微分中值定理77931
微分中值定理【高等数学PPT课件】
可导，且
证：设辅助函数
显然 在 因此至少存在
上满足罗尔定理条件, 使得
推广： 存在
使
例3. 若
可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点.
的零点. 的零点.
(2) 提示: 欲证:
使
只要证
亦即
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又 经验: 欲证
故所证等式在定义域
上成立.
时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有
即 因为
故 推论2: 若函数f 和g 均在区间上可导,且
证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数
显然 ,
在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一点
思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
微分中值定理
f ( x )在[0， 1],[1,2]和[2， 上均满足Rolle定理的条件， 3]
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续， (2) 在开区间 (a, b )内可导， 则在 (a, b )内至少存在一点ξ， 使 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . b−a
在[ − 1,3]上连续 ,
在( −1,3)内可导,
且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
∵ f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), 则 f ′(ξ ) = 0 .
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
∵ f ′( x ) = 1 1− x
2
+ (−
1 1− x
2
) = 0.
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ ( −1, 1）
π π 又 ∵ f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π π x ∈ ( −1,1） . 即 C = . ∴ arcsin x + arccos x = 2 2
例4 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)( x − 3), 判断 f ′( x ) = 0 有几个实根. 证
∵ f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0
则 ∃ξ1 ∈ (0，，使f ′(ξ1 ) = 0; 1) ∃ξ 2 ∈ (1， ，使f ′(ξ 2 ) = 0; 2) ∃ξ 3 ∈ (2， ，使f ′(ξ 3 ) = 0, 3) 即f ′( x ) = 0至少有 3个实根. 又f ′( x )是三次多项式，所以至多有三个零点. ∴ f ′( x ) = 0有 3个实根.
微分中值定理(2024版)
由 的任意性知, 在(a,b)上为常数 . 推论2 设x (a,b),有f (x) g(x),则f (x) g(x) C,x (a,b)
C为确定的常数
例10 证明等式 证: 设
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
(常数) 上成立.
例
用微分法证 sin2x cos2 x 1
题型五:用柯西中值定理证明不等式
则 (a,b),使得 F() 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C ,在该点处的切 线平行于弦 AB.
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
证 设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件,
在(0,1)内至少存在一点, 有
例5 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b), 证明 (a,b),使f ()-f()=0
例6 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于
1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3.
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f()
高等数学《微分中值定理》课件
中值定理条件,
即
因为
故
因此应有
三、柯西(Cauchy)中值定理
分析:
及
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
至少存在一点
使
满足 :
问题转化为证
构造辅助函数
证: 作辅助函数
且
使
即
由罗尔定理知, 至少存在一点
他特别爱好数论,
他提出
的费马大定理:
历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德
鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .
引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.
拉格朗日 (1736 – 1813)
法国数学家.
他在方程论, 解析函数论,
及数论方面都作出了重要的贡献,
近百
余年来, 数学中的许多成就都可直接或
一、罗尔( Rolle )定理
且
存在
证: 设
则
证毕
罗尔（ Rolle ）定理
满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
使
证:
故在[ a , b ]上取得最大值
M 和最小值 m .
若 M = m , 则
因此
在( a , b ) 内至少存在一点
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
费马引理
《微分中值定理》课件
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
微分中值定理
证 x1, x2 [a,b]，且 x1 x2
则 y f (x)在 x1, x2 上连续，在( x1, x2 )内可导，
由拉格朗日中值定理的条件，
至少存在一个 ( x1, x2 )
使 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( )( x1 x2 ) f ( ) 0. f (x1) f (x2) 0
件 f (a) f (b).
F(x) 0
结 论
f ( ) 0
f ( ) f (b) f (a)
ba
f ( ) f (b) f (a) . F( ) F(b) F(a)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
(a＜＜b)
21
2.三个中值定理之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange F(x) x Cauchy
(a
x
b)
则曲线上点(X，Y )
(F(a), f (a))A o F(a)
F ( )
D
X F (b)
处的切线的斜率为：dY f ( x) ， dX F ( x)
而弦 AB的斜率为 f (b) f (a) ，假定点C 对应于 F(b) F(a)
参数x ， 那么点C 处的切线平行于弦AB，
则有 f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x0, 使 f (x1) 0.
f (x) 在 x0, x1之间满足罗尔定理的条件
则至少存在一个 （在x0, x1 之间）使得 f () 0.
