第6章 层流的解析解与近似解(1)

第6章 层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。

本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。

首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。

在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。

为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。

另外本章只限于雷诺数不大的流动。

6.1 粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。

应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。

例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。

后一问题与著名的达朗伯疑题有关。

达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。

在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。

这从反面说明了考虑粘性的必要性。

例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压，ρ——流体密度。

图6-1给出了上述理想流体的压力系数与实际测量值的比较。

图中的实验曲线对应于两个不同的Re 数。

图6-1 圆柱表面的压力分布，理想流体理论与实验测量数据的比较由图6-1可见，在圆柱的前缘（0οθ=和360ο）附近，理想流体的理论结果与实际符合较好。

但在后缘（180οθ=）附近两者差别则相当大。

对于理想流体，圆柱前后的流动是完全对称的，所以理论阻力为零。

但是实测的压力分布前后不对称，圆柱后部的实测压力系数低与前部对应点处的值，使圆柱受到向后作用的力，即压差阻力。

另外，实际流体也引起表面摩擦阻力。

理想流体理论不能计算出这些阻力，这是它与实际流动情况的重要差别。

图6-2真实流绕圆柱的流动由图6-1还可看出，理想流体结果与亚临界雷诺数流动的差别较大，与超临界雷诺数流动的差别较小。

实际上流体在圆柱体后部处于减速增压流动阶段，由于粘性耗散，使边界层内底层流体动能不断消耗，无力克服迎面高压。

这股流体将在该处与固体壁面脱离，这种现象称为边界层分离。

流体分离后，静压不易再有较大的回升，并在其后形成宽的尾迹，见图6-2。

在图6-1中实际流体在圆柱体后缘呈现出的低压区就是这样产生的。

分离点的位置以及尾迹流的宽度和特性取决于雷诺数Re 的数值。

亚临界雷诺数通常对应于层流流动，流体易于分离，而超临界雷诺数通常对应于湍流流动，流体有较强的承受逆压力梯度的能力，不易分离。

这就是图6-1中不同的雷诺数有不同的压力分布曲线的原因。

图 6-3 圆柱的阻力系数随雷诺数的变化图6-3表示无量纲阻力系数()2/D C F U R ρ∞=与雷诺数Re /UD ν=的关系曲线，其中F 为单位长度圆柱所受到的阻力，D 为圆柱直径。

由图可见，亚临界雷诺数时，阻力系数很大，随着雷诺数增加，阻力系数下降，在5Re 510=⨯附近，阻力系数急剧降低，这对应于由层流边界层转变为湍流边界层。

阻力系数的这种变化与图6-1中压力系数分布随雷诺数的变化是一致的。

例2 二维机翼绕流二维机翼是指沿展向无限长，且翼型不变的机翼。

圆柱绕流是非线性体的典型例子，机翼绕流则是流线型体的典型例子。

图6-4给出了儒科夫斯基翼型表面的压力分布。

这是在理想流体与实际测量有相同的升力条件下进行的比较。

由图可见，这里的理想流动的结果比圆柱绕流的情况好得多。

几乎沿翼型的整个表面理想流体的结果都与实验符合，只是在翼型的尾部的上表面有较大的差别，这也是沿流动升压使边界层分离的结果。

图6-5给出了儒科夫斯基翼型的升力系数和阻力系数随攻角的变化。

由图可见，攻角在10C -到10C 的范围内，理想流体导出的升力系数与实验符合得很好，这时没有发生严重的分离。

至于阻力的计算，则和圆柱绕流的情况一样，理想流体理论不能得出有用的结果。

图6-4儒科夫斯基翼型表面的压力分布在流体理想与实际测量有相同的升力条件下 图6-5儒科夫斯基翼型的升力系数 理论值与实测值的比较 和阻力系数随攻角的变化从上面两个例子可见，理想流体理论虽在某些方面（如圆柱体前缘附近的压力分布，翼型的压力分布和升力等）能得出与实际情况大体符合的结果，但不能用这种理论来预估阻力，它也不能处理不同雷诺数引起的差别以及分离等问题，而在许多工程技术问题中人们是很关心这些问题的。

