C题基金使用计划线性方程组解法
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中一个非常重要的概念，在实际生活中也有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义和解法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次方程。
一般形式为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1...a11, a12, ...,a2n为方程组的系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b1, b2, ..., bm 为常数。
线性方程组的解是一组解x1*, x2*, ..., xn*，满足每个方程都成立。
根据线性方程组的定义，我们可以使用多种方法来求解线性方程组。
下面是常用的几种解法：1. 直接代入法直接代入法是最简单的求解线性方程组的方法之一。
我们可以将一个方程的解代入另一个方程，从而得到一个只有一个未知数的方程。
然后，我们可以继续代入得到下一个只有一个未知数的方程，直到求解出所有的未知数。
2. 消元法消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。
我们可以通过将多个方程相加或相减，从而消除一个或多个未知数。
通过反复进行消元操作，我们可以将线性方程组化简为一个更简单的形式，最终求解出未知数。
3. 矩阵法线性方程组在实际生活中有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1. 经济学在经济学中，线性方程组常用于描述供求关系和价格变动等经济现象。
通过求解线性方程组，我们可以分析市场的平衡价格和数量，评估供求关系的弹性，预测价格的变动趋势等。
2. 物理学在物理学中，线性方程组常用于描述天体运动、电路分析、力学问题等。
通过求解线性方程组，我们可以计算物体的位置、速度、加速度等物理量，预测天体的运动轨迹，分析电路中的电流和电压分布等。
3. 工程学4. 计算机科学在计算机科学中，线性方程组常用于解决图像处理、计算机图形学、机器学习等问题。
通过求解线性方程组，我们可以进行图像恢复、图像分割、边缘检测等图像处理操作，进行三维图形的渲染、变换和模拟，训练机器学习模型等。
线性方程组的解法
迭代法的步骤： 选择初始解， 计算方程组的 残差，根据残 差更新解，重 复步骤直到满 足收敛条件。
迭代法的收敛 性：迭代法是 否能够收敛到 方程的解，以 及收敛的速度
和稳定性。
迭代法的应用 场景：适用于 大规模线性方 程组，特别是 系数矩阵难以 直接求解的情
况。
矩阵求解法
定义：矩阵求解 法是一种通过矩 阵运算来求解线 性方程组的方法
挑战：并行计算需要合理地分配任务和负载均衡，以避免计算资源的浪费和性能瓶颈。同时， 也需要解决并行计算中的通信和同步问题。
数值稳定性
数值稳定性对解法的影响 改进方向：提高算法的数值稳定性 数值不稳定的解法可能导致误差累积 数值稳定性的重要性在于实际应用中
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汇报人：XX
汇报时间：20XX/XX/XX
并行计算：利用多核处理器，加 速计算过程
并行计算
定义：并行计算是一种同时处理多个任务或操作的计算方式，通过多个核心或处理器同时工作 来加速计算过程。
应用场景：线性方程组解法可以通过并行计算来提高计算效率和精度，特别是在大规模和高维 度的线性方程组求解中。
优势：并行计算可以显著减少计算时间，提高计算效率，同时也可以利用多核处理器或分布式 计算资源来扩展计算能力。
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适用范围：适用 于系数矩阵是方 阵的线性方程组
步骤：将线性方 程组转化为矩阵 形式，然后进行 矩阵运算，得到 解矩阵
优缺点：矩阵求 解法计算量较大， 但适用于大规模 线性方程组的求 解
线性方程组的解法应用
在数学建模中的应用
描述线性方程组 在解决实际问题 中的应用场景
举例说明线性方 程组在经济学、 物理学等领域的 应用
基金使用计划__数学建模
题目基金使用计划摘要学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。
第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放，所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组，设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额： 万元。
通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到Z109.8169最大奖金数额，解出奖金最多的问题。
第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。
在这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年中发放、在年初发放、在其他时期发放。
在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程组。
求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为131.7896万元、146.8578万元、127.5222万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。
