中点， D AC ∴∠ABC=2∠ABD， ∵∠AOD=2∠ABD， ∴∠AOD=∠ABC， ∴OD∥BC， ∵， DE BC ⊥∴， DE OD ⊥∵OD 为半径∴是的切线； DE O （2）连接AC ，交OD 于点F ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°，，6==∵是的中点， D AC ∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，4O F ===∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴CD ==， ∵∠ADB=90°，∴BD ===【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A ，． xOy ()28y a x h a =--702h <<（1）若，1a =①点A 到轴的距离为_______；x ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；x （2）已知点A 到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为x 21y x =-+，，其中，若点在此抛物线上，当时，()11,B x y ()22,C x y 12x x <(),y D D D x 12D x x x <<总满足，求的值和的取值范围．D y 21D y y y <<a h【答案】（1）①8；②2）， 12a =5722h <<【解析】【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为1a =()()2288y a x h a x h =--=-- ，即可求解；(),8h -②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即()280x h --=x ()(),h h +-可求解；（2）根据点A 到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为x 12a =±12a =，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--21y x =-+()11,B x y ，其中，得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()2224100x h x h --+-=，进而得到，然后把，()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦72h <()2142y x h =--，联立得 ，再由点21y x =-+1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=-=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<轴 在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为x h =()22,C x y 12a =-，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--+21y x =-+()11,B x y ，其中得方程 ，从而得到()22,C x y 12x x <()222460x h x h -++-=，进而求出，把 ，()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦52h >-()2142y x h =--+，联立得，由点21y x=-+1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=++⎪⎪⎨⎨=--+=--⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y << 在点的左侧，即可求解．x h =()11,B x y 【详解】解：（1）①当时，， 1a =()()2288y a x h a x h =--=--∴抛物线的顶点坐标为 ， (),8h -∴点A 到轴的距离为8；x ②令，即， ()280x h --=()28x h -=解得：，12x h x h =+=-∴此抛物线与轴的两个交点为，x ()(),hh +-∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为；x ((h h +--（2）∵点A 到轴的距离为4， x ∴，解得： ， 84a -=±12a =±①当时 ， 12a =∴抛物线为， ()2142y x h =--∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()214221h x x =---+()2224100x h x h --+-=∴， ()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦解得：， 72h <把，，联立得： ()2142y x h =--21y x =-+， ()214221y x h y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得：1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=--=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的右侧， x h =()22,C x y ∴， 2h h >-+∴， 52h >∵． 702h <<∴的取值范围为 ． h 5722h <<②当时 ， 12a =-∴抛物线为 ， ()2142y x h =--+∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即 ， ()212142x x h -+=--+()222460x h x h -++-=∴ ， ()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦解得： ， 52h >-把 ，，联立得： ()2142y x h =--+21y x =-+ ， ()214221y x h y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-+⎩解得：，1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--=--⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴 在点的左侧， x h =()11,B x y ∴，2h h <+-∴， 32h <-∴， 5322h -<<-∵． 702h <<∴无解．综上，，的取值范围为． 12a =h 5722h <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．27. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，ABC 90ACB ∠=︒CA CB =D E CA CB ，连接，，．点在线段上，连接交于点．