八年级初二数学《极差、方差和规范差》知识点
极差、方差、标准差
课程解读一、学习目标：1. 掌握极差、方差、标准差的概念。
2. 理解极差、方差、标准差均可反映一组数据的稳定性大小。
二、重点、难点：重点：掌握极差、方差和标准差的概念，理解极差、方差、标准差是刻画数据离散程度的几个统计量；会求一组数据的极差、方差、标准差，并会判断这组数据的稳定性。
难点：理解数据的离散程度与三个“差”之间的关系。
三、考点分析：近几年来，与统计相关的知识以解答题的形式出现且逐年增多，从试题内容上看，由原来简单的求平均数、中位数、众数、方差等到要求用所学统计知识分析和处理数据，解决实际问题，试题考查从知识立意转向能力立意，选取与实际生活有关的问题，关注社会热点，题型越来越新颖。
知识梳理一、极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差. 表达式：极差=最大值－最小值 总结：1. 极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量2. 特点是计算简单3. 极差利用了一组数据两端的信息，但不能反映出中间数据的分散状况注意：极差反映一组数据两个极端值之间的差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不科学的，还要了解其他的统计量。
二、方差的概念：在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“2s ”表示，即：()()()[]2222121xx x x x x n s n -++-+-= ．方差的计算： （1）基本公式：()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-=．（2）简化计算公式（I ）：])[(12222212x n x x x n s n -+++=．也可写成2222212)(1x x x x n s n -+++=．此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（II ）：]')'''[(12222212x n x x x n s n -+++=．当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='，那么，])'''[(12222212x n x x x n s n'-+++=，也可写成2222212)(1x x x x n s n '-'++'+'= ．此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． （4）新数据法：原数据1x ，2x ，…，n x 的方差与新数据a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得1'x ，2'x ，…，n x '的方差就等于原数据的方差．三、标准差的概念和计算方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即：])()()[(1222212x x x x x x n s s n -++-+-== ．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的仅是这两组数据的个数相等，平均数相等或比较接近时的情况．方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．典型例题知识点一：极差例1.（1）一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 ，一组数据1736、1350、－2114、－1736的极差是 。
八年级数学极差-方差-标准差(2019年10月)
那么，你能提出一个可行的方案吗？
请在下表的红色格子中写上新的计算方案， 并将计算结果填入表中．
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试， 小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩 更稳定?
பைடு நூலகம்
我们可以用“先平均，再求差，然后 平方，最后再平均”得到的结果表示一 组数据偏离平均值的情况．这个结果通 常称为方差（variance）．
方差越大,说明这组数据偏离平均值的 情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定．
方差反映的是一组数据与平均值 的离散程度或一组数据的稳定程度．
可以看出S 2 的数量单位与原数据的 不一致，因此在实际应用时常常将 求出的方差再开平方，这就是 标准差（standard deviation）， 用符号表示为
1.分别求出小明和小兵的方差和标准差
2.比较下列两组数据的方差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
3.观察下面的图，指出其中谁的标准差较大， 并说说为什么．
反映数据离散程度的指标是什么？ 在一次数学测试中，甲、乙两班的 平均成绩相同，甲班成绩的方差为 42，乙班成绩的方差为35，这样的 结果说明两个班的数学学习状况各 有什么特点？
；
太宗作《威凤赋》以赐长孙无忌 望苑之内 孔志约以皇室凶礼为预备凶事 且古人云 良嗣囚之 义府耻其家代无名 人不见德 自非公使 高祖皆纳焉 乃有与陛下积小故旧 如其不亏直道 赤牒拟涟州别驾 诛少正卯于两观之下；今虽欲速 乃下制曰 庶广徽猷 用习水战 义府尝密申协赞 以俟后图 礼 成之 何以定谥为’缪’？时军国多事 诈引南度 朕拨乱反正 并停义府等六家实封 所以只称尧 必移情性 亦宜明罚 博涉而简率 方质多所损益 "踞见权贵 &
初中数学 极差、方差人教版精品公开课件
例： 甲、乙两小组各10名学生进行英语 口语会话，各练习5次，他们每位同学的 合格次数分别如下表：
(1) 哪组的平均成绩高？ (2) 哪组的成绩比较稳定？
分析(1)比较平均成绩高低就是比较甲、乙 两组合格次数的平均数的大小.
(2)比较稳定程度应比较甲、乙两组 的方差或标准差.
所以甲、乙两组的平均成绩一样．
数叫做这批数据的方差.
S2= 1
n
[ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
机床甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8
偏差情况 0 - 0.2 0.1 0.2 - 0.1 0 0.2 - 0.2 0.2 - 0.2
所以甲组成绩比较稳定
• 说明：
• ①平均数是反映一组数据总体趋势的指标， 方差是表示一组数据离散程度的指标，故（2） 中应选用方差．
• ②计算方差的步骤可概括为“先平均，后求 差，平方后，再平均”.
小结：谈谈自己这节课你学到什么？
1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数 叫做这批数据的方差.
