工程数学2复习线性代数
自考06268工程数学-线性代数部分自考复习资料
工程数学复习资料2020.7线性代数部分一、单选题1. 下列各式正确的是（ ）。
A 、a b cd d c b a =B 、cda b d c b a =C 、ba d c dc b a =D 、db ac dc b a =2. 行列式=987654321（ ）。
A 、-1B 、0C 、1D 、23. =k h g f e d c b a λλλλλλλλλ（ ）khg f ed c b a 。
A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ4. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，=*A （ ）。
A 、-1B 、1C 、-2D 、25. 若行列式010143≠-a aa ，则（ ）。
A 、1≠aB 、3≠aC 、4≠aD 、1≠a 且3≠a6. 若行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=，ij A 为元素ij a 的代数余子式，下列各式正确的是（ ）。
A 、kj nj ijA aD ∑==1 ，k i ≠ B 、kj nj ij A a D ∑==1 ，k i =C 、jk nj jiA aD ∑==1，k i ≠ D 、jk nj ji A a ∑==10 ，k i =7. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛87654321（ ）。
A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41026 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12381C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121021 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛121086 8. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a λλλλλλλλλ=（ ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 。
A 、0λ B 、1λ C 、2λ D 、3λ9. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011 =（ ）。
A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛101n C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 011 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111n10. n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 =（ ）。
工程数学复习方法之二临近期末为帮助学生更好地复习工程数学
《工程数学》复习方法之二临近期末，为帮助学生更好地复习《工程数学》（包括《线性代数》、《概率论与数理统计》）的主要内容与方法，结合自身近年的一些教学经验，总结了一些学习复习的方法，希望它能在学生的学习中起到答疑解惑的作用。
现将《线性代数》中第二章《矩阵及其运算》的要点与学习复习方法以问答形式总结如下：1．为什么要学习矩阵？答：矩阵是线性代数最重要的概念之一，由于对矩阵可以进行运算和变换，所以它成为线性代数的有力工具，是线性代数全部内容的纽带和桥梁。
它在数学与其他自然科学、工程技术、社会科学特别是经济学中有着广泛的应用。
例如，一般线性方程组有解的充要条件和作为解线性方程组基础的克莱姆法则都可以用矩阵运算导出；二次型的研究可以转化为对称矩阵的研究；由于线性变换与矩阵存在一一对应关系，从而可以利用矩阵来研究线性变换；向量组的线性相关性讨论也可以利用矩阵来研究。
2．为什么矩阵乘法不满足交换律？答：因为按照矩阵乘法的规定，只有当第一个矩阵A （左矩阵）的列数与第二个矩阵B （右矩阵）的行数相等时，两个矩阵相乘才有意义。
否则无意义。
另一方面，即使AB 与BA 都有意义，AB 与BA 仍然可以不相等。
总之，矩阵的乘法不满足交换律。
即在一般情况下，AB BA ≠. 但是对于同阶方阵, A B ，||||AB BA =是一定成立的，这是因为||||||, ||||||AB A B BA B A ==. 又对于数的运算，交换律成立，即||||||||A B B A =，故||||AB BA =.3．判断矩阵可逆的常用方法有哪些？答：判断矩阵可逆的常用方法有（1）若有方阵B ，使AB E =或BA E =，则A 可逆，且1A B -=.（2）计算方阵（如A ）的行列式是否不为零，若||0A ≠，则A 为可逆矩阵。
（3）若A 的伴随矩阵*A 可逆，或*||0AA A E =≠，则A 可逆。
（4）以后还会学到如下判别方法：① 若n 阶矩阵A 的秩()R A n =，则A 可逆。
工程数学-线性代数第五版答案02
