微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
清华数学实验第三章符号计算与微积分
S2 k 2 1 22 n2
k n1
14/20
taylor(f,n,x) —n-1次麦克劳林多项式展开
taylor(f,n,x,a) —a点的n-1次泰勒多项式展开.
例3.21求椭圆积分近似表达式
syms t e2 x f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)^2) int(g,0,pi/2)
19/20
思考题与练习题
1. 用syms x 定义了符号变量,表达式 Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同 2.定积分符号计算与数值计算有何不同？ 3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？ 4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程 5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个 平面曲线的方程是什么?
定积分数值计算命令 quad(f, a, b) t 例3.14 计算积分上限函数值 F (t ) f=inline('x.^3./(exp(x)-1)'); q=[ ]; for k=1:5 q=[q,quad(f,eps,k)]; end q t F(t) 1 0.2248 2 1.1764 3 2.5522
在符号计算中, 符号表达式是主要操作对象. 符号表达式——符号变量、运算符、函数、数字组成 在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量. 符号变量创建方法 syms 符号变量1 符号变量2 · · · · · ·
2/20
例3.2 用符号表达式定义 f(x)= e-0.2xsin0.5x 并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,[0,8*pi])
0
特殊非线性微分方程的解析解
微分方程初值函数能直接求解的方程是一阶显式 微分方程组，若给出的方程不是这类函数，则需 要通过本书介绍的方法选择一组状态变量，将原 方程变换成一阶显式微分方程组，以便用给定的 求解函数直接求解。
若某微分方程模型求解速度极慢，则有可能为刚 性方程，需要调用 ode15s() 等函数来求解，此外， 其他类型的微分方程，如微分代数方程、隐式微 分方程与延迟微分方程等，也可以由 MATLAB 语 言提供的现成函数直接求解。 二阶微分方程的边值问题可以由本书提供的三种 算法求解。
【例7-30】
【例7-31】
【例7-32】
本章内容简介
本章介绍了基于 MATLAB 符号运算工具箱 dsolve() 函数的线性微分方程的解析解方法，并介绍基于 该函数的特殊非线性微分方程的解析解。
对一般非线性微分方程来说，解析解是不 存在的，只能依赖数值解的方法对其进行 研究。 引入了数值解的概念，并以最简单的一阶 微分方程的 Euler 算法为例，介绍了一般数 值解法的思路并介绍了变步长求解的概念， 还介绍了 MATLAB 下的微分方程数值求解 函数 ode45( )，通过例子演示了该函数的使 用方法。
7.2.3.2 基于 MATLAB 的微分方程
求解函数
【例7-7】
【例7-8】
7.2.3.3 MATLAB 下带有附加参数的 微分方程求解
【例7-9】
7.2.4 微分方程转换
7.2.4.1 单个高阶常微分方程处理方法
【例7-10】
7.2.4.2 高阶常微分方程组的变换方法
仿真 (simu) 与模型连接 (link)
7.6.2 Simulink 相关模块
odegroup 命令可以打开自定义模块集
生物建模与微分方程模型的建立与求解
生物建模与微分方程模型的建立与求解生物建模是生物学中的一个重要分支，其主要目的是利用数学方法、计算机技术等工具，对生物系统中的复杂现象进行建模分析。
微分方程模型是生物建模中的一种重要方法，它可以描述许多生物现象的动态过程，包括生长、分化、代谢等。
一、微分方程模型微分方程是一个方程，它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
微分方程模型是一种常见的数学模型，在生物学等学科中得到广泛应用。
微分方程模型分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程通常涉及一个独立变量和一个未知函数及其导数，而偏微分方程通常涉及多个独立变量和未知函数及其偏导数。
二、微分方程模型的建立微分方程模型的建立需要依据生物现象的实验数据和理论知识，通过假设和推论来建立数学模型。
建模的过程需要掌握一定的数学知识和生物学知识。
