西大期末考试高数试题及答案
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西北大学成人教育学院2018-2018学年第二学期期末考试
高等数学<90分钟）试题
2018年1月
一、选择题<每题3分，共30分）
1、当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是< ）
A
、x
1 B 、x
x sin C 、)1ln(x + D 、
2x
x 2、一元函数在某点极限存在是函数在该点连续的< ）
A
、必要条件 B 、充分条件 C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
3、若函数)(x f 在点1=x 处可导，则
=∆-∆-→∆x
f x f x )
1()21(lim
< ）
A 、)1(f '
B 、)1(2f '
C 、)1(f '-
D 、
)1(2f '-
4、设⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-+-=2
,2,2
2
3)(2x a x x x x x f 为连续函数，
则=a
< ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、任意值
5、若)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且< ），则)(x f 在),(b a 上单调增且凹的
A 、0)(,0)(>''>'x f x f
B 、0)(,0)(<''>'x f x f
C 、0)(,0)(>''<'x f x f
D 、0)(,0)(<''<'x f x f
2 / 7
6、=⎰-1
1dx x < ） A 、0 B 、1 C 、2
D 、3
7、过点)2,1(且切线斜率为34x 的曲线方程为< ）
A 、4x
B 、c x +4
C 、14+x
D 、14-x
8、若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是< ）
A 、矩阵A 必是方阵
B 、
0=A
C 、
A
*
1
=
- D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵 9、设)(x F '=)(x G '，则< ）
A 、)()(x G x F =
B 、)()(x CG x F =
C 、C x G x F +=)()(
D 、C
x G x F )()(=
10、已知向量组)0,0,1(1=α，)0,2,0(2
=α，)3,0,0(3=α，
则下列说法不正确的是< ） A 、向量组321,,ααα线性无关
B 、以向量321,,ααα为行排列成的矩阵的秩是3
C 、向量21,αα及向量32,αα也线性无关
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D 、向量31,αα线性相关
二、填空题<每题3分，共15分）
1、若23sin lim 0
=→x
kx x ，则=k 。
2、曲线上任意一点的切线斜率为x 2，且过)1,1(-点的曲线方程是 。
3、⎰-=0
2sin πxdx 。
4、已知A 为三阶方阵，且
2=A 则
=A 2 。
5、当A 为6阶方阵，4)(=A R ，则齐次线性方程组
0=AX 的一个基础解系中所含解向量个数为
个。
三、计算题<每题6分，共30分）
1、计算极限：3
29
lim 223---→x x x x
2、已知：x x x y ln sin 22
+=，求：y ' 3、用凑微分法求：⎰dx x x 2
sin
4、计算行列式
4
1
21
115、判断矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=121011322
A 是否有逆矩阵，若有求出逆矩
阵1-A 。
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四、应用题<共10分）
求由曲线x y =2与2x y =所围成的的平面图形的面积。
五、简答题<15分）
λ为何值时，线性方程组⎪
⎩
⎪⎨
⎧=-+=+--=++-2321321321222
2λλx x x x x x x x x 无解？有唯一解？有无穷多解？
西北大学成人教育学院期末考试答题纸
试卷代号： 科目： 考试时间： 年 月
1、考生必须准确填写试卷代号和科目名称,否则答题无效；
2、所有题目均需答在答题纸上并详细标明各题题号，答在原试卷上一律不计分；
3、答题纸正反面均可答题，共四页。
阅卷教师注意：
请核总分人员根据卷面实际将多余题号删掉。
一、
选择题 第3页 共5页
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二、
填空题
1、 ，
2、 ，
3、 ，
4、 ，
5、
三、计算题
1、 2、
3、
5、
四、应用题 五、简答题
西北大学成人教育学院2018-2018学年第一学期期末考试
高等数学试题参考答案
1、6
2、22-=x y
3、-1
4、16
5、2
三、 计算题
1、 解：3
29
lim 223---→x x x x =)
1)(3()3)(3(lim 3+-+-→x x x x x 第4页 共5页
第5页 共5页
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=13lim
3
++→x x x =2
3
2、 解：x
x x x x y 1
cos 2sin 42
++='
3、 解：⎰dx x x 2
sin
=22
sin 21⎰dx x
=c x +-2
cos 2
1
4、 解：2)12)(13)(23(941
321
1
11
=---= 5、 解：013221
2
1
011
322
≠-=+--=--=A ，所以1-A 存在 因为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=46135
134
1*A ， 所以⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----==-46
135
1341*
1A A A 四、 应用题
因为x y =2与2
x y =的交点为)0,0(和)1,1(点，
所以dx x x S ⎰-=1
02
)(
⎰
⎰⎰-=-1
1
2
1
2
)(dx x dx x dx x x
=01
32013123
3x x -
3
13231-=-= 所以曲线x y =2与2x y =所围成的的平面图形
的面积为3
1-
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五、 简答题
解：⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----=221112
12112λλA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21121212112λλ ⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-----=22
222330330211λλλλ ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+---=2000)1(3302112
2λλλλλ 当022=-+λλ，即2-=λ或1=λ时，32)()(<==A R A R ，方程组有无穷多解
