同角三角函数的基本关系-人教A版高中数学必修(第一册)优秀课件
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5.2.2同角三角函数的基本关系课件高一上学期数学人教A版(1)
(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2
目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造
sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练 4
解
sin -cos
tan -1
(2)sin2αtan
sin -cos
化简:(1)
4si
n
α-5cos2α=
=
1
si n 2 +co s 2
4ta n 2 -3tan -5 4×4-3×2-5
=
=1.
2
ta n +1
4+1
规律方法
已知tan α,求关于sin α和cos α的齐次式的值的基本方法
sin +cos
(1)形如
的分式,可将分子、分母同时除以
sin +cos
利用同角三角函数的基本关系求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解.
(2)已知三角函数之间的关系式求三角函数值的问题,我们可利用平方关系
或商数关系求解,其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±2sin
αcos α的等价转化,寻找解决问题的突破口.
自主诊断
1.已知 α 是第四象限角,cos
解析 由题意知 sin α=2.若 cos
1
α= ,且
3
12
α= ,则
13
1-cos 2 =-
所以 tan
1-cos 2 =-
sin
α=cos =-2
2.
1
α=3,
1 2 2
新教材人教A版必修第一册 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件(29张)
跟踪训练 3 求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
证明：左边＝tan2α－sin2α＝csoins22αα－sin2α ＝sin2α－cosisn2α2αcos2α＝sin2αc1o－s2αcos2α ＝sin2α·csoins22αα＝tan2α·sin2α＝右边 ∴原式成立．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 ——微点探究 微点 1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
状元随笔 在使用开平方关系 sin α＝± 1 －cos2α和 cos α＝
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°|＝sin 130°| sin
130°－cos 130°－cos
113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoins
αα＋2sin
αcos
α＋cos2α·csoins
α α
＝sin4α＋2ssiinn2ααccooss2αα＋cos4α＝sinsi2nα＋αccoossα2α2
)
A．－4
B．－14
1 C.4
D．4
解析：(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4. 答案： A
(3)已知 sin θ＋cos θ＝15，且 0<θ<π，则 sin θ－cos θ＝________.
解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝215，
化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
新教材高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册
cos α= 1 sin2＝ 1，
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
同角三角函数的基本关系 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
sin tan cos cos sin
tan
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切．
注意事项：
1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1.
2.同角不要拘泥于形式，关系式中的角可以是具体的度数，也可以是变
量，也可以是代数式。比如 ：sin2 16 cos2 16 1，sin2 cos2 1
tan sin tan sin
左边
类型五：同角三角函数的证明
思路点拨： 法1.作差法
法2.左推右或右推左：从一边开始，证他等于另一边 法3.两边证：等式左右两边都比较复杂，证明左右两 边等于同一个式子
课堂小结
x
25
sin x cos x2 sin x2 2 sin x cos x cos x2 1 2sin x cosx 1 24 49
25 25
又 x 0sin x 0，cosx 0
2 sin x cosx 7
5
sin x cosx 0
类型三：利用sin α±cos α与 sin α cos α之间的关系求值
例5：求证： 2 tan sin tan sin
tan sin tan sin
法1（两边凑）：
sin sin
左边
cos sin sin
cos
sin2
sin
cos sin
cos
cos
sin sin
右边
cos s in
s in
cos
sin sin cos
cos sin2
cos
sin cos
1
sin cos
5.2.2同角三角函数的基本关系课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
cos
成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦
的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然
不同的。
对同角三角函数的基本关系式的理解
（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α+cos2β=1不一定
成立. “同角”与角的表示情势无关，如
仅对 k
2
(k Z ) 成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作
“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。
新知探究
问题5
些变形？
对于平方关系
+
= 和商数关系 =
2
2
法2:同除以cosα或cos2α
sin 2 2sin cos cos 2
(2)
;
2
2
4 cos 3sin
1
(3)
; 分子为1
2
2
cos 3sin
1 sin 2 cos2
3 2
1 2
(4) sin sin . 暗含:分母为1
4
2
巩固练习
课本P184
5. 求证：
sin sin cos cos 1.
4
2
2
2
sin 4 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin cos
2
1
2
典例解析：化简
cos
成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦
的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然
不同的。
对同角三角函数的基本关系式的理解
（1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，而sin2α+cos2β=1不一定
成立. “同角”与角的表示情势无关，如
仅对 k
2
(k Z ) 成立.
（3）sin2α与sinα2之间的区分：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作
“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。
新知探究
问题5
些变形？
对于平方关系
+
= 和商数关系 =
2
2
法2:同除以cosα或cos2α
sin 2 2sin cos cos 2
(2)
;
2
2
4 cos 3sin
1
(3)
; 分子为1
2
2
cos 3sin
1 sin 2 cos2
3 2
1 2
(4) sin sin . 暗含:分母为1
4
2
巩固练习
课本P184
5. 求证：
sin sin cos cos 1.
4
2
2
2
sin 4 sin 2 cos 2 cos 2
sin 2 (sin 2 cos 2 ) cos 2
sin cos
2
1
2
典例解析：化简
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
人教版高中数学必修第一册5.2三角函数的概念 课时5 同角三角函数的基本关系【课件】
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时
同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能
运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一
个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化
进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
β求得cos β，是我们继续
求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构
上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
＝
＝
＝1.
+
+
+
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如
+
的分式，可将分子、分母同时除以cos
+
α；形如
+ +
什么?
典例精析
三角函数
5.2 三角函数的概念
课时
同角三角函数的基本关系
教学目标
1. 经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程,能
运用任意角的三角函数的定义加以证明.
2. 理解同角三角函数的基本关系的结构特征,体会同一
个角的三个不同三角函数间的内在联系.
3. 掌握同角三角函数的基本关系在求解三角函数式的化
进行转换。
【解】
【方法规律】
(1) 利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要
根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,
sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,
β求得cos β，是我们继续
求解本题的关键．为此，我们需要研究sin β与cos β之间的关系．
图2
初探新知
【活动1】利用单位圆，结合三角函数的定义探究同三
角函数基本关系
【问题1】你能从点的坐标、角的三个三角函数值的代数结构
上发现同角的三个三角函数值之间有什么关系吗？
【问题2】同角三角函数的基本关系还有哪些变形形式？
＝
＝
＝1.
+
+
+
【方法规律】
已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值的基本方法：
(1) 形如
+
的分式，可将分子、分母同时除以cos
+
α；形如
+ +
什么?
典例精析
人教A版高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系【课件】
=
=
=左边,
(-)
-
∴原等式成立.
(+)
(方法二)∵左边=
-
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
同角三角函数的基本关系
1.计算下列式子的值:
(1)sin20°+cos20°;
(2)sin245°+cos245°;
(3)sin260°+cos260°.
由此你能得出什么结论?尝试证明它.
提示:3个式子的值均为1.由此可以猜想:
对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明:
设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y),
则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x.
故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1.
2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量
4.(1)sin24 092°+cos24 092°=(
A.0
B.1
C.4 092 D.4 092°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=
)
.
解析:(1)由平方关系知sin24 092°+cos24 092°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0,得sin θ=-cos θ,
所以 tan
θ=
=
答案:(1)B (2)-1
-
=-1.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.