中职数学拓展模块双曲线几何性质(上课)
【高教版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线》ppt课件(3)
巩 固 知 识 典 型 例 题
解题关键是判断双 曲线的焦点在哪个数 轴．方法是观察标准 方程中含x项与含y项的 系数的符合，如果含x 项（或含y项）的系数 为正数，那么焦点在x 轴（或y轴）上，并且 该项的分母为a2 ．
例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距．
x2 y2 1；（2） y 2 x2 4． （1） 144 25
从实验中发现：笔尖（即
点M）在移动过程中，与两个 定点F1、F2 的距离之差的绝对 值始终保持不变（等于拉链两 边的长度之差）．
M
我们将平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为 常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两
动 脑 思 考 探 索 新 知
个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤 来研究双曲线的方程． 取过焦点 F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如 图，设双曲线的焦距为2c，则 两个焦点 F1、F2 的坐标分别为 （－c，0），（c，0）．
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.2
双曲线
我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图），将拉链的两边分别 固定在两个定点F1、F2 （拉链两边的长度之差小于 F1、F2的距离）
创 设 情 境 兴 趣 引 入
上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢 慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固 定在 F1、F2 处，用同样的方法 可以画出图形的另一部分．
设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2 的距离之差的绝对值为2a，则
MF1 MF2 2a，
中职数学拓展模块双曲线几何性质(上课)
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
《3.2.2 双曲线的几何性质》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《双曲线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：掌握双曲线的几何性质，包括开口方向、焦点位置、离心率等，能够运用双曲线知识解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养数学兴趣和探究精神，增强对数学与生活的联系认识。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握双曲线的几何性质，如开口方向、焦点位置、离心率等。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高解决问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪等教学设备，以及双曲线标准图象。
2. 制作课件：包括双曲线标准图象以及相关问题的示例和解答。
3. 搜集资料：收集与双曲线几何性质相关的实际应用案例，用于课堂讲解和讨论。
四、教学过程：本节课是双曲线的几何性质第一课时，是在学生学习了椭圆性质的基础上进行学习的，学习目的是通过类比学习，培养学生自主学习和探究的能力。
为了达成目标，结合本节课内容，我设计如下五个环节：1. 创设情境，引入课题以刘翔跨栏的视频情境为切入点，请学生回想如何计算位移与时间。
将刘翔百米跨栏比赛的视频进行回顾剪辑，给学生展示赛前与比赛结束的栏杆间距和所用时间，引导学生回忆计算位移的方法。
教师给出实际问题：在离地面3米高处要安装一个灯箱，离地面5米高处再安装一个灯箱，如果要求灯箱与地面距离差不超过2米，问两条灯箱的位置应如何设置？请用数学语言描述这个问题。
学生尝试用学过的知识解决这个问题。
通过类比问题，引入双曲线概念和简单几何性质。
设计意图：以刘翔跨栏视频创设情境，有利于激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会到数学与体育的关系无处不在，同时也自然地引入课题。
2. 自主学习，合作探究将学生分成小组，结合课件通过多媒体网络自学教材内容，对双曲线的定义及几何性质进行自主探究，解决在自学中遇到的疑难问题。
在此过程中教师巡回指导，帮助学生解决疑难问题。
《3.2.2 双曲线的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《双曲线的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为《双曲线的几何性质》。
双曲线是中职数学课程中的重要内容，它不仅在数学本身有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也有着重要的意义。
本课将围绕双曲线的定义、性质、几何图像以及相关计算进行学习。
二、学习目标1. 知识与技能：理解双曲线的定义和标准方程，掌握双曲线的基本几何性质；能利用双曲线的性质解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：通过观察双曲线的图像，培养学生利用数形结合的思想理解数学概念的能力；通过解决实际问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：通过本课学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养他们认真、严谨的学习态度和良好的学习习惯。
三、评价任务1. 知识评价：通过课堂提问、随堂测验等方式，评价学生对双曲线定义、性质及标准方程的理解程度。
2. 能力评价：通过课堂练习、小组讨论等形式，评价学生利用双曲线知识解决实际问题的能力。
3. 过程评价：通过观察学生在课堂上的表现，评价他们的学习态度和学习习惯，包括参与度、合作能力、探究精神等。
四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的内容（如直线、圆等），引出双曲线的概念，为学习新知做铺垫。
2. 新课学习：首先介绍双曲线的定义和标准方程，然后通过具体例子讲解双曲线的几何性质。
在此过程中，可以结合图像和动画，帮助学生更好地理解双曲线的形状和性质。
3. 课堂练习：布置相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时解答学生疑问。
4. 小组讨论：分组进行讨论，让学生分享自己的解题思路和方法，互相学习、互相启发。
5. 总结归纳：对本次课的学习内容进行总结归纳，强调重点和难点内容。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或作业的方式，检测学生对双曲线知识的掌握情况。
2. 课后作业：布置相关练习题和思考题，让学生巩固所学知识并拓展思维。
六、学后反思1. 学生反思：引导学生对本次课的学习过程进行反思，总结自己的收获和不足。
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
【语文版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线的标准方程和性质》课件(1)
数，可得到另一条曲线.