在建模的过程中，需要首先明确模型的目的和研究对象。
然后，根据实验数据和理论知识，选择合适的变量和参数，建立微分方程模型。
为了确保模型的可靠性，需要进行模型检验和参数估计。
检验模型的好坏，需要将模型的预测结果与实验数据进行比较，并计算模型的误差。
参数估计是模拟模型的过程中，通过对模型参数的估计，计算出模型的输出值，并将其与实验数据进行比较，以确定参数的真实值，从而优化模型的结果。
三、微分方程模型的求解微分方程模型求解是指求解微分方程的解析表达式或数值解。
解析解通常只能得到某些简单形式的微分方程的解，而对于复杂的微分方程，只能通过数值求解的方法得到其近似解。
微分方程的数值解求解方法主要包括常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程的数值解求解方法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、隐式欧拉法等。
欧拉法就是根据微分方程的定义，用导数近似替代微分符号，将其转化为差分方程，然后通过递归公式计算出下一个时间步的状态。
偏微分方程的数值解求解方法包括有限元法、有限差分法、谱方法等。
有限差分法将偏微分方程转化为差分方程，然后通过数值方法求解，得到数值解。
matlab求解微分方程解析解
matlab求解微分方程解析解在数学和工程学科中，微分方程是一种重要的数学工具，它涉及到很多实际问题的模型和解决方法。
而Matlab作为一款强大的数学软件，可以方便地求解微分方程的解析解。
Matlab中求解微分方程的一种常见方法是使用符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox），它可以处理符号表达式和符号函数，包括微积分、代数、矩阵、符号等数学操作。
首先，我们需要定义微分方程的符号变量和初值条件。
例如，我们假设要求解的微分方程为dy/dx = x^2，初值条件为y(0)=1，则可以使用如下代码：syms x yode = diff(y,x) == x^2;cond = y(0) == 1;然后，我们可以将微分方程和初值条件作为参数传递给dsolve函数来求解微分方程的解析解。
例如：sol = dsolve(ode, cond);其中，sol为求解得到的符号表达式，可以使用vpa函数将其转换为数值解。
例如：sol_num = vpa(sol, 5);这样，我们就得到了微分方程的解析解，并将其转换为5位有效数字的数值解。
除了使用符号计算工具箱，Matlab还提供了许多数值方法来求解微分方程的数值解。
例如，可以使用ode45函数来求解微分方程的数值解。
例如，求解dy/dx = x^2，y(0)=1的数值解可以使用如下代码：fun = @(x,y) x^2;[t,y] = ode45(fun, [0,1], 1);其中，fun为微分方程的函数句柄，[0,1]为求解区间，1为初值条件。
t和y分别为求解得到的时间序列和解向量。
总之，Matlab提供了多种方法来求解微分方程的解析解和数值解，可以根据实际问题的需要选择不同的方法来求解。
强非线性微分方程符号分析法的计算机实现及有效性研究
收稿 日期 ： ０ ６ ２ ２ ２ ０ 一Ｏ — ２
作 者简介 ： 宁送云（ ９ ３ ， ， 南邵 东人 ， 东药学院基础学院助教． １７ 一）女 湖 广
维普资讯
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４ ６
ｚ ｊ一
．
广 东教 育 学 院学报
ｚ ： 目＝ ＝∑ （ ｎ
ｋ Ｅ ∈ ∈ Ｅ，
１ 等效小参量法符号迭代原理
设 非线性 高 阶系统 ：
ｇ（） ｌ声 ＋ｇ （ ） （ ＝ｇ （ ） ， ２ 户 厂 ） ３户 （） １
式中 ｐ ，一 ， （ 为非线性函数・ 一 ｒ 厂 ） 假定
１
一
音 （ ＋ｅＪ ），
（） ２
式（） １为单变量常微分方程 ， 为实数． 利用文献［—３可 以导 出主振荡为单谐波的二阶近似方程． ２ ］ 设
中图分类号 ： Ｍ ３ 文献标识码 ： 文章编号 ：０ ７ ８ ５ （ ０ ６ Ｏ —０ ４ 一Ｏ Ｔ １２ Ａ １０ － ７４ ２０ ）３ ０ ５ ４
引言
等效小参量法 是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求 高阶非线性系统近似解 的一种比较有效的新 卜 方法， 这种方法不仅适用 于弱非线性系统 ， 而且适用于强非线性 系统 ， 在系统失真度 ＨＤ－Ｏ ３时其 近似解 ￣ ． 仍然能较好地反映系统特性． 基于等效小参量法原理的符号迭代法 有便于用计算机编程求解析近似解， 这
（ ８ ）
实际上 ， 对于不 同的 ， 的表达式可以直接用统一的方法来确定嘲． 由式（ ） ７ 得
一
ｍ
一
∑
Ｎｌ－ ｄｏａ０ 一九 目 ｏ ｉ ， ／ ｘ ， Ｉ ｌ
，
（ Ｏ １）
