高考数学 难点突破专题辅导01 新人教A版必修1
2020-2021学年高一数学(人教A版2019必修第一册)集合的基本运算重难点突破(解析版)
突破1.3 集合的基本运算重难点突破一、考情分析二、经验分享【知识点1、并集】 1．并集的概念一般地，由___________属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：___________（读作“A 并B ”），即{},AB x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，AB 恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．2．并集的性质对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；（3）AA ∅=； （4）AB BA =．【知识点2、交集】 1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：___________（读作“A 交B ”），即{|},AB x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则AB A = （3）A 与B 相离（A B =∅）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）(),()A B A A B B ⊆⊆； （2）A A A =； （3）A∅=∅； （4）A B BA =．【知识点3、全集与补集】 1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+科网说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作UA ，即{},U A x x U x A =∈∉且．用Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是 全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个 概念．（2）若x U ∈，则x A ∈或Ux A ∈，二者必居其一．3．全集与补集的性质设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）U U =∅； （2）UU ∅=； （3）()UUA A =；（4）()UAA U =； （5）()UAA =∅．三、题型分析重难点1 并集及其运算例1．（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3} 【答案】C【解析】因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．故选C.（2）已知{}A 3,4=，B {1,=3，5}，则A B (⋃= ) A. {}3 B. {1,4，5}C. {1,2，3，4，5}D. {1,3，4，5}【答案】D 【解析】，3，，3，4，，故选D ．【变式训练1】．（多选题）若集合，，且，则m 的值可能为A. B. 0 C.D. 1【答案】ABD 【解析】集合，当时，当时，因为，所以，所以或，即或或0．故选ABD ．【变式训练2】．（多选题）已知2A {0}x x ax b =|2-+=，2B {(2)50}x x a x b =|6++++=，且1A B {}2=，则A B 中的元素是（ ）A ．-4B ． 1C ．D ．【答案】ABD 【解析】由已知得：①；②则1{4,}2A =-，11{,}32B =，11{4,,}32AB =-,故选ABD.【变式训练3】．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃=（ ）A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 【答案】C【解析】集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C. 【变式训练4】．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，2） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】A【解析】由题意得{}()121,2A B x x ⋃=-<<=-.故选：A.【变式训练5】．（2020徐州期中模拟）已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B =（ ）A ．{|12}x x -B ．{|22}x x -<C ．{|21}x x -<D ．{|22}x x -≤≤ 【答案】B【解析】}{|12},{|21A B x x x x =-≤≤=-<≤，{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选:B. 重难点2 交集及其运算例2．（1).（2020·济南市历城第二中学高一期末）设集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，则A B 等于（ ） A ．{}5,8 B ．{}3,,6C ．{}4,7D ．{}3,5,6,8【答案】A【解析】集合A {}3,5,6,8=，集合B {}4,5,7,8=，又集合A 与集合B 中的公共元素为5,8，{}5,8A B ∴⋂=，故选A.（2).设集合{}1,2,4A =,{}1,2,3B = ，则A. {}1,2B. {}1,2,4C. {}2,3,4D. {}1,2,3,4【答案】A 【解析】集合{}1,2,4A =,集合{}1,2,3B =，∴集合A 与集合B 的共同元素为1和2,所以由集合交运算定义知,.故选: A【变式训练1】．集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( ) A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a -=，解得2a =-.故选B ．【变式训练2】．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知集合(1,3]A =-，201x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．[2,1)-B ．(]1,1-C ．(1,1)-D ．[2,3]-【答案】C 【解析】201x B xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，解201x x +≤-，得21x ，所以[)2,1B =-因为(]1,3A =-，所以()1,1A B ⋂=-，故选：C.【变式训练3】．（2019启东市期末）（多选题）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有( ) A ．AB B =B ．A B B =C ．()U A B =∅ D ．()U AB =∅【答案】BD ． 【解析】AB ，AB A ∴=，AB B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，故选：BD ．【变式训练4】．（（2020·广东省高三月考（理））（多选题）对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅ B ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝A R⊕B RE.存在A ，B ⊆R ，使得A B ⊕B A ≠⊕ 【答案】ABD【解析】根据定义[()][()]R R A B A B A B ⊕=，A.若A B B ⊕=，则RA B B =，R A B ⋂=∅，RA B B =RB A ⇒⊆，R A B ⋂=∅A B ⇒⊆，∴A =∅，A 正确； B.若A B ⊕=∅，则R AB =∅，R A B ⋂=∅，A B A B ==，B 正确； C. 若A B A ⊕⊆，则RA B =∅，RAB A ⊆，则B A ⊆，C 错；D.A B =时，A B ⊕=∅，()()R R A B A B ⊕=∅=⊕，D 正确；E.由定义，[()][()]R R A B A B A B ⊕=B A =⊕，E 错．故选：ABD ．重难点3 全集与补集及其运算例3.(1)（2020·湖南省长郡中学高一期末）已知集合U ＝{1，3，4，5，7，9}，A ＝{1，4，5}，则∁U A ＝（ ） A ．{3，9} B ．{7，9} C ．{5，7，9} D ．{3，7，9}【答案】D【解析】因为集合U ＝{1,3,4,5,7,9},A ＝{1,4,5},所以{3,7,9}UA =.故选:D .(2)．（多选题）已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则中的元素是（ ）A ．0B ．2C ．1D ．-2【答案】AC【解析】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或，}{z 0,1C A =，故答案选AC.【变式训练1】．（2020·浙江省学军中学高一期中）设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，则()RS T =________．【答案】{}42x x -≤≤-【解析】因为集合{}2S x x =>-，所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤，所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【变式训练2】．（2019·广东省增城中学高一期中）设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-.（1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{2x x <或}3x ≥；（2）(),2-∞【解析】（1）解不等式242x x -≥-可得：2x ≥，{}2B x x ∴=≥又集合{}13A x x =-≤<， 故{}23A B x x ⋂=≤< 又U =R 从而(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥ （2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由C C =B ∪可得：B C ⊆ 故有2a < 即所求实数a 的取值范围是(),2-∞【变式训练3】．(江苏如皋中学期中)设全集I R =，已知集合2{|690}M x x x =++≤，2{|60}N x x x =+-=.（1）求()I C M N ；（2）记集合()I A C M N =，已知集合{|15,}B x a x a a R =-≤≤-∈，若BA A =，求实数a 的取值范围.【解析】：(1) 因为{}{}26903M x x x =++≤=-，{}{}2603,2N x x x =+-==-，所以{},3M x x R x =∈≠-且，从而{}()2M N =.(2){}()2A M N ==.由B A A =知B A ⊆，所以B =∅或{}2B =.若B =∅，则15a a ->-，解得3a >；若{}2B =，则1252a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =综上所述，所求实数a 的取值范围是[3,)+∞． 重难点4 交集、并集与补集混合运算例4．（1）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则 =（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3- 【答案】A 【解析】∵，∴.故选A.（2）设集合{}2S x x =>-，{}41T x x =-≤≤，则________．【答案】{}42x x -≤≤-【解析】因为集合{}2S x x =>-，所以{}2RS x x =≤-，因为集合{}41T x x =-≤≤，所以(){}42RS T x x ⋂=-≤≤-故答案为：{}42x x -≤≤-【变式训练1】．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【解析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a +1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a =1； （2）∵A={x |x 2+4x =0，x ∈R}∴A={0，﹣4}， ∵B={x |x 2+2（a +1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=时，△=4（a +1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ； ②B≠时，当a =﹣1，此时B={0}，满足B ⊆A ；当a ＞﹣1时，x =0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a =1；综上所述a =1或a ≤﹣1.