§22 冲激响应和阶跃响应99422
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信号与系统 2.2 冲激响应和阶跃响应
系统冲激响应的求解方法(两种)
方法一： 按照求系统零状态响应的方法来求 例：描述某二阶LTI的微分方程为：
y (t ) 5 y (t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
'' ' '' '
求其冲激响应h(t)
系统冲激响应的求解方法二
方法二： 设置中间变量来求解 一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
一、冲激响应 h(t)
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
g(t)= T [ε(t) ，{0}]
(t )
1
0
g (t )
(t )
t
g (t )
LTI
0
t
零状态
阶跃响应
◆阶跃响应和冲激响应之间的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
yn (t ) an1 yn1 (t ) ..... a0 y(t ) bm f m (t ) bm1 f m1(t ) .... b0 f (t )
求解系统的冲激响应h(t)可分为两步进行： ①选新变量h1(t),使它满足方程式左端相同，而右端只含 f(t),即满足方程：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
例：
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 d t d t dt
解：
求特征根
n 2, m 1, n m
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3 h ( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
1 C1 C 2 1 C1 2 3C1 C 2 2 C 1 2 2
根据系数平衡，得
1 t h( t ) e e 3 t ( t ) 2
第 8页
法三：线性时不变性质法
求冲激响应
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 dt dt dt
h, (0+) – h,(0-) = – 2 0 ， 0 ( t )dt 0 h(0+) – h(0-) =1
h， ( 0 ) 2
h(0 ) 1
1 t 3t h( t ) (e e ) ( t ) 2
第 7页
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
注意：系数a 同
代入微分方程，利用δ (t) 系数匹配:
h,, ( t ) , ( t ) 2 ( t ) r1 ( t ) ( t ) ( t ) r2 ( t ) 所以：h， h( t ) r3 ( t ) (1) ( 2)
a=1
b=-2
对式(1)从0-到0+积分得: 对式(2)从0-到0+积分得:
C1 C 2 ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 d t d t dt
解：
求特征根
n 2, m 1, n m
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3 h ( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
1 C1 C 2 1 C1 2 3C1 C 2 2 C 1 2 2
根据系数平衡，得
1 t h( t ) e e 3 t ( t ) 2
第 8页
法三：线性时不变性质法
求冲激响应
d 2 y( t ) d y( t ) d f (t ) 4 3 y ( t ) 2 f (t ) 2 dt dt dt
h, (0+) – h,(0-) = – 2 0 ， 0 ( t )dt 0 h(0+) – h(0-) =1
h， ( 0 ) 2
h(0 ) 1
1 t 3t h( t ) (e e ) ( t ) 2
第 7页
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
注意：系数a 同
代入微分方程，利用δ (t) 系数匹配:
h,, ( t ) , ( t ) 2 ( t ) r1 ( t ) ( t ) ( t ) r2 ( t ) 所以：h， h( t ) r3 ( t ) (1) ( 2)
a=1
b=-2
对式(1)从0-到0+积分得: 对式(2)从0-到0+积分得:
C1 C 2 ( t ) C1e t 3C 2e 3t ( t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
冲激响应和阶跃响应
二．阶跃响应 1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
r t
H
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t)
，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数 u(t) ，所以
除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用 冲激响应与 阶跃响应关系求阶跃响应。
§2.2 冲激响应和阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应
一．冲激响应 1．定义
系统在单位冲激信号
作(t用) 下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用 h(t)表示。
t
ht
H
2．一阶系统的冲激响应
例 2-5-1 一阶系统的冲激响应 求下图 RC 电路的冲激响应。
（条件： vC 0 0 ）
h(t ) A1et A2e3t u(t )
h (t ) A1et A2e3t (t ) A1et 3A2e3t u(t ) A1 A2 (t) A1et 3A2e3t u(t )
ht A1 A2 t A1 3A2 t A1et 9A2e3t ut
RC
整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA (t) (t)
RCA 1 A 1 RC
vC (t ) h(t )
波形
ht
vC (t)
1 RC
1t
e RC u(t )
1 RC
O
t
iC (t)
iC
(t
)
C
d
vC (t dt
)
1
1 R2C
1
e RC
t
u(t)
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
冲激响应和阶跃响应
2e(t)
解： 将 e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d2 h(t ) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t) dt
2
(t)
求特征根 2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m
ht 中不包含冲激项
冲激响应
h(t ) ( A1et A2e3t )u带(t )u(t)
1 2
hˆ(t ) 1 et e3t u(t )
2
则由系统的线性时不变特性
h(t) dhˆ(t) 2hˆ(t) dt
ht 1 et 3 e3t u(t ) 1 et 1 e3t (t ) et e3t u(t )
2
2
2
2
1 et e3t u(t) 2
系统框图
e RC u t
方法 2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
(t)
冲激响应
t
vC (t) Ae RC u(t)
求导
d vC (t) A (t)
A
1t
e RC u(t )
dt
RC
注意其中 (t) 项！
RC
1
t
Ae RC
u(t )
RCA
(t)
t
Ae RC
u(t )
(t)
奇异函数项相平衡原理已知方程冲激响应求导注意其中rcrcrcrcrc整理方程左右奇异函数项系数相平衡波形注意其中时有一冲激这就是电容电压突变的原因3n阶系统的冲激响应1冲激响应的数学模型对于线性时不变系统可以用一高阶微分方程表示响应及其各阶导数最高阶为n2ht解答的形式由于时都为零因而方程式右端的自由项恒等于零这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同
信号与系统§2.2 冲激响应和阶跃响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
2.2 冲激响应和阶跃响应
求其冲激响应h(t)。
■
第5页
冲激响应求解举例1
例1 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
▲
■
第7页
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
▲
■
第 12 页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
hn(t) an1hn1(t) a1h1(t) a0h(t)
bm m(t) bm1 m1(t) b1 1(t) b0 (t)
▲
■
第3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
■
第5页
冲激响应求解举例1
例1 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应h(t)。
解 根据h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
对式(4)从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3， h’(0+) =12
▲
■
第7页
对t>0时，有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0
h0 1 , h' 0 2
代入h(t)，确定系数C1,C2，得
h(t) 1 (et e3t ) (t)
2
▲
■
第 12 页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) C1et C2e3t (t)
h (t) C1et C2e3t (t) C1et 3C2e3t (t) C1 C2 (t) C1et 3C2e3t (t)
hn(t) an1hn1(t) a1h1(t) a0h(t)
bm m(t) bm1 m1(t) b1 1(t) b0 (t)
▲
■
第3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
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§2.2 冲激响应和阶跃响应
? 冲激响应 ? 阶跃响应
■
第1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数 δ(t) 所引起的 零状态响应 称为单位冲 激响应，简称冲激响应 ，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]
? ?t ?
