反比例函数交点问题
反比例函数(含答案)
例1 已知一次函数2y x k =-的图象与反比例函数5k y x+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式． 解： 依题意，由两个函数解析式得所以一次函数和反比例函数的解析式分别为例注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y 1与x+1成正比例，y 2与x 2成反比例，即把x+1与x 2看成两个新的变量．典型例题四例 （上海试题，2002）如图，直线221+=x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，x PB ⊥轴，B 为垂足，9=ABP S ∆（1）求点P 的坐标；（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧．作x RT ⊥轴，T 为垂足，当BRT ∆与AOC ∆相似时，求点R 的坐标．那么2-=b BT ，b RT 6=. ①当RTB ∆∽AOC ∆时，CO BT AO RT =，即2==COAOBT RT ， ∴226=-b b ，解得3=b 或1-=b （舍去）. ∴ 点R 的坐标为()2,3.②RTB ∆∽ COA ∆时，AO BT CO RT =，即21==AO CO BT RT ， ∴2126=-b b ，解得131+=b 或131-=b （舍去）. ∴点R 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2113,131. 综上所述，点R 的坐标为()2,3或⎪⎫⎛-+113,131.y例 B.（（解 ：（1）设点A 的坐标为(m,n)，那么n AB m OB =-=,.∵ AB OB S ABO ⋅=∆21，∴.4,2)(21-==⋅-mn n m 又mk n =，∴4-==mn k .∴ 双曲线：x y 4-=，直线：4+-=x y .（2）解由xy 4-=，4+-=x y 组成的方程组，得2221+=x ，2221-=y ；例 A 、B 求B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由. 解：（1）过点B 作x BH ⊥轴于点H . 在OHB ∆Rt 中，.3,31tan BH HO HO BH HOB =∴==∠由勾股定理，得222OB HO BH =+. 又10=OB ，.3,1,0.)10()3(222==∴>=+∴HO BH BH BH BH ∴ 点B （－3，－1）.∵ ∴ ∴ （∵ ∴ ∴ 令 ).31(321)(2122m m GA BH DO GA DO BH DO S +-=+=⋅+⋅=由已知，直线经过第一、二、三象限， ∴ 0>b ，即03>-mm..03,0>-∴>m m由此得 .30<<m ∴ ).31)(3(21mm S +-=即 ).30(292<<-=m mm S (3）过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.证明如下：S ∆由得 ∵ ∴ ∴ ∴ 即 则 aa 2121令 .321=-x x 则 .9324)21(2=-⋅-+-aa a a 整理，得 01472=+-a a . ∵ ,012174)4(2<-=⨯⨯--=∆∴ 方程01472=+-a a 无实数根.因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3.典型例题八例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 [ ]； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 [ ]； (3)圆面积与半径的关系 [ ]； (4)圆面积与半径平方的关系 [ ]；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 [ ]； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 [ ]；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 [ ]； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 [ ]；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 [ ]； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 [ ]．说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y= kx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3（1）求反比例函数y= kx的解析式；（2）若直线y=﹣x+m与反比例函数y= kx（x＞0）的图象相交于两个不同点E、F（点E在点F的左边），与y轴相交于点M①则m的取值范围为（请直接写出结果）②求ME•MF的值．2．如图所示，直线y1=−x+6与反比例函数y2=k x（k≠0，x>0）的图象交于点Q(m，2)、点P．（1）求m的值及反比例函数的解析式．（2）根据图象，写出y1>y2时x的取值范围．3．如图，已知反比例函数y= mx（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC△x轴于C，交直线AB于点N，MD△y轴于D，NE△y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．4．如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象相交于A(−1,m)，B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y=k x的图象有且只有一个交点，求b的值．5．如图，一次函数与反比例函数y= mx的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P使PA+PB最小，并求出点P的坐标．6．如图，直线y=mx+n(m≠0)与双曲线y=k x(k≠0)交于A、B两点，直线AB与坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA=2√10，tan∠AOC=13，点B(−3,b).（1）分别求出直线AB与双曲线的解析式；（2）连接OB，求S△AOB.7．定义：若一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x同时经过点P（x，y）则称二次函数y=ax2+bx−k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y=x+2与反比例函数y=8x，都经过（2，4），则y=x2+2x−8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y=2x+1与y=3x是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c<b<8a，并且一次函数y=(1+b)x+ 2a+2与反比例函数y=2021x存在“关联函数” y=(a+c)x2+(10a−c)x−2021，求a的值．