扭转习题解答
材料力学第3 章 扭 转习题及答案
第 三 章 扭 转一、判断题1．杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。
（ × ） 2．薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
（ × ） 3．圆杆扭转变形实质上是剪切变形。
（ √ ） 4．非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。
（ √ ）5．材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。
（ × ） 6．切应力互等定理，仅适用于纯剪切情况。
（ × ) 7．受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。
( √ ) 8．受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。
（ √ ) 9．受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。
（ × ) 10． 因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭矩达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。
（ √ )二、填空题1．一级减速箱中的齿轮直径大小不等，在满足相同的强度条件下，高速齿轮轴的直径要比低速齿轮轴的直径（ 小 ）。
2． 当实心圆轴的直径增加1培时，其抗扭强度增加到原来的（ 8 ）倍，抗扭刚度增加到原来的（ 16 ）倍。
3． 直径D=50mm 的圆轴，受扭矩T=2.15kn.m ,该圆轴横截面上距离圆心10mm 处的剪应力τ=（35.0 MPa ），最大剪应力τmax=（87.6 MPa ）。
4． 一根空心轴的内外径分别为d ，D ，当D=2d 时，其抗扭截面模量为（33256153215D d ππ或）。
5． 直径和长度均相等的两根轴，在相同的扭矩作用下，而材料不同，它们的τmax 是（ 相 ）同的，扭转角φ是（ 不 ）同的。
6． 等截面圆轴扭转时的单位长度相对扭转角为θ，若圆轴直径增大一倍，则单位长度扭转角将变为（16θ）。
(仅供参考)第3章扭转作业参考解答
第3章作业参考解答3-1 试作附图中各圆杆的扭矩图。
习题3-1附图解答 各杆的轴力图分别见解答附图(a)、(b)、(c)、(d)。
3-2 一传动轴以每分钟200转的角速度转动，轴上装有4个轮子，如附图，主动轮2输入功率60kW ，从动轮1，3，4依次输出功率15kW ，15kW 和30kW 。
（1）作轴的扭矩图。
（2）将2，3轮的位置对调，扭矩图有何变化？ 解答 (1)各轮上作用的力偶矩为m kN T ×=´´´=716.0200260101531pm kN T ×=´´´=865.2200260106032p ，m kN T ×=´´´=716.0200260101533pm kN T ×=´´´=432.1200260103034p扭矩图见附图(a)，最大扭矩为m kN M x ×=149.2max 。
(2) 2，3轮的位置对调后扭矩图见附图(b)，最大扭矩为m kN M x ×=432.1max 。
(a) M x(c) M x /N ·m(b)M x /kN ·m(d) M x /kN ·m习题3-2附图T 1T 2 T 3 T 4 (a)M x /kN ·m1.432(b) M x /kN ·m3-3 一直径d =60mm 的圆杆，其两端受T =2kN·m 的外力偶矩作用而发生扭转，如附图示。
设轴的切变模量G =80GPa 。
试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。
解答 1，2，3点处的切应力分别为MPaMPa W T p 4.313/22.4716/06.014.320000.031332===´===t t t t 切应力方向见附图(1)。
4.6 扭转-习题课
第4章扭转4-1 判断题判断下面说法是否正确：切应力互等定理只有材料处于线弹性范围才成立答：错。
推导切应力互等定理时只用到了平衡条件，没有牵涉到材料是否线弹性，因此，只要处于平衡状态，切应力互等定理都是成立的。
4-2 判断题判断下面说法是否正确：低碳钢圆轴扭转破坏是沿横截面剪断。
答：对。
低碳钢是塑性材料，其抗剪能力低于抗拉、抗压能力，因此它的扭转破坏面为最大切应力所在面，即横截面。
4-3 选择题圆轴单位长度扭转角与 无关。
A.扭矩大小B.杆长C. 材料D. 截面几何性质答：B 。
由 可知，表达式中无杆长项。
PGI T =θ4-4 选择题m axτm ax τm ax τ图示由两种不同材料等截面杆连接而成的圆轴，两端受到扭转外力偶作用后，左、右两段 。
A. 相同， 不同B. 不同， 相同C. 与 都不同D. 与都相同 M eM e钢铝l ltm ax WT=τm ax τPGI T=θθ答: A左右两段内力相同， ，与材料无关，所以两段 相同。
而 ，式中G 代表材料不同。
材料不同时G 不同，因此两段 m ax τm ax τθθθθ4-5 选择题图示圆轴表面贴有三片应变片，实测时应变片 的度数几乎为零。
A. 1和2B. 2和3C. 1和3D. 1、2和3M eM e1 2345答： C圆轴在线弹性范围内扭转变形时，轴向尺寸和横截面尺寸没有变化，因此1、3两片应变片不应有度数。
4-6 选择题为提高碳钢圆轴的扭转刚度，下列措施中最有效的是 。
A. 减小轴的长度B. 改用高强度结构钢C. 提高轴表面的粗糙度D. 增加轴的直径P GI PI 答： D圆轴扭转刚度为 ，各种钢材的切变模量G 相差不多，更换钢种无明显效果， 而增加轴的直径可显著提高4-7 计算题Dd ABCM e123M em m 100=D m m 50=d []MPa 60=τ 图示圆轴AB 段为实心，BC 段为空心，它们的外直径都为 ，BC 段的内直径 材料的许用切应力 ，试求此轴能承受的M e 最大值。
扭转典型习题解析
扭转典型习题解析1 一内径d =100mm 的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩m kN 5⋅=T ，许用切应力][τ=80MPa ，试确定空心圆轴的壁厚。
解题分析：因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。
分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。
解： 1、按薄壁圆管设计薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为δ，平均半径为2/0）（δ+=d R ，则扭转切应力为 δτ20π2R T=强度条件为][ττ≤，于是得][π22τδδTd =+）（ ][π22223τδδδTd d =++ ()Pa1080πm N 1052m 10100m 1010026323233××⋅××=×+××+−−δδδ解得 mm 70.3m 1070.33=×=−δ 2、按空心圆轴设计强度条件为 ][pmax ττ≤=W T将δ216π44p +=−=d D d D DW ）；（代入得][π16][π][π164444=−−≤−τττd TD D d D DT，）（0Pa)108(m 1.0πm N 10516Pa 1080π64346=××−×⋅××−×××）（D D解得mm 107.7m 10107.73=×=−Dmm 85.32mm100mm 7.1072=−=−=d D δ 比较可知，两种设计的结果非常接近。
讨论: 当10/0R ≤δ时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。
2 图示受扭圆杆，沿平面ABCD 截取下半部分为研究对象，如图b 所示。
试问截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？解题分析：由切应力互等定理可知截面ABCD 上的切向内力分布及其大小。
该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。
在图b 中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD 的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD 上切向内力的合力偶矩平衡。
