2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案
、填空
1.设X 彳
3149541
…，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150
f X 1,X 2
2.设一阶差商
f x 2 f x 1
1 4 3
3
x 2 x 1
2 1
y' f(X, y)
y(X0)
y0
近似解的梯形公式是
f X 2，
X 3
f x 3 f x 2 X 3 X 2 则二阶差商f ^,X2,X3
11/6
3.设X (2, 3, 1)，则||X|2 714 ||X|| 3
。p49
2
4.4.求方程x x 1.25 0的近似根，用迭代公式x J x 匸25
，取初始值
X o
那么X 1
1.5
y k
6、 1 1 A 5 1，则A 的谱半径Q 【盘)=
7、 2 设 f(x) 3x 5, X k kh, k 0,1,2,…，贝卩 f 人几 1
, X
n 2
3 和 f Xi , X n 1, Xi 2 , X
n
3
8若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，贝U 雅可比
迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛
9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为 O(h )
5. 解初始值问题
y 10、为了使计算 10
表达式改写成 二、计算题 1、已知 敛的简单迭代函数 2 3
— 2 3 1 （X 1） （X 1）的乘除法运算次数尽量的少，应将 y 10 — 1 — 2 — X 1 X 1 X 1 蛊=机刃的00）满足■ 3V 妙⑵，使轧严
护（心）/ =
，试问如何利用骰㈤构造一个收 0, 1…收敛？ （X ），可
得
3x (X) 3x 1 X 2( (X) 3X) (X)
（X ） （X ） 3),故
（X ） 1
(X-3I 2 1
1 2 2、试确定常数A ，B ， fl L / W 心铝
Ej
（0） +&S ） 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ X k 1
(X k ) 3X k , k=0,1,?… 收敛。 C 和a ,使得数值积分公式 A C —,B 9 16
"9,
a
Y 5
，该数值
求积公式具有 5次代数精确度，它是 Gauss 型的
3、利用矩阵的LU 分解法解方程组
y
4、写出求解下列初始值问题 y ⑴ 迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。
X 1 2X 2 2X 1 5X 2 3x 1 X 2 8 3y,
(1 2
3X 3 14 2X 3 18 5X 3 20
X 2)
的欧拉迭代式，欧拉预-校
7.已知单调: 连续函数
y f X
的如下数据
1 gt 2
2 ，假定g 是准确的，而对
的测量有 秒的误差，证明
1
J
匕败-十1) I 在点±片=处取到极大值
4
令 厶=/^' 得 h<0.C06_ 9羽
当增加时 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解: e(S) e r (S) e(S) 1 ,2 2gt
,e(S) 1 *2
2gt
o.1gt 1 ,2
2gt
1 2
2gt O.1gt
o.2 t ,er(S).
6.在 X 上给出f X
的等距节点函数表，若用二次插值求e 的近似
要使截断误差不超过
10 ，问使用函数表的步长
应取多少?
解: f(x) r (k) z 、 X
f (X) e
[4,4],考察点 x o h,x o , x o h 及x X o th, t 1.
则 R 2(x)
f (3)
()
3!
4
e
3! e 4
6 (t 1)h th (t 2 h 3. 3 3
[(X (X o h)](X 1)h
t(t 1)(t
3!
(4,4).
X o )[X (X o 1) e 4h 3
h)]
S 5.设
(0) 1.321497. 写出误差估计式。
解：由所
斤给条件
可
埃尔米特插值法确定多项式
P(x)
用插值法计算约为多少时f x（小数点后至少保留4位）0.2008
解：作辅助函数g x f x则问题转化为为多少时, g x此时可作新的关于g X i的函数表。
f x单调可连续知
g x也单调连续，因此可对的数值进行反插。的牛顿型插值多项式:为
g (y) 0.11 0.097345(y 2.23) 0
0.255894(y 2.23)(y 1.10) 451565
(y 0.17)
y 2. 23)(y 1.10)
8. 殳函
不咼于
区间[0,3]
3的多项式
上具有四阶连续导数，试
P(x)
使其满足
用埃尔米特插值法求一个
P (0) 0 P(1) (1) 3 P (2) 1
x
2
P3（X ）5x37x2 2
由题意可设R(x) f(x) p 3(x) k(x) <(
>
1)( 2
)
为确定待定函数
F辅助函数g(t f(t) P3(t)
k(t)t(
1)
(t
2)
x
2
g t在［0,3］上存在四阶导数且在［0,3］上至少有5个零点
t为二重零点)，反复应用罗尔定理，知至少有一个零点
9、利用
从而得
误差估计
k(x) : f ⑷()
4! 。
式为
1
R(x) 4!
f ⑷()x(x 1)2(x 2) (0,3
)
Remez算法，计算函数f(x) sin ，在区间［0，1］上的次最佳
致逼近多项式P2( X (要求精度为0.0005).