（3）若一次函数y=x+m和反比例函数y=m 2+13x在自变量x的值满足m≤x≤m+6的情况下．其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．8．如图，直线y1=2x−6与反比例函数y2=k x的图象交于点A(4,2)，（1）求k的值及另一个交点的坐标；（2）当y1<y2时，求x的取值范围.9．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x的图象经过点A（1，4），B（m，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）若二次函数y=(x−1)2的图象经过点B，求代数式m 2−2m−34−n+1mn的值；（3）若反比例函数y=k x的图象与二次函数y=a(x−1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．10．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数y=k x（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．11．如图，已知A(−4，12)，B(−1，m)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=−2x(x<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D.（1）求一次函数解析式及m的值；（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标.12．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，交AB于D，已知OC＝12，OA＝4 √3，△AOC＝60°（1）求反比例函数y＝kx（k≠0）的函数表达式；（2）连结CD，求△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一个动点，以AP为一边，在AP的右上方作正方形APEF，在点P的运动过程中，是否存在一点P使顶点E落在△OABC的边所在的直线上，若存在，请求出此时OP的长，若不存在，请说明理由．13．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =mx交于A(1，t+2)，B(﹣2t，﹣1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；（2）点C(x1，y1)和D(x2，y2)是反比例函数y =mx图象上任意两点，①若x1＜x2＜0，p =y1+y28，q =2x1+x2，试判断p、q的大小关系，并说明理由；②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2=﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由.14．如图，已知点D在反比例函数y= mx的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan△OAC= 25．（1）求反比例函数y= mx和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求△BMC的度数．15．如图，直线y=ax+6经过点A(−3，0)，交反比例函数y=k x(x>0)的图象于点B(1，m)．（1）求k的值；（2）点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y 轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．16．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ nx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：设D 的坐标是（4，a ），则A 的坐标是（4，a+3）．又∵点C 是OA 的中点， ∴点C 的坐标是（2， a+32），∴4a=2× a+32 =k ，解得a=1，k=4，∴反比例函数的解析式为y= 4x；（2）m ＞4；82．【答案】（1）解：将点 Q(m ，2) 代入直线 y 1=−x +6 中得： 2=−m +6 ，解得： m =4 ，将点 Q(4，2) 代入 y 2=k x 得： 2=k 4，∴k =8 ，∴反比例函数的解析式为： y 2=8x；（2）解：联立 {y 1=−x +6y 2=8x 得： −x +6=8x ，整理得： x 2−6x +8=0 ，解得： x =2 或 x =4 ， 当 x =2 时， y 1=y 2=4 ， 当 x =4 时， y 1=y 2=2 ， ∴P(2，4) ， Q(4，2) ，∴由函数图象可得，当 y 1>y 2 时x 的取值范围为： 2<x <4 ．3．【答案】（1）解：把A （1，3）的坐标分别代入y= mx 、y=﹣x+b ，∴m=xy=3，3=﹣1+b ， ∴m=3，b=4（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y= 3x ，一次函数的解析式为y=﹣x+4，∵直线MC△x 轴于C ，交直线AB 于点N ，∴可设点M 的坐标为（x ， 3x），点N 的坐标为（x ，﹣x+4），其中，x ＞0，又∵MD△y 轴于D ，NE△y 轴于E ，∴四边形MDOC 、NEOC 都是矩形， ∴S 1=x• 3x=3，S 2=x•（﹣x+4）=﹣x 2+4x ，∴S=S 2﹣S 1=（﹣x 2+4x ）﹣3=﹣（x ﹣2）2+1．其中，x ＞0， ∵a=﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x=2时，S取最大值，其最大值为14．【答案】（1）解：由题意，将点A(−1,m)代入一次函数y=x+5得：m=−1+5=4∴A(−1,4)将点A(−1,4)代入y=k x得：k−1=4，解得k=−4则反比例函数的表达式为y=−4 x；（2）解：将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位得到的一次函数的解析式为y=x+5−b联立{y=x+5−b y=−4x整理得：x2+(5−b)x+4=0∵一次函数y=x+5−b的图象与反比例函数y=−4x的图象有且只有一个交点∴关于x的一元二次方程x2+(5−b)x+4=0只有一个实数根∴此方程的根的判别式Δ=(5−b)2−4×4=0解得b1=1,b2=9则b的值为1或9．5．【答案】（1）解：将A（1，4）代入y= m x，∴m=4，∴反比例函数的解析式为：y= 4 x（2）解：将B（4，n）代入y= 4 x，∴n=1，设C与A关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+b，将C（1，﹣4）和B（4，1）代入y=kx+b，∴解得{k=53b=−173∴一次函数的解析式为：y= 53x﹣173令y=0代入y= 53x﹣173∴x= 175∴P （ 175，0）6．