《导数的运算》PPT课件
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《导数的运算》PPT课件
[名师点评] 记住基本初等函数的求导公式, 是计算导数的关键,特别注意各求导公式的 结构特征,弄清<lnx>′与<logax>′和<ex>′与 <ax>′的差异,防止混淆,对于不具备基本初等 函数特征的函数,应先变形,然后求导．
考点二 利用导数求切线的方程
求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时,首先要判断这 个点的位置,即在不在曲线上,因为斜率要受 此影响．
3x－y－2＝0， (2)由y＝x3，
得 3x－x3－2＝0，
即(x3－x)－(2x－2)＝0.
可分解为(x－1)(x2＋x－2)＝0，解得 x1＝1，
x2＝－2.
∴切线3x－y－2＝0与曲线C的公共点为 <1,1>,<－2,－8>,这说明切线与曲线C的公 共点除了切点外,还有另外的点．
[名师点评] 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一,可从本例题得证．
【规范解答】 由y1＝1x， 解得交点 y2＝x2，
为(1,1)． y′1＝(1x)′＝－x12， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 别为(2,0)，(12，0)．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5? 解：设切点为(x0，x20)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2.
∴切点为(2,4)．
例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝1x和 y2＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数的计算(共42张PPT)
为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
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x
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x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
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x
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+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
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1.2
导数的计算
问题导学
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当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
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1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的运算_课件
解： (1)405
(2) (3)1 (4)1
练习3 解： y'=-sinx
练习4 解：
和(或差)的导数
设
，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)-g(x)]，它
们与f(x)和g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关
系仍然成立吗？由此你能想到什么?
若f(x)，g(x)在x处可导，则 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
例题
某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单
若
表示路程关于时间的函数，则
可以解释为某物体做变速速度，它在时刻
x的瞬时速度为2x。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)= 的导
数 观察导函数，你能否把它和原函数进行对应
？
表示函数
的图象（图
5.24）上点（x,y）处切线的斜率
为
，这说明随着x的变化，切线
公式1：
常见函数的导数 函数y=f(x)=x的导数：
因为
所以
常见函数的导数Biblioteka 函数y=f(x)=x的导数：
若 y=x（如图）表示路程关于 时间的函数，则y′=1可以解释 为某物体做瞬时速度为1的匀 速直线运动。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数：
因为
所以
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数
否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知 ，因此[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x) .同，样f的'(x)g'(x)=2x·1=2x， ，
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3．2
第一课时
导数的运算
常见函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y 1 ＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
2． 掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
课前自主学案
3．2.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
4 1．函数y＝(x＋1)2在x＝1处的导数等于___.
【规范解答】 为(1,1)．
1 y1＝ ， x 由 2 y ＝ x ， 2
解得交点
1 1 y′1＝(x)′＝－ 2， x ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在 (1,1)处的切线方程为 y － 1＝ 2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 1 别为(2,0)，( ，0)． 2 1 1 3 ∴所求面积 S＝ ×1×(2－ )＝ .14 分 2 2 4
【名师点评】 用求导公式求函数的导数更 加简捷，做题时，注意结合图形求面积．
自我挑战2 点P是曲线y＝ex上任意一点， 求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与 曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，y0＝1，即 P(0,1)． 2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
知能优化训练
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【名师点评】 记住基本初等函数的求导公 式，是计算导数的关键，特别注意各求导公 式的结构特征，弄清(lnx)′与(logax)′和 (ex)′与(ax)′的差异，防止混淆，对于不具 备基本初等函数特征的函数，应先变形，然 后求导．
利用导数求切线的方程 求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时，首先要判断这 个点的位置，即在不在曲线上，因为斜率要 受此影响．
2．导数的几何意义是曲线在某一点处的切线
的斜率．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
3x－y－2＝0 ____________.
1．常见函数的导数 (1)(kx＋b)′＝__( k k，b 为常数)； (2)C′＝__ 0 (C 为常数)； (3)x′＝__ 1； (4)(x )′＝____ 2x ； 3x2 ； (5)(x3)′＝____ 1 1 － 2 (6) ′＝ ____ ； x x 1 2 x . (7)( x)′＝____
2
2．基本初等函数的导数 α· xα－1 α 为常数)； (1)(xα)′＝_______( (2)(ax)′＝_______ axlna (a>0，且 a≠1)； 1 1 log e (3)(logax)′＝ _______ xlna a>0 ， x a ＝ _______( 且 a≠1)； (4)(ex)′＝___ ex ； 1 (5)(lnx)′＝___ x ； (6)(sinx)′＝_____ cosx ； (7)(cosx)′＝_______. －sinx
例1 求下列函数的导数：
1 5 3 (1)y＝x x；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ； x x 2 x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式， 并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
3 3 3 3 【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x )′＝ x －1＝ x. 2 2 2 2 1 4 －4 －4－1 －5 (2)y′＝ 4′＝(x )′＝－4x ＝－4x ＝－ 5. x x 3 3 3 3 2 (3)y′ ＝ ( x )′ ＝ (x )′ ＝ x － 1 ＝ x － ＝ 5 5 5 5 5 3 . 5 2 5 x
3
5
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . x· ln2
x 2x (5)y＝－2sin 1－2cos 4 2 x x x 2x ＝2sin 2cos 4－1＝2sin cos ＝sinx， 2 2 2
∴y′＝cosx.
