高一数学 初高中衔接教材 数与式课件
第一讲数与式课件-2024-2025学年高一上学期初高中数学衔接知识
一、乘法公式
【公式5】立方和公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 请同学们证明 【公式6】立方差公式 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
【例2】计 算(：1) (4 m)(16 4m m2 )
解 : 原式 43 m3 64 m3 .
(2) ( 1 m 1 n)( 1 m2 1 mn 1 n2 )
a (2) ab＝_____b___(a≥0, b＞0)． (3)进行二次根式的加减运算时，先把各个二次根式化为 最简二次根式，再把____同__类__项__合__并_____，非同类二次根式不 能合并．
►知识点八 分式及其意义
• 形如___AB_____ (A、B都是整式，且B中含 有字母，B≠0)的式子叫做分式．
►知识点十 分式的运算
1．加减法：ac±bc＝_a_±c__b____，ab±dc＝__a_db_±d_b_c__. 2．乘除法：ab·dc＝___ba_dc____，ab÷dc＝ab·dc＝___ab_dc____. 3．乘方：(ab)n＝___ab_nn ____.(n为整数) 4．混合运算：先算乘方与开方，再算乘除，进行约分 化简后，最后进行加减运算，如有括号，先算括号里的，运 算的结果必须是__最__简____分式或整式．
(4) ( x2 2xy y2 )( x2 xy y2 )2
解 : 原式= ( x y)2( x2 xy y2 )2 [( x y)( x2 xy y2 )]2 ( x3 y3 )2 x6 2x3 y3 y6 .
一、乘法公式
【例3】计算： 已知x 2
3x
1
0, 求x3
• 【注意】(1)分式化简的一般过程：①有括 号先计算括号里面的(加减法关键是通分)；② 除法变为乘法；③分子分母能因式分解的先 进行分解；④约分；⑤进行加减运算：a.通分： 关键是寻找公分母；b.分子合并同类项；⑥得 出代数式．
《初高中数学的衔接》课件(2024)
03
数的概念扩展
从有理数扩展到实数，包 括无理数和复数，理解数 的连续性和完备性。
2024/1/30
式的概念深化
掌握代数式、多项式、分 式等概念，理解式的运算 和化简方法。
数论基础
了解整除、同余等基本概 念，掌握质数、合数、最 大公约数、最小公倍数等 知识点。
8
方程与不等式解法提升
方程解法提升
从一元一次方程、一元二次方程到高 次方程和分式方程，掌握各种方程的 解法，理解方程解的存在性和唯一性 。
回顾初中平面几何的基本概念、 性质和定理，如点、线、面、角
、三角形、四边形等。
总结初中平面几何的常见题型和 解题方法，如相似三角形、全等
三角形、圆的性质等。
强调平面几何在实际生活中的应 用，如测量、建筑、设计等。
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12
立体几何初步认识及空间想象力培养
介绍立体几何的基本概念，如点、线 、面、体、平行、垂直等。
课后复习
及时复习学过的知识，巩固记 忆并加深对知识点的理解。
独立思考
遇到问题时，尝试独立思考并 解决问题，培养自己的数学思
维和解决问题的能力。
2024/1/30
25
备考技巧分享：如何有效复习和应对考试
系统复习
做题训练
在考试前进行系统的复习，梳理知识脉络 和重点难点，确保对知识点的全面掌握。
通过大量的做题训练，提高解题速度和准 确性，培养自己的应试能力。
、切线等。
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04 概率统计部分衔 接要点
2024/1/30
15
概率论基本概念及计算方法
2024/1/30
事件的概率定义及性质
01
了解概率的直观意义，掌握概率的加法公式、乘法公式等基本
2024年度高中数学件初高中数学课堂衔接ppt课件
教师点评与指导
2024/3/24
点评内容
针对学生的讨论、讲解和展示进行点评，总结亮点和待改进之处 。
指导方法
根据学生的表现和需求，给予个性化的学习建议和方法指导。
拓展延伸
引导学生将课堂所学知识应用到实际生活中，培养解决问题的能力 。
26
THቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNKS
感谢观看
2024/3/24
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2024/3/24
14
04
初高中数学衔接点分析
2024/3/24
15
代数衔接点
数的概念扩展
从有理数扩展到实数，引入无理 数和复数，理解数的连续性和完
备性。
代数式的运算
掌握整式、分式的四则运算，理 解因式分解、配方等代数变形方
法。
方程与不等式
从一元一次方程、一元二次方程 到高次方程、分式方程、无理方 程等，理解方程的解法与性质； 掌握不等式的性质与解法，如一
1 2
空间几何体
认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征 ，能够描述这些几何体的形状和大小。
点、直线、平面的位置关系
理解空间中点、直线、平面的位置关系，掌握直 线与平面平行、垂直的判定定理和性质定理。
空间向量及其运算
3
理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算 和数量积运算，能够运用向量方法解决立体几何 问题。
包括圆的性质、圆的周长与面 积、扇形等。
空间图形
包括长方体、正方体、圆柱、 圆锥等空间图形的性质与计算
。
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8
概率与统计初步
概率初步
包括事件的概率、互斥事件与 对立事件、条件概率等。
