第十章能量法解析
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第10章 能量法
2．扭转圆轴
1)应变能
U W
1 2
M
e
U T 2l 2GIp
若扭矩或截面直径为变量时
Me
l
a)分段变化
U
n
U
i1
i
in12TGi2Ilpi i
b)为杆长x的函数
U
0ldU
0l
T2 2GI
(
p
x) (x
dx )
2)比能
u
dU dV
0.5(A)(
dV
d
x)
A
2 G 2
2 2G 2
dx
dx
§10-2 弹性应变能的计算
1．广义力和广义位移 1)广义力泛指力与力矩； 广义位移为广义力所 F1 d1 直接产生的位移和转 角，如力产生位移， 力矩产生转角；
2)线弹性情况下，广义力与 广义位移成线性关系。
d2
F2
d3 F3
2．弹性应变能 1)弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值， 与加力的次序无关；
§10-2 弹性应变能的计算
u
1
2
1
1
非线性
U W
d 0
1
Fdd
非线性
u
1
0
d
余能：线弹性 U*U 12F1d1 余比能：线弹性 u*u 12 11
非线性
U
*
F1 0
d
dF
非线性
u*
0
1
d
§10-3 互等定理
一、功和位移互等定理
1．推导：以简支梁为例
1)先加F1再加F2 ，二 力作的总功为
U1 W1 12F1d11 12F2d 22 F1d12
第10章 能量法(2016-1版)
U2
=
1 2
F2δ
22
+
1 2
F1δ
11
+ F2δ 21
A
§10.3 互等定理
F1
F2
1
2
δ 11
δ 21
B
δ 12
δ 22
F1
F2
1
2
δ 12
δ 22
B
δ 11
δ 21
应变能只决定于力与位移的最终值， 与加载次序无关
∴
U1 = U2
即：
F1δ 12 = F2δ 21
功的互等定理
一、功的互等定理
1.先在1点作用F1
一、功的互等定理
以图示梁为例证明如下：
F1
A
1
δ 11
A
1
δ 12
2
δ 21
F2
2
δ 22
§10.3 互等定理
B B
δij ——当j点作用力时在i点所产生的位移
§10.3 互等定理
一、功的互等定理
F1
1.先在1点作用F1
外力功：1
2
F1δ
11
F1
A
1
δ 11
δ 12
F2 2
δ 21 δ 22
B
再在2点作用F2
i
1 2
Fiδ
i
+ dFiδ i
总应变能： U2
=
U
′
2
+
U
′′
2
=
1 2
dFidδ i
+
U
+
dFiδ i
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导
能量法
q2l 5 Vε W ＝ 240EI
（ 法三），用应变能密度求
v σ dε
0
1
2 1
2E
qlx qx2 M ( x) 2 2
M ( x) y 1 Iz
V v dV
V
12
V
1 M 2 ( x) 2 dV ( y dA)dx 2 0 2E 2E Iz
dW* i dFi
B
由于外力余功在数值上等于 余能，所以有：
dV * dW *
梁内的余能为：
V * ( F1 , F2 ,...,Fn ) W * i dfi
Fi i 1 0
n
V * i Fi
余能定理
在线弹性杆件或杆系中，力 与位移成正比，则杆内的应 假设第i个荷载有一微小增量dFi,,则 变能与余能相等， 余能的变化为： V V * 卡式第二 i dV* dFi 定理 Fi F
l
V Pl 3 wA P 3EI
求转角 A
没有与A向相对应的力（广义力），加之。 P MA ①求内力 M ( x) M A xP A
O 2 l ( M ( x) l 1 dx ( MA xp) 2 dx 0 2 EI 0 2 EI 1 2 ( P 2l 3 3Pl 2 M A 3M A l ) 6 EI ③求转角（ 注意：M A=0）
i
例1 结构如图，用卡氏第二定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x) xP xP A ②求梁内的应变能
EI
l
x
l 0
O
V
③求挠度
( M ( x))2 2 EI
（ 法三），用应变能密度求
v σ dε
0
1
2 1
2E
qlx qx2 M ( x) 2 2
M ( x) y 1 Iz
V v dV
V
12
V
1 M 2 ( x) 2 dV ( y dA)dx 2 0 2E 2E Iz
dW* i dFi
B
由于外力余功在数值上等于 余能，所以有：
dV * dW *
梁内的余能为：
V * ( F1 , F2 ,...,Fn ) W * i dfi
Fi i 1 0