将式 （） （） ３ 、７代人（）并令等式两边的 ｅ、 、 ∑ １， 。ｅ ｅ 的系数分别相等 ， 可得到一组二 阶近似方程 ， 然后利用 （） ４、
微分方程定性与稳定性分析解析
微分方程定性与稳定性分析解析微分方程是描述自然界中变化规律的重要数学工具，在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程的定性与稳定性分析是研究微分方程解行为的一种方法，通过分析解的性质和稳定性来了解方程的整体行为。
本文将介绍微分方程定性与稳定性分析的基本概念和方法，并通过具体的例子来阐述其应用。
一、微分方程定性分析微分方程定性分析是指通过对微分方程解的性质进行分析，得到关于解的定性描述。
在定性分析中，我们主要关注解的长期行为和整体趋势，而不是具体的解析形式。
1. 平衡解与稳定性在微分方程中，平衡解是指满足方程右端为零的解。
对于一阶微分方程dy/dx = f(x)，平衡解即为使得f(x) = 0的x值。
平衡解的稳定性是指当初始条件接近平衡解时，解的行为是否趋于平衡解。
2. 等式右端的符号分析对于微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分析f(x)的符号来推断解的行为。
当f(x) > 0时，解呈现上升趋势；当f(x) < 0时，解呈现下降趋势；当f(x) = 0时，解为平衡解。
3. 相图分析相图是描述微分方程解的图形，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
在相图中，曲线表示解的轨迹，平衡解表示曲线与纵轴的交点。
通过绘制相图，我们可以直观地了解解的行为和稳定性。
二、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析是指通过分析微分方程解的稳定性来了解方程的整体行为。
稳定性分析可以分为局部稳定性和全局稳定性两个方面。
1. 局部稳定性局部稳定性是指当初始条件接近某个平衡解时，解的行为是否趋于该平衡解。
局部稳定性可以通过线性化的方法来分析，即将微分方程在平衡解附近进行泰勒展开，并分析展开式的特征根。
2. 全局稳定性全局稳定性是指当初始条件在整个定义域内变化时，解的行为是否趋于某个平衡解。
全局稳定性的分析较为复杂，通常需要借助于Lyapunov函数或者Poincaré-Bendixson定理等方法。
三、定性与稳定性分析的应用微分方程的定性与稳定性分析在各个学科领域中都有广泛的应用。
第八章 微分方程1
考虑引例1 考虑引例1，对于微分方程 dy = 2x dx 函数y=x2+C是其通解，y=x2+1是其满足初始 是其通解， 函数 是其通解 是其满足初始 条件x 的特解。 条件 0=1，y(x0)=2的特解。 ， 的特解
3
微分方程的(部分 积 微分方程的 部分)积 部分 分曲线(0≤C≤2)见右 分曲线 见右 图，其中红色曲线 为满足初始条件的 特解曲线。 特解曲线。
例8.2 求微分方程 x2 y″+xy′+(x2 -1/4)y=0 的通解 s=dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-1/4)*y=0','x') s = (C1*cos(x)+C2*sin(x))/x^(1/2) 注意 (1)若不加自变量 ，则将把 作为常数求解。 若不加自变量x，则将把x作为常数求解 作为常数求解。 若不加自变量 (2)所得结果可以用命令 所得结果可以用命令pretty进行简化。 进行简化。 所得结果可以用命令 进行简化 例 pretty(s) C1 cos(x) + C2 sin(x) --------------------1/2 x
应满足条件x=1时y=2，因此可解得 又y(x)应满足条件 应满足条件 时 ，因此可解得C=1 故所求曲线方程为y=x2+1。 故所求曲线方程为 。
列车在平直路线上以20米 秒的速度行驶 秒的速度行驶， 例2 列车在平直路线上以 米/秒的速度行驶， 当制动时，列车获得加速度-0.4米/秒2，问开始 当制动时，列车获得加速度 米秒 制动后多长时间能停住， 制动后多长时间能停住，以及列车在这段时间 行驶了多少路程？ 行驶了多少路程？ 设列车开始制动后t秒内行驶了 解:设列车开始制动后 秒内行驶了 米，则 设列车开始制动后 秒内行驶了s米
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微分方程解析解及解析近似解的符号计算研究
【摘要】：自然界中的很多现象都可用非线性微分方程来描述.非线性
微分方程解析解的研究对洞察事物内部的结构,剖析事物之间的关系,
并应用于解释各种物理现象都起到至关重要的作用.高性能计算机的
诞生,极大地推动了非线性微分方程领域的符号计算研究,涌现出了许
多构造非线性微分方程解析解的方法和算法.本文以非线性微分方程