工程数学-线性代数第五版答案02第二章矩阵及其运算1已知线性变换某12y12y2y3某23y1y25y3某33y12y23y3求从变量某1某2某3到变量y1y2y3的线性变换解由已知某1221y1某2315y2某323y23y1221某1749y1故y2315某2637y2y323某3243y32y17某14某29某3y26某13某27某3y33某12某24某3某12y1y3某22y13y22y3某34y1y25y3y13z1z2y22z1z3y3z23z32已知两个线性变换求从z1z2z3到某1某2某3的线性变换解由已知某1201y120221某2232y223220某415y4150123613z11249z210116z30z11z23z3某16z1z23z3所以有某212z14z29z3某310z1z216z31111233设A111B124求3AB2A及ATB 111051*********解3AB2A311112421111110511110581112132230562111217202901114292111123058TAB1111240561110512904计算下列乘积4317(1)12325701解123217(2)2316 5701577202293(2)(123)213解(123)2(132231)(10) 2(3)1(12)32(1)22242解1(12)1(1)121233(1)32361310122140(4)131 11344021310126782140解131**** ****402a11a12a13某1(5)(某1某2某3)a12a22a23某2aaa132333某3解a11a12a13某1(某1某2某3)a12a22a23某2aaa132333某3某1(a11某1a12某2a13某3a12某1a22某2a23某3a13某1a23某2a33某3)某2某35设A22a11某12a22某2a33某32a12某1某22a13某1某32a23某2某312B1130问2(1)ABBA吗解ABBA因为AB344BA1362所以ABBA8(2)(AB)2A22ABB2吗解(AB)2A22ABB2因为AB但222522252(AB)2228141429538681A22ABB241181230101615274所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗解(AB)(AB)A2B2因为AB而222AB0052220226(AB)(AB)250109381028A2B24113417故(AB)(AB)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取A00101则A20但A001则A2A但A0且AE0(2)若A2A则A0或AE解取A(3)若A某AY且A0则某Y解取1A00某11Y111001则A某AY且A0但某Y7设A解10求A2A3Ak101010A21121101A3A2A2101013110Akk1108设A01求Ak00解首先观察1010221A2022102200000023323A3A2A033200344362A4A3A0443004554103A5A4A0554005kkk1k(k1)k22kAk0kk100k用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，kkk1k(k1)k2102Ak1AkA0kkk1010000kk1(k1)k1(k1)kk120k1(k1)k1k100kkk1k(k1)k22Ak0kkk100k由数学归纳法原理知9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解2252|A|1故A1存在因为51A2A11A2152A某AA211222故(2)52A11A某21|A|coinincocoin|A|10故A1存在因为解Ainco所以A11A21coinA某AAinco1222coinA11A某inco|A|121(3)342541121解A342|A|20故A1存在因为541A11A21A314201361A某AAA12223232142A13A23A3321013111所以A3A某22|A|1671a1a02(4)(a1a2an0)0ana10a2解A由对角矩阵的性质知0an1a101a12A10an12解下列矩阵方程(1) 215某4621354635462232112210832解某1211113(2)某210432111解211113210某432111(3)101113123234323302218253314某2210311011解某431201122431101121101121166101101230124010100143(4)100某001201001010120010143100解某100202201 001120010 010143100210100202202234 00112001010213利用逆矩阵解下列线性方程组11某2某23某311(1)2某12某25某323某15某2某33解方程组可表示为123某11225某22351某33某112311故某222520某351303某11从而有某20某30某某某2123(2)2某1某23某313某12某25某30解方程组可表示为111某12213某21325某031某111125故某221310某325033故有某51某20某3314设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或A1(AE)E21(AE)2由定理2推论知A可逆且A1由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或(A2E)1(3EA)E41(3EA)4由定理2推论知(A2E)可逆且(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2E