n
V * i Fi
余能定理
在线弹性杆件或杆系中，力 与位移成正比，则杆内的应 假设第i个荷载有一微小增量dFi,,则 变能与余能相等， 余能的变化为： V V * 卡式第二 i dV* dFi 定理 Fi F
l
V Pl 3 wA P 3EI
求转角 A
没有与A向相对应的力（广义力），加之。 P MA ①求内力 M ( x) M A xP A
O 2 l ( M ( x) l 1 dx ( MA xp) 2 dx 0 2 EI 0 2 EI 1 2 ( P 2l 3 3Pl 2 M A 3M A l ) 6 EI ③求转角（ 注意：M A=0）
i
例1 结构如图，用卡氏第二定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x) xP xP A ②求梁内的应变能
EI
l
x
l 0
O
V
③求挠度
( M ( x))2 2 EI
第10章 能量法
l 1q d x w q2l 4
02
48 EI
l ( x 2 x3 x4 )dx q2 l5
0l
l3 l4
240 EI
方法2：利用 Vε
M 2(x)d x l 2EI
梁的弯矩方程为：M x ql x 1 l 2EI 2EI
(F1 F2 )2 a 2EA
② 当杆件受到一组引起不同基本变形的外力作用时，在小变形时， 杆的应变能等于各力单独作用时的应变能之和，即可用叠加法。
Me F2
Vε Vε (F1 ) Vε (F2 ) Vε ( Me )
F1
③ 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）
Me A
,
F
A
先加Me, 再加F
Me
A,Me
Mel 3EI
A
C
EI
B
,
wC,M e
Me l2 16 EI
Me
A
,
A,F
Fl2
16 EI
F
EI
B
C
Fl3 wC,F 48EI
Vε
1 2
Me
A,Me
1 2
F
wC,F
Me
A,F
M e2l F 2l 3 FM el 2 6EI 96 EI 16 EI
l/2
BC 段： M (y1)=−FA l
M ( y1 ) l FA
D B
y1
FA (FA=F )
xA
CD 段： M (y2)=−FA l −F y2
M ( y2 ) l FA
F
Ay
材料力学第十章杆件计算的能量法
T
T
A
T
l
o
B
3.梁弯曲时的应变能
3.1 纯弯曲梁
l Ml
M
EI
W
1 2
M e
Vε
W
1 2
M
e
M 2l 2EI
M
l
3.2 剪切弯曲梁
弯矩M：
dVε M
M (x)2 dx 2EI
M (x)2 dx
Vε M l 2EI
剪力FQ：
6FQ
h2 (
y2)
0 2EI
l
2EI
FA
4
F2 A
l
3
F
l2 3
5FA Fl3
3EI 6EI 6EI
3.位移
Δ A
Vε FA
0
FA
5 16
F
例 求如图所示简支梁截面A的转角，设梁EI的为常数。
Mo A
M B
l
解：为了求A截面的转角A，可在A端加一虚力偶M0，如
图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角:
§10-2 杆件的弹性应变能
一、杆在基本变形下的应变能
1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能
F
F
A
l l1
Vε
1 2
FN l
FN2l 2EA
dF F1 F
o
d(△l) △l1
B △l
2.圆杆扭转时的应变能
W 1 T
2
Mx T
M xl
GIP
能量法
第十章能量法承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，从而使载荷位能减少。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定律，减少了的载荷位能将全部转变为应变能储存于构件或结构内。
据此，通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构加力点处沿加力方向的位移。
但是，机械能守恒定律难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。
应用更广泛的能量方法，不仅可以确定构件或结构上加力点处沿加力方向的位移，而且可以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移；不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。
本章介绍的是：用应变能的概念，根据能量守恒原理来解决与弹性结构或构件变形有关问题的一般方法，这种方法称为能量法。