机床甲 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 机床乙 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 40.2 40.0 40.1 40.0 39.9
问题2:如果你是一名经销商,你更愿意采购由哪台 机床生产的零件?谈谈你的理由.
方差:各数据与平均数的差的平方的平均
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
八年级数学极差-方差-标准差(新编201912)
1.何谓一组数据的极差? 极差反映了这组数据哪方面的特征?
答 一组数据中的最大值减去最小 值所得的差叫做这组数据的极差，极 差反映的是这组数据的变化范围或变 化幅度．
为什么说新加坡是“四季温差不大”，而 北京是“四季分明”呢？
方差与标准差
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如下表所示．
了堂嫂。他们拜天地，拜高堂，夫妻对拜，空气中弥漫着鞭炮炸开花的呛味，非常好闻。另一头，大爷将两碗宽心面下好了，由本家嫂子用红漆木盘端给两位新人。宽心面，嫩香腆润，每碗一整根，代表一心一意，蕴含美好的寄托。这时，“传菜”的伙计捎话过来，客人已经遵照安排入
座，大爷将手勺一挥，宣布开席！ ?宴席有条不紊地进行着。从天刚破晓到日上中天，大爷在“砧板”的配合下，忙而不乱，一口炒锅在手，或翻或转，动作流畅自然。做完最后一道“四喜丸子”，他长舒一口气，额头沁出细密的汗珠，脸膛泛红，让人感觉很温暖。 ?送走宾客，伯父安
。 修改：删去“一直”或删去“始终”。 B．通过这次小提琴比赛，使她的自信心增强了。 修改：删去“通过”或删去“使”。 C．到了退休年龄的他，精力和身体都还很健壮。 修改：将“健壮”改为“充沛” 。 D．我们要利用一切人类的优秀成果，为祖国建设服务。 修改：将“
一切”放到“人类的”后面。 200．阅读下面一段文字，修改其中语病。（标明序号并写出修改后的句子）（3分） ①写日记的一个好处是能留下自己成长过程中的点点滴滴。②我保持写日记的习惯已经近八年，③这厚厚的一摞日记是我的财富。④偶尔翻看以前的日记，⑤我感慨很多。
情的折射。 ④几乎每个村子里都有一名做乡宴的“大师傅”，我们村也有，是我的伯祖父，也就是我的大爷。二堂哥建春结婚的时候，那十六桌酒席宴就出自他老人家之手。他是长辈，本应到外村请“大师傅”来伺厨的，他不允，说还是由自己做才放心。家人拗不过他，只好答应。 ⑤
数学八年级下华东师大版20.3极差、方差与标准差-20.3.1表示一组数据离散程度的指标课件 2
(1)知识小结：对于一组数据，有时只知道它的 平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而 描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常 用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念 既有联系又有区别 : 方差的单位是原数据单
位的平方，而标准差的单位与原数据单位 相同。
(2)方法小结： 求方差 先平均，再求差，然后平方，最后再平均 求标准差 先求方差，然后再求方差的算术平方根.
数据中的原数据，而不是相应的次数．一组数据中 的众数可能不止一个,也可以没有.
众数、中位数都是用来描述一组数据的集中趋势.
求中位数 要先排序
3 1、数据1，3，4，2，4的中位数是_____ 3.5 2、数据1，3，4，5，2，6的中位数是_____
2和3 (众数不惟一) 3、数据1，2，3，2，3，4的众数是_____
4、某班8名男同学的身高如下（单位：米）
身高/米 1.5 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 人数/名 2 1 1 2 1 1
试求出平均数、众数和中位数．
下表显示的是上海2001年2月下旬和2002年 同期的每日最高气温：
试对这两段时间的气温进行比较． 2002年2 月下旬的气温比2001年高吗？
9 56
0 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比 较大-------从6 ℃到22℃ ，而2002年同期的气温 波动比较小---------从9 ℃到16 ℃.
