气体分子的平均自由程
气体分子平均自由程
气体分子平均自由程气体分子平均自由程，又称为“气体分子平均运动距离”，是指一定条件下的气体的分子在一段时间内的平均随机运动距离。
它表明气体分子随机运动的平均距离，是预测和理解气体特性的重要参数之一。
气体的物理性质受到气体分子的大小和运动状态的影响，而气体分子的运动状态可以用气体分子平均自由程来表征。
气体分子的运动是由气体分子间的相互作用引起的，气体分子平均自由程反映了气体分子之间存在的相互作用。
气体分子平均自由程可以从宏观物理学的角度来理解，它表示在一定温度下，气体分子的平均随机运动量，并由此而决定气体特性，例如密度、扩散速度、粘度等。
具体而言，气体分子的平均自由程是指在一定温度和压强下，气体分子在某一时刻回归到原点，以及在一段时间内平均随机运动的距离。
气体分子平均自由程是由气体分子之间的相互作用来决定的，而不同的气体分子会有不同的相互作用，从而使它们具有不同的气体分子平均自由程。
比如，氢分子和氦分子的相互作用较弱，它们的气体分子平均自由程也就较大；而氧分子和氮分子的相互作用较强，它们的气体分子平均自由程也就较小。
气体分子平均自由程的大小受多种因素的影响。
首先，气体分子的大小会影响它们的平均自由程。
一般来说，气体分子越小，它们的平均自由程就越大。
其次，气体分子之间的相互作用也会影响气体分子平均自由程。
一般情况下，气体分子间的相互作用越强，气体分子平均自由程就越小。
最后，温度也会影响气体分子平均自由程，即温度越高，气体分子平均自由程就越大。
气体分子平均自由程是气体物理性质的重要参数，它可以用来预测和理解气体的性质。
它可以用来计算气体的密度、扩散速度、粘度等特性，也可以用来计算温度和压强的变化对气体的影响，以及气体的运动规律。
05气体分子平均自由程
中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间内与A
相碰的分子数为: nd2ut
平均碰撞频率： Znd2ut nd2u
t
v
由统计观点可知，分子在各个方向发生碰
撞的概率是相同的，分子在0º~180º发生都
v
可以发生碰撞，平均起来碰撞夹角为90º。
v
u 2v
Znd2u 2nd2v
v
u
4
例：求空气在27ºC、1atm下平均碰撞频率是多少？ （空气分子直径为310-10m ）
在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平
均值。
平均自由程 分 1秒子内在 1秒 平内 均平 碰均 撞路 次即程 数
v Z
Z 2nd2v
v 2nd2v
1
2nd2
PnkT
Z
1 kT 2nd2 2d 2P
平均自由程与平均 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。
6
例：求空气分子在标准状态下的平均自由程。 （空气分子直径为31010m ）
有关分子碰撞的几个物理量：
平均碰撞频率 Z ：一个分子在单位时间内与其他分
子碰撞的平均次数。
平均自由程 ：在一定的宏观条件下一个气体分子
在连续两次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平 均值。
2
一、平均碰撞频率 Z
提出模型:分子是直径为d 的刚性小球,除碰撞外,无相 互作用力。
碰撞主要是由相对运动产生的。
气体分子的平均自由程
(第七章第8节)
1
在常温下，空气分子速率 400~500米，如果在讲台 上打开一瓶香水，后排的同学应立刻就可闻到香水味。 但实际需要 1~2 分钟才能闻到，这是为什么？
实际上由于分子激烈的热运动，不断地和其它分子 碰撞，分子不是走直线，而是折线。
平均碰撞频率平均自由程例题
气体分子的平均自由程例题2Z n σ=v 处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为气体分子平均自由程σλn 21=例：空气分子有效直径为3.5×10-10m 。
估计在标准状况下空气分子的平均碰撞频率、平均自由程。
5253231.01310 2.710m 1.3810273p n kT --⨯===⨯⨯⨯2912π 6.510s Z n d -==⨯v 解：数密度标准状况下空气分子平均速率为3888.31273446m /s π 3.142910m RT M -⨯⨯===⨯⨯v 平均碰撞频率标准状态下，1秒钟内，一个空气分子平均要与周围分子碰撞六十亿次。