问题探究
下面的计算过程正确吗？ π π 2 (sin )′＝cos ＝ . 4 4 2
π 2 提示：不正确．因为 sin ＝ 是一个常 4 2 π 数，而常数的导数为零，所以(sin )′＝ 4 π 2 0.若函数 f(x)＝sinx，则 f′( )＝ . 4 2
课堂互动讲练
考点突破 求常见函数的导数的方法 求导函数的方法： (1)能直接求导的幂函数、指数函数、对数函 数和三角函数可以直接运用公式求导． (2)不能直接求导函数的，可以先化成幂函数 、指数函数、对数函数或三角函数的运算， 再运用求导运算法则进行求导．
方法感悟
1．求函数的导数
如果已知的函数是常见函数或基本初等函数 ，那么直接利用求导公式计算它们的导数就 行了；如果已知的函数不是常见函数，也不 是基本初等函数，那么只能用导数的定义来 求它们的导数．
2． 利用导数公式求曲线切线方程的步骤为： (1)先根据函数类型求出函数的导数． (2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已 知曲线上，当点在曲线上时，k＝f′(x0)． 当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，k y1－y0 ＝f′(x1)＝ ，求出切点． x1－x0 (3)写出切线的点斜式方程 y－y0＝f′(x0)(x －x0)或 y－y0＝f′(x1)(x－x0)．
解：设切点为(x0，x2 0)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2. ∴切点为(2,4)．
1 2 例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝ 和 y2＝x x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
【思路点拨】 解答本题，应先通过解方程 组求得两曲线的交点坐标，对函数求导，写 出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点 坐标，即可求得所求三角形的面积．
2
∴切线 3x － y － 2 ＝ 0 与曲线 C 的公共点为 (1,1) ， ( － 2 ，－ 8) ，这说明切线与曲线 C 的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5?
例2 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程 ； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他 的公共点？ 【思路点拨】 先求出y＝x3在x＝1处的导 数，再用点斜式求解．
【解】 (1)令 x＝1，则 y＝1，切点坐标为 (1,1)． 2 y′＝3x ，∴y′|x＝1＝3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2 ＝0. 3x－y－2＝0， 3 (2)由 得 3 x － x －2＝0， 3 y＝x ， 即(x3－x)－(2x－2)＝0. 可分解为(x－1)(x ＋x－2)＝0，解得 x1＝1， x2＝－2.
第一课时
导数的运算
常见函数的导数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习目标 1.能根据定义求函数 y＝kx＋b，y＝c，y 1 ＝x，y＝x ，y＝ 的导数． x
2
2． 掌握常见的基本初等函数的导数公式， 并能求简单函数的导数．
课前自主学案
3．2.1
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
4 1．函数y＝(x＋1)2在x＝1处的导数等于___.
【规范解答】 为(1,1)．
1 y1＝ ， x 由 2 y ＝ x ， 2
解得交点
1 1 y′1＝(x)′＝－ 2， x ∴它在(1,1)处的切线方程为 y－1＝－x ＋1，4 分 即 y＝－x＋2.
y′2＝(x2)′＝2x， ∴它在 (1,1)处的切线方程为 y － 1＝ 2(x －1)， 即 y＝2x－1.8 分 y＝－x＋2 与 y＝2x－1 和 x 轴的交点分 1 别为(2,0)，( ，0)． 2 1 1 3 ∴所求面积 S＝ ×1×(2－ )＝ .14 分 2 2 4
【名师点评】 用求导公式求函数的导数更 加简捷，做题时，注意结合图形求面积．
自我挑战2 点P是曲线y＝ex上任意一点， 求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与 曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0) 处的切线斜率为 1，即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，y0＝1，即 P(0,1)． 2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
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【名师点评】 记住基本初等函数的求导公 式，是计算导数的关键，特别注意各求导公 式的结构特征，弄清(lnx)′与(logax)′和 (ex)′与(ax)′的差异，防止混淆，对于不具 备基本初等函数特征的函数，应先变形，然 后求导．
利用导数求切线的方程 求切线的方程往往需要两个条件：一个点和 一个斜率．求切线的方程时，首先要判断这 个点的位置，即在不在曲线上，因为斜率要 受此影响．
2．导数的几何意义是曲线在某一点处的切线
的斜率．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
3x－y－2＝0 ____________.