CDCE =DE AE BD F BD CF AE H（1）①比较与的大小，并证明； CAE ∠CBD ∠②若，求证：；CF AE ⊥2AE CF =（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中CDE △C ()090αα︒<<︒F BD点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 2AE CF =【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF 仍然成立，理由见解析 【解析】【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD 即可得到∠CAE=∠CBD；②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF ，CF=BF ，则BD=2CF ，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，只需要证明△ACE≌△BCG 得到AE=BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG=2CF ，即可证明AE=2CF ． 【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下： 在△CAE 和△ CBD 中，， =CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△CAE≌△CBD（SAS ）， ∴∠CAE=∠CBD； ②∵CF⊥AE， ∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°， ∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD， ∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF， ∴CF=DF，CF=BF ， ∴BD=2CF， 又∵△CAE≌△CBD， ∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF 仍然成立，理由如下：如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ， 由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°， ∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG， 又∵CE=CD=CG，AC=BC ， ∴△ACE≌△BCG（SAS ），∴AE=BG，∵F 是BD 的中点，CD=CG ， ∴CF 是△BDG 的中位线， ∴BG=2CF， ∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如xOy O A O P O 下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍AP O B AP kAB =P A O k 特征点．（1）如图，点的坐标为．A ()1,0①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；P 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭P A O ②在，，这三个点中，点_________是点关于的110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭A O 12倍特征点；③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于l A y D 60DAO ∠=︒E l E A的倍特征点，求点的坐标；O 12E （2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上k ()101y x x =-+<<M O 都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值． N M N O k k【答案】（1）①；②；③（）；（2）k 的最小值为k 有最大值为343C 34． 【解析】【分析】（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；②先求出，，即可得到是点A 关112OC =1OA =1AC ==1C于⊙O 的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求12112AC AE =22AE OA =>=出是点A 关于⊙O 的倍特征点，得到3AC ==3C 12，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，312AC AF =2C 12212AC =则，则点不是点A 关于⊙O 的倍特征点； 214AC AB =2C 12③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，即可得到点E 的坐标为EF =34OF ==（）； 34（2）如图所示，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP⊥CD 交CD 1y x =-+于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到，MN NP ≥AM BP ≤，由，可得，可以推出当的值越大，k 的值越MN kAN =1111MN k AM k k ==-+--MN AN大，则当AM=BP ，MN=NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．【详解】解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（，0）， 12-∴，B 点坐标为（-1，0）， 32AP =。
2021.1北京初三数学期末分类汇编-新定义(含参考答案)
（1）如图，⊙ O 半径为 2，与 x 轴， y 轴分别交于点 A ， B ，点 P (2,3) ．
①在点 P 视角下，⊙ O 的“宽度”为___________，线段 AB 的“宽度”为___________；
②点 M (m, 0) 为 x 轴上一点．若在点 P 视角下，线段 AM 的“宽度”为 2 ，求 m 的取值范
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11．【房山】
定义：在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为图形 M 上一点，点 Q 为图形 N 上一点.若存在
OP = OQ ，则称图形 M 与图形 N 关于原点 O “平衡”.
（1）如图，已知⊙ A 是以 (1，0) 为圆心，2 为半径的圆，点 C (-1，0) ，D (-2，1) ，E (3，2) .
0）为圆心，1 为半径的圆，若图形 W 与△ABC 互为“友好图形”，直接写出 t 的取值范围.
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13．【门头沟】 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A、B、C 我们给出如下定义：三点中横坐标的最
大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵
距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”.
；
①抛物线 y = x2 ；
②双曲线 y = 1 ； x
③以 O 为圆心 1 为半径的圆.
（2）已知:图形 W 为以 O 为圆心，1 为半径的圆，图形 N 为直线 y = x + b ，若图形 W 与
图形 N 互为“友好图形”，求 b 的取值范围.
（3）如图，已知 A（ − 3 ，2），B（ − 3 ，-2），C（ 3 3 ，-2），图形 W 是以（t，
；
②若点 P 在直线 y =kx + 3(k ≠ 0) 上，且点 P 是线段 AB 的非锐角等腰顶点，求 k 的取值范围；
