线性代数复习2(精选)
《线性代数》知识点-归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 .................................................................. 2-02、主对角线............................................................................ 2-03、转置行列式.......................................................................... 2-04、行列式的性质........................................................................ 3-05、计算行列式.......................................................................... 3-06、矩阵中未写出的元素 .................................................................. 4-07、几类特殊的方阵...................................................................... 4-08、矩阵的运算规则...................................................................... 4-09、矩阵多项式.......................................................................... 6-10、对称矩阵............................................................................ 6-11、矩阵的分块.......................................................................... 6-12、矩阵的初等变换...................................................................... 6-13、矩阵等价............................................................................ 6-14、初等矩阵............................................................................ 7-15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵......................................................... 7-16、逆矩阵 ............................................................................. 7-17、充分性与必要性的证明题 .............................................................. 8-18、伴随矩阵............................................................................ 8-19、矩阵的标准形：........................................................................ 9-20、矩阵的秩：........................................................................... 9-21、矩阵的秩的一些定理、推论............................................................. 9-22、线性方程组概念..................................................................... 10-23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组(不含向量) .......................................... 10-24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................ 11-25、线性方程组的向量形式 ............................................................... 11-26、线性相关与线性无关的概念......................................................... 12-27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关 ........................................... 12-28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. 12-29、线性表示与线性组合的概念......................................................... 12-30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题........................... 12-31、线性相关(无关)与线性表示的3个定理................................................ 12-32、最大线性无关组与向量组的秩.......................................................... 12-33、线性方程组解的结构…………………………………………………………………………………………12-01、余子式与代数余子式(1)设三阶行列式, 则①元素an,ai,au的余子式分别为：对Mi的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式,这个行列式即元素au的余子式Mi。
线性代数复习二