为研究对象,借助于非线性代数系统Maple,研究了多种构造非线性微
分方程精确解及解析近似解的方法和算法.主要工作如下:第一部分研
究构造非线性演化方程精确解的方法和算法,具体包括两方面的内容:
对已有的构造非线性演化方程精确行波解的几种代数方法,如Riccati
方程方法、耦合的Riccati方程方法、假设法、形变映射法等进行了
推广和整合,提出了“椭圆方程方法”.并结合吴消元法的思想和方法,在
计算机代数系统Maple上编写了推导非线性演化方程精确行波解的
软件包RAEEM,该软件包可自动推导出输入方程一系列可能的精确
行波解,其中包括多项式解、有理函数解、指数函数解、三角函数解、
双曲函数解及Jacobi椭圆函数解、Weierstrass椭圆函数解等.Bticldund
变换研究对非线性微分方程的可积性及精确解的求解都有十分重要
的意义.特别是,一旦从B(?)cldund变换推导出解的非线性叠加公式,则
仅通过代数运算就可构造微分方程的新解.我们借鉴已有的构造
B(?)cklund变换的方法,提出了构造1+1维非线性演化方程一类自
B(?)cklund变换的机械化算法,并结合吴文俊数学机械化思想,在计算
机代数系统Maple上实现了该算法,其中的软件包AutoBT不仅可自动
推导出输入方程的可能的特定类型的自B(?)cklund变换及相应的参
数约束条件,还可自动推导出解的非线性叠加公式.第二部分研究非线
性微分系统解析近似解的求解方法和算法.同伦分析方法是近几年发
展起来的构造非线性系统解析近似解十分有效的方法.与摄动方法不
同,同伦分析方法的有效性与所考虑的非线性问题是否含有小参数无
关.此外,不同于所有其它传统的摄动方法和非摄动方法,如人工小参
数法,δ展开方法和Adomian分解方法等,同伦分析方法本身提供了一
种方便的途径来控制和调节解级数的收敛速度和收敛区域.同伦分析
方法已被广泛应用于求解应用数学和力学中的许多问题.复合介质在
物理学和工程领域随处可见,因此,复合介质的实验与理论研究受到了
广泛的重视.摄动方法是求解弱非线性复合介质问题的有效工具.求解
强非线性复合介质问题仍然非常困难,同伦分析方法的提出为强非线
性问题的求解提供了有效的工具.文[85]和[86]分别应用同伦分析方法
构造了强非线性复合介质问题的解析近似解,然而,为了计算简单,他
们首先应用模式展开法将原系统简化为常微分系统,且只截取到第一
模式项,这使所得的常微分系统与原系统之间存在较大的误差.为了提
高解的精度,本文选取线性算子为线性偏微分方程,直接应用同伦分析
方法构造原系统的解析近似解.所获结果明显优于已有的摄动解及同
伦分析解.另外,本文也将同伦分析方法推广应用到分数阶微分方程情
形.【关键词】：非线性微分方程符号计算算法解析解解析近似解贝克
隆变换非线性叠加公式
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2008
【分类号】：O175.29
【目录】：摘要6-8Abstract8-12第一章绪论12-151.1研究背景12-141.2
本文的选题和主要工作14-15第二章构造非线性演化方程精确解的一
般原理15-302.1Riccati方程方法16-202.2耦合的Riccati方程方法
20-232.3三耦合的Riccati方程方法23-282.4其它方法28-30第三章椭
圆方程方法和软件包RAEEM30-593.1椭圆方程方法的求解步骤
31-323.2RAEEM的接口及使用32-353.3RAEEM的实现步骤及关键策
略35-393.4RAEEM软件包的应用39-453.5一个非线性演化方程精确
解的符号计算45-573.6本章小结57-59第四章非线性演化方程一类自
B(?)cklund变换的自动推演59-814.1构造非线性演化方程自
B(?)cklund变换的变分方法60-684.2构造B(?)cklund变换的线性组合
算法68-764.3线性组合算法在Maple上的实现76-784.4软件包
AutoBT的应用78-804.5本章小结80-81第五章同伦分析方法81-955.1
同伦分析方法的基本原理82-845.2分数微积分84-865.3分数阶非线
性微分方程的同伦分析解86-95第六章静电场边值问题的解析近似解
95-1106.1方程和边界条件95-966.2研究背景96-986.3构造静电场边
值问题同伦分析解的步骤98-1036.4解的分析与比较103-1086.5有效
电导率108-1096.6本章小结109-110第七章总结与展望110-1127.1总
结110-1117.2展望111-112附录A椭圆方程及其解112-115附录B非
线性代数方程组的吴文俊消元方法115-120参考文献120-129致谢
129-130在读期间完成的论文目录130参加的科研课题130
本论文
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