2021-2022学年度九年级数学第一学期期末学业水平测试(含答案)
2021−2022学年度九年级数学第一学期期末学业水平测试（含答案）（时间120分钟 满分120分）一、选择题(共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．30°角的正切值为（ ）A B ．12C ．2D 2．如图，D 为△ABC 边BC 上一点，要使△ABD ∽△CBA ，应该具备下列条件中的（ ） A ．AC ABCD CD=B ．AB BCCD AD=C ．AB BDCB AB=D ．AC CBCD AC=3．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y += B ．21()12y -=C ．211()22y +=D ．213()24y -=4．将抛物线22y x =-向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．2(2)5y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)5y x =+-D ．2(2)3y x =--第2题图第5题图5．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得AC=BD=12cm ，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60°，则图②中摆盘的面积是（ ） A ．452πcm 2 B ．24πcm 2 C ．36πcm 2 D ．72πcm 26．方程29180x x -+=的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12B ．15C ．12或15D ．187．下列关于圆的说法中，正确的是（ ） A ．等圆中，相等的弦所对的弧也相等 B ．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦C ．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等 8．如果P （m,y 1）Q （-3, y 2）在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且y 1＞y 2,则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜-3 B.m ＞0或m ＜-3C.-3＜m ＜0D.m ＞-39．某小区2019年屋顶绿化面积为22000m ，计划2021年绿化面积要达到2880m 2．设该小区2019年至2021年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x +=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=10．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆的圆心O 在BC 上，半圆与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，则半圆的半径为（ ） A ．127B ．712C ．72D ．111．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数cyx 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．12．某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min 的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于24分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内二、填空题(本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果)13．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝______．第11题图第12题图15．如图，在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，以BC 为直径作⊙O ，分别交AB 、AC于点E 、F ，则的度数为________．16．某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价 元． 17．如图，矩形ABCD 的边长AB ＝3cm ，AC ＝cm ，动点M 从点A 出发，沿AB 以1cm/s 的速度向点B 匀速运动，同时动点N 从点D 出发，沿DA 以2cm/s 的速度向点A 匀速运动．若△AMN 与△ACD 相似，则运动的时间t 为_____s ．三、解答题(本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)解方程： （1）21202x x +-=（用配方法）； （2）3x (x ﹣1)=2(1﹣x )；（3）2x 2x ﹣5=0；第14题图第15题图 第17题图19. (本题满分6分)如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．第19题图20．(本题满分6分)如图，用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)围成中间有一道篱笆的长方形花圃，现要围成面积为45m2的花圃，求AB的长是多少？第20题图21．(本题满分8分)如图，在斜坡P A 的坡顶平台处有一座信号塔BC ，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76︒，在坡底的点P 处测得塔顶B 的仰角为45︒，已知斜坡长P A=26m ，坡度为1:2.4，点A 与点C 在同一水平面上，且AC ∥PQ ，BC ⊥AC ．请解答以下问题：（1）求坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）求信号塔BC 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin760.97︒≈，cos760.24︒≈，tan76 4.00︒≈）22．(本题满分7分)关于x 的一元二次方程2(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果符合条件的最大整数k 是关于k 的一元二次方程210k mk ++=的根，求m 的值．第21题图23．(本题满分8分)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD 平分∠BAC ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）若DE =3，∠BAC=60°，求⊙O 的半径．24．(本题满分10分)如图，直线y mx n =+与双曲线ky x=相交于()1,2,(2,)A B b -两点，与x 轴交于点E ，与y 轴相交于点C ．（1）求m, n 的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）在x 轴上是否存在异于D 点的点P ，使PAB DAB S S ∆∆=若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由．第23题图第24题图25．