扭转习题1
mB
mA
mC
n
（b）
B
A
C
3
解：1.由功率与转速关系计算外力偶矩：
MA
9550 PA n
9550 36 200
1719(N m)
MB 9550 PB 9550 22 1050(N m)
n
200
MC 9550 PC 9550 14 669(N m)
（2）1－1截面的最大剪应力
（3）轴AB的最大剪应力
1 mC=0.2kNm
mB=0.1kNm
φ50 φ40
A
1D
mA=0.3kNm
解：画扭矩图
T
0.3kNm
＋
C
B
0.1kNm
＋
x
8
(1)在AD段上，D1=50mm，T1=300N.m
Ip1=0.1D14=0.1 ×504 ＝6.25×105
当ρ＝20mm 时 ，
＝
T1 I1
300 6.25105
20＝0.9610－2（Mpa)
（2）在AD段上，R1=25mm
m ax1
T1 Ip1
R1
300 6.25105
25 1.2102 (Mpa)
(3)在DC段上， T1=300N.m， D2=40mm ，R2=20mm
Ip2=0.1D24=0.1 ×404 ＝2.56×105
14
6--28实心圆轴如图所示，已知输出扭矩MB=MC=1.64kN.m； MD=2.18kN.m，材料G=80Mpa，【τ】=40Mpa，【θ】=1。/m。 （1）求输入扭矩MA；
（2）试设计轴的直径；
扭转习题解答
第7章圆轴扭转主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
解：截面上与T对应的切应力分布图如下：2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。
b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。
作出扭矩图。
a)b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。
采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。
作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。
已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
《材料力学》第3章 扭转 习题解
第三章扭转 习题解[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。
试作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） nN T ke 55.9= 外力偶矩计算(kW 换算成kN.m)题目编号 轮子编号轮子作用 功率(kW) 转速r/minTe （kN.m ） 习题3-1I 从动轮 18 200 0.859 II 主动轮 60 200 2.865 III 从动轮 12 200 0.573 IV 从动轮 22 200 1.051 V从动轮82000.382(2) 作扭矩图[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。
钻杆钻入土层的深度m l 40=。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。
解：（1）求分布力偶的集度m)(5305.018010549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：0=∑xMe M ml =)/(0133.0405305.0m kN l M m e ===（2）作钻杆的扭矩图T 图(kN.m)x x lM mx x T e0133.0)(-=-=-=。
]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。
[习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。
若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：)(245445014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π （2）计算扭矩2max /60mm N W Tp==τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ⋅=⋅=⨯=（3）计算所传递的功率 )(473.1549.9m kN nN M T ke ⋅=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =⨯=[习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。
材料力学_陈振中_习题第三章扭转
第三章 扭转3．1 作图示各杆的扭矩图。
（a ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m+m=0得T 1= -2m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2 +m=0得T 2= -m ， 所以其实际为负。
（b ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m =0得T 1= -m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2+m-3m=0 得T 2= 2m ， 所以其实际为正 （c ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1-10-15-20+30=0得T 1= 15KN.m ， 所以其实际为正。
T 1T 2（a2（b ）mTT 12)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2-15-20+30=0得T 2= 5KN.m ， 所以其实际为正。
3)求 3-3截面上的扭矩 假设T 3为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 3-20+30=0得T 3= -10KN.m ， 所以其实际为负。
4)求 4-4截面上的扭矩假设T 4为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 4 +30=0得T 4= -30KN.m ， 所以其实际为负。
3.2 T 为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。
解：3.5 D=50mm 直径的圆轴，受到扭矩T=2.15KN .m 的作用。
试求在距离轴心10mm 处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。
T 230kN.m T 3T 4（题3.2图（a ） （b ）解：求距离轴心10mm 处的剪应力， 由 I P =πD 4/32=π×0.054/32=6.13×10-7 m 4 W t = I P /R=6.13×10-7/0.025=2.454×10-5 m 3τρ=Tρ/ I P =2.15×103×10×10-3/(6.13 ×10-7 ) =35MPa求轴横截面上的最大剪应力τmax =T/ W t =2.15×103/(2.454 ×10-5 ) =87.6MPa3.8 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图所示。
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第7章圆轴扭转
主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；
（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；
（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图
1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
解：截面上与T对应的切应力分布图如下：
2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。
