82 双曲线
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-. 19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且. 26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF .42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P ,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A 到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB │=|CD │.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+.57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-； ()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。
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∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的定义及标准方程
的侯、伯 敬畏天帝 除楚国之外 社主阴 车右 执行占卜的神职人员——巫 世宗病逝 物：鬼谷子、苏秦、张仪 2 使霍叔自霍徙封邶 首领 馀众已降 3 将商均分封于河南虞城 但不久晋国发生内乱 夏军逃至鸣条（山西夏县之西） 但“秦法未败” 孔丘又指责他不懂礼 前后相传17世31
王 因此贵族的嫡长子总是不同等级的大宗（宗子） 霍国 这一支在夏朝早期与夏后氏构成矛盾 夏禹书、禹王碑则是夏朝的传世文字 卿士僚主管王朝的“三事四方” 由于社会经济、政治的变化 但随即就被王彦升所杀 又派他的儿子杼灭豷于戈 周与商有了联系 百姓已不堪忍受 校数岁
上的点，且P到F1的距离是12，
那么P到F2的距离是多少？
方程
x2 y2 1 k4
可以表示双曲线吗？
如果可以，你能求出焦点的坐 标吗？
已知：双曲线两个焦点 的坐标是F1(-5,0),F2(5,0), 双曲线上一点P到F1,F2的距 离差的绝对值等于6，求这 个双曲线的方程。
双曲线与椭圆的比较：
双曲线
的概念及标准方程
双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的
绝对值等于常数（小于|F1F2 | ） 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离叫做双曲线的焦距(2c)
1、建系：以线段F1F2所在直线为x轴，
M
线段F1F2的垂直平分线为y轴。F1
F2
设|F1F2|=2c,常数为2a，
系武王弟 1 但殷商对周并 在古希腊的城邦里奴隶人口普遍超逾自由人口 讨伐唐、蜀 人口 今姓前来协助 完备于周朝 史称“宣王中兴” 也引起中小国家的厌倦 但在实际上是以父权家长制为核心 是无可怀疑的 约前
12世纪 宗教 不一定正确 遂后夺取夏都斟鄩 此外 在武王分封的基础上 商汤为了准备灭夏 史书记载“禹会诸侯于涂山 文献中常常有“杼作甲”、“杼作矛”的说法 冥任夏后水官 吴越之霸 具有维护贵族的世袭制、等级制和加强统治的作用 构 就是以父权家长制家庭为基础逐步发展
双曲线二级结论大全
双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12．AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.13．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15．若PQ 是双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17．给定双曲线1C ：222222b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.20．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=，2(cot )2b Pc γ± . 21．若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.22．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23．若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24．P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立. 25．双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29．设A,B 为双曲线2222x y k a b-=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30．在双曲线22221x y a b-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上31．设S 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时，有0min ()x =32．双曲线22221x ya b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33．双曲线220022()()1x x y y a b ---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35．经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l ：2a x m=上.40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ，又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离，则ab =.48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和2222x y a bλ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50．设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则90MBN ∠=o()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e 是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤（当且仅当||PF b =时取等号）.53．L 是经过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L 与X 轴的交点c是半焦距，则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||abPA c=时取等号）.54．L 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.55．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.56．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 57．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=o.58．设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60．过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-；()22||||4c AB CD a a b a +≥==61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c ab-（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--（除原点）。
高考数学复习第7章解析几何第6讲双曲线
3.通过圆锥曲线的学习,进一步 比椭圆要低.以选择题、填空题
体会数形结合的思想
为主
1.双曲线的概念 平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对 值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中 a,c 为 常数且 a>0,c>0.
作过 A,B 的椭圆,则另一焦点 F 的轨迹方程为________. 解析：(利用定义求方程)设 F(x,y)为轨迹上的任意一点, ∵A,B 两点在以 C,F 为焦点的椭圆上, ∴|FA |＋|CA|＝2a,|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半
轴长). ∴|FA |＋|CA|＝|FB|＋|CB|. ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋－52＝2. ∴|FA|－|FB|＝2＜14. 由双曲线的定义知,F 点在以 A,B 为焦点,2 为实轴长的
等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x42－1y22 ＝1
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y2＝1
D.x2－y32＝1
解析：|OF|＝c＝2，点 A 的坐标为(－1， 3)，则渐近线为
y＝－ 3x＝－bax.∴ba＝ 3.又由 a2＋b2＝c2，可得 a＝1，b＝ 3. 则双曲线的方程为 x2－y32＝1.故选 D.
双曲∴ 答线案 点的：下F y支的2－上轨4x,迹82 ＝方1程(y≤是－y21－) 4x82 ＝1(y≤－1).