平均自由程86.910m z λ-==⨯v d200≅λ可见标准状况下m 79.71021.3)103(π2117210=⨯⨯⨯=-317233m 1021.33001038.11033.1---⨯=⨯⨯⨯==kT p n 真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33× 10-3 Pa 。
设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞次数 。
解例求n d 21π21=λ由气体的状态方程, 有27.79m 10m->>所以此时空气分子的平均自由程为210m λ-=在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断地来回碰撞真空管的壁。
414.6810s Z λ-==⨯v m/s 7.468π8==M RT v 11160.17s Z λ-==v ★ 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。
（10-1 ~ 10-5 Pa 高真空）λ>>L例：混合理想气体:,A B r r ,A B m m ,A B n n T求：A 分子总的平均碰撞频率? B 分子总的平均碰撞频率? 各自的平均自由程?解：A AA ABZ Z Z =+2822π(2)πAA A A A A A AkT Z n n r m σ==⋅v AB B AB ABZ n σ=v 228()()πAB A B kT μ=+=v v v A B A B m m m m μ=+221π()π()4AB A B A B d d r r σ=+=+228842π()ππA A A A B B A kT kT Z r n r r n m πμ=⋅++228842π()ππB B B A B A B kT kT Z r n r r n m πμ=⋅++A A A Z λ=v B B BZ λ=v谢谢大家！。
气体平均自由程
气体平均自由程
气体平均自由程是指气体分子在单位时间内在碰撞前直线路径上能够自由运动的平均距离。
它是描述气体分子运动的重要参数之一，与气体的密度、温度和分子直径等因素有关。
根据气体动理论，气体分子之间的碰撞是完全弹性碰撞，即在碰撞过程中没有能量损失。
在两个碰撞间隔期间，气体分子可以自由运动。
当气体分子之间的碰撞频率很高时，其平均自由程就很短。
相反，如果碰撞频率很低，其平均自由程就很长。
根据运动学原理，气体分子的平均自由程可以通过下式计算：
平均自由程 = 1 / (根号2 * 分子数密度* π * 分子直径^2)
分子数密度是单位体积中气体分子的数量，分子直径是气体分子的直径。
气体的平均自由程决定了气体的输运性质。
当气体分子的平均自由程远大于其他物体的尺度（如容器大小、障碍物等），气体可以被视为连续介质，可以使用流体力学的方法来描述气体的运动。
相反，当气体分子的平均自由程接近于容器或障碍物的尺度时，气体分子的运动会受到分子间相互作用和碰撞的影响，需要使用分子动力学的方法来描述。
气体分子平均自由程表达式
气体分子平均自由程表达式在物理学中，气体分子的平均自由程(也称平均自由路径)是一个重要的物理量，它指的是气体分子在碰撞前后所移动的平均距离。
在理想气体中，分子之间的距离相对较小，因此自由程相对较长。
但是在实际气体中，气体分子之间的距离往往比较大，分子间的碰撞比较频繁，因此自由程也较短。
那么，气体分子平均自由程的表达式是什么呢？在这里，我们将详细讲解。
首先，我们需要确定一个基本概念——平均自由时间。
平均自由时间指的是气体分子运动中两次相邻碰撞之间的平均时间间隔。
与平均自由时间相关的是气体分子平均自由程，两者之间有如下关系：平均自由程=平均速度×平均自由时间接下来，我们需要进一步求解平均自由时间和平均速度。
首先，我们可以通过热力学的方法推导平均自由时间的表达式。
根据玻尔兹曼方程，假设气体分子的碰撞为完全弹性碰撞，即气体分子之间没有损失或转化的能量。
此时，可以得到分子平均自由时间的表达式：τ = [(1/√2)×π×d2×N]/(4π×d2×P×v)其中，τ为平均自由时间，d为分子直径，N为单位体积中的分子数，P为气体压强，v为分子平均速度。
接下来，需要对上式进行简单的推导。
我们可以通过分析气体中的分子运动状态，发现当分子的平均自由程大于等于分子直径时，分子之间的碰撞才可能发生。
因此，我们可以得到下式：π×(d/2)2×n×v×τ = 1其中，n为单位体积中的分子数。
通过上述推导过程，我们可以推导出平均自由程的表达式：λ = v×τ此时，将平均自由时间的表达式代入上式中，得到：λ = [(1/√2)×d2×N]/(4P)该公式是分子平均自由程的表达式。
根据该公式，可以发现分子平均自由程与分子直径、气体压强以及分子数等因素有关。