【变式训练2】．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，集合B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，集合C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}．(1)试求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )； (2)试求实数a 的取值范围，使C ⊇(∁U A )∩(∁U B )．【解析】 U ＝R ，A ＝(－2，3)，B ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，故A ∩B ＝(2，3)，∁U A ＝ (－∞，－2]∪[3，＋∞)，∁U B ＝[－4，2]，(∁U A )∩(∁U B )＝[－4，－2]． ∵x 2－4ax ＋3a 2＜0，即(x －3a )(x －a )＜0，∴当a ＜0时，C ＝(3a ，a )；当a ＝0时，C ＝∅；当a >0时，C ＝(a ，3a )．(1)要使C ⊇(A ∩B )，结合数轴知0a 23a 3a ⎧⎪⎨⎪⎩＞，≤，≥，解得1≤a ≤2.(2)类似地，要使C ⊇(∁U A )∩(∁U B )，必有a 03a -4a -2⎧⎪⎨⎪⎩＜，≤，≥，解得－2≤a ≤－43.四、迁移应用1、（2020·浙江省学军中学高一期末）设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |0＜x ≤1} D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<.故选：A.2、（2020届江苏昆山调研）已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B y y x x A ==-∈，则AB =______．【答案】{}1,2【解析】由题得{}1,0,1,2B =-，所以{1,2}AB =．故答案为：{}1,2．3、（2020届江苏四校期中联考）已知R 为实数集，集合{}1,0,1A =-，集合{}0B x x =≤，则RAB =______．【答案】{}1 【解析】{}0B x x =≤，{}0R B x x ∴=>，因此，{}1RAB =．故答案为：{}1．4、（2020届江苏盐城中学高三月考）设集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，若{}4A B ⋂=，则x =______ ． 【答案】4【解析】由题意，集合{}1,A x =，{}2,3,4B =，因为{}4A B ⋂=，所以4A ∈，故4x =．故答案为4． 5. 设全集为R ,}{37A x x =≤<，}{510B x x =<<．求()R C A B ⋃. 【解析】因为}{37A x x =≤<，所以由补集定义知,}{73R C A x x x =≥<或, 因为}{510B x x =<<， 所以作图如下：由图可知,()}{35R C A B x x x ⋃=<>或.故答案为:{|3x x <或}5x > 6. 设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a取值范围.【解析】（1）解不等式242x x -≥-可得：2x ≥，{}2B x x ∴=≥ 又集合{}13A x x =-≤<， 故{}23A B x x ⋂=≤< 又U =R 从而(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥韩哥智慧之窗-精品文档韩哥智慧之窗-精品文档 1 （2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> ，由C C =B ∪可得：B C ⊆故有2a < 即所求实数a 的取值范围是(),2-∞7. 已知全集U =R ，集合{}2|450A x x x =--≤，{}|24B x x =≤≤. （1）求()U A C B ⋂；（2）若集合{}|4,0C x a x a a =≤≤>，满足，，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由题{}|15A x x =-≤≤，{|2U C B x x =<或}4x >，，(){|12U A C B x x ⋂=-≤<或}45x <≤；（2）由C A A =得C A ⊆，则145a a ≥-⎧⎨≤⎩，解得514a -≤≤， 由C B B =得B C ⊆，则244a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤， ∴实数a 的取值范围为5|14a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．。
高考数学一轮复习 核心素养提升系列(一)函数与导数高考压轴大题的突破问题练习 新人教A版-新人教A版
核心素养提升系列(一)1．(导学号14577259)(理科)(2018·湘西州一模)已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋ax，其中a ∈R ，e ＝2.718……(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(2)若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值X 围． 解：(1)函数h (x )＝x －a ln x ＋1＋ax的定义域为(0，＋∞)，h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2.①当1＋a ≤0，即a ≤－1时，h ′(x )＞0，故h (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当1＋a ＞0，即a ＞－1时，x ∈(0,1＋a )时，h ′(x )＜0；x ∈(1＋a ，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(0,1＋a )上是减函数，在(1＋a ，＋∞)上是增函数． (2)由(1)令h (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)，x 0∈[1，e]， ①当a ≤－1时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1)＝1＋1＋a ＜0，解得，a ＜－2； ②当－1＜a ≤0时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1)＝1＋1＋a ＜0，解得，a ＜－2；③当0＜a ≤e－1时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (1＋a )＝1＋a －a ln(1＋a )＋1＜0，无解；④当e －1＜a 时，存在x 0∈[1，e]，使得h (x 0)＜0成立可化为h (e)＝e －a ＋1＋ae＜0， 解得，a ＞e 2＋1e －1.综上所述，a 的取值X 围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.1．(导学号14577260)(文科)(2017·某某某某市名校联考)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，某某数m 的取值X 围；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且0＜x 1＜x 2，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0(其中f ′(x )是f (x )的导函数)．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x－2x ＝－2x ＋1x －1x，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，故g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e2＜0，∴g (e )＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)． g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝m －1＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2. (3)∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0)，B (x 2,0)，∴方程2ln x －x 2＋ax ＝0的两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2ln x 1－x 21＋ax 1＝0，2ln x 2－x 22＋ax 2＝0，两式相减得a ＝(x 1＋x 2)－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2.又f (x )＝2ln x －x 2＋ax ，f ′(x )＝2x－2x ＋a ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝4x 1＋x 2－(x 1＋x 2)＋a ＝4x 1＋x 2－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2. 下证4x 1＋x 2－2ln x 1－ln x 2x 1－x 2＜0(*)，即证明2x 2－x 1x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，令t ＝x 1x 2，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明u (t )＝21－tt ＋1＋ln t ＜0在0＜t ＜1上恒成立．∵u ′(t )＝－2t ＋1－21－t t ＋12＋1t ＝t ＋12－4tt t ＋12＝t －12t t ＋12，又0＜t ＜1，∴u ′(t )＞0，∴u (t )在(0,1)上是增函数，则u (t )＜u (1)＝0，从而知2x 2－x 1x 1＋x 2＋ln x 1x 2＜0，故(*)式＜0，即f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立．2．(导学号14577261)(文科)(2018·某某市一模)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a ＋1)e x. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)函数f (x )有两个极值点，x 1，x 2(x 1＜x 2)，其中a ＞0.若mx 1－f x 2e x 2＞0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)f ′(x )＝[x 2＋(2－a )x ＋1]e x， 令x 2＋(2－a )x ＋1＝0(*)，①Δ＝(2－a )2－4＞0，即a ＜0或a ＞4时， 方程(*)有2根，x 1＝a －2－a 2－4a2，x 2＝a －2＋a 2－4a2，函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)递增，在(x 1，x 2)递减． ②Δ≤0时，即0≤a ≤4时，f ′(x )≥0在R 上恒成立， 函数f (x )在R 递增．综上，a ＜0或a ＞4时，函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)递增，在(x 1，x 2)递减；0≤a ≤4时，函数f (x )在R 递增．(2)∵f ′(x )＝0有2根x 1，x 2且a ＞0，∴a ＞4且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a －2x 1x 2＝1，∴x 1＞0，mx 1－f x 2e x 2＞0恒成立等价于m ＞f x 2x 1e x 2＝x 22－ax 2＋a ＋1x 1恒成立，即m ＞－x 22＋2x 2＋1恒成立． 令t ＝a －2(t ＞2)，则x 2＝a －2＋a 2－4a2.令g (t )＝t ＋t 2－42，t ＞2时，函数g (t )＝t ＋t 2－42递增，g (t )＞g (2)＝1，∴x 2＞1，∴－x 22＋2x 2＋1＜2， 故m 的X 围是[2，＋∞)．2．