A1A(AE)2A1EA11(AE)2又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1(A2E)11(3EA)4116设A为3阶矩阵|A|求|(2A)15A某|21A某所以解因为A1|A||(2A)15A某||1A15|A|A1||1A15A1|222|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A某也可逆且(A 某)1(A1)某证明由A11A某得A某|A|A1所以当A可逆时有|A||A某||A|n|A1||A|n10从而A某也可逆因为A某|A|A1所以(A某)1|A|1A又A1(A1)某|A|(A1)某所以|A1|(A某)1|A|1A|A|1|A|(A1)某(A1)某18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A 某证明(1)若|A|0则|A某|0(2)|A某||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A某|0则有A某(A某)1E由此得AAA某(A某)1|A|E(A某)1O所以A某O这与|A某|0矛盾，故当|A|0时有|A某|0(2)由于A1 1A某则AA某|A|E取行列式得到|A||A||A某||A|n若|A|0则|A某||A|n1若|A|0由(1)知|A某|0此时命题也成立因此|A某||A|n103319设A110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故23303B(A2E)A110111211210120设A020且ABEA2B求B101303301231103解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)001因为|AE|01010所以(AE)可逆从而100201BAE03010221设Adiag(121)A某BA2BA8E求B解由A某BA2BA8E得(A某2E)BA8EB8(A某2E)1A18[A(A某2E)]18(AA某2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]11,1,1)4dia(22103001000082diag(121)22已知矩阵A的伴随阵A某10且ABA1BA13E求B解由|A某||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3A B3(AE)1A3[A(EA1)]1A3(E1A某)16(2EA某)120600006000060600301614123设P1AP其中P1100610010300100求A112解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.|P|3 1P某14P111411131而110故0100211211142731273214101133A021*********1133111124设APP其中P10211115求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12 diag(100)(A)P()P11P()P某|P|1111002222102000303111000121111411111125设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1026计算0021001020011010030311210230032A2201AEEB1A1则1OBOOA22解设A1而1B31B231212033A1B1B2A2B21ABB11202A2B20231235221032411234303093252124043009A1EEB1A1A1B1B20所以OBOAB0OA22220 10即0021001020011010300311********003025212404300927取ABCD00验证AB|A||B|1CD|C||D0100 20224020221AB0解CD1而故01011010021010|A||B|0|C||DAB|A||B|CD|C||D 34O4328设A求|A8|及A420O22解令A1则34A22243A1OAOA282OA18O8A1故AOA8OA22888816|A8||A||A||A||A|101212540O4O0544A1A44OA202O642229设n阶矩阵A及阶矩阵B都可逆求OA(1)BOC1C2则OA解设BOC3C4OAC1C2AC3AC4EnOBOCCBCBCOE3412AC3EnC3A1AC4OC4O由此得BC1OC1OBCECB122OAOB1所以BOAOAO(2)CBD1D2则AO解设CBD3D4AD2EnOAOD1D2AD1CBDDCDBDCDBDOE 341324D1A1AD1EnDOAD2O由此得2CD1BD3OD3B1CA1CDBDEDB12441AOA11O所以1CBBCAB30求下列矩阵的逆阵52(1)00210000850032解设A522B83则521212B1825515A1232358252于是0011(2)2102122100003100850120010AA1250000233BB100582004解设A10030B3120C2141则2202200A0COA1OBB1CA1B11 124110001220011126301851241124。