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，P点横坐标为m，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，写出线段PF的长度l关于m的函数关系式；（3）过点P作PD⊥BC于点D，当△PDF的周长最大时，求出△PDF周长的最大值及此时点P的坐标．第25题图参考答案一、选择题 （共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）14. 15. 70°; 16. 2; 17. 1.5或2.4三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分12分，每小题4分)（1）x 114-, x 2=144--; （2）x 1=1, x 2=-23;（3）x 1x 2 19. (本题满分6分)证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴, …………1分ADE CED =∠∴∠． CDE DAE ∠=∠,∴ADE DEC △∽△． ……………3分 （2）~ADE DEC ∆∆,AD DE DE EC∴=, ……………4分 6AD =，4DE =,83CE ∴=． ……………6分20. (本题满分6分)设花圃的宽AB 为x 米，则BC=(24-3x )米，由题意得：x (24-3x )=45， ……………3分 整理得：28150x x -+=，解得：15=x ，23x =， ……………5分 检验：当5x =时，24-3x =9＜10，符合题意； 当3x =时，24-3x =15＞10，不合题意，舍去，∴AB 的长是5m ． ……………6分 21. (本题满分8分) 解：（1）如图，过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，斜坡AP 的坡度为1:2.4，152.412AH PH ∴==． 设5AH k =，则12PH k =， 在Rt AHP ∆中，由勾股定理，得()()222251213AP AH PH k k k =+=+=．1326k ∴=，解，得2k =．1(0)AH m ∴=．答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10m ． ……………4分 （2）如图，延长BC 交PQ 于点D ， 由题意可知四边形AHDC 是矩形，10CD AH ∴==，AC DH =．45BPD ∠=︒，90BDP ∠=︒，PD BD ∴=．12224PH =⨯=m ，设BC x =，则1024x DH +=+． ()14AC DH x ∴==-m ．在Rt ABC ∆中，tan tan 76BC BAC AC ∠=︒=，即4.0014xx ≈-． 解得19()x m ≈．答：信号塔BC 的高度约为19m ． ……………8分 22. (本题满分7分)（1）方程2(2)420k x x --+=是关于x 的一元二次方程，20k ∴-≠，解得2k ≠，又一元二次方程2(2)420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴其根的判别式2(4)42(2)0k ∆=--⨯->，解得4k <， ……………3分 ∴k 的取值范围是4k <且2k ≠； ……………4分 （2）由（1）得：3k =， ……………5分3k =是一元二次方程210k mk ++=的根，23310m +∴+=，解得103m =-． ……………7分 23. (本题满分8分) （1）证明：连接OD ， ……………1分∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠DAE ， ∵OA=OD ，∴∠ODA =∠OAD ， ∴∠ODA =∠DAE ，∴OD ∥AE ， ……………2分 ∴∠ODP=∠AEP ∵AC ⊥PD ，∴∠ODP=∠AEP=90°， ∴OD ⊥PE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线； ……………4分 （2）解：连接BD ，∵AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC ⊥PE ，∴AD=2DE= ……………5分 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AB=2BD ，设BD=x ，则AB=2x ， ∵AD 2+BD 2=AB 2，∴()222(2x x +=∴BD=2，AB=4， ……………7分 ∴AO=2，∴⊙O 的半径为2． ……………8分 24. (本题满分10分)解：（1）∵点A （-1，2）在双曲线ky x=上，∴12k -=， 解得，2k =-， ……………1分 ∴反比例函数解析式为：2y x=-， (2,)B b = ∴212b =-=-， 则点B 的坐标为（2，－1）， ……………2分 把A (-1，2)，B(2，-1)代入y mx n =+得：122m nm n-=+⎧⎨=-+⎩， 解得11m n =-⎧⎨=⎩； ……………4分（2）对于y =－x +1，当x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为（0，1）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴点D 的坐标为（0，－1）， ……………5分 ∴△ABD 的面积=12×2×3=3； ……………7分 （3）P 点坐标为（－1，0）或（3，0）．（写对1个得2分） ………10分 25. (本题满分12分)解：（1）由抛物线的表达式知，OC =3，则OB=tan 30OC︒=33=3OA ，解得OA =3，故点A ，B ，C 的坐标分别为（－3，0）、（33，0）、（0，3） ……………2分 将A （－3，0），B （33，0）代入y=ax 2+bx +3，得： a =－13，b=233∴2123333y x x =-++； ……………4分（2）延长PF 交x 轴于点E ，由B ，C 的坐标得，直线BC 的表达式为y=3-x +3， ……………5分设点P （m ，2123333m m ），则点F （m ，3-m+3），∴l =2133333m m ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+=2123333m m +m -3=213m -+， ……………8分 （3）∵∠DPF=90°－∠DFP=90°－∠EFB=∠ABC=30°，在Rt △PDF 中，PD=cos30︒⋅PF=2PF ，DF=sin30︒⋅PF=12PF ，△PDF 的周长=PD+PF+DF=（2+1+12）PF =32+PF ，则△PDF 的周长PF ……………9分 ∴当l 取到最大值时，△PDF 的周长取到最大值.当m l 最大=94， ……………10分此时，△PDF 的周长，∴点P 的坐标为（2，154），△PDF 的周长最大值为278+．………12分。
