宁波中考数学反比例函数提高练习题压轴题训练

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；

∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函数解析式为y= x+ ．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，则y= ，

∴点C的坐标为（0，）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．

（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；

（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；

（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．

【答案】（1）解：∵A（5，0），

∴OA=5．

∵，

∴，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），

∴BD=OC=2，

∵B（0，3），BD∥x轴，

∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴，

设直线AC关系式为y=kx+b，

∵过A（5，0），C（0，﹣2），

∴，解得，

∴；

（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），

∴BC=5=OA，

在△OAC和△BCD中

∴△OAC≌△BCD（SAS），

∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD；

（3）解：∠BMC=45°．

如图，连接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，

∴BD∥x轴，

∴四边形AEBD为平行四边形，

∴AD∥BM，

∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，

∴AC=CD，

∵AC⊥CD，

∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=45°．

【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.

3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．

（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；

（2）当k=2时，求△AOB的面积；

（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．

【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，

解得，，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）

（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，

解得，，

∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）

设直线AB的解析式为：y=mx+n，

∴

∴，

∴直线AB的解析式为：y=x+2

∴直线AB与y轴的交点（0，2），

∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；

（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，

当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，

…

当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，

∵S1+S2+…+S n= ，

∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，

整理得：，

解得：n=6．

【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.

4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，

）．

（1）求反比例函数的表达式和m的值；

（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．

【答案】（1）解：∵反比例函数y= （k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），∴k=3× =2，

∴反比例函数的表达式为y= ．

又∵点D（m，2）在反比例函数y= 的图象上，

∴2m=2，解得：m=1

（2）解：设OG=x，则CG=OC﹣OG=2﹣x，∵点D（1，2），

∴CD=1．

在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2﹣x，CD=1，DG=OG=x，

∴CD2+CG2=DG2，即1+（2﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴点G（0，）．

过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．

由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．

∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，

∴∠CGD=∠HDF，

∵∠DCG=∠FHD=90°，

∴△GCD∽△DHF，

∴=2，

∴DF=2GD= ，

∴点F的坐标为（，0）．

设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，

∴有，解得：．

∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=﹣x+

【解析】【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，顶点坐标为，点坐标为 .

（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；

（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；

（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.

【答案】（1）；

（2）解：∵双曲线过点和点，

∴，解得，

∴点的坐标为，点的坐标为，

把

点的坐标代入，解得，

∴双曲线表达式为

（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，

∴当点在双曲线，得到，

当点在双曲线，得到，

∴的取值范围 .

【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到A与B纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、C坐标即可；（2）根据B与D在反比例图象上，得到C与D横纵坐标乘积相等，求出b的值确定出B坐标，进而求出k的值，确定出双曲线解析式；（3）抓住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的值；将C坐标代入双曲线解析式求出b的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围．

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB的顶点A，B的坐标分别为A（﹣6，0），B （0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y= （k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．

（1）填空：OA=________，k=________，点E的坐标为________；

（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣ t2+5t﹣）与点N（﹣t﹣3，﹣ t2+3t﹣）的

直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣ x2+bx+c的顶点．

①当点P在双曲线y= 上时，求证：直线MN与双曲线y= 没有公共点；

②当抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；

③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积．

【答案】（1）6；-6；（﹣，4）

（2）解：①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1

由题意得：

解得

∵抛物线y=﹣过点M、N

∴

解得

∴抛物线解析式为：y=﹣ x2﹣x+5t﹣2

∴顶点P坐标为（﹣1，5t﹣）

∵P在双曲线y=﹣上

∴（5t﹣）×（﹣1）=﹣6

∴t=

此时直线MN解析式为：

联立

∴8x2+35x+49=0

∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0

∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点．

②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣ x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点

