七年级数学上册全册单元试卷专题练习(解析版)
七年级数学上册全册单元试卷专题练习（解析版）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8
（1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
（2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离．
【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.
（2）MN=
【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可；
（2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.
2．已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2018＝0，O为原点
（1）试求a和b的值
（2）点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，求点C的运动速度？
（3）点D以1个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以5个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以20个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，
M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：a＝－3，b＝9
（2）解：设3秒后，点C对应的数为x
则CA＝|x＋3|，CB＝|x－9|
∵CA＝3CB
∴|x＋3|＝3|x－9|＝|3x－27|
当x＋3＝3x－27，解得x＝15，此时点C的速度为
当x＋3＋3x－27＝0，解得x＝6，此时点C的速度为
（3）解：设运动的时间为t
点D对应的数为：t
点P对应的数为：－3－5t
点Q对应的数为：9＋20t
点M对应的数为：－1.5－2t
点N对应的数为：4.5＋10t
则PQ＝25t＋12，OD＝t，MN＝12t＋6
∴为定值.
【解析】【分析】（1）根据几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程，求出a、b的值，就可得出点A、B所表示的数。
（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离是点C到B点距离的3倍，可表示出CA=|x+3|，CB=|x-9|，再由CA=3CB，建立关于x的方程，求出方程的解，然后求出点C的速度即可。
（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示出点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值时常量，即可得出结论。
3．如图①，已知线段AB=12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．
（1）若点C恰好是AB的中点，则DE=________cm；若AC=4cm，则DE=________cm；（2）随着C点位置的改变，DE的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出DE的长；
（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任意一点C画射线OC，若O D、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【答案】（1）6；6
（2）解：DE的长不会改变，理由如下：
∵点D是线段AC的中点
∴
∵点E是线段BC的中点
∴
∴ DE = DC+CE
∴DE的长不会改变
（3）解：∵ OD平分∠AOC, OE平分∠BOC
∴ ,
∴
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关
【解析】【解答】解：（1）若点C恰好是AB的中点，则DE=6cm；
若AC=4cm，则DE=6cm；
【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE= (AC+BC)= AB；由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC，BE=EC，由此即可得到D E的长度；（2）由（1）知，C点位置的
改变后，仍有DE=CD+CE= (AC+BC)=AB，所以DE的长度不会改变；（3）由若OD、OE
分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE= (∠AOC+∠COB)=∠AOB，继而可得到答案.
4．一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,?另一个是30°,60°,90°）
（1）如图①放置，AB⊥AD,∠CAE=________，BC与AD的位置关系是________；
（2）在（1）的基础上，再拿一个30°,60°,90°的直角三角板，如图②放置，将AC′边和AD 边重合， AE是∠CAB′的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由. （3）根据（1）（2）的计算，请解决下列问题：
如图③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD= （是锐角），将一个45°,45°,90°直角三角板的一直角边与AD边重合，锐角顶点A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由.
【答案】（1）15°；BC与AD相互平行
（2）解：AE是∠CAB′的角平分线.
理由如下：如图②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°.
又由（1）知，∠CAE=15°，
∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分线
（3）解：AE是∠CAF的角平分线.
理由如下：如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=α，
∴∠BAE－∠BAC=∠DAE－∠FAD，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线
【解析】【解答】（1）解：∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=90°－45°－30°=15°，
∵AB⊥AD，AB⊥BC，
∴BC与AD相互平行
【分析】（1）∠CAE=∠BAD－∠BAC－∠EAD=15°，因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以BC与AD相互平行；（2）先计算出∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°，由（1）可得∠EAB′=∠CAE，所以AE是∠CAB′的角平分线；（3）分别计算出∠CAE=∠FAE=45°－α，所以AE是∠CAF的角平分线.
5．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，
（1）如图2中A′落在ED′上，求∠FEG的度数；
（2）如图3中∠A′ED′＝50°，求∠FEG的度数；
（3）如图4中∠FEG＝85°，请直接写出∠A′ED′的度数；
（4）若∠A′ED'＝n°，直接写出∠FEG的度数（用含n的代数式表示）. 【答案】（1）解：由翻折知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，
∴∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，
∵∠AEA′+∠DED′＝180°，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG＝（∠AEA′+∠DED′）＝90°；
（2）解：由（1）知∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，
∵∠A′ED′＝50°，
∴∠AEA′+∠DED′＝130°，
∴∠A′EF+∠D′EG＝ ×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，
∴∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG＝115°；
（3）解：∵∠FEG＝85°，
∴∠AEF+∠DEG＝95°，
∴∠A′EF+∠D′EG＝95°，
则∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG＝95°﹣85°＝10°；
（4）解：如图3，∵∠A′ED′＝n°，
∴∠AEA′+∠DED′＝180°﹣∠A′ED′＝（180﹣n）°，
∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG＝，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′＝ +n°＝；
见图4，∵∠AEA′+∠DED′﹣∠A′ED′＝180°，∠A′ED′＝n°，
∴∠AEA′+∠DED′＝180°+n°，
∵2∠A′EF＝∠AEA′，2∠D′EG＝∠DED′，
∴∠A′EF+∠D′EG＝，
∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′＝﹣n°＝；
综上，∠FEG的度数为或 .
【解析】【分析】（1）由翻折性质知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，据此得∠A′EF＝∠AEA′，∠D′EG＝∠DED′，结合∠AEA′+∠DED′＝180°可得答案；（2）由∠A′ED′＝50°知
∠AEA′+∠DED′＝130°，据此得∠A′EF+∠D′EG＝ ×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，根据∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG可得答案；（3）由∠FEG＝85°知∠A′EF+∠D′EG＝95°，根据∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG可得答案；（4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再分别根据∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′和∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′求解可得.