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
【4-1-2】
因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
【4-1-10】
(a, b), 使得F ( ) 0,
f (b) f (a ) 而F ( x) f ( x) ba
f (b) f (a) f ( ) ba
3、定理中应注意的问题 （1）定理中的两个条件缺一不可 （2）当f (a) f (b)时,即为罗尔定理, 是罗尔定理的推广 【4-1-11】
2、证明：作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) ( x a) ba
f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导
F ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有
F (a) f (a), F (b) f (a) F (a) F (b)
第四章
§4.1
中值定理与导数的应用
微分中值定理
一、费马定理 1、函数极值
若f ( x)在O ( x0 )有定义, 若对x O ( x0 )
有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则称f ( x0 )是f ( x)的
一个极小（大）值, 此时称x0为极小（大）值点
则f ( x)在(a, b)内至多有一ห้องสมุดไป่ตู้驻点
证明： 用反证法证明
设f ( x)在(a, b)内有两个驻点x1, x2 , 且x1 x2则有
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
而f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上可导
( x1 , x2 ) (a, b), 使得f ( ) 0
f ( x) x 在x 0处有极小值, 但f ( x)在x 0处不可导
③ f ( x0 ) 0 f ( x)在x x0处有平行于x轴的切线
( k切线 f ( x0 ) 0)
④ 定理仅是必要而不充分的条件，如
f ( x) x3在x 0处有f (0) 0, 但x 0不是极值点,
极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点 【4-1-1】
2、费马定理（可导极值点必要条件）
（1）定理 （2）证明
若f ( x)在x0可导, 且x0为极值点, 则必有f ( x0 ) 0
设x0为f ( x)的极大值点(极小值点类似处理), 则
0, 使得当x O ( x0 )时有f ( x) f ( x0 )
因为f ( x) x3在(, )严格单调递增
⑤ 若有f ( x0 ) 0, 则x0一定不是极值点 【4-1-4】
二、罗尔(Rolle)中值定理
1、定理 设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f (a) f (b),
则 (a, b), 使得f ( ) 0
而f ( x)在(a, b)内可导, 可导的最值点肯定是极值点
依费马定理知 : (a, b), 使得f ( ) 0
3、定理中应注意的问题 ①定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定 理的条件，也有定理的结论。如
f ( x) sin x在[1, 2]上
【4-1-6】
②几何意义 满足条件的函数曲线y f ( x)在(a, b)中至少
2、证明
f ( x)在[a, b]上连续
f ( x)在[a, b]上存在最大值M 和最小值m
(1)若M m, 则f ( x) C(常数),
f ( x) 0
即[a, b]上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立
【4-1-5】
(2)若M m,
f (a) f (b),
M 和m至少有一个是在(a, b)内某点 处取得,
F ( x)在[0, ]连续可导, 且有F (0) F ( ) 0
(0, ), F ( ) sin cos 0
所以方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
【4-1-8】
例2
设f ( x)在(a, b)内二阶可导, 若f ( x) 0, x (a, b),
有一条平行于x轴的切线
③定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立
Y
Y
Y
O
a
b
O X
a
x0
b
X
O
a
b
X
b点间断
x0不可导
f (a) f (b)
【4-1-7】
4、应用举例 例1 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
证明： 令F ( x) x sin x, x [0, ], 则有
（3）几何意义
满足条件的函数在(a, b)内必至少存在一条平行于两端点连线的切线
( A(a, f (a)), B(b, f (b)), k AB
Y
f (b) f (a) ) ba
B (b, f (b))
A (a, f (a)) O
a
b
X
【4-1-12】
（4）变形形式
①
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
f ( x0 ) 0
【4-1-3】
（3）定理中应注意的问题 ① 称f ( x0 ) 0的点x0为f ( x)的驻点或稳定点 ② 定理条件中f ( x)在x0可导不能省略, 如
这与已知的f ( x) 0, x (a, b)矛盾
所以f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
【4-1-9】
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
1、定理
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 则
f (b) f (a) (a, b), 使得f ( ) ba