2015-2016年安徽省合肥八中高一下学期期末数学试卷及答案
合肥高一期末考试卷数学
合肥高一期末考试卷数学一、选择题（共60分）1. 设集合A={2,4,6,8}，集合B={1,3,5,7}，则集合A∪B =（）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}B. {2, 4, 6, 8}C. {1, 3, 5, 7}D. { }2. 已知函数f(x) = 2x+1，则f(3)=（）A. 5B. 6C. 7D. 83. 若抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(1,-2)，则a，b，c的值为（）A. 1，2，-3B. 1，-2，3C. -1，2，-3D. 1，-2，-34. 一个分数的分子是比分母小8，如果把分子分母都减去6，这个数的值就是原来的三分之一，这个分数是（）A. 2/3B. 9/5C. 3/5D. 5/35. 如图，四边形ABCD中，∠DAC=90°，AB⊥CD，AD=8cm，AC=15cm，则面积为（）A. 60cm²B. 48cm²C. 54cm²D. 72cm²6. 若sinθ=3/5，且θ为第二象限角，则cosθ的值为（）A. 4/5B. 3/5C. -4/5D. -3/57. 已知集合A＝{-2, 0, 2, 4, 6}，集合B＝{-1, 0, 1, 3}，则集合A-B=（）A. {-2, 2, 4, 6}B. {-1, 1, 3}C. {-2, 6}D. {-2, 0, 2, 4, 6}8. 若logb8-3logb√2=logb4，则b的值为（）A. 5B. 3C. 2D. 49. 若一个三位数的百位数等于个位数，这个三位数的个位数是2，且百位数与十位数的和为8，这个三位数是（）A. 263B. 383C. 423D. 24310. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AC=6，BC=8，则sinB=（）A. 3/4B. 4/6C. 6/8D. 8/1011. 一个棱长为8的正方体一面沿一坡度为30°的斜面滑下，滑到底时下降了（）A. 4√3B. 4√2C. 4D. 212. 函数y=2x²+5x+3的图象与横轴交点的坐标为（）A. (-3,0)和(-1,0)B. (3,0)和(1,0)C. (2,0)和(-3,0)D. (3,0)和(-5,0)13. 已知正比例函数y=kx中k=3，x=8，则y=（）A. 24B. 2/3C. 3/8D. 8/314. 一盒装有10张纸牌，其中5张红色，5张黑色。
安徽省合肥市第八中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题 含答案
数学试题一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知实数,m n 满足0m <，0n >，则下列说法一定正确的是( ） A ．22log ()log m n -> B ．31n m n< C ．||||m n < D ．33m n >2.用随机数表法从100名学生(男生25人）中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是（ ） A ．1100B ．125C ．15D ．143。
将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1,则a =( ）A ．4B ．5C ．6D ．74。
已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形5。
已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为( )A ．—5B ．5C ．52- D ．526。
某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表:根据上表可得回归方程^^^y b x a =+中的^b 为9.4,据此模型，当广告费用为6万元时，销售额为( ）A ．65。
5万元B ．67。
7万元C ．69。
7万元D ．72.0万元7。
已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ,且918S=，则下列说法正确的是( ) A ．3712log (22)a a +有最小值-3 B ．3712log (22)a a +有最小值3C ．3712log(22)a a +有最大值-3 D ．3712log(22)a a +有最大值38.执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ) A ．10 B ．34 C ．36 D ．1549.已知实数,x y 满足4303525010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩,若z mx y =-的最小值为3，则实数m 的取值不可能为（ )A ．10B ．9C ．8D ．710。
安徽省合肥市高一下学期数学期末考试试卷
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
三、 解答题 (共5题；共45分)
21-1、
21-2、
22-1、
23-1、
23-2、
24-1、
24-2、
25-1、
25-2、
（1） 求PF1+PF2的值；
（2） 若 • ，求m，n的值．
22. （5分） (2017·安庆模拟) 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；
安徽省合肥市高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） 设奇函数f（x）的定义域为R，最小正周期T=3，若 ， 则a的取值范围是（ ）
A . 或
B . a＜﹣1
C .
D . a
2. （2分） 在平行四边形ABCD中，若 ， 则四边形ABCD一定是（ ）
（1） 求角 的大小;
（2） 若 ,且 ,求 .
24. （10分） 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） .
25. （10分） 扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于80分的有参赛资格，80分以下（不包括80分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：
2015-2016年安徽省合肥市长丰实验高中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年安徽省合肥市长丰实验高中高一（下）期末数学试卷一、选择题（每个小题5分，共10个小题．）1．（5分）在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．（5分）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（）A．B．C．D．3．（5分）数列1，，，，…的一个通项公式是（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）设等差数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2（n∈N*），a4＝（）A．4B．6C．8D．106．（5分）在等差数列{a n} 中，若a1＝1，S5＝20，a5＝（）A．6B．7C．8D．97．（5分）下列命题中正确的是（）A．若||＝||，则＝B．若||＝1，则＝1C．若||＞||，则＞D．若＝，∥8．（5分）已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，则2+3等于（）A．（﹣5，﹣10）B．（﹣3，﹣6）C．（﹣4，﹣8）D．（﹣2，﹣4）9．（5分）在△ABC中，sin A sin B＜cos A cos B，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形10．（5分）不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）二、填空题（每个小题5分，共5个小题．）11．（5分）设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝．12．（5分）2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝．13．（5分）已知向量＝（2，0），＝（x，﹣2x），当|﹣|取得最小值时，x＝．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，并且s10＞0，s11＜0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k的值为．15．（5分）已知x+y＝40且x和y都是正数，则xy的最大值为．三、解答题（共4个小题）16．（11分）已知数列{a n}的前n项和S n＝An2+Bn+C（A≠0），且a1＝﹣2，a2＝2，S3＝6．（1）求A，B，C的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列．17．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．18．（12分）设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（Ⅰ）试求向量2+的模（Ⅱ）试求向量与的夹角的余弦值；（Ⅲ）试求与垂直的单位向量的坐标．19．（11分）已知三个数成等差数列，其和为126，另外三个数成等比数列，把这两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84，求这两个数列．2015-2016学年安徽省合肥市长丰实验高中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共10个小题．）1．（5分）在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】HR：余弦定理．【解答】解：因为在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，所以由余弦定理可得：＝＝，所以A＝60°．故选：C．2．（5分）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：根据正弦定理，，则故选：B．3．（5分）数列1，，，，…的一个通项公式是（）A．a n＝B．a n＝C．a n＝D．a n＝【考点】81：数列的概念及简单表示法．【解答】解：1＝，由数列，，，，…，观察到：分子为项数n，分母为奇数2n﹣1．可得的一个通项公式是a n＝．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．5．（5分）设等差数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2（n∈N*），a4＝（）A．4B．6C．8D．10【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2（n∈N*），∴a4＝2+2×3＝8．故选：C．6．（5分）在等差数列{a n} 中，若a1＝1，S5＝20，a5＝（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n} 中，a1＝1，S5＝20，∴，解得a5＝7．