在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都很清楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去，造成不应有的丢分.例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组112233112233112233112233()0,()0,()0,()0.n n n n n n nn a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪⎪+++++=⎪⎩其中10.ni i a =≠∑试讨论12,,,n a a a b 和满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵的行列式等于零时，有非零解.但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度.解 方程组的系数行列式123123123123||n n n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a a b++=++A 231231231231nin i nini ni n i nin i ab a a a aba b a a a b a a b a aba a a b====+++=++++∑∑∑∑23232312311()11n n ni n i n a a a a b a a a b a a b a a a a b=+=+++∑231100()0000n ni i a a a b a b b b==+∑11().nn i i b a b -==+∑(1)当100||.0,ni i b a b =≠+≠≠∑且时,方程组仅有零解A ；(2)当b =0时，原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=由10ni i a =≠∑可知a i (i =1,2,…,n )不全为零，不妨设10a ≠.因为秩r (A )=1，取23,,,nx x x 为自由未知量，可得方程组基础解系为T121(,,0,,0),a a =- αT231(,0,,,0),a a =- α…，T11(,0,0,,).n n a a -=- α当1100nn i i i i b a a b ===-≠≠∑∑时,由知,系数矩阵可化为123000000n a b a a a b b bb b b +⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭A →12311100101011ni n i a a a a a =⎛⎫-⎪ ⎪ -⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭∑110010001001000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭由于秩r (A )=n -1，易知Ax =0的基础解系为T(1,1,1,,1).= α 评注1 本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为121212n nn a a a a a a b b a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭A EB E , 而r (B )=1,可方便地求出B 的特征值为0,0,…,01ni i a =∑，于是b =+A B E 的特征值为1211,,,,,nn n ii b b b b a λλλλ-=====+∑从而根据特征值可求出行列式为 11||||().nn i i b ba b -===+∑ A B +E评注2 当1ni i b α==-∑时，注意到系数矩阵A 的秩为r (A )=n -1,而T (1,1,,1)=≠0 α显然为A X =0的一个解，即可作为基础解系.例2 （2003年数学一）设矩阵1*322010232,101,,223001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P 2+求B E 的特征值与特征向量,其中A *为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A *及1P -，然后计算B =P -1A *P 及B +2E ，最后求B +2E 的特征值、特征向量，但计算量大，稍有疏忽，将很难得到最终的正确结果.解 由*322522232252,223225--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得A A 又由010101001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 可得111100,001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P于是 1*700254,225-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P 9002274.225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E 根据9|(2)|274225λλλλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E B +E 2(9)(3),λλ=-- 可知B +2E 的特征值为1239, 3.λλλ===解 [9E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为12111,1,01-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα因此属于129λλ==的所有特征向量为12121111,,01k k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是不全为零的任意常数.解[3E -（B +2E ）] x =0,得基础解系为3301.1λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此属于的所有特征向a =33301,1k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭量为 为非零的任意常数.评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A α=λα,有*||λ=进而有A A ,αα11*11*1()()(),λ-----==|A |B P PA P P PA =P αααα11(2)()2.λ--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭|A |B +E P P αα若求出A 的特征值λ及对应特征向量α, 则B +2E 的特征值为||2λ+A 及对应特征向量P -1α这样就不必求A *. 且根据222222222,222222222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知A E 的特征值为0,0,6，从而A 的特征值为1,1,7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A *的公式结论有：AA *= A *A =|A |E ，由此还可推出一系列相关的公式：*1(1)||||(2),n n -=≥A A **2()||(3),n n -=≥A A A *1*()(2).n k kn -=≥A A(2)若A 可逆，则A *=| A | A -1, (A *)-11.