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年北京市海淀区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( ) A ．1y x =+B ．2y x =C ．2(4)y x =-D ．1y x=2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy 中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标为( ) A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)-4．（2分）在ABC ∆中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作C ，则C 与AB 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．（2分）小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为( )A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．（2分）把长为2m 的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m ，依题意，可列方程为( ) A ．22(2)x x =-B ．22(2)x x =+C ．2(2)2x x -=D ．22x x =-7．（2分）如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为300m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是( )A ．A ，B ，C 都不在B ．只有BC ．只有A ，CD ．A ，B ，C8．（2分）做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m5001000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率n m0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520下面有3个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中所有合理推断的序号是( ) A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）已知y 是x 的函数，且当0x >时，y 随x 的增大而减小．则这个函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可）10．（2分）在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是 ．11．（2分）若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在二次函数22y x =的图象上，则1y ，2y 的大小关系为：1y 2y （填“>”，“ =”或“<” )．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,0)A -，点(0,1)B ．将线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ，则点C 的坐标为 ．13．（2分）若关于x的方程220-+=有两个不相等的实数根，则k的取值范围为．x x k14．（2分）如图，PA，PB分别切O于点A，B，Q是优弧AB上一点，若40∠的度∠=︒，则QP数是．15．（2分）小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90︒（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为cm．(π取3.1)16．（2分）给定二元数对(,)p q的转换规p q，其中0q=或1．三种转换器A，B，C对(,)p=或1，0则如下：规则a．转换器A当输入(1,1)时，输出结果为1；其余输出结果均为0．转换器B当输入(0,0)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．转换器C当输入(1,1)时，输出结果为0；其余输出结果均为1．b．在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．（1）在图1所示的“A B C--”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为；（2）在图2所示的“①C --②”组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“ C -- ”．（写出一种组合即可）．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解方程：2680x x -+=．18．（5分）已知a 是方程22710x x --=的一个根，求代数式(27)5a a -+的值． 19．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(3)1y a x =--经过点(2,1)． （1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．20．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ． （1）依题意补全图形；（2）若1BC =，求线段BD 的长．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下： 已知：O （纸片），其半径为r ．求作：一个正方形，使其面积等于O 的面积．作法：①如图1，取O 的直径AB ，作射线BA ，过点A 作AB 的垂线l ； ②如图2，以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ；③将纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处； ④取CB '的中点M ，以点M 为圆心，MC 长为半径画半圆，交射线BA 于点E ； ⑤以AE 为边作正方形AEFG ． 正方形AEFG 即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l 为O 的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC r =，AB r π'=，则MC = ，MA = （用含r 的代数式表示）．（3）连接ME ，在Rt AME ∆中，根据222AM AE EM +=，可计算得2AE = （用含r 的代数式表示）． 由此可得OAEFG S S=正方形．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-+-=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m <，且该方程的两个实数根的差为3，求m 的值． 23．（5分）如图，ABC ∆内接于O ，高AD 经过圆心O ． （1）求证：AB AC =；（2）若8BC =，O 的半径为5，求ABC ∆的面积．24．（6分）邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ；（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．25．（6分）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ． （1）求证：BG 是O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，4DF =，求FG 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上． （1）求该抛物线的对称轴；（2）已知0m >，当222m x m -+时，y 的取值范围是13y -．求a ，m 的值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数n ，使得当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+．若存在，直接写出n 的值；若不存在，请说明理由．27．