故选：B．7．（5分）下列命题中正确的是（）A．若||＝||，则＝B．若||＝1，则＝1C．若||＞||，则＞D．若＝，∥【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】对于A，若||＝||，则、方向不定，故错；对于B，根据向量的定义可判定若||＝1，则≠1，故错；对于C，向量不能比较大小，故错；对于D，若＝，∥，正确．故选：D．8．（5分）已知平面向量＝（1，2），＝（﹣2，m），且∥，则2+3等于（）A．（﹣5，﹣10）B．（﹣3，﹣6）C．（﹣4，﹣8）D．（﹣2，﹣4）【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【解答】解：∵∥，∴﹣4﹣m＝0，解得m＝﹣4．则2+3＝（2，4）+（﹣6，﹣12）＝（﹣4，﹣8）．故选：C．9．（5分）在△ABC中，sin A sin B＜cos A cos B，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【解答】解：若sin A sin B＜cos A cos B，则cos A cos B﹣sin A sin B＞0，即cos（A+B）＞0，∵在△ABC中，A+B+C＝π，∴A+B＝π﹣C，∴cos（π﹣C）＞0，即﹣cos C＞0，∵0＜C＜π，∴＜C＜π，即△ABC是钝角三角形．故选：B．10．（5分）不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【解答】解：将点（0，0）点代入3x+2y＜6，得0＜6，显然成立，点（0，0）在不等式表示的区域内将点（1，1）代入3x+2y＜6，得5＜6，显然成立，点（1，1）在不等式表示的区域内将点（0，2）代入3x+2y＜6，得4＜6，显然成立，点（0，2）在不等式表示的区域内将点（2，0）代入3x+2y＜6，得6＝6，点（2，0）不在不等式表示的区域内故选：D．二、填空题（每个小题5分，共5个小题．）11．（5分）设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1＝7，a3+b3＝21，则a5+b5＝35．【考点】83：等差数列的性质．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴设数列{a n}的公差为d1，设数列{b n}的公差为d2，∴a3+b3＝a1+b1+2（d1+d2）＝21，而a1+b1＝7，可得2（d1+d2）＝21﹣7＝14．∴a5+b5＝a3+b3+2（d1+d2）＝21+14＝35故答案为：3512．（5分）2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝．【考点】HU：解三角形．【解答】解：由题意可知∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，∴∠A＝60°，在△ABC中，由正弦定理可得：，即，解得x＝．故答案为：．13．（5分）已知向量＝（2，0），＝（x，﹣2x），当|﹣|取得最小值时，x＝．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：向量＝（2，0），＝（x，﹣2x），∴﹣＝（2﹣x，2x），∴|﹣|2＝（2﹣x）2+（2x）2＝5x2﹣4x+4，当x＝＝时，5x2﹣4x+4取得最小值，∴当|﹣|取得最小值时，x＝，故答案为：．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，并且s10＞0，s11＜0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k的值为5．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：由题意可得S10＝＝5（a1+a10）＝5（a5+a6）＞0，∴a5+a6＞0，同理可得S11＝11a6＜0，∴a6＜0，结合a5+a6＞0可得a5＞0，故S5是{S n}中的最大值，∴k＝5故答案为：515．（5分）已知x+y＝40且x和y都是正数，则xy的最大值为400．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：由于x、y都是正数，且x+y＝40，利用基本不等式可得40≥2，即xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，故答案为：400三、解答题（共4个小题）16．（11分）已知数列{a n}的前n项和S n＝An2+Bn+C（A≠0），且a1＝﹣2，a2＝2，S3＝6．（1）求A，B，C的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：（1）S n＝An2+Bn+C（A≠0），且a1＝﹣2，a2＝2，S3＝6，∴，解得A＝2，B＝﹣4，C＝0，证明：（2）由（1）可得S n＝2n2﹣4n，∴a n＝s n﹣S n﹣1＝2n2﹣4n﹣2（n﹣1）2+4（n﹣1）＝4n﹣6，∴a n﹣a n﹣1＝4n﹣6﹣4（n﹣1）+6＝4，∴数列{a n}是等差数列17．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【解答】解：（1）∵b sin A＝a•cos B，由正弦定理可得：sin B sin A＝sin A cos B，∵sin A≠0，∴sin B＝cos B，B∈（0，π），可知：cos B≠0，否则矛盾．∴tan B＝，∴B＝．（2）∵sin C＝2sin A，∴c＝2a，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴9＝a2+c2﹣ac，把c＝2a代入上式化为：a2＝3，解得a＝，∴．18．（12分）设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（Ⅰ）试求向量2+的模（Ⅱ）试求向量与的夹角的余弦值；（Ⅲ）试求与垂直的单位向量的坐标．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（0﹣1，1﹣0）＝（﹣1，1），＝（2﹣1，5﹣0）＝（1，5）．∴2+＝2（﹣1，1）+（1，5）＝（﹣1，7）．∴|2+|＝＝＝5．…（4分）（Ⅱ）∵||＝＝．||＝＝，•＝（﹣1）×1+1×5＝4．∴cos A＝＝＝．…（8分）（Ⅲ）设所求向量为＝（x，y），则x2+y2＝1．①又＝（2﹣0，5﹣1）＝（2，4），由⊥，得2 x+4 y＝0．②由①、②，得或∴＝（，﹣）或（﹣，）．…（12分）19．（11分）已知三个数成等差数列，其和为126，另外三个数成等比数列，把这两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84，求这两个数列．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：由题意，依次设这三个等差数列分别为a﹣d，a，a+d，则a﹣d+a+a+d＝3a＝126，∴a＝42．依次设这三个等比数列分别为，m，mq，则a+m＝76，可得m＝34∴，解得：或．∴等差数列依次为：68，42，16，等比数列依次为：17，34，68或：等差数列依次为：17，42，67，等比数列依次为：68，34，17．。
安徽省合肥八中2015-2016学年高一上学期9月阶段考试数学试卷Word版含答案
合肥八中2015-2016级高一阶段考试数学（必修一第一章） 2015.9一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合2{|03},{|9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤,则P M 等于A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2.设全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,5}A =,则(())U A A A ð等于A.{1,2,3}B.{1,2,3,4,5,6}C.{1,3,5}D.{2,4,6}3.设集合{|04},{|02}M x x P x x =≤≤=≤≤,则下列对应不是从M 到P 的函数的是A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →=C.2:3f x y x →=D.:f x y →=4.集合{,},{1,0,1}A a b B ==-,从A 到B 的映射:f A B →满足()()0f a f b +=,那么,这样的映射:f A B →的个数为A.2B.3C.5D.85.若函数()y f x =的定义域为[0,2],则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)(1,4] D.(0,1)6.函数y =A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(,1)-∞D.(3,)+∞7.函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()1f x x =-+,则当0x <时A.()1f x x =-+B.()1f x x =--C.()1f x x =+D.()1f x x =-8.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且在(,0)-∞上单调递减,若(2)0f =,则使得()0f x <的实数x 的取值范围是A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.(2,0)(2,)-+∞9.若函数1,0()1,0x f x x -≥⎧=⎨<⎩,函数()(||)|()|g x f x f x =+,则函数()g x 的值域是 A.{1,1}- B.{1,0,1}- C.{0} D.{1}10.如图,阴影部分表示的集合是A.(())U B A C ðB.()()A B B CC.()()U A C B ðD.(())U A C B ð二、本大题共5小题,每小题4分,共20分,请将答案填在题中的横线上.11.已知函数21,0()1,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩,若()1,f a =则实数a =12.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为221y x =+,值域为{3,19}的“孪生函数”共有 个13.设定义在N 上的函数()f x 满足13,2000()((18)),2000n n f n f f n n +≤⎧=⎨->⎩,则(2014)f = 14.已知函数2()3f x ax bx a =++是偶函数,其定义域为[1,]a a -,则a b +=15.设定义在[2,2]-上的奇函数()f x 在区间[0,2]上单调递减,若(12)()0f m f m -+>,则实数m 的取值范围是三、解答题:本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分10分)设全集U R =.(Ⅰ)若,{|23},{|35}B A B A x x A x x ⊆=-≤<=≤<ð,求U B ð;(Ⅱ)若{|3},{|}A x x B x x b =<=≥,且U A B ⊆ð,求实数b 的取值范围.17(本小题满分10分)设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上是奇函数,又()f x 在()f x 在(0,)+∞上是减函数,且()0f x <,判断函数1()()F x f x =在区间(,0)-∞上的单调性,并给出证明.18(本小题满分10分) 已知奇函数()f x 是定义在(3,3)-上的减函数,且满足不等式2(3)(3)0f x f x -+-<,设不等式的解集为,{|1A B A x x =≤≤,求函数2()334()g x x x x B =-+-∈的最大值.19(本小题满分10分)若定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,x y 都满足()()()x f f x f y y=-且当1x >时,()0f x >.(Ⅰ)求(1)f 的值;(Ⅱ)若(6)1f =,解不等式1(3)()2f x f x+-<.。