能量法既可用于计算构件或结构位移；也可用以解决静不定问题及其它一些问题；本章只讨论用能量方法计算位移。
§10.1 杆件的应变能计算前面我们曾讨论过拉伸（压缩）、扭转或弯曲时的变形计算。
但是在工程上还常遇到比较复杂的结构，例如图10-1中所示的桁架、刚架——是指由直杆组成的具有刚性结点的结构、拱——是指杆轴为曲线而且在铅垂载荷作用下会产生水平支座反力的结构等。
在计算这些结构上某一点或某一截面的位移时，能量法是比较简单的方法。
通过拉伸（压缩）、扭转、弯曲时的应变能分析，可见：杆件在受力变形后，都储藏有应变能。
若不计杆件变形过程中少量的热能等损失，则杆件能量守恒，外力在弹性体变形过程中所作的功W应等于杆件内储藏的应变能Vε，即Vε=W。
在第七章我们曾经分别得到等截面杆各横截面上的内力为常量时，拉伸（压缩）、扭转、弯曲（参看图10-2）时的应变能表达式如下拉伸（压缩）时2122NPF lV F lEAε=∆=此处F N=F P（10-1）圆轴扭转时 2122x P PM l V M GI εϕ== 此处M x =M P （10-2）平面弯曲时 2122P M lV M EIεθ== 此处M =M P （10-3）综合以上三个表达式中外力表达的部分，可以把应变能概括地写为12V W F εδ==(10-4) 式中 F ——在拉伸（压缩）时表示拉力（压力），在扭转或弯曲时表示集中力偶，所以此处F 称为广义力；δ——在广义力作用处与广义力F 相应的位移，称为广义位移，在拉伸（压缩）时它是与拉力（压力）相应的位移l ∆，在扭转时它是与扭转力偶矩相应的转角φ，在平面弯曲时它是与弯曲力偶矩相应的截面转角θ（如图2所示）。
第10章 能量法
M n ( x) = − Px
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
EI L x
2
P A O
U =
∫
[M n ( x)]
L
2 EI
P 2 L2 dx = 6 EI
∂U PL3 = ③求位移 δ A = ∂P 3EI
例5(续): 求 A点的转角 解： ①求弯矩 M n ( x) = −(M 0 + Px) ②求变形能
U =
EI L x
P A O
N1 = N 2 cos α = Pctgα , N 2 =
对每个杆内能
2 2
P sin α
2
L
A N1 α
2
P
U =∫
L
[ N ( x)] dx + [ M T ( x)] dx + [ M n ( x)] dx = N
2 EA
∫
L
2GI p
∫
L
2 EI
L 2 EA
C
对整个杆系内能 N 12 l1 N 22 l 2 1 U = + = W = P yc 2 E A1 2 E A2 2 1 ( Pctg α ) 2 l1 l2 P 2 Py c = + ( ) 2 2 EA 1 2 EA 2 sin α
δ1 δi δn
δ2
Fi
Fn
1 n U = ∑ Fiδ i 2 i =1
二. 互等定理
1.功互等定理 Fi δ′ = Fjδ′ji ij
i 力在 j 力引起的位移δ’ij上 做的功等于j 力在 i 力引起 的位移δ’ji上做的功。
Fi
δ i′
i
0 Fj j
δ i′
i Fi
0
δ ij ′
δ j′
第10章 能量法
一、定理推导 二、杆件计算中的应用
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导 1)问题：求Fi作用力方向的位移 i a)加DFi后应变能的增量：
D2
F2
2
1 DF D n F D DU i i i i 2 i 1
Fi D i
i 1 n
F1
1
3
D 3 D i
F3
M ( x)
dx
§10.2 弹性应变能的计算
(三)弯曲 3. 剪切应变能 1)dx段应变能： 2 2 FQ dx 1 d xd A d U dA d x 2GA 2 2G 2)l段应变能： 2 FQ l l U 0dU 0 dx 2GA
FQ—横截面剪力，A—横截面面积
U
2 EA
j 1
n
F lj
j
2 Nj
n F l F U Nj j Nj i Fi F i j 1 EA j
3、弯曲梁：
M ( x) U dx l 2 EI
2
M ( x ) M ( x ) i l ( )dx EI Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用
Fi
DFi
D 1
i
b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组力，由 功能互等定理有： n U DU DFi 0 Fi D i DFi i DU i DFi i F i i 1
一、定理推导 2)卡氏第二定理公式及含义：