因此需要研究有粘性的实际流体的运动和力的作用关系，即粘性流体的运动学和动力学。

6.2 粘性流体研究的特点（以不可压粘性流μ不变为例）6.2.1 粘性流体有旋（只要壁面相对流场运动就是有旋运动）理想流体运动一般为无旋运动，但也可作有旋运动。

根据亥姆霍兹定理，质量力有势的正压理想流体的涡量和环量具有守恒性，如果初始时刻或入口截面上运动是无旋的，则整个流场都是无旋的，反之则都有旋。

均匀流绕物体流动或物体在静止介质中运动时，从理想流动的观点来看，全流场都是无旋流动。

理想流体的有旋运动出现在质量力无势的斜压流体中，这类运动在气象学中会碰到。

与此相反，粘性流体运动除个别情况外，都是有旋运动，而且涡量和环量没有守恒性，在流动过程中，涡量不断生成，传输和衰减。

粘性运动的有旋性可通过实验观察到，也可从基本方程出发，从数学上得到证明。

下面从不可压缩流体的N-S 方程出发，用反证法来证明有旋性。

根据矢量分析和不可压缩流体的连续方程，可得()()∆=∇∇⋅-∇⨯∇⨯=-∇⨯Ωv v v()22v ⋅∇=∇-⨯Ωv v v因而不可压缩流体的N-S 方程D 1D F p t νρ=-∇+∆v v 可写成22p v F t νρ⎛⎫∂-⨯Ω=-∇+-∇⨯Ω ⎪∂⎝⎭vv (6.2.1) 如果流体作无旋运动，则0Ω=，上式变为22p v F t ρ⎛⎫∂=-∇+ ⎪∂⎝⎭v(6.2.2) 在无旋流场中必有速度势ϕ，当质量力为重力时，则速度和质量力可表为,F gz ϕ=∇=-∇v则上式可写成202v p gz t ϕρ⎛⎫∂∇+++= ⎪∂⎝⎭(6.2.3) 式中 g ——单位质量的重力，z ——与重力平行的轴对上式沿任一方向积分得伯努利方程2()2v pgz C t t ϕρ∂+++=∂ (6.2.4) 式(6.2.2)和(6.2.3)与不可压理想流动的方程完全相同。

由此可见，粘性流体作无旋运动时，其微分形式和积分形式的方程都与理想流动相同，如果不考虑边界条件，则两者的解完全相同，但边界条件必须满足。

理想流动的边界条件只对固壁上的法向速度有规定，而粘性流动除规定法向速度外，还要求切向无滑动，比理想流动多一个边界条件。

理想流动Euler 方程或伯努利方程的解是唯一的，不满足壁面无滑条件，故粘性流体作无旋运动与边界上的无滑条件相矛盾，是不可能的。

另外，从两种流动的微分方程看，Euler 方程是一阶方程，只要求一个边界条件就可定解，而N-S 方程是二阶方程，要有两个边界条件。

当粘性流体作无旋运动时，二阶项消失，降为一阶方程，无滑条件成为多余的约束，根据微分方程定解理论就得不到解。

由此可知，除个别情况外，粘性流体运动总是有旋运动。

6.2.2 旋涡的扩散性（对应无粘，不可压，质量有势）质量力有势的不可压缩粘性流体的涡量方程（涡旋传输方程） 在可压缩条件下，要加正压条件。

D D tν-⋅∇=∇v ΩΩΩ (6.2.5) 以r 和θ分别表示柱坐标的径向和周向坐标，各速度分量与坐标和时间有关0t = 0r θΩ=Ω= z Ω=Ω00()()0r t z t v v ==== 000()()2t t v v rθπ==Γ==0t > 0r v = 0t v = (,)(,)v v r t v r t θθ==0z ∂=∂ 0θ∂=∂ 0r Ω= z Ω=Ω=Ω 则0⋅∇=Ωv 0r z v v v r r zθθ∂∂∂⋅∇=++=∂∂∂ΩΩΩv Ω故涡量方程为：()()tν∂+⋅∇=⋅∇+∇∂Ωv ΩΩv Ω (6.2.6) 在极坐标系中，本流动的涡量方程可写为：r t r r r ν∂Ω∂∂Ω⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭(6.2.7) 作相似变换：()F ηνΓΩ=(6.2.8)其中 2r ην=可得：002222()()rr F F r t tηηνννΓΓ∂Ω''==∂ 202222()r r r r F r r r r r r t ηνΓ∂∂Ω∂Ω∂Ω∂Ω∂⎡⎤⎛⎫'=+=+ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦300332242()()r r F F r t tηηννΓΓ∂Ω'''=++∂ 300332244()()r rF F t tηηννΓΓ'''=+ (6.2.9) 222202()()()()r r t F F F F t t t t tηηηηννννν-⎡⎤Γ∂ΩΓΓ''=--=-+⎢⎥∂⎣⎦(6.2.10) 把(6.2.9)和(6.2.10)代入(6.2.7)可得[]()()4()()0F F F F ηηηηηη''''+++= (6.2.11)()d 4d 04F F F F ηη'++='+ (6.2.12)得： ()()14F F c ηηη'+=⎡⎤⎣⎦ (6.2.13)0η= ()F η与()F η'有限制，则有()()40F F ηη'+=2ln ln ln 4F c e η=-24422r tF c ec eην--== (6.2.14)把(6.2.14)代入(6.2.8)24r tc e tνν-Ω=(6.2.15)其中 20c c =Γ，为积分常数。

322/4/40d 2(1)2rr t r t c r e c e t ννν--=-⎰ (6.2.16) 将涡量分量用速度表示，并应用斯托克斯定理，将面积分变为线积分d d LAA ⋅=Ω⎰⎰⎰v l式中A 为封闭曲线围成的面积，或流管的任意截面积；d l 为封闭曲线微元线段。