大二上学期末工程数学进阶知识点速查
大二上学期末工程数学进阶知识点速查在大二上学期末复习工程数学时，有很多进阶知识点需要我们重点掌握。
这些知识点对于我们的学习和应用都非常重要，因此在复习时需要有针对性地进行整理和归纳。
下面就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点。
1. 矩阵和行列式矩阵和行列式是工程数学中非常重要的一部分。
在大二上学期末复习时，需要重点掌握矩阵的定义、性质、运算法则以及矩阵的逆和转置等内容。
同时，对于行列式的求解方法和性质也需要进行深入理解和掌握。
2. 线性代数线性代数是工程数学中的基础知识，也是大二上学期末复习的重点内容之一。
在复习时，需要对向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量等知识点进行系统地梳理和总结。
3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是工程数学中的一门重要课程，也是大二上学期末复习的难点之一。
在复习时，需要对概率的基本概念、常见概率分布、随机变量的性质，以及统计推断的基本方法和原理等内容进行深入地学习和掌握。
4. 微分方程微分方程是工程数学中的核心内容之一，也是大二上学期末复习的难点和重点。
在复习时，需要对常微分方程和偏微分方程的基本理论、解法和应用进行系统地梳理和总结。
5. 多元函数多元函数是工程数学中的重要内容之一，也是大二上学期末复习的重点知识。
在复习时，需要对多元函数的概念、偏导数、全微分、方向导数、梯度、散度和旋度等知识点进行深入地学习和掌握。
以上就是一些大二上学期末工程数学进阶知识点的速查，希望能够帮助大家更好地复习和掌握这些知识点，取得更好的学习成绩。
希望大家在复习过程中有所收获，顺利通过工程数学的考试。
工程数学线性代数题库及答案
一、判断题1.若A , B 为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。
（ b ）2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。
（ a ）3.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。
（ a ）4.若A 可逆,则*A 也可逆。
（ a ）5.若A 的顺序主子式都大于0，则A 正定。
（ bA ）6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。
（ b ）7.A 和T A 具有相同的特征值。
（ a ）8.若A 可逆,则*A 也可逆。
（ a ）9.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。
（ a ）10.设12,αα 是线性方程组AX b =的两个不同的解，则12αα- 是对应的齐次线性方程组0AX =的解。
（ a ）11.设1α是线性方程组AX b =的两个不同的解，2α是齐次线性方程组0=AX 的解，则12+αα 是对应的线性方程组=AX b 的解。
（ bA ）12.若A 可逆,则1A - 也可逆。
（ a ）13.设12,s ηηηL 是非齐次线性方程组AX b =的s 个不同的解， 12,s k k k L 为实数，满足121,s k k k ++=L 则1122x k k ηη=+L s s k η+也是它的解。
（ a ）14. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
（ a ）15. {}1121212(,),0,T n n n V x x x x x x x R x x x ==∈++=L L L 设满足则1V 是向量空间。
（ a ）16.A 和T A 具有相同的特征值。
（ a ）17.若A 可逆,则*A 也可逆。
（ a ）18.若实对称阵A 的特征值全大于零，则二次型T f X AX = 是正定的。
（ a ）二、选择题1．行列式12021k k -≠-的充分必要条件是（ C ）2．设A 与B 都是n 阶方阵，则必有（ C ）3．设12,s ααα……均为n 维向量，下列结论不正确的是（ ）4．设A , B 为同阶可逆方阵，则必有（ D ）5．正定实二次型的矩阵是（ ）A .实对称且所有元素为正B .实对称且对角线上元素为正数C .实对称且各阶顺序主子式为正数D .实反对称且行列式值为正数6．A 是三阶矩阵，特征值为1230,1,1λλλ==-=,其对应的特征向量分别是123,,ξξξ ,设123(,,)P ξξξ=,则有1P AP -=（ ）7．行列式21200111k k =-的充分条件是（ ）8．设A 是n 阶可逆方阵，A 是*A 的伴随矩阵，则（ ）9．若向量组12,s ααα……的秩为r ，下列结论不正确的是（ C ）10．矩阵（ ）是二次型22112263x x x x ++的矩阵。
工程数学复习资料二(填空题)
工程数学复习资料二（填空题等做完四题计算题有时间再来做）1设 A 、B 均为3 阶方阵，且 |A| =－6，|B| =3，则 |31)(-'-BA |= 8 。