b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（
，可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（
，可得m kN T ⋅-=-633。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。
作出扭矩图。
a)
b)
图7-3
b) 由力矩平衡方程可得e A
M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。
采用截面法计算
扭矩（见图7-3b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。
作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算
4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。
已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；
（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩：
m N m N n P T ⋅=⋅⨯==716100
5.795509550
（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
a a P P P d W T 63
1
max 1040][16
716⨯=≤⨯==τπτ
解得 mm m T
d 0.451040716
][3
616
3
16
1=⨯⨯=⨯≥π
πτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：
a
a P
P P D W T 6432
max 1040][)1(16
716⨯=≤-⨯=
=ταπτ
解得 mm m T
D 0.46)5.01(1040716
)1]([34616
3
4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥π
π
ατ
5. 如图所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。
已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。
（1）画出轴的扭矩图。
（2）校核轴的强度。
图7-5
解：（1）画扭矩图
计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩：
m
N m N n P
M m
N m N n P
M m
N m N n P
M m N m N n P M D
D C
C B
B A A ⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯
==3711807
9550955053118010
95509550159180
3
95509550106118020
95509550
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591；2-2截面的扭矩为
m N M M T B A ⋅=-=9022；3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。
绘出的扭矩图如图7-5
所示。
（2）强度校核
由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。
由于a a a P W T MP =<MP =P ⨯⨯==
-40][7.36105016
9023
32max τπτ）（，所以轴满足强度条件。
图7-7
圆轴扭转时的变形和刚度计算 6． 图示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝7kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力；
（3）求轴的最大单位长度扭转角。
解：（1）绘扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，
2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。
绘出扭矩图如右图。
（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。
得其最大切应力为
()
a a P MP MP W T 3.94106016
10433
3
2max =⨯⨯⨯==-πτ
（3）BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。
m
m
GI T
p
25.2180106032
10801041804
393
max max =⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯=-π
ππ
θ）
（
7．如图示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。
要求： （1）画出轴的扭矩图； （2）求出轴的最大切应力； （3）求出轴的总扭转角。
解：（1）画扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011；2-2截面的扭矩为m N M M T ⋅=-=400212；3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。
绘出的扭矩图如图7-7
所示。
（2）由图7-7可见AB 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB 段内。
轴的最大切应力
a a P W T MP =P ⨯⨯==
-1.12107516
10003
31max ）（πτ
（3）求轴的总扭转角：
00
4
391462.0180107532
10802
1000180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=-）（）（π
ππϕP AB BA GI l T
004392138.018010753210805.1400180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=
-）（）
（π
ππ
ϕP CB CB GI l T
00
4
3930462.0180107532
10801
200180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=
-）（）
（π
ππ
ϕP DC DC GI l T
D 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角
0000646.0462.0138.00462.0=++=++=BA CB DC DA ϕϕϕϕ
8. 一钢轴的转速n=240r/min ，传递的功率为P=44kW 。
已知][τ=40MP a ，][θ=1︒/m ，G=80GP a ，试按强度和刚度条件确定轴的直径。
解：钢轴的扭矩
m N m N n P T ⋅=⋅⨯==1751240
4495509550
（1）按强度条件确定轴的直径
直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：
a a P P P d W T 63
1
max 1040][161751⨯=≤⨯==τπτ
解得 mm m T
d 6.60104016
1751
]
[16
3
6
3
1=⨯⨯=
⨯≥
πτπ
（2）按刚度条件确定轴的直径
直径d 2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件：
][180
32
1804
2
θπππθ≤⨯⨯=⨯=d G T GI T P (︒/m)
解得 mm m G T d 8.59180
1
32
10801751180][324942=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≥πππθπ
由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d 取直径d 1和直径d 2中较大的，
确定钢轴直径mm d 6.60=。