'二乘法求一个
计算均方误差。
10、用最小形如y a bx的经验公式，使它与下列数据拟合，并
19 25 31 38 44
19.0 32.3 49.0 73.3 37.8
解
:
因唤)=1吶=J有宓V尿(X.) =V 1- €
斗4
(阿则)=@=钝｝=工视Cx)=^ V = 5S27.
4 4
(职a = W(兀冶? =Z ￡ =7貯冷9久
+ 4
(純」)=2-彌(兀)肌=Z ￡ = 27 L亠
皿i~：
4 斗
@1?勿=工例区)*产S =369321.5.
幻+釘T70 =271_4 4 = A972S045
5327
=>T = 0_9726045 + 0.0500351x\
PIE =||班-口
=0.130207526.
11、确定下列求积公式中的待定参数, 求
积公式所具有的代数进度。
使其代数精度尽量高，并指明所构造出的
h
h f(x)dx
A f( h) A f (0) Af(h);
2) h
2h
f(x)dx A i f( h) Aof(0)Af(h)；
3) 1
1f (x)dx
f( 1) 2f(x i) 3f(X2)；
3 ；
h[f(0) f(h)]
ah 2[f '(0) f '(h)].
2
4)
h
f(x)dx
1 1
解：(1三个参数，代入
A 1
(2 f(x) 1,x,x 2,
A 1 A 0 A 1
h(A 1 A 1) 2
h (A 1 A 1)
2h
A O
Q h x 3
dx
h h
h
f(x)dx
h( h 3f(
h)3 4h
h)
3 )三个参数，代入 2h 2
h 3 3
h
x 4 dx A i
1
h 3 4 h 3 1
h 3
h( h)4 h(h)4
3 3
f(0)
f(h)具有三次代数精度.
A 1 A 0 A 4h . 2
1,x,x ,
hA 1 hA 1 0
( h 2)A 1 h 2A 1 161
3
3
8h 3 4 3
8h 3 x dx ( h) h 0
(h) 3 3 3
4 . 64,
5 8h 4 4 x dx h h( h h 0 1
5 3 3 8h 4h
8h
f(x)dx
f( h)
f(0)
3
0 2h 2h
2h
f(x ) 2h Q 2h 8：(h)4
⑶当f (x) 1时, 有两个参数，令f(x) 2X 1 2X 12
3x 2 c 2 3x 2 1 f(x)dx
[f(
3
x,x 2精确成立
X 1 0.68990 或
X 2 0.12660" A 1
A O 8
h
3
4
h 3
8
h 3
16
h 5 3
f(h)具有三次代数精度. 1) 2f(x i ) 3f(X 2)]. X 1
X 2 0.28990
0.52660
'x 3dx
1
f (x)dx
f (x)dx [f( 1) [f( 1) 均具有2次代数精度. 2x 3 3x 3]
2 f
(0.68990) 2f ( 0.28990)
3f( 0.12660)]/
3 3 f
(0.52660)]/ 3
1
2
[1 1] X 2时,求积公式精确成立 ；[0 h
⑷ f (x) 1,x 时,有 0 1dx 故令f (X)
h 2 x 2dx 0 h 2] ah 2[2 2h] 0, h
xdx 1 12 当 f(x) X 3时, 'x 3dx 0 2[0 h 3] h 2
12
[0 3h 2] f (X) 0 故只有三次代数精度 f (x)dx ；[0 h 4] h 2
12
2x [0 4h 3]. 2
ah (1
1)
.