U i Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用 1、组合变形2
U
l
FN ( x ) M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx dx l l 2GI 2 EA 2 EI p
§10.4 卡氏第二定理
一、定理推导 1)问题：求Fi作用力方向的位移 i a)加DFi后应变能的增量：
D2
F2
2
1 DF D n F D DU i i i i 2 i 1
Fi D i
i 1 n
F1
1
3
D 3 D i
F3
M ( x)
dx
§10.2 弹性应变能的计算
(三)弯曲 3. 剪切应变能 1)dx段应变能： 2 2 FQ dx 1 d xd A d U dA d x 2GA 2 2G 2)l段应变能： 2 FQ l l U 0dU 0 dx 2GA
FQ—横截面剪力，A—横截面面积
U
2 EA
j 1
n
F lj
j
2 Nj
n F l F U Nj j Nj i Fi F i j 1 EA j
3、弯曲梁：
M ( x) U dx l 2 EI
2
M ( x ) M ( x ) i l ( )dx EI Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用
Fi
DFi
D 1
i
b)将F1、 F2 …Fi …看作第一组力，DFi看作第二组力，由 功能互等定理有： n U DU DFi 0 Fi D i DFi i DU i DFi i F i i 1
一、定理推导 2)卡氏第二定理公式及含义：
U i Fi
§10.4 卡氏第二定理
二、杆件计算中的应用 1、组合变形2
U
l
FN ( x ) M 2 ( x) T 2 ( x) dx dx dx l l 2GI 2 EA 2 EI p
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b2
整个梁的剪切变形能公式为：
2
U 2 l
kQ( x) dx 2GA
梁的变形能公式为：
弯曲变形能
2
2
U U1 U 2 l
M ( x) 2 EI
dx
l
kQ( x) dx 2GA
剪切变形能
k
A I2
A
( S *z )2dA b2
k是无量纲系数。它只于截面形状有关。
当截面为矩形时
I bh3 12
作用在单元体上，下两表面的力为 P = 1 1 =
其伸长量
l=1=
P
l
P
该单元体上外力作功为
1
0
d
1
d
1
P=
l=
l
P
1
P
d
1
单位体积的应变能即 比能 为
u
1
0
d
若取单元体的边长为dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为 dU = u dx dy dz
令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为
A
3 P2
P3
B
C
1 2
C
广义力：力和力偶 广义位移：线位移和角位移
假设广义力按某一比例 由零增致最后值
对应的广义位移也由零 增致最后值。
对于线性结构，位移与荷 载之间是线性关系，任一 广义位移，例如 2 可表示为
B P1
A
3 P2
2
dx
20l
2
2
1 EI
(
Px 2
2
)
dx
P2l3 96EI
梁的剪切变形能为：
2
U 2 l
kQ( x) 2GA
dx
20l
2
k 2GA
(
P 2
2
)
dx
k P2l 8GA
梁的变形能为：
U
U1
U
2
P2l3 96EI
k P2l 8GA
对矩形截面： 且
k 6, 5
I h2 A 12
第十 章
能量法
§10—( 1，2 ) 概述 ，杆件变形能计算 §10—3 变形能的通式 §10—4 互等定理 §10—5 卡氏定理 §10—6 虚功原理 §10—7 单位荷载法 • 莫尔积分 §10—8 计算莫尔积分的图乘法
§ 10—（ 1 ，2）概述 • 杆件变形能的计算
一，概述 可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作 功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上 就等于积蓄在物体内的应变能。
z
y
M(x) y I
Q(
x)
S
* z
I b
b
m
y
n
x
dx
hy
z
dA y
距中性轴为 y 处的应力取微元体积为
dV dA dx
b
m
y
n
x
dx
dV上的弯曲变形能为：
z
hy
dA
y dV dA dx
2
u1 dV
M ( x) y2 dAdx 2EI 2
dV上的剪切变形能为：
2
u2 dV
Q
(