(导学号14577262)(理科)(2018·某某市二模)已知三次函数f (x )的导函数f ′(x )＝－3x 2＋3且f (0)＝－1，g (x )＝x ln x ＋ax(a ≥1)．(1)求f (x )的极值；(2)求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)．解：(1)依题意得f (x )＝－x 3＋3x －1，f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)， 知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－1)＝－3，f (x )极大值＝f (1)＝1. (2)证明：法一：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1，依题意知，只要1≤g (x )(x >0)⇔1≤x ln x ＋a x(a ≥1)(x >0)． 由a ≥1知，只要x ≤x 2ln x ＋1(x ＞0)⇔x 2ln x ＋1－x ≥0(x ＞0)． 令h (x )＝x 2ln x ＋1－x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x ln x ＋x －1， 注意到h ′(1)＝0，当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，即h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数，h (x )最小值＝h (1)＝0即h (x )≥0.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)． 法二：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1，由a ≥1知，g (x )≥x ln x ＋1x(x >0)，令h (x )＝x ln x ＋1x(x >0)则h ′(x )＝ln x ＋1－1x 2＝ln x ＋x 2－1x2.注意到h ′(1)＝0，当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，即h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数，h (x )最小值＝h (1)＝1，所以h (x )最小值＝1，即g (x )最小值＝1.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)． 法三：易得x ＞0时，f (x )最大值＝1.由a ≥1知，g (x )≥x ln x ＋1x (x >0)，令h (x )＝x ln x ＋1x (x >0)，则h ′(x )＝ln x ＋1－1x2(x >0)．令φ(x )＝ln x ＋1－1x 2(x >0)，则φ′(x )＝1x ＋1x3>0，知φ(x )在(0，＋∞)递增，注意到φ(1)＝0，所以，h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)是增函数， 有h (x )最小值＝1，即g (x )最小值＝1.综上知对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)．3．(导学号14577263)(理科)(2018·东北三省(某某、某某、某某、某某四城市)联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f ′12·e2x －2＋x 2－2f (0)x ，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a .(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )的单调区间；(3)如果s 、t 、r 满足|s －r |≤|t －r |，那么称s 比t 更靠近r . 当a ≥2且x ≥1时，试比较e x和e x －1＋a 哪个更靠近ln x ，并说明理由.解：(1)f ′(x )＝f ′(1)e2x －2＋2x －2f (0)，所以f ′(1)＝f ′(1)＋2－2f (0)，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′12·e －2，所以f ′(1)＝2e 2，所以f (x )＝e 2x＋x 2－2x .(2)∵f (x )＝e 2x－2x ＋x 2，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x ＋14x 2－x －14x 2＋(1－a )x ＋a ＝e x－a (x －1)，∴g ′(x )＝e x －a .①当a ≤0时，g ′(x )>0，函数f (x )在R 上单调递增； ②当a >0时，由g ′(x )＝e x－a ＝0得x ＝ln a ， ∴x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增.综上，当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为 (－∞，＋∞)；当a >0时，函数g (x )的单调递增区间为(ln a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a )． (3)设p (x )＝e x－ln x ，q (x )＝e x －1＋a －ln x ，∵p ′(x )＝－e x 2－1x<0，∴p (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数，又p (e)＝0，∴当1≤x ≤e 时，p (x )≥0，当x >e 时，p (x )<0. ∵q ′(x )＝ex －1－1x ，q ″(x )＝e x －1＋1x2>0，∴q ′(x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，又q ′(1)＝0，∴x ∈[1，＋∞)时，q ′(x )≥0，∴q (x )在x ∈[1，＋∞)上为增函数，∴q (x )≥q (1)＝a ＋2>0.①当1≤x ≤e 时，|p (x )|－|q (x )|＝p (x )－q (x )＝e x －e x －1－a ，设m (x )＝e x－e x －1－a ，则m ′(x )＝－e x2－e x －1<0，∴m (x )在x ∈[1，＋∞)上为减函数， ∴m (x )≤m (1)＝e －1－a ，∵a ≥2，∴m (x )<0，∴|p (x )|<|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x .②当x >e 时，设n (x )＝2ln x －ex －1－a ，则n ′(x )＝2x －e x －1，n ″(x )＝－2x2－e x －1<0，∴n ′(x )在x >e 时为减函数，∴n ′(x )<n ′(e)＝2e－e e －1<0，∴n (x )在x >e 时为减函数，∴n (x )<n (e)＝2－a －e e －1<0，∴|p (x )|<|q (x )|，∴e x比e x －1＋a 更靠近ln x .综上：在a ≥2，x ≥1时，e x比e x －1＋a 更靠近ln x .3．(导学号14577264)(文科)(2018·某某市三调)已知函数f (x )＝1x＋a ln x (a ≠0，a∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)因为f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，当a ＝1，f ′(x )＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)∵f ′(x )＝ax －1x 2，(a ≠0，a ∈R )． 令f ′(x )＝0，得到x ＝1a.若在区间[0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)＜0成立， 其充要条件是f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0即可．①当x ＝1a＜0，即a ＜0时，f ′(x )＜0对x ∈(0，＋∞)成立，∴f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e＝1e＋a . 由1e ＋a ＜0，得a ＜－1e . ②当x ＝1a＞0，即a ＞0时，(ⅰ)若e≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，∴f (x )在区间(0，e]上单调递减，∴f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ＞0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． (ⅱ)若1＜1a ＜e ，即a ＞1e时，则有∴f (x )在区间[0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝a ＋a ln a.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )＜0，得1－ln a ＜0，解得a ＞e ，即a ∈(e ，＋∞)． 综上，由①②可知：a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)．4．(导学号14577265)(理科)(2018·某某市一模)已知函数f (x )＝a ln x －x －ax＋2a (其中a 为常数，a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＞0时，是否存在实数a ，使得当x ∈[1，e]时，不等式f (x )＞0恒成立？如果存在，求a 的取值X 围；如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)解：(1)由于f (x )＝a ln x －x －a x＋2a ，(x ＞0)， 则f ′(x )＝－x 2＋ax ＋ax2， ①a ≤0时，f ′(x )＜0恒成立，于是f (x )的递减区间是(0，＋∞)． ②a ＞0时，令f ′(x )＞0，解得：0＜x ＜a ＋a 2＋4a2，令f ′(x )＜0，解得：x ＞a ＋a 2＋4a2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，＋∞递减．(2)a ＞0时，①若a ＋a 2＋4a2≤1，即0＜a ≤12，此时f (x )在[1，e]递减，f (x )min ＝f (e)＝3a －e －a e＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1e a －e≤⎝⎛⎭⎪⎫3－1e ×12－e ＜0，f (x )＞0恒成立，不合题意．②若a ＋a 2＋4a2＞1，a ＋a 2＋4a2＜e ，即12＜a ＜e2e ＋1时，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋4a 2递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋4a 2，e 递减．要使在[1，e]恒有f (x )＞0恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f1>0fe >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1>03a －e －ae >0，解得e 23e －1＜a ＜e2e ＋1.③若a ＋a 2＋4a2≥e，即a ≥e2e ＋1时，f (x )在[1，e]递增，令f (x )min ＝f (1)＝a －1＞0，解得a ≥e2e ＋1.综上，存在实数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 23e －1，＋∞，使得f (x )＞0恒成立．4．(导学号14577266)(文科)(2018·某某市二模)已知函数f (x )＝x 2－a2ln x 的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线斜率为0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，某某数m 的取值X 围．解：(1)f (x )＝x 2－a 2ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a 2x .因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－a＝0，所以a ＝1，f (x )＝x 2－12ln x ，f ′(x )＝2x －12x＝2x －12x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x >12；令f ′(x )＜0，得0<x <12，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)g (x )＝x 2－12 ln x ＋12mx ，由g ′(x )＝2x －12x ＋m 2＝4x 2＋mx －12x＝0，得x ＝－m ＋m 2＋168.设x 0＝－m ＋m 2＋168，所以g (x )在(0，x 0]上是减函数，在[x 0，＋∞)上为增函数．因为g (x )在区间(1，＋∞)上没有零点，所以g (x )＞0在(1，＋∞)上恒成立． 由g (x )＞0，得12m >ln x 2x －x ，令y ＝ln x 2x －x ，则y ′＝2－2ln x 4x 2－1＝2－2ln x －4x24x 2. 当x ＞1时，y ′＜0，所以y ＝ln x2x －x 在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，y max ＝－1，故12m ≥－1，即m ∈[－2，＋∞)．。