此外，还需要注意的是，该公式只适用于弹性碰撞情况下的气体分子。
气体分子的平均自由程输运过程的宏观规律输运过程的微观解释
一.热传导现象的宏观规律
热传导是热传递的三种方式(热传导.对流.热辐射)之一,它是当气体各处温度不均匀时 热量由温度高处向温度低处输运的过程.
1. dQ dS 2. dQ dt 3. dQ dT dz z0
2
2
在 T = 300K 时：
气体 J (10-46kgm2 )
2 kT
J
(s1)
H2 O2 N2 CO 2
0.0407 1.94 1.39 1.45
3.19× 1013 4.62 × 1012 5.45 × 1012
5.34× 1012
z 分子在碰撞中可视为球形
§2. 输运过程（transport process）
vt v 1
p nkT
Zt Z 2d 2n
二. 平均碰撞频率与平均自由程的关系
理想气体，在平衡态下，并假定：
kT
2d 2 p
（1）只有一种分子； （2）分子可视作直径为 d 的刚球； （3）被考虑的分子以平均相对速率 u 运动， 其余的分子静止。
中心在 扫过的柱体内的分子都能碰撞
3
dz z0
3
例5-2.实验测得标准状态下氢气的粘滞系数为 的平均自由程和氢气分子的有效直径.
8.5 .试10 求6 kg氢m气1s 1
解:根据
1 v 解出 ,并将, v的有关公式代入, 得
3
3 3 RT 3 RT 1.66107 (m)
气体的黏度随温度升高而增加，液体的黏度随温度升高而减少。
根据动量定理:dk=fdt,有:
dk du dSdt
dz z0
由于动量沿流速 减小的方向
06-6气体分子的平均自由程
我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！ 我们需要探讨分子之间相互碰撞的规律！
任一个分子在什么时间与其他分子发生碰撞 以及与哪个分子碰撞都不是我们想关心的
1 平均碰撞频率 Z
单位时间内一个分子平均 碰撞的次数
如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 如何计算分子的平均碰撞频率呢？ 追踪一个分子A， 追踪一个分子 ，计算单位时间内与该分 子相碰的分子数
σ = πd
σ u∆t
2
时间内，分子A走过的路程 在 ∆t 时间内，分子 走过的路程 相应圆柱体的体积
u∆t
在 ∆t 时间内，分子A与 时间内， ， 设分子数密度n，该 设分子数密度分子 与 其他分子的碰撞次数 圆柱体内总分子数
nπd u ∆t
2
根据麦克斯韦速率分布 根据麦克斯韦速率分布 律，气体分子的平均相 对速率与分子的平均速率存在下列关系 平均碰撞频率
√
A. Z 和λ 都增大一倍 B. Z 和λ 都减为原来的一半 C. Z 增大一倍而 减为原来的一半 增大一倍而λ D. Z 减为原来的一半而 增大一倍 减为原来的一半而λ
u = 2 ⋅v
nπd
2
Z=
2 v ∆t 2 = nπd 2 v ∆t
2 分子的平均自由程 λ
一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自 由路程的平均值 单位时间内分子走过的平均路程为 v 单位时间内分子与其他分子平均碰撞次数 Z 分子的平均自由程
1 v v = λ= = 2 2 2nπd Z nπd 2 v
追踪一个分子a计算单位时间内与该分子相碰的分子数分子间碰撞的简化模型把所有分子视为有效直径为d的刚性小球假设其他分子静止不动只有分子a在它们之间以平均相对速率运动以分子a的运动轨迹为轴线分子有效直为半径作一曲折圆柱体凡是分子中心在此圆柱体内的分子都会与分子a相碰圆柱体的截面积又称分子的碰撞截面设分子数密度n该圆柱体内总分子数时间内分子a与其他分子的碰撞次数根据麦克斯韦速率分布律气体分子的平均相对速率与分子的平均速率存在下列关系平均碰撞频率一个分子在连续两次碰撞之间所经过的自由路程的平均值分子的平均自由程nkt分子的平均自由程与平均速率无关与分子的有效直径及分子数密度有关当温度一定时分子的平均自由程与气体压强成反比
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT
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z0 0
df dS df’
u=u(z)
P
x
在流体内部z=z0处有一分界平面ds,ds上下相邻流 在流体内部z=z 处有一分界平面ds,ds上下相邻流 ds,ds 体层之间由于速度不同通过ds ds面互施大小相等方向 体层之间由于速度不同通过ds面互施大小相等方向 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 相反的作用力，称为内摩擦力或粘滞力。 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 实验表明粘滞力的大小df与该处流速梯度及ds的大 df与该处流速梯度及ds 小成正比。 小成正比。 du df = η ds 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 η 叫做流体的内摩擦系数或粘滞系数。 dz z0 微观机制（只讨论气体） 微观机制（只讨论气体） 气体的内摩擦现象在微观上是分子在热运动中输 运定向动量的过程。 运定向动量的过程。 1 根据分子运动论可导出 η = nmvλ 3
扩散 两种物质混合时，如果其中一种物质在各处的密度不均 两种物质混合时， 这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 匀，这种物质将从密度大的地方向密度小的地方散布， 这种现象叫扩散。 这种现象叫扩散。 宏观规律 只讨论最简单的单纯扩散 过程： 过程：混合气体的温度和 压强各处相同。 压强各处相同。两种组分 的化学性质相同如CO 气体。 的化学性质相同如CO2气体。 但一种有放射性如14C，另一 种无放射性如12C。
A
σ
Hale Waihona Puke 叫做分子的碰撞截面。 圆柱体的截面积为σ ，叫做分子的碰撞截面。 σ = πd2 在t 内，A所走过的路程为 u t， 相应圆柱体的 所走过的路程为 体积为 ， σut 设气体分子数密度为 。则 设气体分子数密度为n。 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在 时间 中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在t时间 内与A相碰的分子数为 内与 相碰的分子数为 nσu t 。 平均碰撞频率为
4-8 输运过程
当系统各部分的物理性质如流速、温度或密度不 当系统各部分的物理性质如流速、 均匀时，系统则处于非平衡态。 均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预 系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。 时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种 过渡称为输运过程。 过渡称为输运过程。 输运过程有三种：内摩擦、热传导和扩散。 输运过程有三种：内摩擦、热传导和扩散。 本节介绍其基本规律。 本节介绍其基本规律。
z
T2 dQ
A
T=T(z)
z0 0
dS
T1
B
x
设想在z=z0处有一界面dS，实验指出dt时间内通过 设想在z=z 处有一界面dS，实验指出dt时间内通过 dS dt dS沿 dS沿z轴方向传递的热量为 叫做导热系数 dT dQ = κ dSdt dz z0
κ
微观机制（只讨论气体） 微观机制（只讨论气体） 气体内的热传导在微观上是分子在热运动中输 运热运动能量的过程。 运热运动能量的过程。 1 根据分子运动论可导出 κ = nmvλcV 3
nσut Z= = nσu t
u = 2 v
Z = 2σvn = 2πd vn
2
平均自由程为
λ= 1 2σn = 1 2πd 2n
平均自由程与平均 速率无关， 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。 径及分子数密度有关。
P = nkT
λ= kT 2πd 2 P
在标准状态下，多数气体平均自由程λ 在标准状态下，多数气体平均自由程λ ~10-8m， ， 只有氢气约为10 。一般d~10-10m，故λ > > d 只有氢气约为 -7m。一般 ， 。可求得 ~109/秒。 秒 Z 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！ 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！
物体内各部分温度不均匀时， 物体内各部分温度不均匀时，将有热量由温度较高处传 热传导 递到温度较低处，这种现象叫做热传导。 递到温度较低处，这种现象叫做热传导。 宏观规律 设A、B两平行平板之间充 有某种物质其温度由下而 上逐渐降低，温度T 上逐渐降低，温度T是z的 函数， 函数，其变化情况可用温 度梯度dT/dz表示. dT/dz表示 度梯度dT/dz表示.