（7分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，延长CB ，并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到射线l ，D 为射线l 上一动点，点E 在线段CB 的延长线上，且BE CD =，连接DE ，过点A 作AM DE ⊥于M ．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系，并证明； （2）取BE 的中点N ，连接AN ，添加一个条件：CD 的长为 ，使得12AN DE =成立，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，图形W 上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d ．对点P 及图形W 给出如下定义：点Q 为图形W 上任意一点，若P ，Q 两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d ．则称点P 为图形W 的“倍点”． （1）如图1，图形W 是半径为1的O ．①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为 ；②在点1(0,2)P ，2(3,3)P ，3(3,0)P -中，O 的“倍点”是 ； （2）如图2，图形W 是中心在原点的正方形ABCD ，点(1,1)A -．若点(,3)E t 是正方形ABCD 的“倍点”，求t 的值；（3）图形W 是长为2的线段MN ，T 为MN 的中点，若在半径为6的O 上存在线段MN 的“倍点”，直接写出所有满足条件的点T 组成的图形的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：A 、直线1y x =+不经过点(0,0)，故不符合题意；B 、抛物线2y x =经过点(0,0)，故符合题意；C 、抛物线2(4)y x =-不经过点(0,0)，故不符合题意；D 、双曲线1y x=不经过点(0,0)，故不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C ．3．【解答】解：抛物线2(2)1y x =-+是以抛物线的顶点式给出的， 其顶点坐标为：(2,1)． 故选：A ．4．【解答】解：连接CO ， CA CB =，点O 为AB 中点， OC AB ∴⊥，以点C 为圆心，CO 长为半径作C ，∴点C 到AB 的距离等于C 的半径，C ∴与AB 的位置关系是相切，故选：B ．5．【解答】解：如图，当经过一次旋转后点C 旋转至点B 的位置上，此时360660COB ∠=︒÷=︒， 故选：B ．6．【解答】解：较长一段的长为x m ，∴较短一段的长为(2)x m -．依题意得：22(2)x x =-． 故选：A ． 7．【解答】解：300AB cm =，400BC cm =，500AC cm =，222AB BC AC ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ABC ∴∠=︒，点D 是斜边AC 的中点， 250AD CD cm ∴==，12502BD AC cm ==， 250300<，∴点A 、B 、C 都在圆内，∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ，B ，C ．故选：D ．8．【解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； 故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）9．【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如1(0)y x x =>，答案不唯一．故答案为：1(0)y x x=>，答案不唯一．10．【解答】解：在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，共5个球，∴取出红球的概率是35．故答案为：35．11．【解答】解：由22y x =可得抛物线开口向上，对称轴为y 轴， |1||2|-<， 12y y ∴<，故答案为：<．12．【解答】解：设(,)C m n ．线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ， AB BC ∴=，点(2,0)A -，点(0,1)B ，∴202m -+=，012n+=， 2m ∴=，2n =，(2,2)C ∴．13．【解答】解：关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△0>，即440k ->， 1k <．故答案为：1k <．14．【解答】解：连接OA 、OB ，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909040140AOB ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，111407022Q AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：70︒．15．【解答】解：标签长度90639.3()180l cm ππ⋅⋅===， 故答案为：9.3．16．【解答】解：（1）在图1所示的“A B C --”组合转换器中，若输入(1,0)，则输出结果为1； 故答案为：1；（2）若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果均为0，则该组合转换器为“B C A --”．（写出一种组合即可）． 故答案为：B ，A ．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．【解答】解：2680x x -+= (2)(4)0x x --=， 20x ∴-=或40x -=， 12x ∴= 24x =．18．【解答】解：a 是方程22710x x --=的一个根， 22710a a ∴--=， 2271a a ∴-=，2(27)5275156a a a a ∴-+=-+=+=．19．【解答】解：（1）把点(2,1)代入2(3)1y a x =--中， 得：21(23)1a =--， 解得2a =，22(3)1y x ∴=--；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为(3,1)-，∴把该抛物线向上平移1个单位后，与x 轴的交点个数位1，故答案为：1．20．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 30BAC ∠=︒，1BC =， 22AB BC ∴==， 3AC ∴=，由旋转可知：60DAC ∠=︒，3AD AC == 90DAB DAC AC ∴∠=∠+∠∠=︒，22222(3)7BD AB AD ∴=++．21．【解答】解：（1）l OA ⊥于点A ，OA 为O 的半径，∴直线l 为O 的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧交直线l 于点C ， AC r ∴=．纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周，使点A ，B 分别落在对应的A '，B '处， 22rAB r ππ'∴==， (1)CB CA AB r r r ππ∴'=+'=+=+．M 为CB '的中点，1(1)22rMC CB π+∴='=． (1)(1)22r rMA MC AC r ππ+-∴=-=-=． 故答案为：(1)2r π+；(1)2r π-； （3）连接ME ，如图，则(1)2rME MC π+==． 在Rt AME ∆中，222AM AE EM +=， 222AE EM AM ∴=-22(1)(1)[][]22r r ππ+-=- (1)(1)(1)(1)[][]2222r r r rππππ+-+-=+- r r π=⨯2r π=．