高中数学新课标人教A版必修第一二册知识点解析〖《复数的概念》重点难点突破〗
《复数的概念》重点难点突破
1．数系扩充的一般原则是什么？
剖析：数系扩充的脉络是：自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系，用集合符号表示为N→Z→Q→R→C．
从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关．数系扩充后，在新数系中，原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用，加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
一般来说，数的概念在扩大时，要遵循如下几项原则：
（1）增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；
（2）在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质（如运算定律）依然适用；
（3）旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；
（4）新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．
2．如何理解虚数单位i的性质？
剖析：在实数集中，有些方程是无法求解的．例如2＋1＝0，为解决解方程的需要，人们引进一个新数i，叫做虚数单位，且规定：
（1）它的平方等于－1，即i2＝－1．
（2）i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
由于i2＜0与实数集中a2≥0（a∈R）矛盾，所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立．
注意：复数没有大小之分，但有等与不等之分．
3．如何理解应用复数的分类？
剖析：（1）复数写成代数形式＝a＋b i（a，b∈R）后，才可以根据实、虚部分类．
（2）各类特殊的复数可由实部、虚部所满足的条件确定，应用时由此列出方程或不等式（组）即可．
（3）准确把握复数集内各子集间的关系，有利于对复数概念的理解．
1。
【精品推荐】新教材人教A版高中数学必修第一册全册学案(知识点考点解题方法汇总及配套练习题,含解析)
人教A版必修第一册全册学案第一章集合与常用逻辑用语................................................................................................ - 1 -1.1集合的概念 ............................................................................................................ - 1 -1.2集合间的基本关系................................................................................................. - 9 -1.3集合的基本运算...................................................................................................... - 18 -1.4充分条件与必要条件.............................................................................................. - 32 -1.5全称量词与存在量词.............................................................................................. - 43 -第二章一元二次函数、方程和不等式.............................................................................. - 51 -2.1等式性质与不等式性质....................................................................................... - 51 -2.2基本不等式 .......................................................................................................... - 58 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1) ................................................................. - 70 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2) ................................................................. - 79 -第三章函数的概念与性质.................................................................................................. - 86 -3.1函数的概念及其表示........................................................................................... - 86 -3.2函数的基本性质................................................................................................. - 110 -3.3幂函数 ................................................................................................................ - 134 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................. - 143 -第四章指数函数与对数函数............................................................................................ - 153 -4.1 指数 ...................................................................................................................... - 153 -4.2 指数函数 .............................................................................................................. - 161 -4.3对数 .................................................................................................................... - 173 -4.4对数函数 ............................................................................................................ - 186 -4.5函数的应用(二) .................................................................................................. - 210 -第五章三角函数................................................................................................................ - 233 -5.1任意角和弧度制................................................................................................. - 233 -5.2三角函数的概念................................................................................................. - 250 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 268 -5.3诱导公式(2) .........................................................................................................- 276 -5.4三角函数的图象与性质..................................................................................... - 283 -5.5三角恒等变换..................................................................................................... - 333 -5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) ......................................................................................... - 348 -5.7三角函数的应用................................................................................................. - 367 - 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一集合的概念预习教材，思考问题(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；(2)所有的正方形；(3)某班所有的“帅哥”．上述问题中的元素可否看成一个“集合”？知识梳理(1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二元素与集合的关系预习教材，思考问题设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？知识梳理(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a ∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点三集合的表示预习教材，思考问题我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x ＋2＝0}．知识点四相等集合预习教材，思考问题A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}B＝{1,2}C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}A、B、C可否说为相等集合？知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．