2 设 A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 Ax = λx ，则称λ为A 的 特征值 则称x 为A 相应于特征值λ的 特征向量 。
3已知 P （A ）=0.8，P （AB ）=0.2，则 P （A －B ）= 0.6 。
4 设离散型随机变量X ~⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 5.02.0210 ，则a = 0.3 。
5 若参数θ的估计量θˆ满足θθ=)ˆ(E ， 则称θˆ为θ的 无偏估计 。
1设 A 、B 均为3 阶方阵，且 |A| =3，|B| =2，则 |12-'B A |= 12 。
4 设随机变量X ，若E （X ）=3，E （2X ）=5，则D （X ）= 2 。
5设n x x x ,...,,21 是来自正态总体N （μ，σ2）的一个样本，则∑=ni ix n 11～ N （μ，σ2/n ） 。
1 设 A 是2 阶矩阵，且 |A| =9，则 |)(31'-A |= 1 。
2设 A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 Ax = λx ，则称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。
4 设X 为随机变量，若D （X ）=3，则D （－ X+ 3）= 3 。
5若参数θ的两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ满足D （1ˆθ）>D （2ˆθ），则称2ˆθ比1ˆθ更 有效 。
1 设 A 、B ，C 均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为111,,---C B A ，则 11)(--'B A C = 11)(--'C A B 。
2 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是 r （A ）= r （Ab ） 。
3若P （A ）=0.8，P （B A ）=0.5，则 P （AB ）= 0.3 。
4 设随机变量X 的概率密度函数为2301()0x x f x ⎧≤≤=⎨⎩ 其它，则 P （X<1/2）= 1/ 8 。
2022年自考27391工程数学(线性代数-复变函数)复习资料
2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料2022年自考27391工程数学(线性代数\复变函数)复习资料线性代数部分本课程考试采纳教材：《工程数学——线性代数》〔附大纲〕，申亚男、卢刚主编，外语教学与讨论出版社，2022年版。
考试的重点内容第一章行列式1.行列式的定义了解行列式的定义，掌控行列式的余子式与代数余子式，牢记上〔下〕三角行列式的计算公式，掌控用行列式定义计算含0特别多或结构非常的行列式。
2.行列式的性质理解行列式的性质，会用行列式性质化简行列式。
3.行列式按一行〔或一列〕开展娴熟掌控行列式按一行〔或一列〕开展的方法计算行列式。
第二章矩阵1.矩阵的概念理解矩阵的概念，掌控非常的方阵：上〔下〕三角形矩阵、对角矩阵和单位矩阵、对称矩阵和反对称矩阵。
2.矩阵的运算娴熟掌控矩阵的线性运算〔加法及数乘〕、乘法、方阵的方幂、转置等运算。
3.可逆矩阵4.矩阵的初等变换与初等矩阵娴熟掌控矩阵的初等变换，理解初等矩阵和初等变换的关系，会用初等行变换法求可逆矩阵的逆矩阵。
5.矩阵的秩知道矩阵的秩的定义，会用初等行变换求矩阵的秩。
第三章向量空间1.维向量空间2.向量间的线性关系会判断向量组的线性相关或线性无关，将给定的向量由向量组线性表出。
3.向量组的极大线性无关组掌控用矩阵的初等行变换求向量组的极大线性无关组。
4.向量组的秩与矩阵的秩掌控用矩阵的初等行变换求向量组的秩或矩阵的秩。
第四章线性方程组1.齐次线性方程组会判断齐次线性方程组是否有非零解，娴熟掌控用初等行变换求齐次线性方程组的基础解系及其通解。
2.非齐次线性方程组会判断非齐次线性方程组解的状况〔无解、有唯一解、有无穷解〕，娴熟掌控用初等行变换求非齐次线性方程组的通解。
第五章矩阵的相像对角化1.特征值与特征向量理解特征值与特征向量的定义，掌控求特征值与特征向量的方法。
2.相像矩阵与矩阵对角化理解矩阵相像的概念，掌控将矩阵化为相像对角矩阵的方法。
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)笔记和考研真题及课后习题详解(第2章 矩阵及其运算)【
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第 2 章 矩阵及其运算
2.1 复习笔记
一、矩阵的运算 1．矩阵的加法 （1）运算规律 设 A，B，C 都是 m×n 矩阵，则 ①A＋B＝B＋A； ②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）； ③设矩阵 A＝（aij），记：－A＝（－aij），－A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有 A＋（－ A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）。
称为矩阵 A 的伴随矩阵，简称伴随阵，一般地，AA*＝A*A＝|A|E。
四、逆矩阵 1．定义 n 阶矩阵 A，若存在 n 阶矩阵 B，使 AB＝BA＝E，则称矩阵 A 是可逆的，矩阵 B 为 A 的逆矩阵，A 又称 B 的逆矩阵，简称逆阵。