【答案】（1）解：如图，作 AE ⊥x 轴于点 E∵tan∠AOC =AE OE =13 ，∴ 设 AE =x ， OE =3x ，则 OA =√AE 2+OE 2=√10x =2√10 ， ∴x =2 ，∴ 点 A 的坐标为 (−6,2) ，代入 y =kx，得： k =−12 ，则反比例函数解析式为 y =−12x，当 x =−3 时， y =4 ， ∴ 点 B 的坐标为 (−3,4) ，将点 A(−6,2) 、 B(−3,4) 代入 y =mx +n ，得： {−6m +n =2−3m +n =4， 解得： {m =23n =6， ∴ 直线 AB 的解析式为 y =23x +6 ；（2）解：在直线 y =23x +6 中，当 x =0 时， y =6 ，即点 D(0,6) ，当 y =0 时， 23x +6=0 ，解得 x =−9 ，即点 C(−9,0) ，∴S △AOB =S △COD −S △AOC −S △BOD=12×9×6−12×9×2−12×6×3 =9 .7．【答案】（1）解：存在关联点和关联函数，理由如下：{y =2x +1y =3x， 整理得： 2x 2+x −3=0 ，(x −1)(2x +3)=0 ，解得： x 1=1 ， x 2=−32， 所以，关联点为（1，3）或（ −32，－2）， 关联函数为： y =2x 2+x −3（2）解：由题意知： {y =(1+b)x +2a +2y =2021x， 整理得： (1+b)x 2+(2a +2)x −2021=0 ，因此可得： {1+b =a +c 10a −c =2a +2， 解得： {b =9a −3c =8a −2， ∵c <b <8a ，∴8a −2<9a −3<8a ，解得： 1<a <3 ，∵ a 是整数，∴a =2（3）解：由一次函数 y =x +m 和反比例函数 y =m 2+13x得：“关联函数”的解析式为 y =x 2+mx −(m 2+13) ，函数的对称轴为：x ＝− 12m ； 当m ＋6≤− 12m 时，即m≤−4， x ＝m ＋6，函数取得最小值，即 (m +6)2+m ⋅(m +6)−(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝－17或－1（舍去）；当m ＜− 12m ＜m ＋6，即−4＜m ＜0， 函数在x ＝− 12 m 处取得最小值，即 (−12m)2+m ⋅(−12m)−(m 2+13)=6 ，无解；当m≥0时，函数在x ＝m 处，取得最小值，即 m 2+m ⋅m −(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝± √19 （舍去− √19 ），综上，m ＝－17或 √19 ，故“关联函数”的解析式为y=x2−17x−302或y=x2+√19x−32．8．【答案】（1）把A(4,2)代入y=k x中得：2=k4，解得k=8，∴y=8 x联立方程组得{y=2x−6y=8x，解得，{x=4y=2或{x=−1y=−8∵A（4，2）∴另一个交点坐标为(−1,−8).（2）由图象可知，不等式y1<y2的解集为0<x<4或x<−1 9．【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝k x得：k=4反比例函数y＝kx的解析式是y=4x（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝kx上，∴mn=4，又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点B（m，n），∴(m−1)2=n，即n-1=m2-2m∴m 2−2m−34−n+1mn=mn(m2−2m−3)−4(n+1)4mn=−54（3）解：由反比例函数的解析式为y=4x，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数y=4x的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－2 9.∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－2 9.10．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数y=k x的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y= 2 x（2）解：反比例函数y= 2x，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= 1 3，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：13≤y≤211．【答案】（1）解：把B(−1，m)代入反比例函数y=−2x得，m=2，y=kx+b的图象过点A(−4，12)，B(−1，2)，则{−4k+b=1 2−k+b=2，解得{k=12b=52，∴一次函数的解析式为y=12x+5 2（2）解：连接PC、PD，如图，设P(x，12x+52)，由△PCA和△PDB面积相等得1 2×12×(x+4)=12×|−1|×(2−12x−52)，解得x=−52，∴y=12x+52=54，∴P点坐标是(−52，5 4)12．【答案】（1）解：如图1，过点C作CG△x轴于点G∴△OGC＝90°∵OC＝12，△AOC＝60°∴cos△AOC＝OGOC=12，sin△AOC＝OGOC=√32∴OG＝12OC＝6，CG＝√32OC＝6 √3∴C（6，6 √3）∵反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C∴6 √3＝k6解得：k＝36 √3∴反比例函数的函数表达式为y＝36√3x（2）解：如图2，过点D作DH△BC于点H∵OA＝4 √3，点A在x轴上∴A（4 √3，0）∵四边形OABC是平行四边形∴BC△OA，BC＝OA＝4 √3∴x B＝x C+BC＝6+4 √3，y B＝y H＝y C＝6 √3∴B （6+4 √3 ，6 √3 ）设直线AB 解析式为y ＝ax+b∴{4√3a +b =0(6+4√3)a +b =6√3 解得： {a =√3b =−12∴直线AB ：y ＝ √3 x ﹣12∵点D 为线段AB 与反比例函数图象的交点∴{y =36√3x y =√3x −12 解得： {x 1=6√3y 1=6 或 {x 2=−2√3y 2=−18 （舍去） ∴D （6 √3 ，6）∴DH ＝6 √3 ﹣6∴S △BCD ＝ 12 BC•DH ＝ 12×4 √3 ×（6 √3 ﹣6）＝36﹣12 √3 （3）解：存在点P 使顶点E 落在△OABC 的边所在的直线上． 