当022≠-+λλ，即2-≠λ或1≠λ时，3)(2)(=≠=A R A R ，则方程组无解
申明：
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大一第二学期高数期末考试题(含答案)讲课稿
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
(完整word版)大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du du u u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分）1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A)(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C)(0)0f '= （D)()f x 不可导。
2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B)()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； (D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则( ）.(A)函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C)函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x (B)222x+（C ）1x - (D)2x +。
二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x 。
三、解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y 。
西安工业大学高数期末考试题及答案试题
高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分） 1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→xy x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin=+xy e xz 确定，则=-=-=∂∂xzzy xex y xF F yz cos 1xzex x y2cos -.3.设函数222ln zy x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33.4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x zx y-==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy yy⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π .8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + .10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程xxe y xy =-'1的通解为 xxe Cx + .二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设),(xyex y f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz .解：)(221y x y e f xyx y f dxdz xy'+⋅'+-'⋅'=))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'=2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积d x d y y x d x d y d x d y y x V DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222πππθππ448212222202=-=-⨯=⎰⎰r d r r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22yx z +=与半球面221yx z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR yQ xP zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 3312204⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯=2.写出级数 ++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于21121221limlim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ， 由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs xxn x xn x s n nn n nn ，则xx xdt ntdt t s n xn nn x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰， 又xx xx s n n-==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x xx xx x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x nn x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为xAxey =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域.解：令 1-=x t ，则nn nn nn t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2limlim11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yx x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z ∂∂∂2.解：),(1),()c o s (21yx x yyx x xy y xz ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yx yx x yyx x yyx yx x xy xy xy yx z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(. 在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=yx y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y x Ldxdyy x yf y x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。