结论 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.1
问题 2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差
的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
答案 若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支.
本 讲
问题 3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差
栏 目
的绝对值为常数 2a,2a<|F1F2|?
开 关
答案 只有当 2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；当 2a
＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a>|F1F2|时，满足条
数符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2 系数为正时，焦点在 x
轴上；当 y2 系数为正时，焦点在 y 轴上.而与分母的大小无关.
两种形式可统一表示为 mx2＋ny2＝1(mn<0).
本 问题 3 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上
讲 栏
找一点 B，使|OB|＝b 吗？
目
开
关
答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线 段 OF2 为半径画圆交 y 轴于点 B.
焦点在 y 轴上
本 讲 栏 目
标准 方程
xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)
开
关
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝ 2c ，c2＝ a2＋b2
《双曲线》中职数学(拓展模块)2.2ppt课件1【人教版】
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O F2
x
F1
F2
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
M F2 (c,0x)
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
y
M
x F1(0) O F2 (c,0)
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件3
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=常数 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 常数
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
双曲线在生活中 ☆.☆
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
方法感悟
1．对双曲线定义的理解
双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，不要漏了绝 对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
解题时，也要注意“绝对值”这一个条件，若去掉定义中的 绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
83
为3
.
2. y2-2x2=1的焦点为(0,
6 2
)
、焦距是6 .
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是 -2<<-1 .
练习巩固:
下列方程各表示什么曲线? (1) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 4
方程表示的曲线是双曲线
(2) (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 5
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F2 x
F1 O F2 x
O
b2 1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为
正，则在哪一个轴上
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y＝
b x a
结论：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
3 （0,4），离心率为 ，求双曲线的标准方程 2
及其渐近线方程。
小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b a y2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是 y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y2 x2 y2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
2
3
关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
4
5
6
例3求双曲线 9x2 16 y 2 144 的实轴长、虚轴长、 焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程。
例4已知双曲线的一个焦点为（6,0），渐近线 2 5 x, 求双曲线的标准方程。 方程 y= 5
例5已知双曲线的两个顶点坐标为（0，-4），
( 0＜ e ＜ 1 )
离心率 渐近线
无
y=±
b x a
如何记忆双曲线的渐进线方程？ y
0
x
可以直接由双曲线方程推出渐近线方程？ 双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
x a 或 x a， y R
y a 或 y a， x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（－ a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，－a），A2（0，a）
c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
椭圆与双曲线的性质比较：
③c
2 2 2
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x2 y2 1 ( a 0 b 0) a 2 b2
y x 1 (a 0 ,b 0 ) a b
双曲线的性质
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“—”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
椭 圆 方程 a b c关系
x y 2 a2 b
2 2
双曲线
x2 a
2
1 （ a＞ b ＞0）
y2 b
2
ห้องสมุดไป่ตู้ （ a、b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
图象
F1
0
F2
X
F1
0
y
图象
F1
0
Y
M
p
F2 X
F2
X
F1
0
范围 对称性 顶点
|x|a,|y|≤b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 (-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b e=
c (e1) a
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴：2a 短轴：2b
c e= a