∴4=5t﹣2，得t=

当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点

∴，得t=

∴t= 或t=

③∵点P的坐标为（﹣1，5t﹣）

∴y P=5t﹣

当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大

此时，点P在直线x=﹣1上向上运动

∵点F的坐标为（0，﹣）

∴y F=﹣

∴当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大

此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动

∴1≤t≤4

当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3）

当t=4﹣时，直线MN过点A．

当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为

S=

【解析】【解答】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）

∴OA=6

∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=

∴k=﹣6

y=4时，x=﹣

∴点E的坐标为（﹣，4）

故答案为：6，﹣6，（﹣，4）

【分析】（1）根据A点的坐标即可得出OA的长，将C点的坐标代入双曲线y=，即可求出k的值，得出双曲线的解析式，根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点得出点E的纵坐标为4，将y=4代入双曲线的解析式即可算出对应的自变量的值，从而得出E点的坐标；

（2）①用待定系数法求出直线MN解析式，将M,N两点的坐标代入抛物线y=

﹣x2+bx+c，得出关于b,c的方程组，求解得出b,c的值，根据顶点坐标公式表示出P点的坐标，再将P点的坐标代入双曲线即可求出t的值，从而得出直线MN解析式，解联立直线MN解析式与双曲线的解析式组成的方程组，根据根的判别式的值小于0，得出直线MN

与双曲线没有公共点；②当抛物线过点B，此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，故4=5t﹣2，求解得出t的值，当抛物线在线段DB上，此时抛物线与矩

形OADB有且只有三个公共点，故,求解得出t的值，综上所述得出答案；③根据P点的坐标判断出当1≤t≤6时，y P随t的增大而增大，此时，点P在直线x=﹣1上向上运动进而表示出F点的坐标，将F点的纵坐标配成顶点式，得出当1≤t≤4时，随者y F随t的增大而增大，此时，随着t的增大，点F在y轴上向上运动，故1≤t≤4，当t=1时，直线MN：y=x+3与x轴交于点G（﹣3，0），与y轴交于点H（0，3），当t=4﹣时，直线MN过点A．根据割补法算出当1≤t≤4时，直线MN在四边形AEBO中扫过的面积。

7．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点．

（1）求m的值；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点E，使四边形OECD的面积S1，是四边

形OACD面积S的？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵反比例函数的图象都经过点A（3，3），

∴经过点A的反比例函数解析式为：y= ，

而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），

∴m=

（2）解：∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，），

与x轴、y轴分别交于C、D两点，

而这些OA的解析式为y=x，

设直线CD的解析式为y=x+b

代入B的坐标得： =6+b，

∴b=﹣4.5，

∴直线OC的解析式为y=x﹣4.5，

∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，﹣4.5），

设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

分别把A、B、D的坐标代入其中得：

解之得：a=﹣0.5，b=4，c=﹣4.5

∴y=﹣0.5x2+4x﹣4.5

（3）解：如图，

设E的横坐标为x，

∴其纵坐标为﹣0.5x2+4x﹣4.5，

∴S1= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+OD）×OC，

= （﹣0.5x2+4x﹣4.5+4.5）×4.5，

= （﹣0.5x2+4x）×4.5，

而S= （3+OD）×OC= （3+4.5）×4.5= ，

∴（﹣0.5x2+4x）×4.5= ，

解之得x=4± ，

∴这样的E点存在，坐标为（4﹣，0.5），（4+ ，0.5）．

【解析】【分析】（1）先根据点A的坐标求得反比例函数的解析式，又点B在反比例函数图像上，代入即可求得m的值；（2）先根据点A的坐标求得直线OA的解析式，再结合点B的坐标求得直线CD的解析式，从而可求得点C、D的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）先设出抛物线上E点的坐标，从而表示出面积S1，再求得面积S 的值，令其相等可得到关于x的二元一次方程，方程有解则点E存在，并可求得点E的坐标.