第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的条件，在第三年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。
第一种在只能选择存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第三年的奖金改为原来的倍。
解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是107.5524万元。
第二种在既可以选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年中、年初、一年中其他时间。
采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出每种小情况下的奖金数额129.0966万元、143.7854万元、124.8507万元。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解在数学中，线性方程组是求解多元一次方程组的一种重要方法。
它在各种科学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU分解法和Jacobi迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵的基本变换，通过不断变形将线性方程组转化成行最简形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 先将系数矩阵化为上三角矩阵。
从第一行开始，每一行都使用该行的第一个元素除以它下面的元素，将其所在列下面的所有元素消为0。
这个过程称为消元。
3. 接着，再将上三角矩阵转化为行最简形式。
从最后一行开始，每一行都使用该行的第一个非零元素除以它上面的元素，将其所在列上面的所有元素都消为0。
4. 通过以上变换，线性方程组的解就可以直接读出。
具体来说，最后一行所对应的方程是一个单变量方程，规定该变量的解为该方程的解，再逐步回代到前面的方程中求解其他变量即可。
高斯消元法的优点是计算量比较小，而且对于系数矩阵满秩的情况，它的解决效率极高。
但是，当系数矩阵有多个零行或行向量是另一行向量的倍数时，高斯消元法就会出现退化的情况，此时需要通过其他方法进行求解。
二、LU分解法LU分解法是一种比高斯消元法更加高效的求解线性方程组的方法。
它基于矩阵的分解，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 通过高斯消元法将系数矩阵化为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积形式，即A=LU。
3. 将线性方程组转化为LY=B和UX=Y的两个方程组，其中L 和U是A的三角分解矩阵。
4. 先解LY=B，得到向量Y。
再解UX=Y，便得到线性方程组的解。
相对于高斯消元法，LU分解法的计算量更小，尤其是当多次求解同一个系数矩阵时，LU分解法可以提高计算效率。
线性方程组的数值算法C语言实现(附代码)
线性方程组AX=B 的数值计算方法实验一、 实验描述：随着科学技术的发展，线性代数作为高等数学的一个重要组成部分，在科学实践中得到广泛的应用。
本实验的通过C 语言的算法设计以及编程，来实现高斯消元法、三角分解法和解线性方程组的迭代法（雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法），对指定方程组进行求解。
二、 实验原理：1、高斯消去法：运用高斯消去法解方程组，通常会用到初等变换，以此来得到与原系数矩阵等价的系数矩阵，达到消元的目的。
初等变换有三种：(a)、(交换变换)对调方程组两行；(b)、用非零常数乘以方程组的某一行；(c)、将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行。
通常利用(c)，即用一个方程乘以一个常数，再减去另一个方程来置换另一个方程。
在方程组的增广矩阵中用类似的变换，可以化简系数矩阵，求出其中一个解，然后利用回代法，就可以解出所有的解。
2、选主元：若在解方程组过程中，系数矩阵上的对角元素为零的话，会导致解出的结果不正确。
所以在解方程组过程中要避免此种情况的出现，这就需要选择行的判定条件。
经过行变换，使矩阵对角元素均不为零。
这个过程称为选主元。
选主元分平凡选主元和偏序选主元两种。
平凡选主元：如果()0p pp a ≠，不交换行；如果()0p pp a =，寻找第p 行下满足()0p pp a ≠的第一行，设行数为k ，然后交换第k 行和第p 行。
这样新主元就是非零主元。
偏序选主元：为了减小误差的传播，偏序选主元策略首先检查位于主对角线或主对角线下方第p 列的所有元素，确定行k ，它的元素绝对值最大。
然后如果k p >，则交换第k 行和第p 行。
通常用偏序选主元，可以减小计算误差。
3、三角分解法：由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时，可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。
其中下三角矩阵的主对角线为1，上三角矩阵的对角线元素非零。
有如下定理：如果非奇异矩阵A 可表示为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积： A LU = (1) 则A 存在一个三角分解。
2016年全国大学生数学建模竞赛题