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统计初步
高中数学初高中知识衔接课件a必修1a高一必修1数学课件
所以
k
12
4
1 4
k
2
1
2k
3
0,
1 4
k
2
1
5
解得 k=4,即当 k=4 时,方程的两实根的积为 5.
第十七页，共二十五页。
(2)方程(fāngchéng)的两实根x1,x2满足|x1|=x2.
解:(2)由|x1|=x2 知: ①当 x1≥0 时,x1=x2,所以方程有两相等实数根, 故Δ=0 k= 3 ;
第二十一页，共二十五页。
17.当 t≤x≤t+1 时,求函数 y= 1 x2-x- 5 的最小值(其中 t 为常数).
2
2
解:函数 y= 1 x2-x- 5 的对称轴为 x=1.
2
2
(1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t>1 时,当 x=t 时,
ymin= 1 t2-t- 5 ;
2
2
(2)当对称轴在所给范围之间.即 t≤1≤t+1 0≤t≤1 时:
15.解不等式 1 ≤3. x2
解:原不等式可化为 1 -3≤0 x2
3x 5 ≤0 x2
3x 5 ≥0 x2
3x 5 x 2 0
x 2 0
x<-2 或 x≥- 5 . 3
第二十页，共二十五页。
16.当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值. 解:作出函数的图象(tú xiànɡ).由图可知,当x=1时,ymin=-4, 当x=-2时,ymax=5.
x x
m 0, n0
或
x
x
m 0, n 0.
解得
x>m
或
x<n.
(2)不等式(x-
(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
初高中数学衔接课件(数与式)
单元总结
绝对值 乘法公式 二次根式 分式 因式分解
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1.１.1．绝对值
例1：（1）若 x 5 ，则x=_____5____
表示x轴上坐标为x的点到坐标原点之间的距离为5。 （2）x 1 意义：
表示x轴上坐标为x的点到坐标为1的点之间的距离。 （3）解不等式： x 1 x 3 ＞4
解法一：x 1 表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA| ＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|。
提取公因式法
当堂练习：
（1）mx y ny x x y• __(_m____n_)___________________。
（2）mx y2 ny x2 x y2 • __(_m___n__)___ ____________。
（3）mx y z ny z x x y z• _(_m____n_)___________。
= x6 1
1.1.3．二次根式
1、一般地，形如 a (a 0) 的代数式叫做二次根式 2、分母（子）有理化：
分母有理化：分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号 分子有理化：分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号 3、二次根式的化简与运算 二次根式的乘法可参照多项式乘法进行； 二次根式的除法先写成分式形式，再进行分母有理化； 二次根式的加减法在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。
解法一： 3 (3 3) = 3
3 3
=
3 (3 3)
(3 3)(3 3)
= 3 33
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初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离．2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>，去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2)利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1。
求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4。
求不等式｜x ＋2｜＋｜x －1|＞3的解集．例5。
解不等式｜x －1|＋|2－x ｜＞3－x ．例6。
已知关于x 的不等式｜x －5|＋｜x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式：（1）13x x -+-＞4+x（2）｜x +1｜<｜x －2| （3）｜x －1｜+|2x +1|<4 (4）327x -<（5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）2672x x ++（3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-．2．提取公因式法例2.分解因式:（1）()()b a b a -+-552(2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+-a （2）()()2223y x y x --+4．分组分解法例4.（1)x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+- 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c （a ≠0）的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-; （2）2244x xy y +-．