安徽省合肥八中2015_2016学年高一数学上学期第一次段考试题(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，则集合M∩N等于（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）3．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．4．已知集合P={x|﹣4≤x≤4}，Q={y|﹣2≤y≤2}，则下列对应不能表示为从P到Q的函数的是（）A．y=x B．y2=（x+4）C．y=x2﹣2 D．y=﹣x25．已知函数f（x）=2x+1（1≤x≤3），则（）A．f（x﹣1）=2x+2（0≤x≤2）B．f（x﹣1）=﹣2x+1（2≤x≤4）C．f（x﹣1）=2x﹣2（0≤x≤2）D．f（x﹣1）=2x﹣1（2≤x≤4）6．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，那么f（x）在（﹣5，﹣2）上是（）A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数7．函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是单调递增函数，若f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）8．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞9二、本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在题中的横线上.11．奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）= ．12．函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是．13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．14．已知函数f（x）=，若f[f（x）]=1，则实数x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C=A，求实数a的取值范围．16．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，x∈[3，5]．（Ⅰ）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）求该函数的最大值和最小值．17．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，设函数g（x）=（x＞0），求函数g（x）的值域并画出该函数的图象．18．（10分）（2015秋•合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．19．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．2015-2016学年安徽省合肥八中高一（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，则集合M∩N等于（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|x＞1}，N={x|﹣3＜x＜2}，∴M∩N={x|1＜x＜2}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，则∁R M为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解．【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M=（﹣∞，1]，又全集为R，所以∁R M=（1，+∞）．故选B．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．3．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，f（0）的符号进行判断即可．【解答】解：A．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＞0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．B．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＞0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＜0，与图象不对应．C．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．D．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象对应．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，要从抛物线的开口方向，对称轴，以及f（0），几个方面进行研究．4．已知集合P={x|﹣4≤x≤4}，Q={y|﹣2≤y≤2}，则下列对应不能表示为从P到Q的函数的是（）A．y=x B．y2=（x+4）C．y=x2﹣2 D．y=﹣x2【考点】函数的概念及其构成要素．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：集合P={x|﹣4≤x≤4}，若y=x，则﹣2≤y≤2，满足函数的定义．若y2=（x+4），则x≠﹣4时，不满足对象的唯一性，不是函数．若y=x2﹣2，则﹣2≤y≤2，满足函数的定义．若y=﹣x2，则﹣2≤y≤0，满足函数的定义．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义的判断，根据变量x的唯一性是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=2x+1（1≤x≤3），则（）A．f（x﹣1）=2x+2（0≤x≤2）B．f（x﹣1）=﹣2x+1（2≤x≤4）C．f（x﹣1）=2x﹣2（0≤x≤2）D．f（x﹣1）=2x﹣1（2≤x≤4）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】把“x﹣1”代换已知函数中的“x”，直接求解即可得函数的解析式．【解答】解：因为f（x）=2x+1（1≤x≤3），所以f（x﹣1）=2（x﹣1）+1=2x﹣1，且1≤x﹣1≤3所以2≤x≤4故选D【点评】本题主要考查了利用整体代换求解函数的解析式，求解中要注意函数的定义域的求解，属于基础试题6．已知函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，那么f（x）在（﹣5，﹣2）上是（）A．单调递增函数 B．单调递减函数 C．先减后增函数 D．先增后减函数【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，可得a=0，分析函数的图象和性质，可得答案【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3为偶函数，∴f（﹣x）=（a﹣1）x2﹣2ax+3=f（x）=（a﹣1）x2+2ax+3，∴a=0，∴f（x）=﹣x2+3，则函数的图象是开口朝下，且以y轴为对称轴的抛物线，∴f（x）在（﹣5，﹣2）上是增函数，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7．函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是单调递增函数，若f（3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（0，3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】易判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（3）=0，得f（﹣3）=﹣f（3）=0，即f（﹣3）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或，解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．8．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】先利用偶函数图象的对称性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自变量都转化到区间（﹣∞，0）上即可求出答案．【解答】解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数故在（﹣∞，0）上是增函数因为x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；所以有f（x1）＞f（﹣x2）．又因为f（﹣x1）=f（x1），所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．故选 A．【点评】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．9．已知函数f（x）=x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】对f（x）配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，从而便可看出f（0）=3，f（1）=2，f（2）=3，从而根据f（x）在[0，m]上有最大值3，最小值2，便可得到1≤m≤2，这便得出了实数m的取值范围．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；x=0时，f（x）=3，x=1时，f（x）=2，x=2时，f（x）=3；∵当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2；∴1≤m≤2；即实数m的取值范围为[1，2]．故选：D．【点评】配方法求二次函数在闭区间上的最大值、最小值，要熟悉二次函数的图象，并且可结合二次函数f（x）的图象．10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A．c≤3 B．3＜c≤6C．6＜c≤9D．