第三章扭转(习题解答)

3-1ab 作图求各杆的扭矩图 解：（1）轴的扭矩图分成二段，整个轴上无均布荷载扭矩图为间断水平线。 左段：m kN ⋅=6左T （背正）

右段： m kN ⋅-=-=4106右T （指负背正），或m kN ⋅-=4右T （指负） （2）画扭矩图如图题3-1(a)所示。从左至右，扭矩图的突变与外力偶矩转向一至，突变之值为外力偶的大小（从前往后看）

m

10kN 4kN m

T (b )

(a 题3-1（a ）

(b)

T 图

（kN m ）4

+

题3-1（b ）

2m

2m

解：（1）轴的扭矩图分成二段，轴上的右段有均布荷载，该段扭矩图向下倾斜线段。左段无均布荷载，扭矩图为水平线段。

左段：m kN ⋅=⨯=422AB T 右段： 0422=⋅=⨯=C B T T m

kN

（2）画扭矩图如图题3-1(b)所示。扭矩图集中力偶处发生突变，而有均布力偶段扭矩图呈线性。显而易见，A 端有大小为m kN ⋅4，力偶矩矢向左的外力偶。

3-2图示钢质圆轴，m kN m m l mm D ⋅===15,2.1,100。试求：（1）n-n 截面上A 、B 、C 三点的剪应力数值及其方向（保留n-n 截面左段）；（2）最大剪应力m ax τ；（3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内无变化，可不画扭矩图。

（2）扭转圆轴上各点的剪应力应在各自的横截面内，垂直于所在的“半径”，与扭矩的转向一致，如图3-2(c)所示。

由求扭转剪应力的公式知：

MPa Pa D D T I T P B A 43.7621

.032

1

.014.310152324

34=⨯⨯⨯=⋅=⋅==πρττ MPa Pa D D T I T P C 21.384

1

.032

1.014.31014432434=⨯⨯⨯=⋅=⋅=πρτ

（2）最大剪应力m ax τ，圆轴发生扭转时，边缘各点的剪应力最大。

MPa B A 43.76max ===τττ

（3）由公式求两端截面的相对扭转角。

31.1)(1029.21.032

10802.1101524

93=⨯=⨯⨯

⨯⨯⨯=

⋅=-rad GI l T P

π

ϕ

题3-2

(c )

+

m A 5

2m A 5

3-T 图

(b )题3-3

3-3图示钢制传动轴，A 为主动轮，B 、C 为从动轮，两从动轮转矩之比3

2=C B

m m ，轴径mm D 100=。试按强度条件确定主动轮的容许转矩[]A m 。

解：（1）圆轴所受力偶的作用面与轴线垂直，轴发生扭转变形。扭矩图如图所示，危险面是AC 各横截面，危险点是AC 段表面各点。A m T 5

3

max = （2）由强度条件确定主动轮的容许转矩[]A m

[]m

kN m N m m D m W T A A A

t

⋅=⋅⨯⨯⨯⨯≤→⨯=≤⨯⨯⨯===63.1948

10601.0510

601.0516316

536

3633max max πτππτ []m kN m A ⋅=63.19

3-4某薄壁圆筒，其平均半径mm R 30=，壁厚mm t 2=，长度mm l 300=，当

m kN T ⋅=2.1时，

测得圆筒两端面间扭转角

76.0=ϕ，试计算横截面上的剪应力和圆筒材料的剪变模量G 。

题3-4

1.2kN

解：由薄壁圆筒剪应力公式计算横截面上的平均剪应力：

MPa Pa t R T 106002

.003.021200

222=⨯⨯==

ππτ，各点剪应力垂直于该点与圆心的连

线，与扭矩转向一致。

（2）求圆筒材料的剪变模量G

由剪切胡克定律可知：γ

τ

γτ=

→=G G ……………………（a ） 由变形协调条件知：l

l ϕ

ργϕργ⋅=→⋅=⋅……………………（b ）

将（b ）式代入（a ）得：

MPa Pa l R G 803.0180

76.003.0101066

=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅==

πϕτγτ

注意：若采用空心圆轴计算：

3

4124

12003110109.5586210(1(

))32

62

Pa MPa ρτπ

--⨯⨯=

=⨯⨯⨯-

12412

424

412000.3

180

3212000.310180

0.7679.958580.766210

(1())

62(1())

32

62

62

G Pa GPa

G π

π

π-⨯⨯⨯⨯=

⨯

→=⨯=⨯

⨯⨯⨯-⨯⨯-3-5 某空心钢轴，内外直径之比8.0=α，传递功率kW P 60=，转速250=n 转/分，单位长度允许扭转角[]m /8.0

=θ，试按强度条件与刚度条件选择内外径d 、D 。

解：（1）计算外力偶矩：

m N ⋅=⨯

==2292250

60

95509550

n

P m A 圆轴受力偶作用面与轴线垂直的一对外力偶作用，发生扭转变形。由于扭矩在整个轴内