6．如图1，已知∠MON=140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB，
（1）在图1中，若∠AOC=40°，则∠BOC=________°，∠NOB=________°.
（2）在图1中，设∠AOC=α，∠NOB=β，请探究α与β之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，但每一步后面不必写出理由）；
（3）在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图2的位置，此时α与β之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系.
【答案】（1）50；40
（2）解：β=2α-40°，理由是：
如图1，∵∠AOC=α，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON，
∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°
（3）解：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40°，
理由是：如图2，
∵∠AOC=α，∠NOB=β，
∴∠BOC=90°-α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，
∵∠BOM=∠MON+∠BON，
∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，
答：不成立，此时此时α与β之间的数量关系为：2α+β=40.
【解析】【解答】（1）如图1，
∵∠AOC与∠BOC互余，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=50°，
∴∠BOM=100°，
∵∠MON=40°，
∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，
【分析】（1）先根据余角的定义计算∠BOC=50°，再由角平分线的定义计算∠BOM=100°，根据角的差可得∠BON的度数；（2）同理先计算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根据∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根据∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可.
7．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，
（1）若∠DCE=25°，∠ACB=？；若∠ACB=150°，则∠DCE=？；
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．
【答案】（1）【解答】∵∠ECB=90°，∠DCE=25°
∴∠DCB=90°﹣25°=65°
∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．
∵∠ACB=150°，∠ACD=90°
∴∠DCB=150°﹣90°=60°
∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣60°=30°．
故答案为：155°，30°
（2）【解答】猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）
理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°
（3）【解答】∠DAB+∠CAE=120°
理由如下：
∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB
故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．
【解析】【分析】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根
据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．
8．如图1，已知，是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结并延长交射线于点．
（1）如图1，当时， ________ ，猜想 ________ ；（2）如图2，当点为射线上任意一点时，猜想的度数，并说明理由；
【答案】（1）30；60
（2）解：结论：，
如图：
∵，
∴
在和中，，，
∴
∴．
∴
∴；
【解析】【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠EBF=30°；
猜想：；
理由如下：如图，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：30；60；
【分析】（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.
9．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。
小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，
下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）x的取值范围是________；
（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；
（3）在平面直角坐标系xOy中，
①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；
②描出当x＝120°时，y的值；
（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。
【答案】（1）40° （2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°）， ∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20, x=60时，y= x-20= ×60-20=10， x=70时，y= x-20= ×70-20=15， x=80时，y= x-20= ×80-20=20， x=90时，y= x-20= ×90-20=25， 补全表格如下： ； （3）解：①②如图： x=120时，y= x-20= ×120-20=40； （4）y= （x-a） 【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角， ∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°， 即40°+ x°<180°，x<140°， ∵PD平分∠CPB， ∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°）， ∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于 40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°， ∴x的取值范围是40° ∴∠DPB= °+ y°， ∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°， ∴∠CPB= °+ x°， ∵PD平分∠CPB， ∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°）， ∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）. 【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围； （2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可； （3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可； （4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解. 10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． （1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ． 如图（2）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ． （2）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由． （3）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．（填空） 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 【答案】（1）145°；145° （2）解：∠AOC与∠BOD互补． ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°． ∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC， ∴∠AOC+∠BOD=180°， 即∠AOC与∠BOD互补． （3）AB；OD；30°；CD；OA；45°；OC；AB；60°；AB；CD；75° 【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°； 如图2，若∠BOD=35°， 则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD =360°-35°-90°-90° =145°；（3）解：当 AB ⊥ OD 时，∠AOD = 30°． 当 CD ⊥ OA 时，∠AOD = 45°． 当 OC ⊥ AB 时，∠AOD = 60°． 当 AB ⊥ CD 时，∠AOD = 75°． 即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可． 11．已知，如图，在四边形ABCD中，，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使 （1）求证：； （2）求证：； （3）若BF平分，请写出与的数量关系________ 不需证明 【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF， ∴∠BAF=∠CAD； （2）证明：∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD， ∴∠B=∠D， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°， ∴∠D+∠BCD=180°， ∴AD∥BE； （3）2∠AFB+∠CAF=180° 【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE, ∴∠E=∠1=∠2， ∵BF平分∠ABC， ∴∠3=∠4， ∵∠AFB是△BEF的外角， ∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1， ∴∠AFB=3+∠2， 又∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°， 即2∠AFB+∠CAF=180°. 故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°. 【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°． 12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n. （1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°； （2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数； （3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °. 【答案】（1）75 （2）解：如图2， ∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴由（1）可得， ∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC； ∵∠BEC=140°， ∴∠BE1C=70°； （3） 【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠2， ∵∠BEC=∠1+∠2， ∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°； 故答案为：75； （ 3 ）如图2， ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴由（1）可得， ∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；… 以此类推，∠E n= ∠BEC， ∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °. 故答案为： . 【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和 ∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C= ∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数. 13．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。 （1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD； （2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。 ①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数； ②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。 【答案】（1）解：如图① 【法1】过点E作直线EK∥AB 因为AB∥CD，所以EK∥CD 所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK 所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD 【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180° 则∠BAC+∠DCA=180° 即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180° 所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC 即∠AEC=∠BAE+∠ECD （2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH 又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD 由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH = ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE = （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45° 【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH 因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x 又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x 又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90° 所以∠BAH=∠EAH=45°-x 由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45° ②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH 又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD 由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH = ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD = ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD) =90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC 【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y 因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°- 由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y ∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH =x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90° 所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°) 【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解； （2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解； ②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解. 14．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°． （1）求∠EDC 的度数； （2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数； （3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）． 【答案】（1）∵平分， ∴； （2）过点作，如图： ∵平分，；平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）过点E作，如图： ∵DE平分，；BE平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解． 15． （1）①如图1，已知，，可得 ________.