c＞9【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围．【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）得，解得，则f（x）=x3+6x2+11x+c，由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3，即6＜c≤9，故选C．【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．二、本大题共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在题中的横线上.11．奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣6）+f（﹣3）= ﹣15 ．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题．【分析】先利用条件找到f（3）=﹣1，f（6）=8，再利用f（x）是奇函数求出f（﹣6），f （﹣3）代入即可．【解答】解：f（x）在区间[3，6]上也为递增函数，即f（6）=8，f（3）=﹣1∴2f（﹣6）+f（﹣3）=﹣2f（6）﹣f（3）=﹣15故答案为：﹣15【点评】本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．12．函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是[0，]，（﹣∞，﹣）．【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用零点分段函数将函数解析式化为分段函数的形式，进而结合二次函数的图象和性质，画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1=的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）=2x2﹣3|x|+1的单调递减区间是[0，]，（﹣∞，﹣），故答案为：[0，]，（﹣∞，﹣）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的单调区间，难度中档．13．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点﹣﹣一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．【解答】解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1﹣x，半径r=．∴S正=（）2=，S圆=π•．∴S正+S圆=（0＜x＜1）．∴当x=时有最小值．答案：【点评】本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．14．已知函数f（x）=，若f[f（x）]=1，则实数x的取值范围是[0，1]∪[2，3] ．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接判断x的范围，求解即可．【解答】解：函数f（x）=，f[f（x）]=1，当x∈[0，1]时，f[f（x）]=1恒成立．当x＜0时，f（x）=3﹣x＞3，可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；当x＞1时，f（x）=3﹣x，若1＜3﹣x≤2．即x∈[1，2），可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；若0≤3﹣x≤1即x∈[2，3]时，f[f（x）]=1，恒成立．若3﹣x＜0，即x＞3时，可得3﹣（3﹣x）=1，不成立；综上x∈[0，1]∪[2，3]．故答案为：[0，1]∪[2，3]．【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论以及计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C=A，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）根据集合的基本运算即可得到结论．（2）根据集合关系进行转化，即可得到结论．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∁R A={x|x＞7或x＜3}，则（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7＜x＜10}．（2）若A∩C=A，则A⊆C，∵C={x|x＜a}，∴a＞7【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，要求熟练掌握集合的基本运算．16．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，x∈[3，5]．（Ⅰ）判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；（Ⅱ）求该函数的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论；（Ⅱ）运用f（x）在[3，5]上单调递增，计算即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）在[3，5]上单调递增．证明：设任意x1，x2，满足3≤x1＜x2≤5．∵f（x1）﹣f（x2）=﹣==，∵3≤x1＜x2≤5，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）=在[3，5]上为增函数．（Ⅱ）f（x）min=f（3）==；f（x）max=f（5）==．【点评】本题考查函数的单调性的判断和证明，考查函数的最值的求法，注意运用单调性，属于基础题．17．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知函数f（x）=，设函数g（x）=（x＞0），求函数g（x）的值域并画出该函数的图象．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的性质，求出函数g（x）的解析式，需要分段讨论，最后画出函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=，∴函数g（x）==，∴函数的值域为{1，2，}函数的图象为：【点评】本题考查了函数的解析式以及函数图象的画法，关键是分段讨论，属于基础题．18．（10分）（2015秋•合肥校级月考）定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y满足：f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．（Ⅰ）求f（﹣1）及f（1）的值；（Ⅱ）求证：f（x）是偶函数；（Ⅲ）解不等式：f（2）+f（x2﹣）≤0．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）分别令x=y=1，x=y=﹣1，求出f（1）和f（﹣1）的值；（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，即可求出f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数（Ⅲ）先判断函数的单调性，在根据单调性得到关于x的不等式组，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=0，（Ⅱ）令x=x，y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数；（Ⅲ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴＜1，∴f（）＜0，∴f（x1）=f（x2•）=f（x2）+f（）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）是减函数，∵f（2）+f（x2﹣）=f（2x2﹣1）≤0=f（1）=f（﹣1），∴或，解得﹣＜x＜．或﹣1≤x＜﹣，或＜x≤1，∴不等式的解集为[﹣1，﹣）∪（﹣，）∪（，1]【点评】本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题．19．（10分）（2015秋•合肥校级月考）已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）方程有两个不等实数根，从而判别式△＞0，这样便可得出a＜﹣1，或a＞5，即得出了实数a的取值范围；（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，从而判别式△＞0，由（Ⅰ）知a＜﹣1，或a＞5，并且小根满足大于1，即，解出该不等式，再根据a还需满足a＜﹣1，或a＞5即可得出实数a的取值范围；（Ⅲ）先求f（x）的对称轴，x=1﹣a，讨论1﹣a和区间[﹣1，1]的关系：分1﹣a≤﹣1，﹣1＜1﹣a≤0，0＜1﹣a＜1，和1﹣a≥1四种情况，在每种情况里，根据二次函数的单调性或取得顶点情况及端点值的比较，便可得出f（x）在[﹣1，1]上的最大值，和最小值，最后便可写出M（a），N（a）．【解答】解：（Ⅰ）该方程有两个不等实数根；∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0；解得a＜﹣1，或a＞5；（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，根据（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5；且这两个根都大于1；∴；即；∴；∴；解得；∴；∴实数a的取值范围为（，﹣1）；（Ⅲ）f（x）的对称轴为x=1﹣a；∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增；∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2时，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1时，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；④1﹣a≥1，即a≤0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；∴综上得，，．【点评】考查一元二次方程有两个不等实数根时判别式△的取值情况，一元二次方程的求根公式，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性或取得顶点情况，及对端点值的比较，从而得出函数最值的方法．。
【全国百强校】安徽省合肥市第八中学2015-2016学年高一下学期第一次周日考试数学试题(解析版)