[自主检测]1．(教材P5练习1改编)下列给出的对象中，能组成集合的是()A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案：A2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则1a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则3a∈R答案：A4．(教材P4例2改编)分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列举法：{1,2,3,4,5}．授课提示：对应学生用书第2页探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析]选项正误原因A ×大苹果到底以多重算大，标准不明确B ×小橘子到底以多重算小，标准不明确C √中学生标准明确，故可构成集合D ד著名”的标准不明确[答案]判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x 2－1＝0的解；③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是( ) A ．② B ．①③ C ．②④ D ．①②④答案：A探究二 元素与集合的关系 [例2] 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． [解析] 由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x ＞0，且x ≠3，故0≤x ＜3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2.当x ＝0时，63－0＝2∈N ；当x ＝1时，63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.[答案] 0,1,21．若本例2中集合A 是由形如2m ＋n (m ∈Z ，n ∈Z )(例如数22－1)的数构成的，判断12－1是不是集合A 中的元素． 解析：12－1＝2＋1＝1×2＋1， 而1,1∈Z ，所以2＋1∈A ，即12－1∈A . 2．若本例2集合A 是由正整数构成的且满足“若x ∈A ，则10－x ∈A ”，则集合A 中元素个数至多有多少个？解析：由x ∈A ，则10－x ∈A 可得：x ＞0,10－x ＞0，解得：0＜x ＜10，x ∈N *.若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.因此集合A中元素个数至多有9个．答案：9探究三集合的表示[例3]教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．(1)用这样的方法表示偶数集．(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？[解析](1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．用另一种方法表示下列集合：(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；(4){－3，－1,1,3,5}．解析：(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．[解析]因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上可知，a＝0，或a＝1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是()A．0 B．0或1C．1 D．不能确定解析：集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－12，此时A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第3页一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识►直观想象、逻辑推理 1．两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 2．四个集合的区别(1)A ＝{x |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的自变量x 的取值范围，且x 的取值范围是R ，因此A ＝R .(2)B ＝{y |y ＝x 2＋1}表示使函数y ＝x 2＋1有意义的函数值y 的取值范围，而y 的取值范围是y ＝x 2＋1≥1，因此，B ＝{y |y ≥1}．(3)C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}表示满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )组成的集合，因此C 表示函数y ＝x 2＋1的图象上的点组成的集合．(4)P ＝{y ＝x 2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y ＝x 2＋1.[典例] 1.已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，定义集合A ，B 间的运算A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，则集合A *B 等于( )A ．{1,2,3}B ．{2,3}C ．{1,3}D ．{2}[解析] x ＝1∈A,1∉B ； x ＝2∈A,2∈B ； x ＝3∈A,2∉B ； ∴A *B ＝{1,3}． [答案] C2．二次函数y ＝x 2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________． [解析] 点可看作由⎩⎨⎧y ＝x 2－1y ＝3组成的解集可用描述法．令y ＝3得：x 2－1＝3，所以x ＝－2或x ＝2.所以在y ＝x 2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．[答案] {(－2,3)，(2,3)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ＝x 2－1y ＝3 二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”►数学运算、逻辑推理 [典例] 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，B ＝{a 2，a ＋b,0}，若A ＝B ，则a 2 018＋b 2 018的值为________．[解析]因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝(a 2，a ＋b,0)， 又因为a ≠0,1≠0，所以ba ＝0， 所以b ＝0，所以{a,0,1}＝{a 2，a,0}， 所以a 2＝1，即a ＝±1， 又当a ＝1时，A ＝{1,0,1}不满 足集合中元素的互异性，舍去， 所以a ＝－1， 即集合A ＝{－1,0,1}， 此时a ＝－1，b ＝0，故a 2 018＋b 2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1. [答案] 1纠错心得 解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到ba ＝0这一突破口，求出a ＝±1后，检验a ＝1时不满足互异性舍去.1.2 集合间的基本关系内容标准学科素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．数学抽象、直观想象数学运算能识别给定集合的子集．2.针对具体集合，利用集合包含关系求参数．3.在具体情境中了解空集的含义.授课提示：对应学生用书第4页[教材提炼]知识点一子集的定义预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A与B之间有什么关系？能说A比B小吗？知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．(2)子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．(3)一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点二真子集预习教材，思考问题如果A⊆B，那么A与B有可能相等吗？知识梳理如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B 的真子集(proper subset)，记作A B(或B A)．例如，A⊆B，但a∈B，且a∉A，所以集合A是集合B的真子集．知识点三空集的定义预习教材，思考问题方程x2＋1＝0的解集是什么？知识梳理空集及表示一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．知识点四子集的性质预习教材，思考问题A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之间有什么关系？知识梳理(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.(3)对于集合A、B、C，如果A B，且B C，那么A C.[自主检测]1．(教材P8练习2题改编)下列关系式正确的是()A．{0}⊆{0}B．{0}∈{0}C．0＝{0} D．0∉{0}答案：A2．下列集合中是空集的是()A．{∅} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}答案：B3．集合{a、b}的非空真子集为________．答案：{a}，{b}4．用适当的符号填空：(1)a________{a，b，c}；(2)∅________{x∈R|x2＋7＝0}；(3){0}________(x|x2＝x)．答案：(1)∈(2)＝(3)授课提示：对应学生用书第4页探究一 集合关系的判断 [例1] 已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n 2－13，n ∈Z，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝p 2＋16，p ∈Z.试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 关于集合N ：①当n 是偶数时，令n ＝2m (m ∈Z )， 则N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z； ②当n 是奇数时，令n ＝2m ＋1(m ∈Z )， 则N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m ＋12－13，m ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z . 从而，得M N .关于集合P ：①当p ＝2m (m ∈Z )时，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m ＋16，m ∈Z； ②当p ＝2m －1(m ∈Z )时， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2m －12＋16，m ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝m －13，m ∈Z . 从而，得N ＝P .综上，知M N ＝P .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．1．集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ＝B C ．A BD ．BA解析：∵A ＝{－2,3}，B ＝{3}，∴B A . 答案：D2．已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞0}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( ) A ．A ＝B B ．ABC ．B AD ．A ⊆B解析：在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案：C探究二 子集、真子集及个数问题[例2] [教材P 8例1探究](1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0＜x ＜5}，则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．