x
)
(
S
* z
U d U udV
拉杆整个体积内各点的 u为常量，故有
U udV uV uAl
W
Δ1
0
P
dΔ
在 线弹性 范围内
u
1
0
d
U
W
1 2
P1Δ
1
P12 l 2EA
EAΔ 2l
2 1
拉压杆 扭转杆
E
u
1
0
d
1 2
E12
12
2E
G
u
0
1
d
2
1
G
1 2
2G
1
2
例题：试用比能计算横力弯曲的弯曲变形能和剪切变形能。
S
* z
b 2
( h2 4
y2)
k
A I2
A
(
S
* z
)2dA
b2
144 bh5
h 2
h 2
1 (h2 44
2
y2) bdy
6 5
例：图示简支梁，比较弯曲和剪切两种变形能。设截面为矩形。
P
x
l2
l2
解：
M(x) P x, Q(x) P
2
2
代入梁变形能公式
梁的弯曲变形能为：
M(x) P x, Q(x) P
U=W
能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体 的位移、变形和内力等的方法。
二，杆件变形能的计算 1，线弹性 条件下，通过外力功求应变能 （1）常力作功 ：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功
W P
（2）变力作功 ：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性关系。 (静荷载为变力）
轴向拉压杆内的变形能
2
2
U
1 2
P
Δ
l
Nl 2EA
0l
N (x)dx 2EA
扭转杆内的变形能
2
U
1 m φ 2
T2l 2GI P
0l
T (x)dx 2GI p
弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）
2
2
U
1 m
2
Ml 2EI
0l
M (x)dx 2EI
组合变形的变形能
2
2
2
U
N (x)dx l 2EA
)2
dAdx
2GI 2 b2
2
u1 dV
M ( x) y2 dAdx 2EI 2
2
u2 dV
Q
(
x
)
(
S* z
)2
dAdx
2GI 2 b2
整个梁的弯曲变形能为：
2
U1 0l u1dV
l
[
M ( x) 2EI 2
A
y2dA]dx
整个梁的剪切变形能为：
2
U 2 l
u dV 2
l
[
Q( x 2GI
)
2
A
(
S
* z
)2dA]dx
b2
2
U1 0l u1dV
l
[
M ( x) 2EI 2
A
y2dA]dx
A y2dA I
整个梁的弯曲变形能公式为：
2
U1 l
M ( x) dx 2 EI
2
U 2 l
u dV 2
l
[
Q( x 2GI
)
2
A
(
S
* z
)2dA]dx
b2
令
k
A I2
A
(
S
* z
)2dA
如：轴向拉（压）杆外力作功
l
W 1P 2
P
P
基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系
轴向拉，压
Δl N l EA
（ N 为轴力）
扭转
φ T l （ 为相对扭转角，T 为扭矩）
GI P
弯曲（不计剪力的影响）
M l EI
（ 为转角，M 为弯矩）
由 U = W , 可得以下变形能表达式
b
m
z
h
n
x
y
解：截面上的弯矩和剪力分别为 M(x) 和 Q(x)。
m
y
h
n
x
dx
距中性轴为 y 处的应力为
M(x) y , I
Q( x) S*z I b
b
z
y
b
m
y
h
n
x
dx
2
弯曲变形比能为：
u1
2 2E
M(x) y2 2EI 2
2
剪切变形比能为：
u2
2 2G
Q
(
x
)
(
S
* z
)2
2GI 2 b2
T (x)dx l 2GI p
l
M
( x )dx 2EI
2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能
P
P1 l
o
P
1
拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 P1 时， 杆端位移就由 0 逐渐增到 1 。
l
P
P P1
o
d
1
外力作功为
W
Δ1
0
P
dΔ
U
W
Δ1
0
P
dΔ
p
l
p
P
从拉杆中取出一个各边为 单位长 的单元体，
G E 2(1 )
U
2
:
U
1
12 5
(1
)
(
h)2 l
U
2
:
U
1
12 5
(1
)
(
h)2 l
取 =0.3 ，当 h/l = 1/5 时，以上比值为 0.125。当 h/l = 1/10 时， 比值为 0.0321。
可见只有对短梁才考虑剪切变形能，对长梁则可忽略不计。
§10—3 变形能的通式
B P1