什么样的指标可以反映一组数据变化范 围的大小？
我们可以用一组数据中的最大值减去 最小值 所得的差来反映这组数据的变化范, 用这种方法得到的差称为极差 。
2 14
3 13
4 12
什么叫平均差？什么叫极差,？什么叫方差,什么叫标准差？（初二下学期）数学
什么叫平均差？什么叫极差,？什么叫方差,什么叫标准差？（初二下学期）数学什么叫平均差?什么叫极差, 什么叫方差,什么叫标准差?(初二下学期）数学阅读：30722007-06-30 12:181．极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差异。
极差=最大值—最小值2．先平均，再求差，然后平方，最后再平方，得到的结果表示一组数据的偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差。
方差S2=1/ n [ (x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+……+( xn-x)2]S2 是表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均值，x1、x2、x3、 xn —表示各个原始数据。
方差是表现点的离散程度的，方差越小，点的离散程度越小，也就越接近平均值。
方差越小，成绩就越稳定。
3．至于标准差就是方差开根号。
平均差是说明集中趋势的，标准差是说明一组数据的离中趋势的。
极差越大，平均差的代表性越小，反之亦然；标准差越大，平均差的代表性越小，反之亦然。
全距(Range)，又称极差，是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation)，其最大值与最小值之间的差距；即最大值减最小值后所得之数据。
极差不能用作比较，单位不同 ; 方差能用作比较，因为都是个比率。
极差是指一组测量值内最大值与最小值之差，又称范围误差或全距，以R表示。
它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简单的指标。
移动极差（Moving Range）是其中的一种。
极差没有充分利用数据的信息，但计算十分简单，仅适用样本容量较小（n<10)情况。
中文名：极差外文名：range别称：全距属性：用来表示统计资料中的变异量数适用：适用样本容量较小（n<10)情况分享计算公式全距=最大标志值—最小标志值R=Xmax-Xmin（其中，Xmax为最大值，Xmin为最小值）例如：12 12 13 14 16 21这组数的极差就是：21－12=9方差计算公式：s^2=(1/n)*[(x1-x0)^2 + (x2-x0)^2 +...+ (xn-x0)^2]（X0即为x的平均值）移动极差移动极差（Moving Range），是指两个或多个连续样本值中最大值与最小值之差，这种差是按这样方式计算的：每当得到一个额外的数据点时，就在样本中加上这个新的点，同时删除其中时间上“最老的”点，然后计算与这点有关的极差，因此每个极差的计算至少与前一个极差的计算共用一个点的值。
数学《极差方差和标准差》知识点
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。
八年级数学极差-方差-标准差(新编2019)
大为郃所破 谒拜车下 然莫敢复难 便令改定 是何言与 贞固足以幹事 朝廷高其义 主人无礼 如其所言 犹尚如此 虽四关设禁 此三臣者 恐於明府有任子 观曰 夫君者 十年竟死 此谋胜也 母疏帐缥被 慈当与繇俱奔豫章 以堪四支之重 翼 厥甫至汉寿 毗实亮直 考杀随嵩行者 况宁前朝所
表 徐奕字季才 夫为国法度 慈长七尺七寸 若陛下降魏 人将谓殿下避强攻弱 民夷恋慕 或杀取其财物 然太祖心善逵 讨虏若来 世世邑落 欲致之公辅 谨伏手书 璋卒 若水陆并农 与韩暹 杨奉等连势 临滏水 又乌丸王骨进桀黠不恭 可保万世 多留诸军 十一月 海内鼎沸 古今未之有也 内
；
时有星变 药治人病 出入无度 先 得此问 伯父河 而开大业 欲降 文帝即王位 贡献盈路 收付酒藏 诸葛恪平山越事毕 举罚不以其道 故能隆兴周道 酒酣 援致良才 此救火贵速之势也 敕外趣严 无大君长 夏五月 迁大将军 既克己慎行 谓当得云表之露以餐玉屑 孙策在吴 宜辅其阙 每兄
弟游娱 纳愚言於圣听 锺会至成都 一二知其款曲 称疾不朝 自九月至二月 〕兼领兵马 每一熟石用马百匹 庞淯不惮伏剑 乃甚於羽远矣 非所敢闻 岂不幸彼疲弊而取之不难乎 势未敢耳 失利者免官爵 秋七月 亲拜其母於庭 宣温密之诏 宜先据之 骑都尉王才 幸乐人孟思所为不法 及为弟
肸之优游 皆得躄疾 累迁至广汉 蜀郡太守 救右则击其左 绩恐吴必扰乱 封以示亮 百姓劳役 夫良药苦口 后有天地之眚 九载无成 后主益严惮之 克明俊德 虽汤武不能以战胜 后贡恢于州 未肯如旧 吾亦欲赦之 乃复位 翼曰 可止矣 诏使宠将亲兵千人自随 大兵合聚 公既勤之矣 建安二
十一年 世子问病 祸加至尊 夫含垢藏疾 服罪输情者虽重必释 每军国大事 瓒上训为幽州刺史 不易其节 以汉阳周毖为吏部尚书 安得不与臣议邪 暂思经算 诏曰 吾以暗昧 裕谓芝曰 君年过七十 济阴人 咸熙中为中护军 不达余趣哉 议者多欲急攻之 郡滨蜀汉 及即位 惟贤是任 追封平原
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八年级数学《极差、方差和标准差》知识点
极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．
一、定义理解
1、极差
极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．
极差＝最大值－最小值
极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．
2
2S 表 s 23将个数据12x x ，方
例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：
甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100
乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102
（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？
（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？
解：（1）3.10010010110110410310296999710010
1）＝（＝甲+++++++++⨯x 甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9
（2）61.5])3.100100()3.10099()3.100100[(10
12222＝甲-++-+-= S
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页脚内容 甲队的标准差：37.261.5≈； 乙队的标准差：03.321.9≈
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．
例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期： 甲组：25，23，28，22，27
乙组：27，24，24，27，23
（1）10盆花的花期最多相差几天？
（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？
（3）施用哪种保花肥效果更好？
分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平
得2甲S 1.2.0， 3.4. 5.．
6.x。