练习(1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+（4)24129m m -+ （5)2576x x +- (6）22126x xy y +-(7）()()3211262+---p q q p (8）22365ab b a a +- (9)()22244+--x x（10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-（12）91264422++-+-b a b ab a （13）x 2－2x －1（14) 31a +； （15）424139x x -+;（16）22222b c ab ac bc ++++； （17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 （1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有：（1） 当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．(2）根与系数的关系（韦达定理)如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -,x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1。
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图象与 x 轴的交点个数：
①当 b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，Bx ，2 0 (x1 x 2) ，其中的 x1 ，x2是一元二次方程
ax2
bx c 0a 0 的两根。这两点间的距离 AB x2 x1
b2 4ac . a
②当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③当 0 时，图象与 x 轴没有交点.
必然相交于
点，此时m ．
例 4.抛物线 y x2 (2m 1)x 6m 与 x 轴交于两点(x，0) 和 (x ，0)，若 x x x x 49 ，要使抛物线
1
2
12
1
2
经过原点，应将它向右平移
个单位．
例 5.关于 x 的二次函数 y 2mx2 (8m 1)x 8m 的图像与 x 轴有交点，则 m 的范围是（ ）
（4） 3x 2 7 (5) 5x 7 8
3、因式分解 乘法公式
1 平方差公式(a b)(a b) a2 b2 2 完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2 （3）立方和公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 （4）立方差公式(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 5 三数和平方公式(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac) 6 两数和立方公式(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
4.若二次函数 y ax2 c ，当 x 取 x 、 x （ x x ）时，函数值相等，则当 x 取 x x 时，函数值为
1
2
1
2
Байду номын сангаас
1
2
（）
Ａ． a c Ｂ． a c Ｃ． c Ｄ． c
5、已知二次函数 y 1 x2 bx c ，关于 x 的一元二次方程 1 x2 bx c 0 的两个实根是1和 5 ，
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一个二次三项式ax2+bx+c如果能够因式 分解，一般有两种方法供选择：
分二次三项式因式分 解，而求根公式法具有一般性.所以
遇见二次三项式因式分解: 首先考虑能否提取公因式; 其次考虑能否选用十字相乘法; 最后考虑求根公式法．
因因式式分分解解应应用用举举例例
x 2 2 x2x 2 2 x 6
x 2 2 x 3 x 2 2 x 2
x 3 x 1 x 2 2 x 2
【点评】
用十字相乘法分解因式也要注意分解彻 底，有时可能会多次使用十字相乘法，并 且对于项数较多的多项式，应合理使用分 组分解法，找公因式，如五项可以三、二 组合.
㈡分组分解法 对于四项或四项以上的多项式，如果既没
有公式可用，也没有公因式可以提取,则可以 先将多项式分组处理,这种利用分组来因式分 解的方法叫做分组分解法．
★分组分解的关键是适当分组
用分组分解法，一定要想想分组后能否 继续完成因式分解，由此合理选择分组的 方法．
㈢十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把某些二次 三项式ax2+bx+c分解因式的方法叫做十字 相乘法.
讲座内容 一、乘法公式 二、因式分解 三、多项式的基本理论
一、乘法公式 1.平方差公式： (a+b) (a-b)=a2-b2 2.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2 3.立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 4.立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 5.三数和平方公式：
a b 2 2 c a b c 2
abc2
k 3 2 k 2 3 k 1 2
36
【点评】
分解因式有时并不是单一方法的应用， 而是多种方法的综合应用，一般来讲，我们 可以用下面的口诀来记忆：
二、解答题
还有其他方法分组 分解吗?