2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多摘要：运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n 年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理1问题重述某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．表1 存款年利率表校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5 000万元，n＝10年给出具体结果：①只存款不购国库券；②可存款也可购国库券．③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．2模型的分析、假设与建立2.1模型假设①每年发放的奖金额相同；②取款按现行银行政策；③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．2.2符号约定K——发放的奖金数；ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；U——半年活期的年利率；2.3模型的建立和求解2.3.1情况一：只存款不购国库券（1）分析令：支付各年奖金和本金存款方案———Mij （i ＝1，…，10，i ；j 属于N ）． 将各方案ij M 看成元素，构成集合A则ij M 属于A1,210;I =所以A 按I 取值分10行根据仓恩定理：分行集中，任何一单行有上界，则必包含一个极大元素。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组可以帮助我们求解未知数的值，解释不同变量之间的关系。
本文将介绍线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
它通过逐步操作将方程组转化为一种更容易求解的形式。
下面以一个三元一次方程组为例进行说明：方程组1：2x + 3y - z = 63x + 2y + 2z = 5x - 2y + z = 0首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 6][3 2 2 | 5][1 -2 1 | 0]然后，通过初等行变换，将增广矩阵化简成上三角矩阵的形式。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，将第二行乘以2，分别得到新的第一行和第二行。
[6 9 -3 | 18][6 4 4 | 10][1 -2 1 | 0]2. 将第二行减去第一行，将第三行减去第一行，分别得到新的第二行和第三行。
[6 9 -3 | 18][0 -5 7 | -8][1 -2 1 | 0]3. 将第二行除以-5，得到新的第二行。
[6 9 -3 | 18][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]4. 将第一行减去9倍的第二行，得到新的第一行。
[6 0 48/5 | -72/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]5. 将第一行除以6，得到新的第一行。
[1 0 8/5 | -12/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]至此，我们得到了一个上三角矩阵。
接下来，通过回代来求解变量的值。
1. 由最后一行我们可以得到 z = 0。
2. 将 z = 0 代入到第一行和第二行，可以得到：x + 8/5 = -12/5，即 x = -4；y - 7/5 = 8/5，即 y = 3。
所以，原始方程组的解为 x = -4，y = 3，z = 0。
二、矩阵法除了高斯消元法，我们还可以使用矩阵法来解决线性方程组。
线性方程组的解法完整版PPT资料
(2)迭代格式是否收敛？
(3)收敛速度如何？
(4)如何进行误差估计？
高斯塞德尔Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是通过对Jacobi迭代法稍加改 进得到的。 Jacobi迭代法的每一步迭代新值
x(k+1)=[x1(k+1),x2(k+1) , ···,xn(k+1)]T 都是用前一步的旧值
X(k+1)= BX(k) + f
(k1)
x 1/10 0 1/10x 8/10 特别当aii≠0时，将上面迭代2公式应用于方程组 甚至可以举出Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散的例子。 但是迭代法也存在着收敛性(和k收敛1)速度等方面的问题。
x 1/151/15 0 x 13/15 例 线性方程组 Ax = b, 分别3取系数矩阵为
DX(k+1)＝b-LX(k+1) - UX(k)
即
(D+L)X(k+1) ＝ -UX(k)+b
n
aij x j bi (i = 1,2,…,n)
j1
xi(k 1)a 1 ii[b iij 1 1aix j (jk 1)j n i 1 aix j (jk)]
(i = 1,2,···,n; k =0,1,2,···)
分量形式的高斯-塞德尔迭代公式。
用矩阵形式来表示高斯-塞德尔迭代公式
x(k)=[x1(k),x2(k) , ···,xn(k)]T 的全部分量计算出来的。那么在计算第i个分量 xi(k+1) 时，已经计算出 x1(k+1),x2(k+1) , ···,xi-1(k+1) (i-1) 个分量，这些分量新值没用在计算xi(k+1) 上。将这
