【中考单元课件】第三章 第三节 反比例函数
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x
故答案为2.
讲：
确定比例系数k的值 过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线，
垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，这一点和垂足以
及坐标原点所构成的三角形面积等于 k .但是需要注意的是，
确定k值时，还要结合具体的函数图象所在的象限，这是最易
2
出错的地方．
练：链接变式训练4
4．(2015²济南)如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为 (－4，0)，顶点B在反比例函数y＝ k (x＜0)的图象上，则
2x 2 x
k x
的图象经过点M，则此反比例
C
)
2x 2 x
B．y＝ 1 D．y＝
7．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正 方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y＝ k
x
(k＞0)的图象上与正方形的一个交点． 若图中阴影部分的面积等于9， 则这个反比例函数的表达式
3 为______ x ． y
D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的表达式为
【分析】
根据题意设点A坐标(x， )，由D为斜边OA的中点，
4 x
可得出D点坐标，从而得出过点D的反比例函数的表达式．
4 【自主解答】 设点A坐标(x， )， x
由D为斜边OA的中点，可知D( x ，2 )，
2 x
故过点D的反比例函数的表达式为y＝ 1 .
第三节 反比例函数
知识点一 反比例函数的概念及表达式
1．一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成
k _______(k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函 x y
不为0 的全 数．其中反比例函数的自变量x的取值范围是 ______ 体实数．
2．反比例函数表达式的三种形式 (1)y＝
x
考点一
反比例函数的图象与性质
(5年5考)
x
例1 (2016²天桥三模)在反比例函数y＝ 1 3m 图象上有
A(1，y1)，B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是( )
A．m＞ 1
3 C．m≥ 1 3
B．m ＜
D．m≤
1 3 1 3
【分析】 直接利用反比例函数的增减性得出1－3m＞0， 进而求出答案． 【自主解答】 ∵反比例函数y＝
x
故答案为y＝ 1 .
x
确定反比例函数的表达式有两种方法：当已知反比例函数 图象上一个点的坐标时，可用待定系数法求得函数表达式； 当实际问题中的两个变量成反比例函数关系时，且知道其 中一组对应值，可用待定系数法求得函数表达式．
6．如图，反比例函数y＝ 函数的表达式为( A．y＝－ 1 C．y＝－
例1 (2016²济南)如图，半径为2的⊙O在第一象限与直线 y＝x交于点A，反比例函数y＝ k (x＞0)的图象过点A， 则k＝________．
x
【分析】 先求出点A的坐标，再代入反比例函数y＝ (x＞0)，即可解答．
k x
【自主解答】 ∵半径为2的⊙O在第一象限与直线y＝x 交于点A，∴OA＝2，∴点A的坐标为( 2 ，2 )． 把点A代入反比例函数y＝ k (x＞0)得k＝2.
图象的位置
所在象限 性质
一、三 象限 第 _______ 在每一象限内，y随 减小 x的增大而 _____
二、四 象限 第 _______ 在每一象限内，y随x 增大 的增大而______
正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，
不能笼统地说y随x的变wenku.baidu.com而变化，应指明在某一象限内或
自变量的取值范围内说明函数的增减变化情况．
1 3m x
图象上有两点
A(1，y1)，B(2，y2)，且y1＞y2 ， 解得m＜
1 3
∴每个象限内，y随x的增大而减小，则1－3m＞0，
.故选B.
对于反比例函数y＝ k (k≠0)，k的符号、图象所在的象限、
x
函数的增减性这三者，知道其中一个，另外两个都可以推
出，即k>0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随x的增 大而减小；k<0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y随x 的增大而增大．
3．反比例函数y＝ k (k≠0)中k的几何意义 从双曲线y＝ k (k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段，
x
|k| ． 两垂线段与坐标轴围成的矩形面积为 ____
如图1和图2，S矩形OAPB＝PA²PB＝|y|²|x|＝|xy|＝|k|， 同理可得S△OPA＝S△OPB＝ |xy|＝ |k|.
1 2 1 2
x
其中ab<0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以 是( C )
3．(2017²上海)如果反比例函数y＝
k x
(k是常数，k≠0)的
图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限
减小 ．(填“增大”或“减小”) 内，y的值随x的值增大而______
考点二
确定比例系数k的值
(5年5考)
x
k＝_____ 4 3 ．
5．(2014²济南)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝ k 在第一象限的图象
6 经过点B.若OA2－AB2＝12，则k的值为____.
x
考点三
确定反比例函数的表达式
4 x
(5年4考)
例3 如图，反比例函数y＝
的图象经过Rt△OAB的顶点A， ．
考点四 反比例函数的综合应用
(5年4考)
例4 (2016²济南)如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上， OC＝5，反比例函数y＝ m (x>0)的图象经过点A(1，4)．
x
(1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P， 连接AP，OP.
1．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝ k 图象上的
x
两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y＝－2x＋k 的图象不经过的象限是( A ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
2．(2017²潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ a b ，
k (k为常数，k≠0)； x
(2)y＝kx－1(k为常数，k≠0)；
(3)xy＝k(k为常数，k≠0)．
知识点二
反比例函数的图象与性质)
x
双曲线 ， 1．反比例函数y＝ k (k为常数，k≠0)的图象是_________ 原点 对称． 它有两个分支且关于_______
2．图象与性质
k的符号 k>0 k<0
故答案为2.