例2.已知 ak3, b2k,2,c3k1
求 a 2 b 2 c 2 2 a的 b 值2 b . c 2 ac
【思 解析路】a 如2 果 把b 2 a, b,c c2 直 接2 代a 进 去b 2 ,计b 算 量c 2 很a 大,所c以
先对所 求a 的2 式 b 子2 进 行2 a 因式 分 2 解b b ,再 代2 进a c 去 . c 2 c
一、填空题训练 二、解答题剖析
一、填空题 -8y2看成常数项，6y看成一
次项系数
1.分解因式 5x26xy8y2 .5x4yx2y
2.分解因式 4 xy22 yx3 2x . y2xy2
提取公因式2（x-y）2，注意符号
一、填空题
展开后分组分解
3.分解因式 x 2 y x 3 y 2 x y 3 .xyxy3
注意：系数a不能丢掉.
★一个二次三项式ax2+bx+c能不能分解成两 个一次因式的乘积，取决于方程ax2+bx+c=0 是否存在实数根.
于是： ①△>0时，ax2+bx+c 可分解成两个不同的 一次因式的乘积； ②△=0时，ax2+bx+c 是关于x的完全平方 式，即分解为两个相同的一次因式乘积; ③△<0时，ax2+bx+c 不能分解为两个一次 因式的乘积.
★正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1
(1)在式子 a2 c2中，竖向的两个数必须满 足关系a1a2=a，c1c2=c, 斜向的两个数必须满 足关系a1c2+a2c1=b.
（2）由十字相乘图中的四个数写出分解后 的两个一次因式时，图的上一行两个数中， a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数 项;在下一行的两个数中，a2是第二个因式中 的一次项的系数，c2是常数项.
即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如 果是负数，则应提出负号，利用恒等变形 把它转化为正数).
㈣求根公式法
要把二次三项式ax2+bx+c在实数范围内 分解因式，可先用求根公式求出相应的一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1和x2，然 后分解成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这种因 式分解的方法叫做求根公式法.
式子前添一项（2-1），然后 依次用平方差公式运算.
二、解答题
例1.已知 x 1 求 3,
x
x的4 值x.14
【思路】观察已知式与所求式的次数关系,很容易想
到把已知式子两边同时平方.
【解析】 x 1 3, 两边同时平方得:
x
x2 2x1 1 9, 所以 x x2
x2
1 x2
7,
再两边同时平方得:
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提公因式法和公式法外，还有十字相乘法、分组分 解法、求根公式法等等．
㈠提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式， 可以把这个公因式提到括号外面，将多项 式写成因式乘积的形式，这种因式分解的 方法叫做提公因式法.
★ 公因式的确定方法:
①取各项系数的最大公约数; ②字母取各项的相同字母; ③各字母的指数取次数最低的.
x4
2x2
1 x2
1 x4
49,所以
x4
1 x4
47
【点评】对于乘法公式 ①各乘法公式的使用条件,不可混淆; ②公式中的a,b可以是数，也可以是数学式子; ③注意公式的正用、逆用、灵活运用.
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它与 整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程 及各种恒等变形中起着重要的作用,是一项基本技 能．
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
乘乘法法公公式式应应用用举举例例
一、填空题训练 二、解答题剖析
一、填空题
逆用完全平方公式
1.若 x2y22x 则2y代2 数 式0,
x2010的y值201为1
.0
2.计算: 2 1 2 2 1 2 4 1 2 8 . 1 216-1
二、解答题 例1.分解因式
(x 2 2 x 1 )2 3 (x 2 2 x ) 7
【思解析路】( 我x 2 们 可2 以x 把 (1 x) 22 +2 x3 )看(x 成2一 个2 x 整)体 ，7 展开
后 两个可以二 利次x 用三2 十项2 字式x 相积2 乘的2 法形x 进式2 行， 2 分并x 解且 ，可1 而以 3 分继x 解续2 以分 后解2 x ，. 是7