一、选择题（共40分）1. 在△ABC 中,已知030,10,25===A c a ，则B 等于（ ） A.0105 B. 060 C. 015 D. 0105或015 【答案】D考点：正弦定理.【易错点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.本题由正弦定理可求得sin C =所以C 可能为锐角也可能为钝角, 又c a >,根据大边对大角可知C A >,所以C 两个结果均有可能. 三角形中角的均在()0,π内,所以三角形中角的正弦值均大于0,在三角形中根据角的正弦值求角时一定要考虑角可能为锐角也可能为钝角,否则极易出错.2. 在△ABC 中，0222<-+c b a ，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 都有可能 【答案】C 【解析】试题分析：在ABC ∆中222a b c +- ,222cos 02a b c C ab+-∴=<, C ∴为钝角. ∴ABC ∆为钝角三角形.故C 正确.考点：余弦定理.【方法点睛】本题主要考查余弦定理,属容易题. 三角形中角的均在()0,π内,所以三角形中角的余弦值大于0时对应的角为锐角,余弦值等于0时对应的角为直角,余弦值小于0时对应的角为钝角.判断三角形形状时当求得一个角为对角时即可得三角形为钝角三角形;当求得一个角为直角时即可得三角形为直角三角形;但必须求得三个角均为锐角时才可得三角形为锐角三角形. 3. 在△ABC 中，,4:2:3sin :sin :sin =C B A 则=C cos ( ) A.32 B. 32- C. 41 D. 41- 【答案】D考点：1正弦定理;2余弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理,难度一般.本题应先根据正弦定理将已知的三角的正弦值之比转化为三边长之比,再根据余弦定理求cos C .4. 在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A. 13B. 12C. 15D. 14 【答案】D 【解析】试题分析：根据正弦定理sin sin a c A C =,由sin 3sin C A =可得3ca=,即3c a =.又2252b a ac -=,22532b a a a ∴-=⨯,解得22172b a =.所以在ABC ∆中22222217912cos 2234a a a a cb B ac a a +-+-===⨯⨯.故D 正确. 考点：1正弦定理;2余弦定理.5. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B. 34 C. 36 D. 38【答案】B考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求. 6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：2cos a b C = ,22222a b c a b ab+-∴=,整理可得22b c =,即b c =.所以此三角形一定为等腰三角形.故C 正确. 考点：余弦定理.7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π4【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==可得sin sin sin A aC B c b=++, 由已知可得c b a c a c b-=-+,整理可得222a cb ac +-=, 2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴===,∴在ABC ∆中3B π=.故C 正确.考点：1正弦定理;2余弦定理.8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 3 【答案】D考点：1正弦定理;2三角函数求最值.【思路点睛】本题主要考查正弦定理和用三角函数求最值,难度一般.先根据正弦定理可求得3C π=,根据三角形内角和可求得23A B π+=,即可得23B A π=-,将sin sin A B +按两角和差公式展开再用化一公式化简可得sin sin 6A B A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭,根据23A B π+=可得A 的范围,继而可求得整体角6A π+的范围,根据正弦函数图像可得sin 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的最值,即可求得sin sin A B +的最值. 9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C考点：1正弦定理;2余弦定理.10. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. bc (b ＋c )>8B. ab (a ＋b )>16 2C. 6≤abc ≤12D. 12≤abc ≤24【答案】A 【解析】试题分析：设ABC ∆的外接圆半径为R ，由三角形内角和定理知A C B π+=-，A B C π+=-. 于是()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+1sin 2sin 2sin 22A B C ⇒+=-+ 1sin 2sin 2sin 22A B C ⇒++=()()()()1sin sin sin 22A B A B A B A B C ⇒++-++--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()12sin cos 2sin cos 2A B A B C C ⇒+-+= ()()12sin cos cos 2C A B A B ⇒⋅--+=⎡⎤⎣⎦ 14sin sin sin 2A B C ⇒=1sin sin sin 8A B C ⇒=.则[]2211sin 2sin sin sin 1,224S ab C R A B C R ===∈，2,R ⎡∴∈⎣，338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴==∈⎣，知C 、D 均不正确．()38bc b c bc a R +>⋅=≥，∴A 正确．事实上，注意到,,a b c 的无序性，并且8>，若B 成立，则A 必然成立，排除B. 故选A.考点：三角恒等变换.二、填空题（共12分）11. 在不等边△ABC (三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有cos A cos B ＝ba ，则角C的大小为________． 【答案】2π考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.12. 若△ABC 的面积为23，且角B ＝π3，则AB →·BC →＝________.【答案】4- 【解析】试题分析：1sin 2ABC S AB BC B ∆== ,8AB BC ∴=. ()11cos cos 8422AB BC AB BC B AB BC B AB BC π∴⋅=-=-=-=-⨯=- .考点：1三角形面积公式;2向量的数量积公式.13. 设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c cos B －b cos C ＝35a ，则tan Btan C ＝________.【答案】14考点：1正弦定理;2两角和差公式;同角三角函数基本关系式.14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+-，则B A sin sin 的最大值为________．【答案】34【解析】试题分析：根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==,由B b a C A c a sin )()sin )(sin (-=+- 可得()()()a c a c a b b -+=-,整理可得222a b c ab +-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===,所以在ABC ∆中3C π=.23A B π∴+=,23B A π∴=-. 2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭22sin sin cos cos sin 33A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭21cos sin 2A A A =+11cos 2222A A -=+⋅112cos 244A A =-+1112cos 2224A A ⎫=-+⎪⎪⎭ 11sin 2264A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 23A B π+=,203A π∴<<,72666A πππ∴-<-<,1sin 2126A π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭,1130sin 22644A π⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎝⎭.()max 3sin sin 4A B ∴=. 考点：1正弦定理,余弦定理;2三角函数求最值.三、解答题（共48分）15. 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求角C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．【答案】(1) 60C =，BD =(2)四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅1112sin12032sin 6022=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= . 考点：1余弦定理;2三角形面积.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．【答案】(1) 4C π=;(2) c =.考点：1三角函数的化简变形;2余弦定理,三角形面积公式. 17. 如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14. (1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．【答案】4AC =.考点：1两角和差公式;2正弦定理,余弦定理.【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，属于中档题．解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正,否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．18. 在△ABC 中，AB →＝(－3sin x ，sin x )，AC →＝(sin x ，cos x )．(1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1) 6A π=.(2)因为AB t AC BC -≥ ，所以BC AC ⊥，2≤，1AC = ，所以BC =≤，所以ABC ∆的面积12S BC AC =⋅≤，所以ABC ∆. 考点：1向量的数量积;2三角函数化简.19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc .(1)若sin B ＝2cos C ，求tan C 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c .【答案】(1) tan C =;(2) b c ==考点：1正弦定理;2余弦定理;3两角和差公式.。
2015-2016学年安徽省合肥八中高一(下)期末考试数学试题(解析版)剖析.