||=A A(3) *,(),()1,()1,(2).0,() 1.n r n r r n n r n =⎧⎪==-≥⎨⎪<-⎩A A A A(4) T **T 1**1()(),()().--==A A A A(5) 若A 可逆，且λ为A 的特征值，则A *有一个特征值为λ|A |.例3 （2000年数学一）设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且ABA -1=BA -1+3E ，其中E 是4阶单位矩阵，求矩阵B .分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A *求出A -1及A ，再代入已知关系式求B ，则计算量会相当大.考虑到题设与A *有关，若先用A *A =AA *=|A |E 化简，则方便得多.解 由ABA -1=BA -1+3E 先右乘A ，得 AB =B +3A , 再左乘A *，并利用A *A =|A |E ，得A *AB =A *B +3A *A ,即 |A |B = A *B +3| A |E . 再由|A *|=|A |4-1=|A |3,得 |A |3=8,即 |A |=2. 于是有2B =A *B +6E , (2E -A *)B =6E . 故11100001006(2)610100306--⎛⎫ ⎪ ⎪=-=⎪- ⎪-⎝⎭*B E A60000600.60600301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 评注 题设与A *有关时，一般均可考虑利用AA *=A *A =|A |E 及其相关公式，结论先化简、再计算.例4 （2003年数学四）设矩阵21112111a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵A *的一个特征向量，λ是a 对应的特征值，其中A *是A 的伴随矩阵，试求,a b λ和的值.分析 题设与A *有关，先用A A *= A * A =|A |E 化简. 解 已知A * α=λα，利用A A *=|A |E ，有 | A |α=λA α， 因为A 可逆，知||0,0,λ≠≠于是有A ||λ=A A ,αα 即21111||121,1111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ① 解此方程组得a =2, b =1或-2.又211||1214112==A ，由式①可知：当b =1时λ=1; 当b =-2时λ=4. 又如，有关特征值与相似矩阵的重要公式和结论有：（1）设λ1，λ2，…，λn 为n 阶方阵A 的n 个特征值，则f (λ1),…,f (λn )为f (A )的n 个特征值，其中f (A )为A 的多项式.且121122,n nn a a a λλλ+++=+++ 12||.n λλλ= A(2) 若r (A )=1，则A 的特征值为λ1=λ2=…=λn -1=0,λn =a 11+a 22+…+a nn .(3) 若A ~B ，则|A |=| B |，r (A )=r (B )，特征多项式相同：|λE - A |=|λE -B |,λ∀，从而特征值相同，进而有a 11+a 22+…+a nn =b 11+b 22+…+b nn .例5 （2000年数学三）若4阶方阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式|B -1-E |= .分析 利用相似矩阵有相同的特征值的结论及通过特征值求行列式的结论即可. 解 由A ~B ，知B 的特征值是1111,,,2345，于是B -1的特征值是2,3,4,5,从而B -1-E 的特征值是1，2，3，4，故行列式 |B -1-E |=1·2·3·4=24.例6 （2001年数学一、三）设1111400011110000,,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B 则A 与B(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.分析 本题的关键知识点是：两个实对称矩阵若相似，则必合同.又r (A )=1，其特征值为12344,0.λλλλ====显然A 、B 为实对称矩阵，且A ~B ，于是A 与B 也合同.故应选（A ）.评注 当A 、B 为实对称矩阵时，若A ~B ，则A 、B 有相同的特征值⇒x TAx 与x TBx 有相同的正负惯性指数⇒A 与B 合同.但若A 、B 为非对称矩阵，则A 与B 不合同（合同矩阵必为对称矩阵）.例7（2007年数学一至四） 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000010001B ,则A 与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似.解 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似. 又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(A) .评注1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则 A 与B 合同⇔ r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数.三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：①行列式|A |=0⇔矩阵A 不可逆⇔秩r (A )<n⇔A 的行（列）向量组线性相关 ⇔Ax =0有非零解⇔λ=0是矩阵A 的特征值②β可由α1，α2,…，αn 惟一线性表示β=x1a1+x2α2+…+x nαn⇔Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,x n)T,A=(α1,α2,…,αn)⇔r(A)=r(A β)=n⇔|A|≠0⇔Ax=0只有零解⇔λ=0不是A的特征值③AB=0⇔A(b1,b2,…, b s)=0, B=( b1, b2,…, b s)⇔Ab j=0, j=1,2,…,s⇔b1,b2,…,b s均为Ax=0的解(⇒r(A)+r(B)≤n)⇔若b j≠0且A为n阶方阵时，b j为对应特征值λj=0的特征向量④AB=C⇔A(b1, b2,…, b r)=(C1, C2,…, C r)⇔Ab j=C j,j=1,2,…,r⇔b j为Ax=C j的解.⇔C1, C2,…, C r可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.[⇒r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)].例8（2003年数学一）设向量组I: α1, α2,…, αr可由向量组II：β1,β2,…,βs线性表示，则(A) 当r<s时，向量组II必线性相关. (B) 当r>s时，向量组II必线性相关.