OAEFG S S∴=正方形．故答案为：2r π．22．【解答】（1）证明：△22(2)41(1)0m m m =--⨯⨯-=，∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；（2）设方程的较大的实数根为1x ，较小的实数根为2x ，依题意得： 123x x -=，122x x m +=-，121x x m =-，2212()3x x ∴-=，22112229x x x x -+=，2212129292(1)112x x x x m m +=+=+-=-，2212()(2)x x m +=-，2221122244x x x x m m ∴++=-+，21122(1)44m m m m ∴-+-=-+，整理得：29m =， 解得：3m =或3m =-， 0m <， 3m ∴=-．23．【解答】（1）证明：OD BC ⊥，∴AB AC =，AB AC ∴=；（2）解：连接OB ， OD BC ⊥，8BC =，118422BD DC BC ∴===⨯=， 在Rt ODB ∆中，2222543OD OB BD =-=-=， 538AD ∴=+=，188322ABC S ∆∴=⨯⨯=．24．【解答】解：（1）恰好抽到“冬季两项”的概率是14， 故答案为：14； （2）“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁， 画树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果，∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：21126=． 25．【解答】（1）证明：C ，A ，D ，F 在O 上，90CAF ∠=︒， 90D CAF ∴∠=∠=︒． AB CE ⊥，BG DF ⊥， 90BED G ∴∠=∠=︒．∴四边形BEDG 中，90ABG ∠=︒． ∴半径OB BG ⊥．BG ∴是O 的切线．（2）解：连接CF ，90CAF ∠=︒， CF ∴是O 的直径． OC OF ∴=．直径AB CD ⊥于E ， CE DE ∴=．OE ∴是CDF ∆的中位线．122OE DF ∴==． AD AD =，30AFD ∠=︒，30ACD AFD ∴∠=∠=︒． 9060CAE ACE ∴∠=︒-∠=︒． OA OC =，AOC ∴∆是等边三角形． CE AB ⊥，E ∴为AO 的中点，24OA OE ∴==，4OB =．6BE OB OE ∴=+=． 90BED D G ∠=∠=∠=︒，∴四边形BEDG 是矩形．6DG BE ∴==． 2FG DG DF ∴=-=．26．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++， 0x ∴=时，3y =，∴抛物线23y ax bx =++过点(0,3)，抛物线23y ax bx =++过点(4,3)，∴该抛物线的对称轴为直线2x =．（2）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =， 22ba∴-=，即4b a =-①． 0m >，2222m m ∴-<<+． 0a >，抛物线开口向上，∴当2x =时，函数值在222m x m -<<+上取得最小值1-．即4231a b ++=-②．联立①②，解得1a =，4b =-．∴抛物线的表达式为243y x x =-+，即2(2)1y x =--．0m >，∴当22m x -时，y 随x 的增大而减小，当2x m =-时取得最大值，当222x m +时，y 随x 的增大而增大，当22x m =+时取得最大值， 对称轴为2x =，2x m ∴=-与2x m =+时的函数值相等． 2222m m <+<+，∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值，即2x m =-时的函数值． ∴当22x m =+时，函数值在2222m m -<<+上取得最大值3．代入有2413m -=，舍去负解，得1m =．（3）存在，1n =．当2n x n -<<时，y 的取值范围是3335n y n -<<+，y 无法取到最大值与最小值，∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴，①当2n 时，2n x n -<<在对称轴的左侧， 二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最大值，x n =时，y 有最小值， 由题意可知：22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧---+=+⎨-+=-⎩，解得：1n =，故1n =，②当22n -时，2n x n -<<在对称轴的右侧， 二次函数开口向上，2x n ∴=-时，y 有最小值，x n =时，y 有最大值， 由题意可知：22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧---+=-⎨-+=+⎩，此时n 无解，故不符合题意， 1n ∴=．27．【解答】解：（1）图形如图所示，结论：DM EM =．理由：连接AE ，AD ． AB AC =，90BAC ∠=︒， 45ABC ACB ∴∠=∠=︒， CD CB ⊥， 90DCB ∴∠=︒，135ABE ACD ∴∠=∠=︒，BA CA =，BE CD =，()ABE ACD SAS ∴∆≅∆，AE AD ∴=， AM DE ⊥， DM ME ∴=．（2）当CD =12AN DE =成立． 理由：过点A 作AT BC ⊥于点T ，AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形． 1AB AC ==，90BAC ∠=︒，BC ∴=AT CB ⊥，2AT TB TC ∴===，CD BE =EN BN =，BN ∴=，AN ∴=，AH CH AT ===DH ∴=+=，AD ∴===， ABE ACD ∆≅∆， EAB CAD ∴∠=∠， 90EAD BAC ∴∠=∠=︒，AE AD ∴==DE ∴=12AN DE ∴=． 28．【解答】解：（1）①图形W 是半径为1的O ， 图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为2．故答案为：2；②如图1，连接2P O 并延长交O 于点E ，23P O ==，212P E d ∴=≠，2P ∴不是O 的“倍点”； 1P 到O 上各点连线中最大距离为2132d +=≠， 1P ∴不是O 的“倍点”； 3P 到O 上各点连线中最大距离为3142d +==，3P ∴是O 的“倍点”． 故答案为：3P ．（2）如图2，在正方形ABCD 中，正方形ABCD 上任意两点之间距离的最大距离d ==，∴2d =由图可知当点E 在如图所示的位置时，E 是正方形ABCD 的“倍点“，∴OE =，t ∴的值为：3或3-．（3）MN 上2d =，24d =，当线段MN 在O 外部时，4EM =，1TM =，ET ∴=∴大O 的半径为6+同理，小O 的半径为6点T 所构成的图形是圆环，它的面积22(6(6ππ⋅+-⋅=．故答案为：．第21页（共21页）。
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密云区2021—2022学年度第一学期期末考试
初三数学试卷参考答案及评分标准 2022.01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．30°； 10．y 1＜y 2 ； 11．4；
12．y =x 2-5（答案不唯一）； 13．3π； 14．
15．130°；
16．①②④．
三、解答题（本题共68分．第17～22每题5分；第