2．性质
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3．逆矩阵运算规律： （1）若 A 可逆，则 A－1 也可逆，且（A－1）－1＝A； （2）若 A 可逆，数λ≠0，则λA 可逆，且（λA）－1＝A－1/λ； （3）若 A、B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 也可逆，且（AB）－1＝B－1A－1； （4）若 AB＝E（或 BA＝E），则 B＝A－1。
其中
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t
Cij Aik Bkj i 1,..., s; j 1,..., r k 1
（4）设
A
A11
A1 r
，则
AT
A1T1
AsT1
As1 Asr
A1Tr AsTr
三、方阵的行列式 1．由 A 确定|A|的运算规律 假设 A、B 为 n 阶方阵，λ为数： （1）|AT|＝|A|； （2）|λA|＝λn|A|； （3）|AB|＝|A||B|。
工程数学线性代数二章复习
( A B)2 A2 2 AB B2 A, B可交换
4 方阵的行列式和性质
| AB || A || B |,| A | n | A |
转置矩阵 T T ( A ) A;
( A B ) AT BT ;
T
( A) AT ;
T
( AB ) BT AT .
E m Amn Amn Amn E n .
矩阵的乘法与数的乘法不同 1、有条件 2、无交换律 3、无削去律
由AB AC和A O推不出B C (无左削去律)
由BA CA和A O推不出B C(无右削去律)
如果A可逆，则成立 (2)如果AB=BA ，说A、B可交换
( A B)( A B) A B A, B可交换
基本内容与重要结论
一、矩阵的加,减,数乘,乘法的定义和性质
1、矩阵相加、减 3、矩阵乘法 ( AB )C A( BC ); 2、数乘矩阵
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数);
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
若每个子块均可逆
A111 1 则A .... Akk1
A C 即得 O B
A O C B
O B
1
A 1 O
A CB 1 B
1 1
1
A1 1 1 B CA
1 1 -1 3.已知 A= -1 1 1 ,A* X A1 2 X , 求X 1 -1 1
1 0 0 -2 3 0 ,B=(A+E)-1(A-E),求(B E ) 1 4.设 A= 0 -4 5
同济版 工程数学-线性代数(第五版)期末复习知识要点(成都大学田晓滨老师作品)
a1 n a2 n K a n1
an1
√ 逆矩阵的求法:
ο
an1
ο
成都大学田晓滨老师作品
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同济版 工程数学- 线性代数(第五版)期末复习知识要点
① A −1 =
A∗ A
初等行变换 ② ( AM E ) ⎯⎯⎯⎯ ( E M A− 1 ) → −1
⎡a b ⎤ 1 ③⎢ ⎥ = ad − bc ⎣c d ⎦ ⎡ a1 ⎢ ④⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A1 ⎢ ⑤⎢ ⎢ ⎢ ⎣
① 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）,则
A ∗ A ο A ο = = =A B ο B ∗ B ο B
∗ A = ( −1)mn A B B ο
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ∗ ③关于副对角线：
a1 n a2 n −1
N =
ο a2 n −1
N
a1 n
= ( −1)
n (n −1) 2
T
,
则：ri = Aβi , i = 1, 2,L , s ,即 A(β1 , β2 ,⋅⋅⋅ , β s ) = ( Aβ1 , Aβ2 ,L , Aβ s )
√ 用对角矩阵 Λ 左乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 Λ 右乘一个矩阵,相当于用 Λ 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
13
记作： {α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n } = { β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn } %
记作： A = B %
矩阵 A 与 B 等价 ⇔ r ( A ) = r (B ) ≠> A , B 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵 A 与 B 作为向量组等价 ⇔ r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅,α n ) = r (β1 , β 2 , ⋅⋅⋅, β n ) = r (α1 ,α 2 , ⋅⋅⋅α n , β1 , β2 , ⋅⋅⋅, βn ) ⇒ 矩阵 A 与 B 等价.