如图3，过点P 作PM△x 轴于点M ，过点E 作EN△直线PM 于点N∴△AMP ＝△PNE ＝90°∵C （6，6 √3 ）∴直线OC 解析式为y ＝ √3 x∵点P 在线段OC 上∴设点P 坐标为（m ， √3 m ）（0≤m≤6）∴OM ＝m ，PM ＝ √3 m∴AM ＝OA ﹣OM ＝4 √3 ﹣m∵四边形APEF 是正方形∴AP ＝PE ，△APE ＝90°∴△EPN+△APM ＝△APM+△PAM ＝90°∴△EPN ＝△PAM在△PNE 与△AMP 中{∠PNE =∠AMP ∠EPN =∠PAM PE =AP∴△PNE△△AMP（AAS）∴PN＝AM＝4 √3﹣m，NE＝PM＝√3m∴x E＝x N+NE＝m+ √3m，y E＝y N＝MN＝PM+PN＝√3m+4 √3﹣m∴E（m+ √3m，√3m+4 √3﹣m）①若点E落在直线OC上，则√3m+4 √3﹣m＝√3（m+ √3m）解得：m＝√3∴P（√3，3），OP＝√(3+√3)2=2√3②若点E落在直线BC上，则√3m+4 √3﹣m＝6 √3解得：m＝3+ √3∴P（3+ √3，3 √3+3），OP＝√(3+√3)2+(3√3+3)2=6+2√3③若点E落在直线AB上时，直线AB：y＝√3x﹣12∴√3（m+ √3m）﹣12＝√3m+4 √3﹣m解得：m＝3+ √3，即点E落在直线BC与直线AB交点处综上所述，OP＝2 √3或（6+2 √3）时，点E落在△OABC的边所在的直线上．13．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：1×(t+2)=﹣1×(﹣2t)，解得：t=2，故点A、B的坐标分别为(1，4)、(﹣4，﹣1)，故反比例函数表达式为：y =4 x；将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k=1，b=3，故一次函数的表达式为：y=x+3；（2）解：①p＜q，理由：设反比例函数过点C(x1，y1)、D(x2，y2)，则y1=4x1，y2=4x2，p =18(y1+y2) =18（4x1+4x2）=x1+x22x1x2，q =2x1+x2，p﹣q =x1+x22x1x2−2x1+x2=（x1−x2）22x1x2（x1+x2），∵x1＜x2＜0，∴x1x2＞0，x1+x2＜0，∴p﹣q＜0，故p＜q；②由题意知，点C 、D 的坐标分别为(x 1， 4x 1 )、(x 2， 4x 2)， 设直线CD 的表达式为：y=ax+b ，将点C 、D 的坐标代入上式得 {ax 1+b =4x 1ax 2+b =4x 2 ，解得：a =−4x 1x 2 ， ∵x 1x 2=﹣4=﹣4a ，解得：a=1.∵a=k=1，∴CD△AB ，又∵CE△DF ，∴四边形CEFD 为平行四边形，又∵CE△AB ，∴四边形CEFD 为矩形.14．【答案】（1）解：∵A （5，0），∴OA=5．∵tan∠OAC =25， ∴OC OA =25，解得OC=2， ∴C （0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B （0，3），BD△x 轴，∴D （﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴y =−6x， 设直线AC 关系式为y=kx+b ，∵过A （5，0），C （0，﹣2），∴{0=5k +b −2=b ，解得 {k =25b =−2， ∴y =25x −2 ； （2）解：∵B （0，3），C （0，﹣2），∴BC=5=OA ，在△OAC 和△BCD 中{OA =BC ∠AOC =∠DBC OC =BD∴△OAC△△BCD （SAS ），∴AC=CD ，∴△OAC=△BCD ，∴△BCD+△BCA=△OAC+△BCA=90°，∴AC△CD ； （3）解：△BMC=45°．如图，连接AD ，∵AE=OC ，BD=OC ，AE=BD ，∴BD△x 轴，∴四边形AEBD 为平行四边形，∴AD△BM ，∴△BMC=△DAC ，∵△OAC△△BCD ，∴AC=CD ，∵AC△CD ，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴△BMC=△DAC=45°． 15．【答案】（1）解：把A(−3，0)代入y =ax +6，得−3a +6=0， 解得a =2，∴直线的函数表达式为y =2x +6，∴当x =1时，y =2×1+6=8，∴B(1，8)，把B(1，8)代入反比例函数y =k x，得k =1×8=8． （2）解：设点C 的坐标为(x ，2x +6)，由于DC ⊥y 轴，所以点D 的纵坐标为2x +6，∴点D(82x+6，2x +6)， ∴S △ACD =12CD ×(2x +6)=12(82x+6−x)×(2x +6)=−x 2−3x +4=−(x +32)2+254， ∴当x =−1.5时，S △ACD 最大值=254，答：S △ACD 的最大值为254． 16．【答案】（1）解：∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD△OA ，∴DC△OB ，∴OB CD =AO AD， ∴6CD = 35， ∴CD=10，∴点C 坐标（﹣2，10），B （0，6），A （3，0），∴{b =63k +b =0 解得 {k =−2b =6， ∴一次函数为y=﹣2x+6．∵反比例函数y= n x 经过点C （﹣2，10），∴n=﹣20，∴反比例函数解析式为y=﹣ 20x（2）解：由 {y =−2x +6y =−20x解得 {x =−2y =10 或 {x =5y =−4 ， 故另一个交点坐标为（5，﹣4）（3）解：由图象可知kx+b≤ n x 的解集：﹣2≤x ＜0或x≥5。
北师大版九年级(上)数学第19讲：反比例函数与一次函数的交点问题(教师版)——王琪
反比例函数与一次函数的交点问题一、正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y ＝k 1x(k 1≠0)，反比例函数)0(22=/=k x ky ，则当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．二、一次函数和反比例函数的交点问题1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 解：∵A 、B 是反比函数y=上的点，∴S △OBD =S △OAC =，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA=PB ，故②错误； ∵P 是y=的图象上一动点，∴S 矩形PDOC =4，∴S 四边形PAOB =S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC =4﹣﹣=3，故③正确；连接OP ，===4，∴AC=PC ，PA=PC ，∴=3，∴AC=AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选C ．2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•（b﹣）=9，∴k=，故选C．3．反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（）A．（6，﹣1） B．（﹣1，﹣6）C．（3，2）D．（﹣2，3.1）解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），∴k=﹣2×3=﹣6，四个选项中只有A：6×（﹣1）=﹣6．故选A．4．