23～26每题6分；第27、28题，每题各7分） 说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．
17．解：原式 ………………………………4分
………………………………5分
18．（1） ………………………………3分
（2）证明：OB= OC ………………………………4分
同弧所对的圆周角相等 ………………………………5分
124=-3=3=O
D C
B A P
F E
19．（1）解： y =x 2-4x +3
y =x 2-4x +22-22+3 ………………………………2分
y =(x -2)2-4+3
y =(x -2)2-1 ………………………………3分
（2）
………………………………5分
20．证明：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABC=2∠ABD ……………………………1分
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C ……………………………3分
∵∠A=∠A ……………………………4分
∴△ABD ∽△ACB ……………………………5分
21．解：在△BDC 中，∠C = 90°
∵∠BDC = 45°
∴△BDC 是等腰直角三角形
∴CD=BC=6 ……………………………1分
在R t △ABC 中， ∴ ……………………………2分
∴ AB =10 ……………………………3分
∴ AC =8 ……………………………4分
∴ AD=AC -CD =8-6=2 ……………………………5分
D C B A 3sin 5A =
635BC AB AB ==
22．（1）解：设反比例函数表达式为 ………………………………1分 ∵其图象经过点A （4，1）
∴k =4 ………………………………2分
∴反比例函数表达式为 ………………………………3分
（2）0＜x ＜4 ………………………………5分
23．（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AD//BC
∴∠DCE=∠BEC ，∠A+∠B=180° ………………………………1分
∵∠DFE+∠DFC=180°
又∵∠DFE=∠A
∴∠DFC=∠B ………………………2分 ∴△DCF ∽△CEB
（2）解：∵△DCF ∽△CEB
∴∠CDF=∠ECB ………………………………3分
∴tan ∠CDF= tan ∠ECB=
过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H
在R t △CEH 中
∵
∴设EH=x ，CH=2x
∴CE= ∵CE=
∴x=3，则有EH=3，CH=6 ………………………………5分
∵BC=4
∴BH=6-4=2
在R t △EBH 中，BE= ………………………………6分
(0)k y k x =≠4y x
=12
1
2EH CH =5x
3513
24. 解：连接BC ，过点A 作AD ⊥BC 于点D
在R t △ABD 中
∵AB=12，∠BAD=45° ………………………………1分
∴ sin45°=
即
∴BD = ………………………………3分
∴BD =AD=
在R t △ACD 中，∠DAC=30° ∴tan30°= 即
∴DC = ………………………………5分
∴BC= ∴此时独象距离象群 公里 \………………………………6分
25. （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB= ∠CAD ………………………………1分
∵AM 是∠DAF 的平分线
∴∠DAM= ∠DAF ………………………………2分
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB ⊥AM
∴AM 是⊙O 的切线 ………………………………3分
（2）解：∵AB ⊥CD ，AB ⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30° ………………………………4分
在R t △OCE 中，OC =2
∴OE=1，CE= ………………………………5分
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E
∴CD=2 CE= ………………………………6分
BD AB
2122
BD =6262DC
AD 3362DC =26622
6+6226+1212
323
26．（1）解：y =x 2-2ax +b 与y 轴相交于点（0，-3）
∴y =x 2-2ax -3 ………………………………1分
∵抛物线的图象经过点（1，-4）
∴1-2a -3=-4
∴ a =1
∴ y =x 2-2x -3 …………………………2分
（2）解： …………………………3分 （3）解：当a=0时 当a>0时 当a<0时
此时， ，x 1+x 2=0； 此时， ，x 1+x 2>0； 此时， ，x 1+x 2<0；
∴综述所述，a>0 ………………………………6分
27.（1）
………………………………1分
（2）解：在正方形ABCD 中，∠DAB=∠ABC=∠D =90°，AD =AB .
∵AF ⊥AE
∴∠F AE =90°……………………………… 4分
∴∠F AE =∠DAB
∴∠F AE -∠BAE =∠DAB -∠BAE
即∠F AB =∠DAE ………………………………2分
2221b a
x a a -=-=-=⨯12x x =12x x <12x x >
∵∠ABF =∠D=90°
∴ ………………………………3分
∴AF=AE
∴△AEF 是等腰直角三角形
∴∠AEF=45° ………………………………4分
（3）解：数量关系为CF =aCE ………………………………5分
过点E 作EM//CF 交AC 于点M
∴∠MEH=∠EFC ，∠MEC=∠D=90°
∵∠MHE=∠CHF
∴△MEH ∽△CFH
∴ …………………6分 ∵∠ACD=45°
∴△MEC 是等腰直角三角形
∴ME=EC
∴ 即CF =aCE ……………………………… 7分
28.（1）点E ； ……………………………… 1分
（2）① 90°；
② 30°或150°； ……………………………… 4分
（3）解： ∵过不在同一条直线上的三点确定一个圆，
∴A 、B 、N 三点共圆，且过A 、B 两点的圆有无数个，圆心在直线x=3上.
即：点N 的位置为过A 、B 两点的圆与y 轴的交点.
设过A 、B 两点的圆为⊙M ，半径为r.
当r<3时，y 轴与⊙M 无交点，不符题意舍去.
如图：
当r=3时，y 轴与⊙M 交于一点，此时y 轴与⊙M 相切，切点即为点N.
●当r>3时，y 轴与⊙M 1交于两点，此时y 轴与⊙M 1相交，交点设为N 1、N 2.
连接AM 、BM 、AN 、BN 、AM 1、BM 1、AN 1、BN 1。
()ABF ADE ASA ∆≅∆CF FH a ME EH
==CF
a CE
=
此时，∠ANB 、∠AMB 分别为⊙M 中弧AB 所对的圆周角和圆心角；
∠AN 1B 、∠AM 1B 分别为⊙M 1中弧AB 所对的圆周角和圆心角.
∵∠1=∠M 1AM+∠AM 1M ，
∠2=∠M 1BM+∠BM 1M ，
∴∠1+∠2=∠M 1AM+∠AM 1M+∠BM 1M+∠M 1BM ，
即∠AMB=∠M 1AM+∠AM 1B+∠M 1BM
∴∠AMB>∠AM 1B
∴∠ANB>∠AN 1B
∵∠AN 1B=∠AN 2B
∴∠ANB>∠AN 2B
∴当y 轴与⊙M 相切于点N 时，∠ANB 的值最大. ……………………………… 5分 在Rt △AMC 中，AM=r=3，AC=2
∴ ∵MN ⊥y 轴，MC ⊥AB ，
∴四边形OCMN 为矩形.
∴ON=MC= ∴N （0， ） 同理，当点N 在y 轴负半轴时，坐标为（0，-
综述所述，N （0， ）或（0，- . ………………………………7分
5
5
5555。