(C) 当r<s时，向量组I必线性相关. (C) 当r>s时，向量组I必线性相关.分析本题可由定理“若α1, α2,…, αs可由β1, β2,…, βt线性表出，且s>t，则α1, α2,…, αs 线性相关”，直接得正确选项(D).若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论④用秩来判定：由题设，存在s×r矩阵P，使(α1, α2,…, αr)=( β1, β2,…, βs)P s×r,则r(α1, α2,…, αr)=r{( β1,…, βs)P}≤r(β1,…, βs)≤s.当r>s时，有r(α1, α2,…, αr)≤s<r，此时α1, α2,…, αr必线性相关.例9（2002年数学一、二）已知4阶方阵A=α1, α2, α3, α4), α1, α2, α3, α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.分析本题可将A=(α1, α2, α3, α4),β=α1+α2+α3+α4及x=1234xxxx⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭代入Ax=β，找出具体的方程，再按通常方法求解.也可由β=α1+α2+α3+α4即β可由α1, α2, α3, α4线性表示，相当于已知1111⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭为Ax=β的特解，及α1-2α2+α3+0·α4=0与α2, α3, α4线性无关知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为Ax =0的基础解系.再根据解的结构理论知Ax =β的通解为1111x k ⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭1210⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数. 评注 Ax =β的解与β可由A 的列向量组线性表示之间可相互转换.例10 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x , Ax , A 2x 线性无关，且满足A 3x =3Ax -2A 2x .(1) 记P =(x , Ax , A 2x )，求3阶矩阵B ，使A =PBP -1； (2) 计算行列式|A +E |.分析 A =PBP -1⇔AP =PB ⇔P -1AP =B .本题(1) 有多种方法求解：设法求出A 的特征值、特征向量；将B 的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论④，由已知一组关系式：Ax =Ax ,A 2x =A 2x ,及A 3x =3Ax -2A 2x 合并起来有(Ax ,A 2x ,A 3x )=( A x ,A 2x ,3 A x -2A 2x ),即 A (x , Ax , A 2x )=(x , A x ,A 2x )000103012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 也即AP =P 000103012⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，可方便地求得B =000103012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 至于行列式的计算可用特征值(A 、B 有相同特征值)或相似矩阵计算即可(A ~B ⇒A +E ~B +E ).评注 从本题可见，矩阵运算AB =C 与关系式Ab j =C j 之间的转换可化为线性方程组的解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题.例11 设A 、B 为三阶相似非零实矩阵，矩阵A =(a ij )3×3满足a ij =A ij (i ,j =1,2,3),A ij 为a ij的代数余子式，矩阵B 满足|E +2B |=|E +3B |=0,计算行列式|A *B -A *+B -E |.分析 由 |A *B -A *+B -E |= |A *(B -E )+(B -E )|= |(A *+E )(B -E )|= |A *+E |·|B -E |， 知，只需计算|A *+E |及|B -E |. 若能求出A 或B 的所有特征值，则问题即可解决.解 由a ij =A ij 知，A T =A *，于是 AA T =AA *=|A |E ，从而|A |2=|AA T |=||A |E |=|A |3， 即 |A |2(1-|A |)=0. 于是|A |=0或|A |=1.又A ≠0，不妨设a 11≠0,由 |A |=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13=2221112130a a a ++≠, 知 |A |=1.由 |E +2B |=|E +3B |=0, 知 1211,23λλ=-=-为B 的两个特征值.因为A ~B ，所以1211,23λλ=-=-也为A 的两个特征值. 设3λ为A 、B 的另一特征值，根据1=|A|=123316λλλλ=，得 36λ=.又 |A *B -A *+B -E |=|(A *+E )(B -E )|=|A *+E |·|B -E |=|A T+E |·|B -E |. 因为 |A T +E |=|(A +E )T |=|A +E | =(1λ+1)(2λ+1) (3λ+1) =1277233= ,|B -E |=(1λ-1)(2λ-1) (3λ-1)=34 5=1023⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故 |A *B -A *+B -E |=770 1033=.评注 本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征值求行列式等多个知识点.例12 设A 、B 为m ×n 矩阵，则Ax =0与Bx =0同解的充要条件是(A) A 、B 为等价矩阵. (B) A T x =0与B Tx =0同解. (C) A 、B 的行向量组等价. (D) A 、B 的列向量组等价.分析 可用反例通过排除法得到正确选项. 对于(A)，相当于r (A )=r (B )，显然只是必要而非充分条件；对于(B)，例如A =100 200⎛⎫⎪⎝⎭，B =200 100⎛⎫⎪⎝⎭，显然Ax =0与Bx =0同解，但A Tx =0与B Tx =0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A =110 101⎛⎫⎪⎝⎭，B =010 001⎛⎫⎪⎝⎭，显然A 、B 的列向量组等价，但Ax =0与Bx =0不同解，排除(D)，故应选(C).评注 本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明： 若Ax =0与Bx =0同解，考虑(I) Ax =0， (II)=⎧⎨=⎩0A x B x ， (III)Bx =0.