西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题
高等数学(H)期末参考答案、填空题(每小题 3分，共36 分)u = ln ..x 2• y 2• z 2，则它在点 M °(1, -1,1)处地方向导数地最大值为f (x, y) =2x 2 ax xy 22y 在点(1, -1)处取得极值，则常数 a =「5.7.设平面曲线L 为下半圆周y 二 - .1 - x28.设匕为曲面z = . x 2 y 2在0岂z 乞1地部分，贝U I I xdS 二0 .10.设y 1, y 2, y 是微分方程 9 p(x)y ' q(x)y 二f (x)地三个不同地解，且 y —社=常 y 2 -y 3数，则微分方程地通解为C’y , -y 2) • C 2(y 2 - y 3) * % .2 21 2，贝U [ (x + y ) ds = (1 -ds = ? 4 兀=三5.空 线 y 2 二 2x, z 2 = 1「x 在点 (>,J 处地切线方程为1 x --2 1=_y -1 .2 z ―— 2 1 一 2i 22 2x _x 26.改变积分次序：I dx ,f (x, y)dy -1 1 • 1 _y°dy 亠口？ f(x,y)dx .L 1 1.lim 1 —X f1 xy-V二 lim i 1 — xy丿劣xy 丿 Jlim 1 丄 阚Ixy 丿Hr 12.函数z二z(x, y)由方程e^ sin 》=0确定，则 —=xcyF yF1 y-cos- x x xz xeco 显X ~2 xz x e3.设函数4.设函数 9.设 f (x) n -xe1,--•：：： x ■ 0 ,则其以2兀为周期地傅里叶级数在处收敛于 0 岂 x ：二'11.函数f(x) =1 展开为x 地幕级数地形式为 a 」yx n(-2, 2).2—x n^2n41112.微分方程y y = xe x地通解为Cx - xe xx-------二、计算下列各题(每小题6分，共18分)1•设z 二f(y,e xy)，y =(x)，其中f,「均为一阶可微函数，求 x解:虫=f 「yx 2 yf 2 e xy( y xy)dxx二2f 2 e xy( (x) X : (x))x2.求曲面z =4(x 2y 2)与平面z = 2所围立体地体积. 2解：所围立体在xoy 面地投影域D ： x2• y 2_ 4，所围立体地体积V = M[4_；(x 2+y 2)] _2Rxdy = 2JJdxdy —1 2二.22d ： r rdr =8 二-4 二-4 ■:解：设曲面在第一卦限地切点地坐标为M (x, y, z)，令F (x, y,z) = x 22y 23z 2「66，则切平面地法向量n = (F x , F y , F Z )M 二(2x, 4y, 6z),已知平面x y ^1地法向量n 1 =(1, 1, 1)依题意n//ni ，即 空=41 =央令t1 1 1代入曲面方程中解地 x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M (6, 3, 2). 三、计算下列各题(每小题6分，共18分)1.设门是由锥面.x 2 y 2与半球面z= J -x 2 -y 2围成地空间区域,dz dx(x 2 y 2)dxdyD3.在曲面x 2 2y 23z-66上第一卦限部分求一点，使该点地切平面与 已知平面2x s(x)_ (1 _x)2 _1 xx2(5 (1))，1s(2)二x+ x 2_ I X(2n-1)于 . n 1 2 _(1 - X) 1 x=2边界地外侧，求曲面积分[jxdydz- ydzdx • zdxdy .Q(x, y,z)=y ， R(x, y,z) = z ，由高斯公式有cP cQcR ■i I xdydz ydzdx zdxdy 二 ()dv ¥ ¥r rr L\、x _y_z= 3 ! i idv = 3 o dr °4d [；r 2sin ： drQ=3 2 二(1 2) [=(2-、2)二 2 3 13 572.写出级数--飞 N •…地通项，判别该级数地敛散性.若级数收敛时，试求其和2 2 2 2limUnl^im 1,n = u n n=2 2n —12由比值审敛法知该级数收敛.令解：已知 P(x, y,z) = x , 解：该数项级数地通项为 U n 二2n -1 2n;级数为正项级数，由于s(x) oOoo八(2n -1) x n= 2x'二 nxn -1oOn=2x®(x)-s 2(x) x (—1,1)，x :: Xo3(t)dt 二 I 。
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试、单项选择题 设 f (x) f (0)1.(A ) 2.设(X )(本大题有4小题，每小题4分，共16分) cos X ( X2(B ) —,(x) 3 33 X ,则当 x 1 时1 Xsin x ),则在x 0处有( f (0)1 (C ) f (0) 0(D )).f(X )不可导.(A ) 穷小；(C )(X )与(X )是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(X )是比(X )高阶的无穷小;(D) (B ) (X )与(x)是等价无(x)是比(x)高阶的无穷小.3.若则((A ) (B )(C ) (D ) F(x))函数 函数 函数 函数 X(2tF (x)必在 F (x)必在F (x)在 x F(x)在 x 4.5. 6. 7. 8. 9.X)f⑴dt ，其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f (X ),X 0处取得极大值；x 0处取得极小值； 0处没有极值，但点(°, F(0))为曲线y 0处没有极值，点(0,F (0))设f (x)是连续函数，且2 2— —2 (A ) 2 (B ) 2(C ) X 1填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共2lim (1 3x)k x 0f(x) x 2也不是曲线 1f (t )dt(D)16分)已知cosx是f (X)的一个原函数 X f (x) cosxdxXli m n— (cos 2—n n 2cos2 .x arcs in x 1 1 x 22解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共40分)1确定，求1dx设函数y y(x)由方程e y1 X 77 10.x(1设 f (X)11.12.设函数f— dx. )g(x)连续，sin (xy)1f(xt )dt，且 F (X )的拐点； y F(x )的拐点。