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（下）期末考试数学试题一、选择题1．已知实数,m n 满足0m <，0n >，则下列说法一定正确的是（ ） A ．22log ()log m n -> B ．31n m n< C ．||||m n < D【答案】B【解析】试题分析：当0m n ->>时，22log ()log m n ->成立；310n m n <<；当0m n <-<时，||||m n <0< B.【考点】不等式性质2．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是（ ） A ．1100 B ．125C ．15D ．14 【答案】C【解析】试题分析：某男学生被抽到的概率是2011005=，选C. 【考点】随机抽样概率3．将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】试题分析：甲同学8次数学测验成绩的平均数为7877858484839190848+++++++=，所以84+80+84162aa =+⇒=，选C.【考点】茎叶图4．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.【考点】余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.5．已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为（ ） A ．-5 B ．5 C ．52- D ．52【答案】A【解析】试题分析：由题意得122,5,a a ==22,b =-所以122 5.a ab =-选A.【考点】等差数列、等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.6．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据上表可得回归方程^^^y b x a =+中的^b 为9.4，据此模型，当广告费用为6万元时，销售额为（ ）A ．65.5万元B ．67.7万元C ．69.7万元D ．72.0万元 【答案】A【解析】试题分析：因为7,422x y ==，所以^^429.4 3.59.1a y b x =-=-⨯=，因此当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=，选A.【考点】回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a ，b ^，写出回归方程，回归直线方程恒过点（x －，y －）. 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，则下列说法正确的是（ ） A ．3712log (22)a a +有最小值-3B ．3712log (22)a a +有最小值3C ．3712log (22)a a +有最大值-3D ．3712log (22)a a +有最大值3【答案】C【解析】试题分析：19919379()1818442a a S a a a a +=⇒=⇒+=⇒+=，所以37228a a +≥==，371122log (22)log 83a a +≤=-，选C.【考点】等差数列性质，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 8．执行下面的程序框图，则输出的q 的值为（ ）A ．10B ．34C ．36D ．154 【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：2,2,2,q i p ===第二次循环：4,3,6,q i p ===第三次循环：10,4,24,q i p ===第四次循环：34,5,120,q i p ===结束循环，输出34q =，选B.【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．已知实数,x y 满足4303525010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若z mx y =-的最小值为3，则实数m 的取值不可能为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 【答案】D【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中22(1,1),(1,),(5,2)5A B C ，所以 132237355523m m m m -≥⎧⎪⎪-≥⇒≥⎨⎪-≥⎪⎩，选D.【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP ∆和QNP ∆，若MN MP ⊥)4MPN π∠+=22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为（ ）A．54-．54+．52-．52+【答案】B【解析】)4424MPN MPN MPN ππππ∠+=⇒∠+=⇒∠=221111,sin sin (54cos )sin 2244MNQP PQN S MN PQ NQ NP θθθθθ∠==+⨯=+=-+设则55)444πθ=-≤34PQN π∠=时取等号，选B. 【考点】三角函数性质二、填空题11．已知集合2{|1230}A x x x =+->，{|2(41)0}B x x x =-<，则()R A C B = .【答案】11(,0][,1)34- 【解析】试题分析：21{|1230}(,1)3A x x x =+->=-，1{|2(41)0}(0,)4B x x x =-<=，所以()R A C B =11(,0][,1)34-【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．12．已知数列{}n a 满足114,26n n a a a +=+=，则4a = .【答案】74【解析】试题分析：112226261n n a a a a a ++=⇒+=⇒=，2335262a a a +=⇒=，3447264a a a +=⇒=【考点】数列递推公式13．一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P 的北偏东15位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P 的东南方向，则这只船航行的速度为 海里/小时.【答案】6【解析】试题分析：设上午8时为M, 下午2时为N ，则34sin120sin 45MN MN =⇒=海里/小时.【考点】正弦定理14．如图所示，正方形ABCD 内接于圆O ，且A E B EC GD G ===，14AH CF AD ==，则往圆O 内投掷一点，该点落在四边形EFGH 内的概率为 .【答案】1π【解析】试题分析：设4,AB a =，则圆O 面积为28,a π四边形EFGH 面积为221116222328,22a a a a a a -⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=则所求概率为2288a aπ=1π 【考点】几何概型概率【方法点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15．已知数列{}n a 满足*1110,2()n n a a a n n N +=-=∈，则na n的最小值为 . 【答案】163【解析】试题分析：利用叠加法得210242(1)10na n n n =++++-=-+，所以101n a n n n =+-，由于*n N ∈，3416113324a a =<=，所以n a n 的最小值为163 【考点】叠加法求数列通项，基本不等式求最值三、解答题16．随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n 位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如下所示.（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20,30)以及[40,50)内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20,30)内的概率.【答案】（1）500（2）910【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知小长方形面积等于对应区间概率，因此在20～30岁间的概率为0.0310⨯，总人数为6000.0310⨯，在40岁以上（含40岁）的概率为(0.020.005)10+⨯，人数为600(0.020.005)105000.0310⨯+⨯=⨯（2）按分层抽样确定年龄在[20,30)内的有3人，年龄在[40,50)内的有2人.再按枚举法得随机抽取2人，所有可能的情况为10种，其中年龄都不在[20,30)内的情况只有一种，最后按对立事件概率求法得所求概率1911010P =-=.试题解析：（1）依题意，所求人数为600(0.020.005)105000.0310⨯+⨯=⨯.（2）依题意，年龄在[20,30)内的有3人，记为,,A B C ，年龄在[40,50)内的有2人. 记为1,2；随机抽取2人，所有可能的情况为(,),(,),(,1),(,2),(,),(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)A B A C A A B C B B C C ，共10种，其中年龄都不在[20,30)内的情况为(1,2)，故所求概率1911010P =-=.【考点】频率分布直方图，分层抽样，对立事件概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+.（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n a a +的前n 项和为n T . 【答案】（1）详见解析（2）3(23)nn +【解析】试题分析：（1）由和项求通项，关键注意分类讨论：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+；由于当1n =时，也符合上式，故*21()n a n n N =+∈.最后根据等差数列定义证明（2）裂项相消法求数列和：11111()22123n n a a n n +=-++注意调节系数，首尾相消得1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-++-=--=++++试题解析：（1）当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+； 当1n =时，也符合上式，故*21()n a n n N =+∈. 因为12n n a a +-=，故数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）因为111111()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，故1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-++-=--=++++.