则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有r (A )=r ⎛⎫⎪⎝⎭A B =r (B )，由此可推导出A 、B 的行向量组等价. 反过来，若A 、B 的行向量组等价，令A =12m ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ααα， B =12mβββ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即列向量组T T T 12,,,m ααα与T T T 12,,,m βββ等价，于是存在矩阵P 、Q ，使(T T T12,,,m ααα)=(T T T 12,,,m βββ)P ， (T T T 12,,,m βββ)=(T T T 12,,,m ααα)Q ，即A =P T B , B =Q TA .从而由Ax =0有Bx =Q T Ax =0；反过来，由Bx =0，有Ax =P T Bx =0，即Ax =0与Bx =0同解.例13 设A 为三阶矩阵，123,,λλλ是A 的三个不同特征值，对应特征向量为123,,ααα，令123=++βααα.(1)证明2β,Aβ,A β线性无关；(2)若3=A βA β，求秩r (A -E )及行列式|A +2E |.分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩r (A -E )及行列式|A +2E |，由于不知道A 的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A 的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的秩及行列式求解即可.解 (1)设123k k k 2++=βA βA β0， ①由题设(1,2,3)i i i ιλ==Aαα，于是123123λλλ=++=++AβAαAαAαααα，22112233λλλ22=++A βααα，代入①整理得222121311122322123333()()(++)k k k k k k k k k λλλλλλ++++++=0ααα.因为123,,ααα是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有2121312122322123330,0,0.k k k k k k k k k λλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩其系数行列式2112222331101λλλλλλ≠，必有1230k k k ===，故2β,Aβ,A β线性无关.(2)由3=A βA β有=232()()=()2A β,Aβ,A βAβ,A β,A βAβ,A β,Aβ=2000⎛⎫ ⎪()101 ⎪ ⎪010⎝⎭β,A β,A β， 令P =2()β,Aβ,A β，则P 可逆，且P -1AP =000101010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=B . 即A ~B ，于是A -E ~B -E ，A +2E ~B +2E . 从而有r (A -E )=r (B -E )=r 100111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=2, |A +2E |=|B +2E |=200121012=6. 评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵的性质等多个重要知识点.例14 设随机变量X 的概率密度为1c o s , 0()22x x f x ⎧≤≤π⎪=⎨⎪0,⎩其他， 对X 独立地重复观察6次，用Y 表示观察值大于π3的次数，又已知A =11142335Y-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭具有重特征值.(1)求A 可对角化的概率；(2)当A 可对角化时，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角形矩阵.分析 Y 服从二项分布B (6，p )，其中p =P X π⎧⎫>⎨⎬3⎩⎭，而判定A 可对角化，应先求出A 的特征值，再根据特征值i λ的重数i k 与其线性无关特征向量的个数相等：n -r (i λE -A )=i k ，将可对角化问题转化为特征矩阵i λE -A 的秩：r (i λE -A )=n -i k ，由此确定Y 的取值及其相应概率.解 (1)由于P 11cosd 222x X x ππ3π⎧⎫>==⎨⎬3⎩⎭⎰，于是Y ~B 16,2⎛⎫⎪⎝⎭.111||42335E A Y λλλλ---=---11042332Y λλλλ-=---- 11(2)41331Yλλλ-=---110(2)370331Y λλλ-=---- 2(2)(810).Y λλλ=--++①若=2λ为重根，则22-8×2+10+Y =0，即Y =2. 此时A =111242335-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，|λE -A |=(λ-2)2(λ-6).特征值为123==2=6λλλ，.因为r (2E -A )=r 111222333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭=1，属于特征值12==2λλ的线性无关特征向量个数为3-r (2E -A )=2，表明A 可对角化. ②若=2λ为非重根，则2-810=0Y λλ++有重根，则有82-4(10+Y )=0，得Y =6.此时 A 2111=642||=(6)(2)335λλλ-⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭，，E A 特征值为123==6=2.λλλ，因为r (6E -A )=r 511622=21331-⎛⎫⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭，表明A 不可对角化. 故A 可对角化的概率为24261115(2)C 1.2265p P Y ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2) 由(1)知，A =111242335-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，1232, 6.λλλ=== 解(2·E -A )x =0得特征向量12111,0.01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα解(6E -A )x =0得特征向量为312.3⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α令 P =123111102013⎛⎫⎪(,,)=-- ⎪ ⎪⎝⎭ααα, 则有1200020.006-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P 评注 本题综合性较强，不仅涉及到线性代数的多个知识点，还要求利用概率统计中的相关知识.