y (x)以及 y (°)13f (x)dx •lim f(X )A ()x 0X, A 为常数.求g (x)13.求微分方程xy2y xln x 满足y(1)y(x)x 0, y7 10.解：U x e x y ycos(xy) e x y xcos(xy) 0 , y (0)1 7x6dx du并讨论g(x)在x 0处的连续性四、解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线y y(x) (x 0)，过点(01)，且曲线上任一点M(X o，y o)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程•五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y ln x的切线，该切线与曲线y ln x及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A ；(2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(X)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q [0,1]，q 1f(x)d x q f(x)dx0 0f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017. 设函数f(x)在°,上连续，且0 , 0 证明：在°,内至少存在两个不同的点 1 '2,使f( 1)f( 2)0•(提示：设xF (x) f(x)dx0 )解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 COSX2 6 -( ) c -5. e.6. 2 x .7. 2 .8.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40 分)9.解：方程两边求导x ye (1 y) cos(xy)( xy y) 0原式(1u(1吐duU)1(-u1-(ln |u| 21 n |u 1|) c1 72 7In | x | In |1 x | C 7 711.解:3f(x)dx0 3X d(12.解：由g(x )g(x )g(0) xxexe xdx2x~x 23 0 _1 (x 1)2dx2人cos d (令 x2dx1 sin )-2e 3 4f(0) 0，知 g （o ） o o1f (xt)dtxf (u)duxt u(x 0)xf (u)du~2xxf(u)duI & 0xf(x) (x 0)li m x If(x) x 2xf (x)x m 0g(x)limx 0lim x 02xxf(u)du0 ~2x13.dy 解: dx2 -y x 2 dx xI n四、 14.g （x ）在x 0处连续。
重庆市西南大学附中2022-2023学年高三数学第一学期期末联考试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B ．3C ．33D ．232．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．113．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．32b B ．12b C ．32b -D ．12b -4．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为355．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不修要条件6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）A ．15B ．120C ．112D ．3407．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④9．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．21-C ．322-D ．31-10．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=B ．250x y ±=C ．520x y ±=D ．50x y ±=11．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．505012．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．128二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
大一高数c期末考试题及答案
大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。
A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。
A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。
A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。
A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。
A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。
A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。
2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。
3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。
4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。
5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。
三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。
解：y'=3x^2-6x。
2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。
解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。
高数期末考试题及答案下册
高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案)
西南大学高等数学期末考试试卷(含答案) 一、高等数学选择题
1．设函数，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
2．函数是微分方程的解．
A、正确
B、不正确
【答案】B
3．微分方程满足的特解是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】C
4．函数的单调增加区间是（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
5．设函数，则（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】B
6．函数的图形如图示，则是函数的
( )．
A、极小值点也是最小值点
B、极小值点但非最小值点
C、最大值点
D、极大值点
【答案】A
7．设，则．
A、正确
B、不正确
【答案】B
二、二选择题
8．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】D
9．设函数，则（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C
10．设函数，则导数．
A、正确
B、不正确
【答案】B
11．定积分．
A、正确
B、不正确
【答案】B
12．．
A、正确
B、不正确
【答案】B
13．函数的图形如图示，则函数 ( )．
A、有四个极大值
B、有两个极大值
C、有一个极大值
D、没有极大值
【答案】C
14．设，则=（）．
A、
B、
C、
D、
【答案】D
15．微分方程的通解是（）．A、
B、
C、
D、
【答案】C。