8．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD

（1）求k的值和点E的坐标；

（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，

∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，

∴AD= ，

又∵OA=3，

∴D（，3），

∵点D在双曲线y= 上，

∴k= ×3=4；

∵四边形OABC为矩形，

∴AB=OC=4，

∴点E的横坐标为4．

把x=4代入y= 中，得y=1，

∴E（4，1）；

（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．

∵∠APE=90°，

∴∠APO+∠EPC=90°，

又∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠EPC=∠OAP，

又∵∠AOP=∠PCE=90°，

∴△AOP∽△PCE，

∴，

∴，

解得：m=1或m=3，

∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．

【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y= （m≠0）交于点A （2，﹣3）和点B（n，2）．

（1）求直线与双曲线的表达式；

（2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点．动点P是双曲线y= （m≠0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标．

【答案】（1）解：∵双曲线y= （m≠0）经过点A（2，﹣3），∴m=﹣6．

∴双曲线的表达式为y=﹣．

∵点B（n，2）在双曲线y=﹣上，

∴点B的坐标为（﹣3，2）．

∵直线y=kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），

∴

解得，

∴直线的表达式为y=﹣x﹣1

（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，﹣6）或（6，﹣

1）．

【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可．

10．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．

（1）求反比例函数y= 的表达式；

（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；

（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．

【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函数表达式为y= .

（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，

∴OC= ，AC=1，

∵OA⊥OB，OC⊥AB，

∴∠A=∠COB，

∴tan∠A= =tan∠COB= ，

∴OC2=AC?BC，即BC=3，

∴AB=4，

∴S△AOB= × ×4=2 ，

∴S△AOP= S△AOB= ，

设点P的坐标为（m，0），

∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，

∵P是x轴的负半轴上的点，

∴m=﹣2 ，

∴点P的坐标为（﹣2 ，0）

（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，

∴∠COB=60°，

∴∠ABO=30°，

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，

∴∠ABD=90°，

∴BD∥x轴，

在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，

∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，

∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴点E在该反比例函数图象上

【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC?BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．

11．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A(0，4），与x 轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.

（1）请直接写出二次函数的解析式.

（2）判断△ABC的形状，并说明理由.

（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.

【答案】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点C坐标(8,0),

∴

解得

∴抛物线表达式：

（2）解：△ABC是直角三角形.

令y=0,则

解得x1=8,x2=-2,

∴点B的坐标为(-2,0),

由已知可得,

在Rt△ABO中

AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在Rt△AOC中

AC2=AO2+CO2=42+82=80,

又∴BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中

AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形

（3）解：∵A(0,4),C(8,0),

AC= =4 ,

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( ,0)或( ,0)

③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),

综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、( ,0)、(3,0)、 ,0)

【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标

12．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，直线y= x+ 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l，将直线l绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）.

（1）当直线l与直线y= x+ 平行时，求出直线l的解析式；

（2）若直线l经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数；

（3）若直线l在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，直接写出符合条件的旋转角α的度数.

【答案】（1）解：当直线l与直线y＝ x＋平行时，设直线l的解析式为y＝ x ＋b，

∵直线l经过点C（1，0），

∴0＝＋b，

∴b＝，

∴直线l的解析式为y＝x?

（2）解：①对于直线y＝ x＋，令x＝0得y＝，令y＝0得x＝?1，

∴A（0，），B（?1，0），

∵C（1，0），

∴AC＝，

②如图1中，作CE∥OA，

∴∠ACE＝∠OAC，

∵tan∠OAC＝，

∴∠OAC＝30°，

∴∠ACE＝30°，

∴α＝30°

（3）解：①如图2中，

当α＝15°时，

∵CE∥OD，

∴∠ODC＝15°，

∵∠OAC＝30°，

∴∠ACD＝∠ADC＝15°，

∴AD＝AC＝AB，

∴△ADB，△ADC是等腰三角形，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∴△DBC是等腰三角形；

②当α＝60°时，易知∠DAC＝∠DCA＝30°，

∴DA＝DC＝DB，

∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；

③当α＝105°时，易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°，∠DBC＝∠DCB＝15°，∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形；