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1解：∵M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，∴M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都满足函数关系式（k＞0），∴y1=﹣2k，y2=﹣4k，y3=2k；∵k＞0，∴﹣4k＜﹣2k＜2k，即y3＞y1＞y2．故选C．5．已知点A（﹣1，5）在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（）A． B． C． D．y=5x解：将P（﹣1，5）代入解析式y=得，k=（﹣1）×5=﹣5，解析式为：y=﹣．故选C．6．已知反比例函数的图象过点M（﹣1，2），则此反比例函数的表达式为（）A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣解：设反比例函数的解析式为（k≠0）．∵该函数的图象过点M（﹣1，2），∴2=，得k=﹣2．∴反比例函数解析式为y=﹣．故选B．7．已知一次函数y1=kx+b（k＜0）与反比例函数y2=（m≠0）的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是﹣1和3，当y1＞y2，实数x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或0＜x＜3C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3解：依照题意画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＞y2，实数x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3．故选A．8．已知点A（﹣2，1），B（1，4），若反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值范围是（）A．﹣≤k＜0或0＜k≤4 B．k≤﹣2或k≥4C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4解：①当k＞0时，如下图：将x=1代入反比例函数的解析式得y=k，∵y随x的增大而减小，∴当k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．∴当0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．②当k＜0时，如下图所示：设直线AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=3．所以直线AB所在直线为y=x+3．将y=x+3与y=联立，得：x+3=，整理得：x2+3x﹣k=0．∴32+4k≥0，解得：k≥﹣．综上所述，当﹣≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．故选：A．9．在平面直角坐标系中直线y=x+2与反比例函数 y=﹣的图象有唯一公共点，若直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．﹣2＜m＜2 C．m＜﹣2 D．m＞2或m＜﹣2解：根据反比例函数的对称性可知：直线y=x﹣2与反比例函数y=﹣的图象有唯一公共点，∴当直线y=x+m在直线y=x+2的上方或直线y=x+m在直线y=x﹣2的下方时，直线y=x+m与反比例函数y=﹣的图象有2个公共点，∴m＞2或m＜﹣2．故选D．10．如图，直线y=kx与双曲线y=﹣交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣8x2y1的值为（）A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12解：将y=kx代入到y=﹣中得：kx=﹣，即kx2=﹣2，解得：x1=﹣，x2=，∴y1=kx1=，y2=kx2=﹣，∴2x1y2﹣8x2y1=2×（﹣）×（﹣）﹣8××=﹣12．故选B．11．如图，双曲线y=﹣（x＜0）经过▱ABCO的对角线交点D，已知边OC在y轴上，且AC⊥OC于点C，则▱OABC的面积是（）A． B． C．3 D．6解：∵点D为▱ABCD的对角线交点，双曲线y=﹣（x＜0）经过点D，AC⊥y轴，∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3．故选C．12．如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD 的面积等于（）A．2 B．2 C．4 D．4解：设A（a，），可求出D（2a，），∵AB⊥CD，∴S四边形ACBD=AB•CD=×2a×=4，故选C．13．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y=图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴反比例函数y=图象上，y随x的增大而减小，∴图象在一、三象限，如图1，∴k＞0，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴，∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，故选C．14．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0） B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y=，将B（3，1）代入y=，∴k=3，∴y=，∴把y=2代入y=，∴x=，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选（C）15．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=（k ≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（）A．y= B．y= C．y= D．y=解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA=4，∵AB=5，∴OB==3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=4，CE=OB=3，∴OE=BE﹣OB=4﹣3=1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点C，∴k=xy=3×1=3，∴反比例函数的表达式为y=．故选A．16．如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN 交于点E，若四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=﹣解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，设EF=h，OM=a，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a△AON中，MG∥ON，AM=OM，∴MG=ON=a，∵MG∥AB，∴==，∴BE=4EM，∵EF⊥AB，∴EF∥AM，∴==．