1．常见函数的导数 (1)(kx＋b)′＝__( k k，b 为常数)； (2)C′＝__ 0 (C 为常数)； (3)x′＝__ 1； (4)(x )′＝____ 2x ； 3x2 ； (5)(x3)′＝____ 1 1 － 2 (6) ′＝ ____ ； x x 1 2 x . (7)( x)′＝____
2
2．基本初等函数的导数 α· xα－1 α 为常数)； (1)(xα)′＝_______( (2)(ax)′＝_______ axlna (a>0，且 a≠1)； 1 1 log e (3)(logax)′＝ _______ xlna a>0 ， x a ＝ _______( 且 a≠1)； (4)(ex)′＝___ ex ； 1 (5)(lnx)′＝___ x ； (6)(sinx)′＝_____ cosx ； (7)(cosx)′＝_______. －sinx
例1 求下列函数的导数：
1 5 3 (1)y＝x x；(2)y＝ 4；(3)y＝ x ； x x 2 x (4)y＝log2x －log2x；(5)y＝－2sin (1－2cos )． 2 4
2
【思路点拨】 熟练掌握导数基本公式， 并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化 为基本初等函数的导数．
3 3 3 3 【解】 (1)y′＝(x x)′＝(x )′＝ x －1＝ x. 2 2 2 2 1 4 －4 －4－1 －5 (2)y′＝ 4′＝(x )′＝－4x ＝－4x ＝－ 5. x x 3 3 3 3 2 (3)y′ ＝ ( x )′ ＝ (x )′ ＝ x － 1 ＝ x － ＝ 5 5 5 5 5 3 . 5 2 5 x
3
5
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， 1 ∴y′＝(log2x)′＝ . x· ln2
x 2x (5)y＝－2sin 1－2cos 4 2 x x x 2x ＝2sin 2cos 4－1＝2sin cos ＝sinx， 2 2 2
∴y′＝cosx.
问题探究
下面的计算过程正确吗？ π π 2 (sin )′＝cos ＝ . 4 4 2
π 2 提示：不正确．因为 sin ＝ 是一个常 4 2 π 数，而常数的导数为零，所以(sin )′＝ 4 π 2 0.若函数 f(x)＝sinx，则 f′( )＝ . 4 2
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考点突破 求常见函数的导数的方法 求导函数的方法： (1)能直接求导的幂函数、指数函数、对数函 数和三角函数可以直接运用公式求导． (2)不能直接求导函数的，可以先化成幂函数 、指数函数、对数函数或三角函数的运算， 再运用求导运算法则进行求导．
方法感悟
1．求函数的导数
如果已知的函数是常见函数或基本初等函数 ，那么直接利用求导公式计算它们的导数就 行了；如果已知的函数不是常见函数，也不 是基本初等函数，那么只能用导数的定义来 求它们的导数．
2． 利用导数公式求曲线切线方程的步骤为： (1)先根据函数类型求出函数的导数． (2)判断切线所经过的定点(x0，y0)是否在已 知曲线上，当点在曲线上时，k＝f′(x0)． 当点不在曲线上时，应设切点为(x1，y1)，k y1－y0 ＝f′(x1)＝ ，求出切点． x1－x0 (3)写出切线的点斜式方程 y－y0＝f′(x0)(x －x0)或 y－y0＝f′(x1)(x－x0)．
解：设切点为(x0，x2 0)， ∵y′＝2x，y′|x＝x0＝2x0＝4，∴x0＝2. ∴切点为(2,4)．
1 2 例3 (本题满分 14 分)求曲线 y1＝ 和 y2＝x x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三 角形的面积．
【思路点拨】 解答本题，应先通过解方程 组求得两曲线的交点坐标，对函数求导，写 出切线方程，进而求出两切线与x轴的交点 坐标，即可求得所求三角形的面积．
2
∴切线 3x － y － 2 ＝ 0 与曲线 C 的公共点为 (1,1) ， ( － 2 ，－ 8) ，这说明切线与曲线 C 的 公共点除了切点外，还有另外的点．
【名师点评】 曲线的切线与曲线的交点不 一定惟一，可从本例题得证．
自我挑战1 抛物线y＝x2在哪一点处的切线 平行于直线y＝4x－5?
例2 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程 ； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他 的公共点？ 【思路点拨】 先求出y＝x3在x＝1处的导 数，再用点斜式求解．
【解】 (1)令 x＝1，则 y＝1，切点坐标为 (1,1)． 2 y′＝3x ，∴y′|x＝1＝3， ∴切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2 ＝0. 3x－y－2＝0， 3 (2)由 得 3 x － x －2＝0， 3 y＝x ， 即(x3－x)－(2x－2)＝0. 可分解为(x－1)(x ＋x－2)＝0，解得 x1＝1， x2＝－2.