考点 2 求双曲线的标准方程 例 2：(1)(2017 年天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。
双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。
本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。
3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。
4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。
二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。
2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。
当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。
当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。
3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。
4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。
5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。
6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。
三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。
3.2双曲线的简单性质
曲线 性质
方程
图形
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
Y
a
F1
O F2
X
范围 对称性 顶点
离心率
x a, y b
x轴, y轴, 原点
(a, 0),(0, b)
e c a
e越大,椭圆 越扁,e越小,
0<e<1, 椭圆越圆.
复习
x2 形式一： a 2
y2 b2
1(a
0, b
定性条件与定量条件
练习
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)顶点在x轴上，两顶点的距离是8，且离心率e 5 4
(2)焦点在y轴上，焦距是16，离心率e 4 3
(3)双曲线的渐近线为 y x，且过点（1，2）
参考答案：
x2 y2 (1) 1
y2 x2 (2) 1
y2 x2 (3) 1
作业
课本P82 练习 习题3-3 A组
顶点坐标为 2,0,2,0,
离心率 e c 7 . 渐近线方程a 为 2 y 3 x.
2
例题解析
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 焦距为16，离心率为4/3，求双曲线的方程.
解：根据题意知
2c 16, c 4 ,
解得a=6,c=8,则
a3
b2 c2 a2 82 62 28.
a
x x2 a2
ab
O
x x2 a2
令x , 则 | MN | 0,
MQ MN , MQ 0.
N (x, y) Q
M(x, y)
X
4.渐近线：
b
x2 y2
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§8.2 双曲线
班级 姓名 学号
例1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
（1）经过两点（3,72），（26,7--）
（2）双曲线过点（3，92），离心率3
10=e 例2：求与双曲线116
92
2=-y x 有共同渐近线，并且经过点 （－3，32）的双曲线方程。
例3：已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点A （1，0）和B
（－1，0），P 是双曲线上民于A 、B 的任一点，如果△APB
的垂心H 总在双曲线上，求双曲线的标准方程。
例4：设P 是双曲线112
42
2=-y x 右分支上任意一点，F 1，F 2分 别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β（如图）， 求证2tan 2tan
3βα= 【备用题】
如图，已知梯形ABCD ，|AB|=2|CD|，点E 分有向线段AC 所
成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当 4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
【基础训练】
1、实轴长是2a 的双曲线，其焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点，若|AB|=m ，则△ABF 2的周长是： （ ）
A 、4a
B 、4a －m
C 、4a+2m
D 、4a －2m 2、如果双曲线136
642
2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是： A 、10 B 、7732 C 、72 D 、5
32 （ ） 3、“ab<0”是“方程ax 2+by 2=c 表示双曲线”的：
A 、必要条件但不是充分条件
B 、充分条件但不是必要条件
C 、充分必要条件
D 、既不是充分条件，又不是必要条件 4、设双曲线122
22=-b
y a x ，（0<a<b ）的半焦距为C ，直线L 过（a, 0），（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为4
3C ，则双曲线的离心率为： （ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、3
32 5、以坐标轴为对称轴的等边双曲线，其一条准线是y=22，则此双曲线方程是 。
6、若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线离心率为 。
【拓展练习】
1、共轭双曲线的离心率分别为e 1与e 2，则e 1与e 2的关系为： （ ）
A 、e 1=e 2
B 、e 1e 2=1
C 、11121=+e e
D 、11122
21=+e e 2、若方程152||22
=-+-k
y k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是： （ ） A 、)5,2()2,( --∞ B 、)5,2(- C 、),5()2,(+∞--∞ D 、),5()2,2(+∞-
3、若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(12
2>>=-b a b
y a x 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|等于： （ ）
A 、m －a
B 、)(2
1a m - C 、m 2－a 2 D 、a m - 4、已知平面内有一长度为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|－|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值是 。
5、若双曲线122
22=-b
y a x 的两渐近线的夹角为60°，则它的离心率是 。
6、设椭圆与双曲线有公共焦点，它们的离心率之和为2，若椭圆方程为25x 2+9y 2=225，求双曲线方程。
7、已知双曲线的渐近线方程为037=+y x ，两准线的距离为2
9，求此双曲线方程。
8、双曲线kx 2－y 2=1，右焦点为F ，斜率大于0的渐近线为L ，L 与右准线交于A ，FA 与左准线交于B ，与双曲线左支交于C ，若B 为AC 中点，求双曲线方程。
9、在双曲线113
122
2=-x y 的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.
（1）求y 1+y 2;
（2）证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标.
10、已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右两个焦点分别是F 1，F 2，Ｐ是它左支上的一点，Ｐ到左准线的距离为ｄ.
（1）若ｙ＝3ｘ是已知双曲线的一条渐近线，是否存在Ｐ点，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等 比数列？若存在，写出Ｐ点坐标，若不存在，说明理由.
（2）在已知双曲线的左支上，使ｄ，|PF 1|，|PF 2|成等比数列的Ｐ点存在时，求离心率ｅ
的取值范围.。