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工程数学2综合练习（2011）
线性代数部分
一、判断下列各题是否正确
1． 若A 、B 是同阶方阵，则（A ＋B ）2 ＝A ＋2AB ＋B 2。
（×） 2． 矩阵A 、B 的积AB ＝0，则A ＝0或B ＝0。
（×）
3． 设A 为一任意矩阵，则A ＋A T ，AA T 均为对称矩阵。
（√） 4． 设对矩阵A 施行初等变换得到矩阵B ，且已知秩(A )＝r ，秩(B )=s ,则r = s 。
（√）
5．A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（× ）
6．A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（√ ）
二、选择题（单选，括号中填所选项前的字母）
1．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=++020
209873232321x t x x x x x x 存在非零解，则常数t = [ D ]。
（A ） 2 （B ） 4 （C ） －2 （D ） －4
2．设有n 阶方阵A 与B 等价，则 [ C ]。
(A) | A | = | B | (B) | A | ≠ | B | (C) 若| A |≠0,则必有| B |≠0 (D) |
A | = －|
B |
3．若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是 [ D ]。
（A ）（2A ）-1 = 2 A -1 (B) |2A | = 2 | A | (C)
()A A A 11*--= (D) (A -1 )T = ( A T )-1 4．设61152101
12344321
--=A ，则4A 41+3A 42+2A 43+A 44
= [ A ] (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5．已知可逆方阵
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21731A ，则A ＝ [ B ]。
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3172 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3172 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2173
6．设矩阵A 、B 、C 满足AB ＝AC ，则B ＝C 成立的一个充分条件是 [ C ]。
(A) A 为方阵 （B ）A 为非零矩阵 (C) A 为可逆方阵 (D) A 为对角阵
7．下列矩阵中，（ B ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8.设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ C ）
(A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +
三、计算下列各题
1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。
2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |-
A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。
3． 已知AP ＝PB ，其中
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。
4．已知A+B=AB ，且
121342122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。
四、证明题：
1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。
2．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。
计算题：
1． 已知AB ＝A ＋2B ，其中矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B 。
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==--91221006920106830013211210110113243222;)2(1
行初等变换解：A E A B A B E A
2． 已知A 、B 为4阶方阵，且｜A ｜＝－2，｜B ｜＝3，求 (1) | 5AB | ; (2) |- A B T | ; (3) | ( AB )-1 |。
解：(1) ｜5AB ｜＝54｜A ｜｜B ｜＝-3750
(2) ｜-AB T ｜＝（－1）4｜A ｜｜B ｜＝-6
(3) ｜（AB ）-1｜＝｜AB ｜-1＝－1/6 3. 已知AP ＝PB ，其中
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B ，求矩阵A 及A 5。
.,;;;116002001;114012001,1551
55121121111A PBP A B B P PB A P PB PBP PBP A PBP A PBP A P P =======⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---------故而解：先求
4．解法一：
AB B A =+⇒()1()A E B A B A E A --=⇒=-。
将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求
1(|())E A E A --。
()|A E A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233121120)(31r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221121243233100001
21313,r r r r -- ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12112014323010000123r r -
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121120222110100001 322r r - 100001011222001325⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭3r -
100001011222001325⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
23r r -
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--523100301010100001。
故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523301100B 。
1021101()332113121326A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此1001()103325B A E A -⎛⎫ ⎪
⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭。
证明题
1． 设方阵A 满足A 2－A －2E ＝0，证明：A 和A ＋2E 都可逆。
()() 亦可逆。
故 又可逆，故证：由已知有E A A E A E A A A E E A A E E A A E A A 22.212
12)(2212+=+-==-⋅
⇒=-⇒=--
2. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结论。
解：BA AB -为对称矩阵。
证明：
()()()T T T BA AB BA AB -=-=T T T
T B A A B -=()B A BA ---=BA AB -， 所以BA AB -为对称矩阵。