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某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入 银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见 下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取 款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生， 要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。 校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖 金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案， 并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：
• 建立模型
x1
x2
xn 1,
d (1)x1 d (2)x2 0, d (1)x1 d (3)x3 0,
d
(1)
x1
d (3)d (1)x4
0,
d (1)x1 d (5 ')m(i) d (3)k (i) d (2)l(i) d (1)t(i) xi 0,
• 结论：最优的存款方案是首选五年期，次选三年期， 再选二年期，最后考虑一年期。
•记 i 5m(i) r(i), (m(i), r(i) Z,0 r(i) 5,i 2,3, , n) r(i) 3k(i) s(i), (k(i), s(i) Z,0 s(i) 3) s(i) 2l(i) t(i), (l(i),t(i) Z,0 t(i) 2)
预存的金额占原本金的比例； 即： Mxi元存i年后=奖金额； • xn：为了第n年末发放奖金，且发放完奖金后仍剩余 原本金M而需预存的金额占原本金的比例。 即：Mxn元存n年后=奖金额+原本金M。
三、符号说明（2）
• d(i)：存一个i年定期的单位资金增长系数，即一元 钱存一个i 年定期，到期取出时的本息和， （i=1,2,3,5’）；
一、不确定因素
• 基金到位情况（时间，次数等） • 每年奖金发放情况（频率，日期，额度等） • 银行利率的变动情况 • 国库券的发行情况（时间，品种，利率等） • 国库券的购买情况
。。。。。。
Hale Waihona Puke 、假 设• 该笔基金于年底前一次性到位，自下年起每年底一 次性发放奖金，每年发放的奖金额为固定的数额；
d (1)x1
d (5 ')m(n1) d (3)k (n1)
d (2)l(n1) d (1)t(n1)
xn1
0,
d (1)x1 d (5 ')m(n) d (3)k (n) d (2)l(n) d (1)t(n) xn 1,
• 注：此模型适用于 n 2
• 模型2、可存款也可购买国库券模型
•例 i 19 i 53 4, m(19) 3, r(19) 4 r(19) 4 311, k(19) 1, s(19) 1 s(19) 20 1, l(19) 0,t(19) 1
• 即19年期的最优存款方案为：存3个五年期，1个 三年期和1个一年期。
• 设基金到位后第 x (1< x <=360)天（按银行计天方 法）发行国库券，Ax，Bx分别表示一个单位的基 金采用A(3)，A(5)存款方案的到期本息和，则有
四、数学模型
• 模型1、只存款不购买国库券模型
• 由利率表数据计算得
d 2 (1) 1.036324 d (2) 1.03888 d (1)d (2) 1.05758 d (3) 1.0648 d 2 (2) 1.079272 d (1)d (3) 1.083966 d (2)d (3) 1.106199 d(5') 1.1152 d 2 (3) 1.133799 d (1)d (5') 1.135274
• 分析 考虑国库券发行的时间：
若基金的当天有国库券发行，直接购买国库券； 其他情况下，先存半年定期。
1）若上半年发行国库券： 按活期取出购买国库券>>国库券到期取出>>存
半年定期>>续存活期； 2）若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买国库 券>>国库券到期取出续存活期。
• d(0)：存一个半年定期的单位资金增长系数；
• d=0.792% 为活期存款利率；
• 由利率表计算可得： d(0) 11.664%*0.5 1.00832 d(1) 11.8%*1 1.018 d(2) 11.944%*2 1.03888 d(3) 1 2.16%*3 1.0648 d(5') 1 2.304%*5 1.1152
• A(k) 方案：先存半年定期。 • 若上半年发行国库券：
按活期取出购买k年国库券>>国库券到期取出 >>存半年定期>>续存活期； • 若下半年发行国库券：
半年定期到期取出>>续存活期>>取出购买k年 国库券>>国库券到期取出续存活期。
（k=3,5）
注： A(3) 方案需用4年完成； A(5) 方案需用6年完成。
• 仅考虑购买二年、三年、五年期国库券的情况，假 设三种期限的国库券每年至少发行一次，发行时间 服从均匀分布，且只要想买，就一定能买到；
• 银行存款利率和国库券的利率执行现行利率标准， 且在n年内不发生变化；
• 国库券提前支取，按同期银行存款利率记息，且收 取2‰的手续费。
三、符号说明（1）
• M：原本金； • xi：为了第i（i=1,2,…,n-1）年末发放的奖金额而需
三、符号说明（3）
• g(i)：存一个i年期国库券后的单位资金增长系数，即 一元钱存一个i年期国库券，到期取出时的本息和， （i=2,3,5）；
• g(1)= d(1) 。 • 由利率表计算可得：
g(1) 11.8%*1 1.018 g(2) 1 2.55%*2 1.051 g(3) 1 2.89%*3 1.0867 g(5) 1 3.14%*5 1.157
1．只存款不购国库券； 2．可存款也可购国库券。 3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希 望这一年的奖金比其它年度多20%。
银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
2.55
三年期
2.160
2.89
五年期
2.304
3.14