例15 设A 为三阶实对称矩阵，已知|A |=-12，A 的三个特征值之和为1.又102⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α是齐次线性方程组(A *-4E )x =0的一个解向量，(1)求A ；(2)求(A *+6E )x =0的通解；(3)求正交变换矩阵Q ，化二次型x T Ax 为标准形.分析 (1)设法求出A 的所有特征值、特征向量，即可确定A ；(2)(A *+6E )x =0的基础解系，即为A *的特征值λ=-6所对应的线性无关的特征向量，而A *与A 对应特征值的特征向量相同；(3)先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵Q 即为所求正交变换矩阵.解 由α为(A *-4E )x =0的解，知(A *-4E ) α=0，即 A *α=4α,于是AA *α=4A α,即 |A |α=4A α,A α=||4A α=-3α, 可见3λ3=-为A 的特征值，对应特征向量为31==02⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭αα-.设2,λλ1为A 的另两个特征值，由题设 21λλλ13++=，2||12λλλ13==-A . 利用3λ3=-及上两式可解是22λλ1==.设22λλ1==的特征向量为123x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，由A 为实对称矩阵知：X T ·3α=0，即x 1-2x 3=0，解得021,00112⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα.由 12311223(,,)(,,,)λλλ=A αααααα，知1112233123(,,,)(,,)λλλ-=A αααααα1043021=200100026012--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭102=020.202⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由2,1,2i i i ==A αα，知 **i i =2A A A αα，即 *62i i i ==-|A |A ααα，也即(A *+6E )i α=0，i =1,2, 可见12,αα即为(A *+6E )x =0的基础解系，故(A *+6E )x =0的通解为1122k k +αα，其中12,k k 为任意常数.(3) 由于12,αα已正交，故只需将123,,ααα单位化，有11101,||0⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭αηα222210,||1⎛⎫⎪==⎪⎪⎭αηα333110.||2⎛⎫⎪==⎪⎪-⎭αηα令Q =123,,)(ηηη=01000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ - ⎝，则Q 为正交矩阵，令x =Qy ，则二次型f =x TAx 可化为标准形222123223f y y y =+-.评注 本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为标准形等多个重要知识点.。
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
线性代数复习题带参考答案(2)
线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数知识重难点和常考题型汇总
②、
a11 a21
a12
a22
a1 n a2 n
x1
x2
b1
b2
Ax
b
（向量方程，
A为mn
矩阵， m
个方程， n 个未知数）
am1
am 2
amn xm
bm
⑦、 r( AB) min(r( A), r(B)) ；（※）⑧、如果 A 是 m n 矩阵， B 是 n s 矩阵，且 AB 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX 0 解（转置运算后的结论）； 3
Ⅱ、 r( A) r(B) n ⑨、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 r( AB) r( A) r(B) n ；
③、 a1
a2
an
x1
x2
（全部按列分块，其中
b1 b2
）；
xn
bn
④、 a1 x1 a2 x2 an xn （线性表出）
⑤、有解的充要条件： r( A) r( A, ) n （ n 为未知数的个数或维数）
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ；
3，代数余子式和余子式的关系：
M ij (1)i j Aij
Aij (1)i j M ij
4，设 n 行列式 D ：
n ( n 1)
线代(2)期末复习题集1706
σ 是正交变换当且仅当 AT GA = G ； σ 是自伴变换（对称变换）当且仅当 AT G = GA 。
关于镜面反射，课本上已经有一到较为完善的比较灵活的习题，这里给出。 【习题 21】*（镜面反射，正交变换的第一类与第二类） （课本习题 10.7）
= 若 η 是 n 维欧式空间 V 中的一个单位向量， 定义 σ (α )
G (α1 , , α n ) =
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α 2 , α1 ) ( α 2 , α 2 ) ( α n , α1 ) ( α n , α 2 )
( α1 , α n ) (α 2 , α n ) (α n , α n )
上学期的一道作业已经证明了向量组的 Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关 （线性 相关时为半正定，这是 10 年期末考题） 。我们这里看一些别 Gram 矩阵的性质。 【习题 19】*（Gram 矩阵与基变换） （姚慕生高代习题书） 设 {e1 , en } 及 { f1 , f n } 为 n 维欧式空间 V 的两个基底，并设 {e1 , en } 到 { f1 , f n } 的过渡矩阵为 C 。证明 G ( f1 , f n ) = C T G (e1 , en )C 。 利用习题 18，可以很方便地解出下面的题目（其中包括了 12 年期末考题） 。 【习题 20】*（线性变换的矩阵和 Gram 矩阵的关系） 设 n 维欧式空间 V 的基底 {α1 , , α n } 的 Gram 矩阵为 G ， V 上的线性变换 σ 在该基下 的矩阵为 A ，证明下面的两条结论。 (1) (2)
【习题 13】 （Jordan 标准型的计算） （15 年期末考题）
1 2 1 的 Jordan 标准型 J 。 求矩阵 A = 2 1 1 5 1
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。