讲：
确定比例系数k的值 过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线，
垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，这一点和垂足以
及坐标原点所构成的三角形面积等于 k .但是需要注意的是，
确定k值时，还要结合具体的函数图象所在的象限，这是最易
2
出错的地方．
练：链接变式训练4
4．(2015²济南)如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为 (－4，0)，顶点B在反比例函数y＝ k (x＜0)的图象上，则
2x 2 x
k x
的图象经过点M，则此反比例
C
)
2x 2 x
B．y＝ 1 D．y＝
7．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正 方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y＝ k
x
(k＞0)的图象上与正方形的一个交点． 若图中阴影部分的面积等于9， 则这个反比例函数的表达式
3 为______ x ． y
D为斜边OA的中点，则过点D的反比例函数的表达式为
【分析】
根据题意设点A坐标(x， )，由D为斜边OA的中点，
4 x
可得出D点坐标，从而得出过点D的反比例函数的表达式．
4 【自主解答】 设点A坐标(x， )， x
由D为斜边OA的中点，可知D( x ，2 )，
2 x
故过点D的反比例函数的表达式为y＝ 1 .
第三节 反比例函数
知识点一 反比例函数的概念及表达式
1．一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成
k _______(k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函 x y
不为0 的全 数．其中反比例函数的自变量x的取值范围是 ______ 体实数．
2．反比例函数表达式的三种形式 (1)y＝
x
考点一
反比例函数的图象与性质
(5年5考)
x
例1 (2016²天桥三模)在反比例函数y＝ 1 3m 图象上有
A(1，y1)，B(2，y2)，且y1＞y2，则m的取值范围是( )
A．m＞ 1
3 C．m≥ 1 3
B．m ＜
D．m≤
1 3 1 3
【分析】 直接利用反比例函数的增减性得出1－3m＞0， 进而求出答案． 【自主解答】 ∵反比例函数y＝
x
故答案为y＝ 1 .
x
确定反比例函数的表达式有两种方法：当已知反比例函数 图象上一个点的坐标时，可用待定系数法求得函数表达式； 当实际问题中的两个变量成反比例函数关系时，且知道其 中一组对应值，可用待定系数法求得函数表达式．
6．如图，反比例函数y＝ 函数的表达式为( A．y＝－ 1 C．y＝－
例1 (2016²济南)如图，半径为2的⊙O在第一象限与直线 y＝x交于点A，反比例函数y＝ k (x＞0)的图象过点A， 则k＝________．
x
【分析】 先求出点A的坐标，再代入反比例函数y＝ (x＞0)，即可解答．
k x
【自主解答】 ∵半径为2的⊙O在第一象限与直线y＝x 交于点A，∴OA＝2，∴点A的坐标为( 2 ，2 )． 把点A代入反比例函数y＝ k (x＞0)得k＝2.
图象的位置
所在象限 性质
一、三 象限 第 _______ 在每一象限内，y随 减小 x的增大而 _____
二、四 象限 第 _______ 在每一象限内，y随x 增大 的增大而______
正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，
不能笼统地说y随x的变wenku.baidu.com而变化，应指明在某一象限内或
自变量的取值范围内说明函数的增减变化情况．
1 3m x
图象上有两点
A(1，y1)，B(2，y2)，且y1＞y2 ， 解得m＜
1 3
∴每个象限内，y随x的增大而减小，则1－3m＞0，
.故选B.
对于反比例函数y＝ k (k≠0)，k的符号、图象所在的象限、
x
函数的增减性这三者，知道其中一个，另外两个都可以推
出，即k>0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随x的增 大而减小；k<0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限内y随x 的增大而增大．
3．反比例函数y＝ k (k≠0)中k的几何意义 从双曲线y＝ k (k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段，
x
|k| ． 两垂线段与坐标轴围成的矩形面积为 ____
如图1和图2，S矩形OAPB＝PA²PB＝|y|²|x|＝|xy|＝|k|， 同理可得S△OPA＝S△OPB＝ |xy|＝ |k|.
1 2 1 2
x
其中ab<0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以 是( C )
3．(2017²上海)如果反比例函数y＝
k x
(k是常数，k≠0)的
图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限
减小 ．(填“增大”或“减小”) 内，y的值随x的值增大而______
考点二
确定比例系数k的值
(5年5考)
x
k＝_____ 4 3 ．
5．(2014²济南)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝ k 在第一象限的图象
6 经过点B.若OA2－AB2＝12，则k的值为____.
x
考点三
确定反比例函数的表达式
4 x
(5年4考)
例3 如图，反比例函数y＝
的图象经过Rt△OAB的顶点A， ．
考点四 反比例函数的综合应用
(5年4考)
例4 (2016²济南)如图1，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上， OC＝5，反比例函数y＝ m (x>0)的图象经过点A(1，4)．
x
(1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P， 连接AP，OP.
1．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝ k 图象上的
x
两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y＝－2x＋k 的图象不经过的象限是( A ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
2．(2017²潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ a b ，
k (k为常数，k≠0)； x
(2)y＝kx－1(k为常数，k≠0)；
(3)xy＝k(k为常数，k≠0)．
知识点二
反比例函数的图象与性质)
x
双曲线 ， 1．反比例函数y＝ k (k为常数，k≠0)的图象是_________ 原点 对称． 它有两个分支且关于_______
2．图象与性质
k的符号 k>0 k<0