h?t ?
T {0}
▲
■
第2页
2．系统冲激响应的求解
?冲激响应的数学模型
令 f(t)=?(t)
则 y(t)=h(t)
激励及其各 阶导数 (最 高阶为 m 次)
h?n?(t) ? an?1h?n?1?(t) ? ? ? a1h?1?(t) ? a0h(t)
? bm? ?m?(t) ? bm?1? ?m?1?(t ) ? ? ? b1? ?1?(t) ? b0? (t)
▲
■
对于LTI系统,可以用一 n阶微分方程 表示
dn d
y(t ) tn
?
an?1
d n?1 y(t) d t n?1
?
?
?
a1
d y(t) dt
?
a0
y (t )
?
bm
dm f (t) dtm
?
bm ? 1
dm?1 f (t) d t m?1
?
?
?
b1
d
f (t) dt
?
b0
f
(t)
响应及其各 阶导数 (最 高阶为 n 次)
, h(t) ? d g(t) dt
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
t
? ? ,对因果系统：
－?
0?
▲
■
第6页Βιβλιοθήκη ?当n ? m时，h?t ?中应包含 ? ?t?；
?当n ? m时，h?t?应包含? ?t ?及其各阶导数。
▲
■
第4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t)
af (t)
a
(a) 数乘器h(t) = aδ (t)
f (t)
d
d f (t)
dt
dt
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
f (t)
f (t -T)
第3页
? h(t)解答的形式
由于?(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的 冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
例:当特征根均为单根时
? h(t) ?
? ?
n
Ci
e
?
it
?
??
(t
)
?i?1
?
举例
②与n, m相对大小有关
?当n ? m时，h?t?不含? ?t ?及其各阶导数；
T
(b) 延时器h(t) =δ (t-T)
f (t)
∫
t
? f (x)d x ??
(d) 微分器h(t) =ε (t)
▲
■
第 5页
二．阶跃响应
g(t)= Tε(t) [，{0}]
线性时不变系统满足 微、积分 特性
t
? ?(t) ? ? (t) d t ?? t
? g(t) ? h(?) d? ??
? 冲激响应 ? 阶跃响应
■
第1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数 δ(t) 所引起的 零状态响应 称为单位冲 激响应，简称冲激响应 ，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]
? ?t ?
h?t ?
T {0}
▲
■
第2页
2．系统冲激响应的求解
?冲激响应的数学模型
令 f(t)=?(t)
则 y(t)=h(t)
激励及其各 阶导数 (最 高阶为 m 次)
h?n?(t) ? an?1h?n?1?(t) ? ? ? a1h?1?(t) ? a0h(t)
? bm? ?m?(t) ? bm?1? ?m?1?(t ) ? ? ? b1? ?1?(t) ? b0? (t)
▲
■
对于LTI系统,可以用一 n阶微分方程 表示
dn d
y(t ) tn
?
an?1
d n?1 y(t) d t n?1
?
?
?
a1
d y(t) dt
?
a0
y (t )
?
bm
dm f (t) dtm
?
bm ? 1
dm?1 f (t) d t m?1
?
?
?
b1
d
f (t) dt
?
b0
f
(t)
响应及其各 阶导数 (最 高阶为 n 次)
, h(t) ? d g(t) dt
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t
t
? ? ,对因果系统：
－?
0?
▲
■
第6页Βιβλιοθήκη ?当n ? m时，h?t ?中应包含 ? ?t?；
?当n ? m时，h?t?应包含? ?t ?及其各阶导数。
▲
■
第4页
3. 基本单元的冲激响应
f (t)
af (t)
a
(a) 数乘器h(t) = aδ (t)
f (t)
d
d f (t)
dt
dt
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
f (t)
f (t -T)
第3页
? h(t)解答的形式
由于?(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端
的自由项恒等于零，这样原系统的 冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关
例:当特征根均为单根时
? h(t) ?
? ?
n
Ci
e
?
it
?
??
(t
)
?i?1
?
举例
②与n, m相对大小有关
?当n ? m时，h?t?不含? ?t ?及其各阶导数；
T
(b) 延时器h(t) =δ (t-T)
f (t)
∫
t
? f (x)d x ??
(d) 微分器h(t) =ε (t)
▲
■
第 5页
二．阶跃响应
g(t)= Tε(t) [，{0}]
线性时不变系统满足 微、积分 特性
t
? ?(t) ? ? (t) d t ?? t
? g(t) ? h(?) d? ??