∴FE=AM，即h=a，∵S△ABM=4a×a÷2=2a2，S△AON=2a×2a÷2=2a2，∴S△ABM=S△AON，∴S△AEB=S四边形EMON=2，S△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，ah=1，又有h=a，a=（长度为正数）∴OA=，OC=2，因此B的坐标为（﹣2，），经过B的双曲线的解析式就是y=﹣．17．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，令x=0代入y=x﹣6，∴y=﹣6，∴B（0，﹣6），∴OB=6，令y=0代入y=x﹣6，∴x=2，∴（2，0），∴OA=2，∴勾股定理可知：AB=4，∴sin∠OAB==，cos∠OAB==设M（x，y），∴CF=﹣y，ED=x，∴sin∠OAB=，∴AC=﹣y，∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC•BD=4，∴﹣y×2x=4，∴xy=﹣3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣3，故选A。
一次函数与反比例函数图象的交点个数问题探讨
一次函数与反比例函数图象的交点个数问题探讨摘要：在平常学习与中考中，一次函数与反比例函数综合应用问题一直是一个比较难的综合问题，学生在分别学习完一次函数与反比例函数之后还面临着同一直角坐标系中，两种函数的综合应用，而综合应用最常见的问题绝大多数都会涉及到两函数的交点问题，那么交点的个数问题就需要进行常规的学习与归纳总结，才能更好的帮助学生学以致用，轻松掌握。
关键词：初中数学一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数交点个数随着“双减”政策的实施与落实，学生学业负担过重的现实受到广泛关注，教育主管部门一方面要求减轻学生学业负担，一方面普高招生并未增加名额。
摆在老师和学生面前的现实问题就需要我们“提质增效”，减少过多的重复练习，再讲解，引导，归纳上下功夫，让学生达到“提质增效”的效果。
下面我就一次函数与反比例函数图象的交点个数问题展开探讨。
一、一次函数与反比例函数的交点坐标一次函数与反比例函数的交点坐标是方程组的解.例．求一次函数与反比例函数图像的交点坐标。
解：联立两方程得：二、一次函数与反比例函数的交点个数（1）从图象上看：一次函数与反比例函数的交点个数由值的符号来决定.①值同号，两函数图象必有两个交点（当时，正比例函数与反比例函数图象两交点关于原点对称）.②值异号，两函数图象可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点.（2）从计算上看：一次函数与反比例函数图象交点个数取决于两函数解析式所组成的方程组解的情况.整理得：；这个一元二次方程根的判别式的值决定两个函数图象的交点个数：当时两函数图象有两个交点；当时两函数图象只有一个交点；当时两函数图象没有交点.例．如图，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于两点；若反比例函数的函数图象与有公共点，则的取值范围是（）解析：∵点C（1，2），BC‖y轴，AC‖x轴，∴点A，B的坐标分别为A（4，2），B（1，5）.如右图：①当反比例函数图象恰好过点C时，.②当反比例函数图象与线段AB相切，即与的交点为（3，3），交点横坐标1＞3＞4，在线段AB之间，.以上探讨只是一次函数与反比例函数综合应用问题很小的一部分知识，但体现了数学知识的联系性，当中既涉及到一次函数与反比例函数的相关知识，还涉及到了方程，特别是一元二次方程的解法及根的判别式的知识，当然还包括我们的不等式知识。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题1．阅读材料：已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝4x（x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.（1）方方给出了下列解答：﹣x+b＝4 xx2﹣bx+4＝0∵两个函数有交点∴△＝b2﹣16≥0但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；此时，圆圆提供了另一种解题思路；第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝▲ ；第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是▲ .应用：如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12.（2）求y关于x的函数表达式；（3）设x+y＝m，求m的取值范围.2．若反比例函数y＝mx与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式.3．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD△x轴于D．（1）求这两个函数的解析式：（2）求△ADC的面积．4．如图，直线y=45x−45交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，EA的延长线交直线y=45x−45于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+5的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为52.（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB 向下平移了几个单位长度？6．如图，点A在反比例函数y=k x(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过C(5，0)作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=32x+b的图象于D点，交反比例函数的图象于E点，S△AOB=3．（1）求反比例函数y=k x(x>0)和一次函数y=32x+b的表达式：（2）求DE的长．7．在平面直角坐标系中，反比例函数y= k x（k>0，x>0）图象上的两点（n，3n）、(n+1，2n).（1）求n的值；（2）如图，直线l为正比例函数y=x的图象，点A在反比例函数y= kx（k>0,x>0）图象上，过点A作AB△l于点B，过点B作BC△x轴于点C，过点A作AD△BC于点D，记△△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1-S2的值.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=mx+1(m≠0)与反比例函数y=nx(x<0)的图象交于点A(−1,2)，与x轴交于点B.