【考点】和项求通项，等差数列定义，裂项相消法求和【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n （n≥2）转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n≥2时，一定要注意分n ＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18．已知实数,x y 的取值如下表所示.（1）请根据上表数据在下列网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+.注：回归方程为^^^y b x a =+，其中^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）见图（2）^1.2 1.2yx =+【解析】试题分析：（1）按照描点法绘制散点图（2）根据数据，依次代入相应公式，得0123425x ++++==，12465 3.65y ++++==，^4852 3.61.23054b -⨯⨯==-⨯，^3.6 1.22 1.2a =-⨯=试题解析：（1）散点图如下：（2）0123425x ++++==，124653.65y ++++==，5128182048i ii x y==+++=∑，4211491630ii x==+++=∑，故^4852 3.61.23054b -⨯⨯==-⨯，则^3.6 1.22 1.2a =-⨯=，所以回归直线的方程为^1.2 1.2y x =+.【考点】线性回归方程【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a ，b ^，写出回归方程，回归直线方程恒过点（x －，y －）. 19．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若向量2(2,1sin)2A m a =-，2(cos ,2)2Cn c =，3m n b ⋅=. （1）证明：sin ,sin ,sin A B C 成等差数列； （2）若8,3b B π==，求ABC ∆的面积S .【答案】（1）详见解析（2）S =【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得222cos 2(1sin )322C Aa cb +-=，再利用正弦定理将角化为边222sin cos 2sin cos 3sin 22C AA CB +=，根据二倍角余弦公式降幂、两角和正弦公式、诱导公式化简得sin sin 2sin A C B +=（2）由正弦定理得2=16a cb +=，再由余弦定理得2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，即64ac =，最后根据三角形面积公式得1sin 2S ac B ==试题解析：（1）依题意，222cos 2(1sin )322C Aa cb +-=，由正弦定理得：222sin cos 2sin cos 3sin 22C AA CB +=，∴sin (cos 1)sin (cos 1)3sin A C C A B +++=，∴sin sin 2sin A C B +=，故sin ,sin ,sin A B C 成等差数列.（2）由余弦定理，2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，由（1）可知，2a c b +=，又8b =，解得64ac =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.【考点】正余弦定理，二倍角公式【思路点睛】向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解. 20．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43210,9S a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和为n S ； （2）若数列{}n b 的通项公式为32nnb n a =-， （ⅰ）求数列{}n b 的前n 项和为n T ；（ⅱ）探究：数列{}n b 是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由.【答案】（1）13n n a -=，312n n S -=.（2）（ⅰ）277322n n n T -=⋅+（ⅱ）第2项 【解析】试题分析：（1）由等比数列前n 项和公式得44221101S q S q -==-3q ⇒=，由通项公式得3121a a q ==，所以13n n a -=，312n n S -=.（2）（ⅰ）1(26)3n n b n -=-⋅，所以运用错位相减法求和：先错位相减121(13)423232323(26n n n T n --=-+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅，再对右边求和2(72)37nn T n -=-⋅-，即得277322n n n T -=⋅+（ⅱ）研究数列{}n b 单调性：112(23)3n n n b b n -+-=-⋅，所以1234b b b b ><<<，从而数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.试题解析：（1）显然数列{}n a 的公比不为1，故44221101S q S q -==-，解得3q =（3q =-舍去），所以3121a a q ==，故13n na -=，312n n S -=. （2）（ⅰ）依题意，1(26)3n nb n -=-⋅，0121(4)3(2)303(26)3n n T n -=-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 1233(4)3(2)303(26)3n n T n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅，两式相减，01212423232323(26)3n n n T n --=-+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅，故2(72)37n n T n -=-⋅-，即277322n n n T -=⋅+. （ⅱ）法一：假设数列{}n b 中第k 项最小，则11k k k k b b b b -+≤⎧⎨≤⎩，即1212(3)32(4)32(3)32(2)3k k k kk k k k ---⎧-⋅≤-⋅⎨-⋅≤-⋅⎩， 解得3522k ≤≤，因为*k N ∈，故2k =， 则数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.法二：由（ⅰ）知，1(26)3n n b n -=-⋅，且130n ->，则当3n >时，0n b >，当3n =时，0n b =，当03n <<时，0n b <，又124,10b b =-=-，所以数列{}n b 有最小项，最小项是第2项.【考点】等比数列通项，错位相减求和，数列单调性【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知实数m，n满足m＜0，n＞0，则下列说法一定正确的是（）A．log2（﹣m）＞log2n B．C．|m|＜|n|D．2．（4分）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A． B．C．D．3．（4分）将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a=（）A．4 B．5 C．6 D．74．（4分）已知△ABC中，BC=6，AC=8，cosC=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形5．（4分）已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（）A．﹣5 B．5 C．D．6．（4分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元7．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=18，则下列说法正确的是（）A．有最小值﹣3B．有最小值3C．有最大值﹣3D．有最大值38．（4分）执行如图的程序框图，则输出的q的值为（）A．10 B．34 C．36 D．1549．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1 D．10．（4分）如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP 和△QNP，若MN⊥MP，sin（∠MPN+）=，QN=2QP=2，则四边形MNQP 的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁R B）=．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=4，a n+2a n+1=6，则a4=．13．（5分）一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P的北偏东15°位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为海里/小时．14．（5分）如图所示，正方形ABCD内接于圆O，且AE=BE=CG=DG，AH=CF=AD，则往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=10，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如图所示．（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以及[40，50）内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20，30）内的概率．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和为T n．18．（12分）已知实数x，y的取值如表所示．（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+．注：回归方程为=x+，其中=，a=．19．（11分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（2a，1﹣sin2），=（cos2，2c），•=3b．（1）证明：sinA，sinB，sinC成等差数列；（2）若b=8，B=，求△ABC的面积S．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且=10，a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和为S n；（2）若数列{b n}的通项公式为=n﹣3，（ⅰ）求数列{b n}的前n项和为T n；（ⅱ）探究：数列{b n}是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由．