[答案] B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？[解析]子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，∅共8个．真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，∅共7个．(3)若集合A中有5个元素，不具体写出子集．可猜到有多少个子集吗？[解析]25＝32个．1．元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A中元素的个数集合A子集个数集合An∅0 1{a}1 2{a，b}2 4{a，b，c}38{a，b，c，d}416(2)①A的子集的个数有2n个．②A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个．③A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个．2．求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为() A．－2B．4C．0 D．以上答案都不是解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.答案：C2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为()A．3 B．6C．7 D．8解析：由题意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集个数为：23－2＝6.答案：B探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系．(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．[解析](1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝15时，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅时，a≠0，集合B＝{1 a}，由B⊆A得1a＝3或1a＝5，所以a＝13或a＝15.综上所述，实数a的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若A B，求a的取值范围．解析：由题意，在数轴上表示出集合A，B，如图所示：若A B，由图可知，a＞2.授课提示：对应学生用书第6页一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系►逻辑推理、数学抽象1．元素与集合、集合与集合的关系．“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}．“⊆或”是两个集合之间的包含关系．2．0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}，∅，{∅}都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合；∅为不含任何元素的集合；{∅}为含有一个元素∅的集合，此时∅作为集合{∅}的一个元素．(2)联系：0∈{0},0∉∅，0∉{∅}，∅⊆{0}，∅{0}，∅⊆{∅}，∅{∅}．[典例]已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得集合B 是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，说明理由．[解析]因为B⊆A，所以当x＋2＝3，即x＝1时，A＝{1,3,1}不满足互异性，所以x ＝1(舍)．当x ＋2＝x 2，即x ＝2或x ＝－1，若x ＝2时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}，满足B ⊆A ； 若x ＝－1时，A ＝{1,3,1}不满足互异性． 综上，存在x ＝2使得B ⊆A . 此时，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,4}．二、∅的呐喊——勿忘我►逻辑推理、直观想象[典例] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 当B ＝∅时，B ⊆A 显然成立，此时有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即⎩⎨⎧m ≥－3m ≤4，m ＞2，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为{m |m ≤4}． [答案] {m |m ≤4}纠错心得 空集是任何集合的子集，忽视这一点会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x |a ＜x ＜b }一类的集合，当a ≥b 时，它表示空集，解题中要十分注意．1.3集合的基本运算第一课时 并集、交集内 容 标 准学 科 素 养1.理解两个集合的并集的含义，会求两个简单集合的并集．数学抽象、数学运算直观想象 2.理解两个集合的交集的含义，会求两个简单集合的交集．3.能使用Venn 图表达集合的并集、交集授课提示：对应学生用书第6页[教材提炼]知识点一 并集 预习教材，思考问题对于A ＝{1,3,5}，B ＝{2,4,6}，C ＝{1,2,3,4,5,6}；类比实数的加法运算，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？知识梳理 (1)定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集(union set)，记作A ∪B (读作“A 并B ”)，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }，如图，可用Venn 图表示．(2)性质①A ∪B ＝B ∪A ； ②A ∪A ＝A ； ③A ∪∅＝∅∪A ＝A ；④A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；⑤A∪B＝A⇔B⊆A，A∪B＝B⇔A⊆B.知识点二交集预习教材，思考问题A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；集合A，B与集合C之间有什么关系？知识梳理(1)定义一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B 的交集(intersection set)，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，可用Venn图表示．(2)性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩∅＝∅；④若A⊆B，则A∩B＝A；⑤(A∩B)⊆A；⑥(A∩B)⊆B.[自主检测]1．(教材P10例1改编)若集合M＝{－1,0,1}，集合N＝{0,1,2}，则M∪N＝() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}答案：D2．(教材P10例2改编)已知集合P＝{x|x＜3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∩Q ＝()A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}答案：A3．满足条件{0,1}∪A＝{0,1}的所有集合A的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：D4．(教材P12练习3题改编)设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝_________________________________________________________ 答案：{x|x是等腰直角三角形}授课提示：对应学生用书第7页探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0＜x≤1}，则M∪N＝()A．{x|0≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1} D．{x|x≤1}[解析]M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．[答案] A(2)点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．[答案] A求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解．1．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x 的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，即B⊆A.∴x2＝3，或x2＝x.当x2＝3时，得x＝±3，若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．当x2＝x时，得x＝0，或x＝1，若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上知，x＝±3，或x＝0.故满足条件的实数x有3个．答案：C2．已知M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}．则M∪N＝________.解析：将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．答案：{x|x＜－5或x＞－3}探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B＝{0,2}．[答案] A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}[解析]由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．[答案] C(3)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.[解析] 借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}． [答案] R {x |－1＜x ≤1，或4≤x ＜5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝R解析：由3－2x ＞0，得x ＜32， 所以B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32， 又因为A ＝{x |x ＜2}， 所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32， A ∪B ＝{x |x ＜2}． 答案：A2.已知集合U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x ＜2}和N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由题意得，阴影部分所示的集合为M ∩N ，由N ＝{y |y ＝2k －1，k ∈Z }知N 表示奇数集合，又由M ＝{x |－2≤x ＜2}得，在－2≤x ＜2内的奇数为－1,1.所以M ∩N ＝{－1,1}，共有2个元素． 答案：B探究三 集合交、并集运算及应用[例3] 已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a (a ＞0)}． (1)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围． (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围． [解析] (1)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，观察数轴可知，⎩⎨⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2.(2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图． 观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a ＞0，所以0＜a ≤23或a ≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论；(2)要有数形结合思想的意识，借助于数轴会更方便直观； (3)对于A ∩B ＝A 的情况要考虑到A 是否为∅的情况．1．