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C是反比例函数图象上一点，过点C作x轴的平行线CD交直线AB于点D，作直线AC交x轴于点E，若S△ACD:S△AEB=1:4，求点E的坐标.9．如图，反比例函数y= k x的图象与一次函数y= 14x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较△PAQ与△PBQ的大小，并说明理由．10．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=k x(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.11．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= k x（k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S△AOE=3S△OBE．（1）求k的值；（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= 12x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= kx（x＜0）的图象于点N，求N点坐标．12．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y=k x(x>0)相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为(−2,0) .（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标.13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b(k＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝mx(x＞0)的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．14．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=4x；由周长为m，得2(x+y)=m，即y=−x+m2.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.（2）画出函数图象函数y=4x(x>0)的图象如图所示，而函数y=−x+m2的图象可由直线y=−x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=−x.（3）平移直线y=−x，观察函数图象①当直线平移到与函数y=4x(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为▲ ；②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.（4）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为.15．如图，直线y=−x+3与反比例函数y=2x(x>0)的图象交于A，B两点.（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE=45°，求AEEC的值；（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y=2x(x>0)的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值.16．如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于A(−2，b)，B两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.答案解析部分1．【答案】（1）解：4；函数图象如图1所示：；b≥4（2）解：∵Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC 的长为x ，AC 的长为y ，且 S △ABC =12 ， ∴12⋅x ⋅y =12 ， ∴y =24x(x >0) （3）解：∵x+y=m ， ∴m =x +24x， ∴x 2-mx+24=0 ∴m 2-96≥0 ∵m ＞0 ∴m ≥4√62．【答案】（1）解：∵反比例函数y= m x 的图象经过点（-2，-1）， ∴-1= m−2 ，解得：m=2，∴反比例函数的解析式：y= 2x ；（2）解：当x=1时，y= 21=2，∴一次函数y=kx+b 的图象经过点（1，2）（-2，-1）， ∴{−2k +b =−1k +b =2 ，解得 {k =1b =1 ，∴一次函数的解析式：y=x+1.3．【答案】（1）解：∵反比例函数y= k x的图象过B （4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣ 8x；∵反比例函数y= k x 的图象过点A （﹣2，m ），∴m=﹣ 8−2=4，即A （﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b 的图象过A （﹣2，4），B （4，﹣2）两点， ∴{−2a +b =44a +b =−2 ， 解得 {a =−1b =2∴一次函数的解析式为y=﹣x+2； （2）解：∵直线AB ：y=﹣x+2交x 轴于点C ， ∴C （2，0）．∵AD△x 轴于D ，A （﹣2，4）， ∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4， ∴S △ADC = 12 •CD•AD= 12×4×4=8．4．【答案】（1）解：求得直线 y =45x −45与 x 轴交点坐标为M （1，0），则OM ＝1， 而S 矩形OMAE ＝4，即OM·AM ＝4， ∴AM ＝4， ∴A （1，4）；∵反比例函数的图象过点A （1，4）， ∴k =4 ，∴所求函数为 y =4x(x >0) ；（2）解：∵点D在EA延长线上，∴直线AD：y=4，求得直线y=45x−45与直线y=4的交点坐标为D（6，4），∴AD＝5；设B（x，0），则BM＝|x−1|，Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，∴BM＝3，即|x−1|＝3，则x1=−2，x2=4，∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．5．【答案】（1）解：作BF⊥OC令y=0，−x+5=0，x=5∴C(5，0)，即OC=5∵S△OBC=52∴12BF⋅OC=52∴BF=1∴B点的纵坐标为1令y=1，−x+5=1，x=4∴B(4，1)将B点坐标代入y=kx(k>0)中，得k=4×1=1∴反比例函数表达式：y=4 x（2）解：设平移a个单位长度则平移后直线解析式为y =−x +5−a ∵两个图象只有1个交点 ∴{y =−x +5−a y =4x， 整理，得−x 2+(5−a)x −4=0，此方程有两个相等的实数根 ∴Δ=0∴(5−a)2−4×(−1)×(−4)=025−10a +a 2−16=0a 2−10a +9=0 (a −1)(a −9)=0∴a −1=0，a −9=0 a =1或a =96．