λ=
v Z
平均自由程 λ 和平均碰撞频率 Z的计算 设想：跟踪分子A，看其在一段时间 内与 设想：跟踪分子 ，看其在一段时间t内与 多少分子相碰。 多少分子相碰。 假设：其他分子静止不动，只有分子A在它 假设：其他分子静止不动，只有分子 在它 运动。 们之间以平均相对速率 u 运动。 分子A的运动轨迹为一折线 分子A的运动轨迹为一折线 u = 2 v 的中心运动轨迹（ 以A的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以 的中心运动轨迹 图中虚线）为轴线， 分子有效直径d为半径 作一曲折圆柱体。 为半径， 分子有效直径 为半径，作一曲折圆柱体。凡 中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰 相碰。 中心在此圆柱体内的分子都会与 相碰。
平均自由程 λ 和平均碰撞频率 Z的定义 平均自由程 在一定的宏观条件下一个气体分子在连续两 λ 次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。 次碰撞之间所可能经过的各段自由路程的平均值。 平均碰撞频率 z 一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。 一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数。 二者关系 Z
4-7 气体分子的平均自由程
分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到 分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到 碰撞 平衡态的过程中起着关键作用。 平衡态的过程中起着关键作用。 在研究分子碰撞规律时， 在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引 力的有效直径为 的刚球。 有效直径为d的刚球 力的有效直径为 的刚球。
z
dM dS
ρ= ρ(z)
z0 0 x
设一种组分的密度沿z轴方向减小，密度ρ 设一种组分的密度沿z轴方向减小，密度ρ是z的 函数，其不均匀情况用密度梯度dρ/dz表示。 函数，其不均匀情况用密度梯度d /dz表示。 表示 设想在z=z0处有一界面dS。实验指出， dt内通过dS面传 内通过dS 设想在D为扩散系数 dS。实验指出，在dt内通过dS面传 z=z 处有一界面dS 递的这种组分的质量为 dρ dM = D dSdt dz z0 微观机制（只讨论气体） 微观机制（只讨论气体） 气体的扩散在微观上是分子在热运动中输运质量 的过程。 的过程。 根据分子运动论可导出 D = 1 vλ 3
内摩擦 流体内各部分流速不同时就发生内摩擦现象。 流体内各部分流速不同时就发生内摩擦现象。 宏观规律 设想流体被限制在两大平 行平板P 之间， 静止， 行平板P、Q之间，P静止， 以速度u Q以速度u0沿x方向匀速运 板间流体也被带动沿x 动，板间流体也被带动沿x 方向流动， 方向流动，但平行于板的 各层流体的流速u不同，u 各层流体的流速u不同， 的函数。 是z的函数。其变化情况用 流速梯度du/dz表示。 du/dz表示 流速梯度du/dz表示。