本例条件下，若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值范围． 解析：画出数轴如图．观察图形可知⎩⎨⎧a ＝3，3a ≥4，即a ＝3.2．若本例题变为：已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．解析：由a ＜a ＋8，又B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}， 在数轴上标出集合A ，B ，如图．∴⎩⎨⎧a ＋8≥5a ＜－1， ∴－3≤a ＜－1.授课提示：对应学生用书第8页一、并集元素个数何其多►直观想象、逻辑推理(1)“或”的理解：“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：①x ∈A 但x ∉B ；②x ∈B 但x ∉A ；③x ∈A 且x ∈B .(2)一般地，对任意两个有限集合A ，B ，有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ，同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn 图．由全班共36名同学可得(26－6－x )＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x )＋x ＝36， 解得x ＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案] 8二、“有”与“无”，“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用►直观想象、逻辑推理[典例] 集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．[解析] (1)由A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}， 画出数轴如图所示．由图可知，若A ∩B ＝∅，则 ⎩⎨⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2. (2)由A ∩B ＝A ，得A ⊆B .则a ＋3＜－1或a ＞5，即a ＜－4或a ＞5.纠错心得 由于A 中含端点a 、a ＋3，而B 中不含端点－1及5.根据A ∩B ＝∅的含义，a ＝－1，a ＋3＝5时，也成立．而A ⊆B 时，则不能取“＝”．对于是否取端点．可单独验证．第二课时 全集、补集内 容 标准学 科 素 养1.在具体情境中，了解全集的含义．数学抽象 数学运算 直观想象 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3.能使用Venn 图表达补集的运算.授课提示：对应学生用书第8页[教材提炼]知识点一 全集与补集 预习教材，思考问题(1)方程(x －2)(x 2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？(2)集合{2}与集合{3，－3}之间有什么关系？ 知识梳理 (1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U .(2)补集对于一个集合A ，由全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }，可用Venn 图表示．知识点二 补集的性质 预习教材，思考问题A∩∁U A＝________，A∪∁U A＝________.知识梳理(1)A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.(2)∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U.[自主检测]1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁U M＝()A．{2,4,6}B．{1,3,5}C．{1,2,4} D．U答案：A2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁U M＝()A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}答案：A3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∩B ＝________.答案：{c，d}4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.答案：2授课提示：对应学生用书第9页探究一补集的运算[例1](1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁U A＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2，或x＞2}C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}[解析]依题意，画出数轴，如图所示：观察数轴可知，∁U A＝{x|－2≤x≤2}．[答案] C(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有()A．M⊆∁U N B．M∁U NC．∁U M＝∁U N D．M⊆N[解析]依据题意画出Venn图，观察可知，M⊆∁U N.[答案] A(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，求集合B. [解析]因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁S A.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解析：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：由图知∁S A＝{x|x＜－1，或x≥1}．(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图易知∁S A＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：由图知∁S A＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．探究二 集合交、并、补的综合运算[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}[解析] 因为U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B ＝{1,3,4,6,7}，所以∁U B ＝{2,5,8}． 又A ＝{2,3,5,6}， 所以A ∩(∁U B )＝{2,5}． [答案] A(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．[解析] 将集合A ，B ，P 分别表示在数轴上，如图所示．因为A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∁U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}， 又P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52， 所以(∁U B )∪P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥52. 又∁U P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52， 所以(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜52， ＝{x |0＜x ＜2}．解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．1．在本例(2)的条件下，求(∁U A )∩(∁U P )． 解析：画出数轴，如图所示：观察数轴可知，(∁U A )∩(∁U P )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2≤x ＜52. 2．将本例(2)中的集合P 改为{x |x ≤5}，且全集U ＝P ，A ，B 不变，求A ∪(∁U B )． 解析：画出数轴，如图所示：∴A ∪(∁U B )＝{x |x ＜2，或3＜x ≤5} 探究三 根据补集的运算求参数的值或 范围[例3] 设全集U ＝{3,6，m 2－m －1}，A ＝{|3－2m |,6}，∁U A ＝{5}，求实数m . [解析] 因为∁U A ＝{5}，所以5∈U 但5∉A ， 所以m 2－m －1＝5， 解得m ＝3或m ＝－2. 当m ＝3时，|3－2m |＝3≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{3,6}，满足∁U A ＝{5}； 当m ＝－2时，|3－2m |＝7≠5，此时U ＝{3,5,6}，A ＝{6,7}，不符合题意舍去． 综上，可知m ＝3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解析：因为A ＝{x |x ≥－m }，所以∁U A ＝{x |x ＜－m }．又B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅，结合数轴(图略)分析可知－m ≤－2，即m ≥2，所以m 的取值范围是m ≥2.授课提示：对应学生用书第10页一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用►数学运算、逻辑推理 “正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求∁U A ，再由∁U (∁U A )＝A 求A .补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[典例] 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．[解析] 当A ＝∅时不符合题意，∴A ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}U ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤－1，或m ≥32. 若A ∩B ＝∅，则方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，因为m ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ＝{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围为m ≤－1.二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件►数学运算、逻辑推理 [典例] 设全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值．[解析] 由题意得a 2＋2a －3＝5， 即a 2＋2a －8＝0， ∴a ＝－4或a ＝2，当a ＝2时，|2a －1|＝3∈S ，符合题意，当a ＝－4时，|2a －1|＝9∉S ，不符合题意，故a ＝2.纠错心得 求一个集合A 的子集，首先A 是全集的子集，如本题当a ＝－4时A ＝{9,2}不是S 的子集，故求出a 值还需检验．1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件内 容 标 准学 科 素 养1.根据具体命题，明确条件与结论的关系． 数学抽象、逻辑推理2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.授课提示：对应学生用书第11页[教材提炼]知识点充分条件与必要条件预习教材，思考问题下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．知识梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇒q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．[自主检测]1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断答案：A2．“a＝b”是“ac＝bc”的________条件．(充分，必要)答案：充分3．“x2＝1”是“x＝1”的________条件．(充分，必要)答案：必要授课提示：对应学生用书第11页。
第一章章末梳理1-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)A是 B 的必要条件，即BEA.
(3)A是 B 的充要条件，即A=B.
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修·第一册·RJA)
(4)A是B的即不充分也不必要条件， 即ANB=0 或A,B 既有公共元素也有非公共元素
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修·第一册·RJA)
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语 言，也是数学表达和交流的工具.结合初中学过的平面几何和代数知 识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题 都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推 理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推 理素养.
第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修·第一册·RJA)
(2)因为3∈A, 则 m+2=3 或 2m²+m=3. 当m+2=3, 即 m=1 时 ，m+2=2m²+m, 不符合题意，故舍去；
当 2m²+m=3, 即 m=1 或
,m=1 不合题意，若
+2≠2m²+m, 满足题意，故
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修·第一册·RJA)
核心素养二
数学运算
考查方向 集合基本运算
例 2(1)设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5}, 则
UB) 等于( D )
A.{1,4}
B.{1,5}
C.{2,5}
D.{2,4}
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》》》第一章集合与常用逻辑用语
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)5.4.2.1
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ， 又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称．答案：B题型一 求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R . 【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π. (3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sin z ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期． 对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x ∈R ；对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出(2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x . 因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数． (2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ；(2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．(1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题] 例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】 因为f (x )的最小正周期是π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (Aω≠0)或y ＝A cos ωx (Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数．(2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)5.4.3
5.4.3 正切函数的性质与图象知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质 解析式 y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数 状元随笔 如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难]1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P 210思考所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”) 解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°. 答案：＜题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }. (2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z .求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x ≠k π＋π2 k ∈Z 等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．课时作业 36一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4.方法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4.答案：A2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－1，＋∞)又0<π5<π4<π2，y＝tan x在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tanπ4>tanπ5，所以－tanπ4<－tanπ5，即tan⎝⎛⎭⎪⎫－13π4<tan⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.[尖子生题库]10．画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．解析：由函数y＝|tan x|得y＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x，kπ≤x<kπ＋π2(k∈Z)－tan x，kπ－π2<x<kπ(k∈Z)，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．函数y＝|tan x|的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫kπ，kπ＋π2，k∈Z，单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－π2＋kπ，kπ，k∈Z.。
2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)5.2.2
5.2.2同角三角函数的基本关系最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x ＝1，sin xcos x＝tan x.知识点同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.[教材解难]同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23a＝1.(2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1就不一定恒成立．[基础自测]1．若α为第二象限角，且sin α＝23，则cos α＝( )A ．－53 B.13C.53 D ．－13解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－53.答案：A2．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55 C.255 D ．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sin α<0.由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 答案：A3．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：C4．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________．解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－1＝43. 答案：43解析：(1)(cos x－sin x)2＝1－2sin x cos x＝15，所以2sin x cos x＝45，所以(cos x＋sin x)2＝1＋2sin x cos x＝95，因为x是第三象限角，所以cos x＋sin x<0，所以cos x＋sin x＝－355.(2)由⎩⎨⎧cos x＋sin x＝－355，cos x－sin x＝55，解得cos x＝－55，sin x＝－255，所以2sin2x－sin x cos x＋cos2x＝2×45－25＋15＝75.1.把cos x－sin x＝55平方2．注意x的范围3．分别求出sin x、cos x课时作业30一、选择题1．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是() A.1213B．－1213C.512D．－512解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝1－cos2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－12132＝513，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.。
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高考数学难点突破专题辅导01 新人教A版必修1
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.
●案例探究
［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论.
命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.
知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了.
错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.
技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.
技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
●锦囊妙计
1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A B,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( )
A.M=N
B.M N
C.M N
D.M∩N=
2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则( )
A.－3≤m≤4
B.－3<m<4
C.2<m<4
D.2<m≤4
二、填空题
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|a x2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.
4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|=1,a>0,b>0},当A∩B 只有一个元素时，a,b的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求当a取什么实数时，A∩B和A∩C=同时成立.
6.(★★★★★)已知{a n}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，
它的前n项和记作S n,设集合A={(a n,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠.
7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.
8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：A B;
(2)如果A={－1，3}，求B.
参考答案
难点磁场
解：由得x2+(m－1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m≤－1时，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
故所求m的取值范围是m≤－1.
歼灭难点训练
一、 1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=
nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或
k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=n
π+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠,
∴即2＜m≤4.
答案：D
二、3.a=0或a≥
4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线=1相切，则1=,即ab=.
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B,即A∩B≠,
∴3是关于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B，∴a=－2.
6.解：(1)正确.在等差数列{a n}中，S n=,则(a1+a n),这表明点
(a n,）的坐标适合方程y(x+a1),于是点(a n, )均在直线y=x+a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当
a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3）不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有a n=a1+(n－1)d=n>0,>0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果
A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=
＜0,y 0=＜0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.
7.解：由w=zi+b得z=,
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.
∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.
又A∩B=B，即B A，∴两圆内含.
因此≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A B.
(2)证明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得
∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3,,－.
故B={－，－1，，3}.。