【答案】（1）解：∵点A 在反比例函数y ＝ k x（x ＞0）的图象上，AB△x 轴，∴S △AOB ＝ 12 |k|＝3，∴k ＝6，∴反比例函数为y ＝ 6x，∵一次函数y ＝ 32x+b 的图象过点B （3，0），∴32 ×3+b ＝0，解得b ＝ −92 ， ∴一次函数为 y =32x −92；（2）解：∵过C （5，0）作CD△x 轴，交过B 点的一次函数y ＝ 32x+b 的图象于D 点，∴当x ＝5时y ＝ 6x ＝ 65 ； y =32x −92=3 ，∴E （5， 65），D （5，3），∴DE ＝3﹣65=95． 7．【答案】（1）解：将（n ，3n)和（n+1,2n)代入y= k x 得：3n= k n，2n= k n+1∴3n 2=2n(n +1)解得n=2或n=0（舍去）， ∴n=2（2）解：由（1）得：点（2，6）在反比例函数y= kx（k>0，x>0)的图象上，将点（2，6）代入y= kx，得k=12.反比例函数为y= 12 x设OC=a，又点B在直线y=x，.点B(a，a).又BC△x轴，∴△BOC为等腰直角三角形。
26.1.2反比例函数与一次函数的交点问题
∟
y1＞y2
o
x
③当X=-3 或X =1时， y1=y2
（ N -3，-1）
例2:：(2011台州)如图，反比例函数 （m≠0） 的图象与一次函数y2=x+2的图象交于点M，N，已 点M的坐标为M（1，3），点N的纵坐标为－1，回 答下列问题： （3）求△MON的面积。
y
y
M
A B
自学指导
例1:：(2011台州)如图，反比例函数 （m≠0） 的图象与一次函数y2=x+2的图象交于点M，N，已 点M的坐标为M（1，3），点N的纵坐标为－1，回 答下列问题： X=-3 X=0X=1
(1)m= 3 ,
y
（-3，-1） 点N的坐标为 ；
（ 2 ）直接写出不等式 (2) （ 2 直接写出一次函数值大于 ）直接写出不等式 m m 反比例函数时 x 的取值范围。 x+2x+2＞ ＞0的解集 的解集
例1. 如图，正比例函数 y=k x 与反比例函数 1 k y 2 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标 x 为（2，4） y （1）分别写出这两个函数的表达式； A （2）你能求出点B的坐标吗？ o 你是怎样求的？ x B 解后思考： 1.如果正比例函数与反比例函数图象有交点， 则交点坐标有什么特点？ 2.正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交 点，则k1和k2应满足什么条件？
k 变式：如图，已知，A,B是双曲线 y (k 0) x 上的两点，
（1）若A(2,3)，求K的值 （2）在(1)的条件下，若点B的 D 横坐标为3，连OA,OB,AB，求 △OAB的面积。
o
y
A
E
B
C
x
反比例函数交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
8 1.已知如图, 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点求(1) A, B两点的坐标;(2)AOB的面积. . y A 8 N y , M 解 : (1) x y x 2. x O B x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
m X ＞1 x+2＞ x 的解集 解： o m （2）不等式x+2 - ＞0的解集 （-3，-1） N x
∟ ∟
x
为 -3＜X＜0 或X ＞1
反比例函数与一次函数的交点问题
m 直接写出不等式 x+2 - ＜0的解集 变式1： x m 不等式x+2 - ＜0的解集 解： x
为 X＜-3 或0＜ X ＜ 1 变式2：试比较y1、y2的大小 解：
画一画
请同学们在同一直角坐标系画出反比 例函数与正比例函数的图像
k2 （ ）当正比例函数 k1 x中的k1与反比例函数 中的k 2 1 y y x 的符号相同时，图像是 什么样的？
k2 （2）当正比例函数 k1 x中的k1与反比例函数y 中的k 2 y x 的符号不同时，图像是 什么样的？
的符号不同时两图像中的与反比例函数中的当正比例函数22112kxkykxky1在同一坐标系中函数和的大致图像必是1在同一坐标系中函数和的大致图像必是例1xyxyxykxyxky1?xyabcd2已知函数yax和反比例函数它们的图象在同一坐标系内没有交点则a与b的关系是
反比例函数与一次函数
的交点问题
第4课时
X=-3 X=0X=1 y
M （1，3）
① 当-3＜X＜0 或X ＞1时 ,y1＜y2 ②当X＜-3 或0＜X＜1时
一次函数与反比例函数交点取值范围
一、题目一次函数与反比例函数交点取值范围二、概述在数学中，一次函数和反比例函数是两种常见的函数类型。
它们在图像上有着不同的特点，而当这两种函数相交时，交点的取值范围则是一个有意义的数学问题。
本文将通过分析一次函数与反比例函数的交点，探讨其取值范围。
三、一次函数与反比例函数简介1. 一次函数一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数且a 不等于0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
2. 反比例函数反比例函数是指具有形如f(x) = k/x的函数，其中k是常数且k不等于0。
反比例函数的图像是一条开口向下的抛物线。
四、一次函数与反比例函数的交点一次函数和反比例函数的交点是指它们在坐标平面上的图像相交的点。
具体来说就是通过求解方程f(x) = g(x)，其中f(x)是一次函数，g(x)是反比例函数。
五、求解交点的一般步骤1. 设定f(x) = ax + b和g(x) = k/x。
2. 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
3. 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
六、交点的取值范围一次函数和反比例函数的交点的取值范围可以通过以下步骤来确定：1. 确定一次函数和反比例函数的交点的x坐标的取值范围(1) 一次函数的定义域是全部实数，即一次函数的x可以取任意实数。
(2) 反比例函数的定义域是x不等于0的实数，即反比例函数的x不能为0。
2. 求解交点的x坐标(1) 通过解方程f(x) = g(x)，得到交点的x坐标。
(2) 讨论方程f(x) = g(x)的解的情况，即交点的x坐标。
3. 确定交点的y坐标的取值范围(1) 将得到的x坐标带入f(x)或g(x)中，求得交点的y坐标。
(2) 结合一次函数和反比例函数在x坐标取值范围的情况，确定交点的y坐标的取值范围。
七、总结一次函数与反比例函数的交点取值范围是一个有趣且具有挑战性的数学问题。
通过本文的分析，我们对这一问题有了一定的了解。
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