2015-2016学年安徽省合肥八中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知实数m，n满足m＜0，n＞0，则下列说法一定正确的是（）A．log2（﹣m）＞log2n B．C．|m|＜|n|D．【解答】解：∵m＜0，n＞0，当﹣m＜n时，log2（﹣m）＜log2n，故A错误；，故B正确；|m|，|n|的大小不能确定，故C错误；，故D错误；故选：B．2．（4分）用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是（）A． B．C．D．【解答】解：本抽样方法为简单随机抽样，每人被抽到的概率都相等均为，故某男学生被抽到的机率是故选：C．3．（4分）将甲、乙两名同学8次数学测验成绩统计如茎叶图所示，若乙同学8次数学测试成绩的中位数比甲同学8次数学测验成绩的平均数多1，则a=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由茎叶图得：甲的平均数是=84，故乙的中位数是85，故a=6，故选：C．4．（4分）已知△ABC中，BC=6，AC=8，cosC=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：∵BC=6，AC=8，cosC=，∴由余弦定理可得：AB===5，∵AC＞BC＞AB，则B为最大角，∴cosB===﹣＜0，∵B∈（0，π），∴B为钝角．故选：D．5．（4分）已知﹣1，a1，a2，8成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，那么的值为（）A．﹣5 B．5 C．D．【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差数列，∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，由②得：a1=2a2﹣8，代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，解得：a2=5，∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，开方得：b2=﹣2，则==﹣5．故选：A．6．（4分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元【解答】解：由表中数据得：=3.5，==42，又回归方程=x+中的为9.4，故=42﹣9.4×3.5=9.1，∴=9.4x+9.1．将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．故选：C．7．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=18，则下列说法正确的是（）A．有最小值﹣3B．有最小值3C．有最大值﹣3D．有最大值3【解答】解：在等差数列{a n}中由S9=18，得，∴a3+a7=4．∵=．∴．故选：C．8．（4分）执行如图的程序框图，则输出的q的值为（）A．10 B．34 C．36 D．154【解答】解：模拟程序的运行，可得p=1，q=1，i=1p=1，满足条件i＜5，q=2，i=2，p=2满足条件i＜5，q=4，i=3，p=6满足条件i＜5，q=10，i=4，p=24满足条件i＜5，q=34，i=5，p=120不满足条件i＜5，退出循环，输出q的值为34．故选：B．9．（4分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1 D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3．由，解得，即A（，），此时点A也在直线y=﹣x+b上．即=﹣+b，即b=．故选：A．10．（4分）如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP 和△QNP，若MN⊥MP，sin（∠MPN+）=，QN=2QP=2，则四边形MNQP 的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（∠MPN+）=，sin（∠MPN+）=1，∴∠MPN+=，可得：∠MPN=，∵MN⊥MP，∴△MNP中，MN=MP，由勾股定理可得：MN2=NP2，设∠PQN=θ，在△NPQ中，利用余弦定理可得：NP2=NQ2+PQ2+2NQ•PQcosθ=4+1﹣2×2×1×cosθ=5﹣4cosθ，则S MNQP=MN2+PQ×NQsinθ=NP2+sinθ=（5﹣4cosθ）+sinθ=+sin（θ﹣）≤，当且仅当∠PQN=时，取等号．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知集合A={x|1+2x﹣3x2＞0}，B={x|2x（4x﹣1）＜0}，则A∩（∁R B）=．【解答】解：1+2x﹣3x2＞0等价于（3x+1）（x﹣1）＜0解的﹣＜x＜1，即A=（﹣，1），2x（4x﹣1）＜0解的0＜x＜，即B=（0，），∴∁R B=（﹣∞，0]∪[，+∞），∴A∩（∁R B）=，故答案为：12．（5分）已知数列{a n}满足a1=4，a n+2a n+1=6，则a4=．【解答】解：∵a1=4，a n+2a n+1=6，∴4+2a2=6，解得a2=1，同理可得：a3=，a4=．故答案为：．13．（5分）一艘客轮自北向南航行，上午8时在灯塔P的北偏东15°位置，且距离灯塔34海里，下午2时在灯塔P的东南方向，则这只船航行的速度为海里/小时．【解答】解：由题意P到AB的距离为：34cos75°，PB=34cos75°==17﹣17．在△PAB中，AB===17．这只船航行的速度为：海里/小时．故答案为：．14．（5分）如图所示，正方形ABCD内接于圆O，且AE=BE=CG=DG，AH=CF=AD，则往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为．【解答】解：设正方形的边长为4，则圆的半径为2，圆的面积为8π．四边形EFGH的面积为16﹣2×﹣2×=8，∴往圆O内投掷一点，该点落在四边形EFGH内的概率为=．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=10，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则的最小值为．【解答】解：∵a1=10，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），∴a n=（a n﹣a n﹣1）++…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2+10=2×+10=n（n﹣1）+10．∴=n﹣1+，考察函数f（x）=x+﹣1的单调性，f′（x）=1﹣=，∴函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．又f（3）=2+=，f（4）=3+=，可知：当n=3时，f（n）取得最小值．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）随着网络信息时代的来临，支付宝已经实现了许多功能，如购物付款、加油付款、理财产品等，使得越来越多的人在生活中使用手机支付的便捷功能，阿里巴巴公司研究人员对某地区年龄在10～60岁间的n位市民对支付宝的使用情况作出调查，并将调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图如图所示．（1）若被调查的年龄在20～30岁间的市民有600人，求被调查的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（2）若按分层抽样的方法从年龄在[20，30）以及[40，50）内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求抽取的2人中，至少1人年龄在[20，30）内的概率．【解答】解：（1）依题意，所求人数为．（2）依题意，年龄在[20，30）内的有3人，记为A，B，C，年龄在[40，50）内的有2人．记为1，2；随机抽取2人，所有可能的情况为：（A，B），（A，C），（A，1），（A，2），（B，C），（B，1），（B，2），（C，1），（C，2），（1，2），共10种情况，其中年龄都不在[20，30）内的情况是（1，2），故所求概率p=1﹣=．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和为T n．【解答】（1）证明：S n=n2+2n，可得a1=S1=3，n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n+1．综上可得a n=2n+1（n∈N*），即a n﹣a n=2，﹣1则数列{a n}是首项为3和公差为2的等差数列，数列{a n}的通项公式a n=2n+1；（2）解：==（﹣），即有前n项和为T n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．18．（12分）已知实数x，y的取值如表所示．（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+．注：回归方程为=x+，其中=，a=．【解答】解：（1）散点图如下：（2），，，，故==1.2，则=3.6﹣1.2×2=1.2，所以回归直线的方程为=1.2x+1.2．19．（11分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量=（2a，1﹣sin2），=（cos2，2c），•=3b．（1）证明：sinA，sinB，sinC成等差数列；（2）若b=8，B=，求△ABC的面积S．【解答】（1）证明：∵•=3b，∴，由正弦定理得：，∴sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=3sinB，∴sinA+sinC=2sinB，故sinA，sinB，sinC成等差数列．（2）解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）可知，a+c=2b，又b=8，解得ac=64，故△ABC的面积．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且=10，a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和为S n；（2）若数列{b n}的通项公式为=n﹣3，（ⅰ）求数列{b n}的前n项和为T n；（ⅱ）探究：数列{b n}是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）显然数列{a n}的公比不为1，故，解得q=3（q=﹣3舍去），所以，故，．（2）（ⅰ）依题意，，，，两式相减，，故，即．（ⅱ）法一：假设数列{b n}中第k项最小，则，即，解得，因为k∈N*，故k=2，则数列{b n}有最小项，最小项是第2项．法二：由（ⅰ）知，，且3n﹣1＞0，则当n＞3时，b n＞0，当n=3时，b n=0，当0＜n＜3时，b n＜0，又b1=﹣4，b2=﹣6，所以数列{b n}有最小项，最小项是第2项．。