12.对线性代数方程组 和高斯—赛德尔（G-S ） 说明收敛的理由。 X 1 X 2 X 1 x x X 3 5x 4 4x 3 x 4 3x 2 x 3
1 6 8 3
迭代法均收敛的迭代格式,
UR1-
?讥站 *
因其变换后为導价冇程组.且皿tS 对瞬占K” Jacobi )迭代法
设法导出使雅可比（
要求分别写出迭代格式，并
19 -I
=7 =1 -I 10 0 -1
-1
L0
'' S 5 6 碗雅可比和高斯-S 德尔迭代法戒
te 叙
{w = f).L
2.…)
髙斯-赛億芻代恪式为:- 丘设方程组
严-巨（? + 穿,坨
+10）
€心￡ =y （冲仆：】_理刚+羽 曽2二丄（=址7
十：^'+$）
■ 4 亠
科z = ￡（-斗严:十十6
m = 0.1.1 )
证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛, 要么同时发散。
当同时收敛时，试比较其收敛速度。
叱;： 大.于1.囲雨雅可比和简
聊一翻＜；1（；法上市柯同的師欝般\
⑵雅可比相再斯一春樓尔法同时枚遞时.P （^2）= 故鬲斯=奏從r 坯代法收澈出
14. 写出用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题的计算公式
13. 设线性方程组为
a 2i X i a 22 X 2
b ?
a
ii a 22
证！ Cl ） 可出法的迭代矩阵为3 =
赛鮎法达此境盯车为
虫
G
,共谱卓径为巩■￡2 ?沁 ±而高斯― 屜抿 巩耳;猪 侃;?J 冋时小于h 爭于或
y X 1)
y(0) 1；
y, 0 X 1; 2)y ' 3y (1 X)，0 X 1； y(0) 1.
解：令为=0-2
切=/（兀壬）=耳+片
为 L L Tj
冬*区十十片+訥）=耳十+耳+M=11（耳+儿）21
￡ 二 亠 亠
^3 =/：石十?片+二兀，十￡十几+冷■咫=1」1（&十片）十011
? 七 & ■
瓦二yx 耳+九耳+盹）二兀+丹-儿+陆二1 222（耳+>>） + 0.222 『Hl = +—（i| +2tj + 2km 十血）=0.2214% 十］…2214儿 +0.0214
o
*
，雄=3（儿40.1殆氏1 +兀代+ 0.1}
耘=3（儿+ （Hfc ）『（1十工中+
0.1〉 比=3仏+02姐川1 +耳+ 02） !1 =
片十〒％+2E ： +旳十朋一
h
y n 2(K 2 K 3)； f (X n , y n )； f (X n th,y n thKJ
f(X n (1 t)h, y n (1 t)hK 1).
证：由1%函数府泰勒展开有 用3 = yOQ -知6} -
讥切A ￡（也」也》f
卜碍7卩
2
^
i !
L
|L
瓷由二亓甬？^?的泰勒斥幵有 弘1 = %-亍（X 厂?〕=对~予［{/\%儿}一￡代亠艸-
￡ （X h 莎tfg J?） - aFy - （/（和 ACg. h 〕fl - rtft+X 仇」iXl -门的X. ］ J -。厅"］
-耳 + 負心兀》V 也区心H ^（x,y3/iX.jJ'］|-￡X^.） 为考虑局部截断i 軽，设h-）妝J 上贰可
沪. ^ r
畑■ %+叭xd ?3 -—y （：、2gy ）-人（斗门 OQifgjg ））】+氐和 比较3（F 洱畑丙式 如賈局部谋蛙为氏41 -】aa=山-6秒
2)
15.证明对任意参数
，下列龙格-库塔公式是二阶的
y n 1 K i K 2 K 3
故对任盍参鞍r,去式昱二价的.
16.证明1 x sinx 0在［0,1］内仅有一个根，若用二分法求误差不大于
4
0.5 10的根，求需要迭代的次数。
邨怜设/i.d = I - ,r-^m A , W*J /⑷=I ?■也/〔" = rm I <:!) : R. 0厂⑷=_］_5-心0皿叫|,敝在眄I］」沖减-因此fM）祖［叩口和限行…
呛甲■'-甘法I冲，谋养出I揑删4 -1的编号力或）为 Is-咋占3-2缶百如“宀缺群
2〉￡lO\t￡4lnLU/ln2 = n.2S7 7
答案: