高中数学总复习专题解析几何与三角函数
解析几何与三角函数
（时间：45分钟，分值：70分）
1．上图的曲线是以原点为图心，1为半径的圆的一部份，则这一曲线的方程是 A ((0x y +⋅+= B ((0x y -⋅-= C ((0x y +⋅-= D
((0x y -
⋅+=
2．已知35
cos(),sin ,(0,),(,0)51322
ππ
αββαβ-==-∈∈-，则sin α的值是
（ ） A
3365 B 6365 C 3365- D 63
65
- 3．以双曲线的任一过右焦点的弦AB 为直径的圆与双曲线的右准线的位置关系是( )A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．以上三种情况都有可能
4．已知(3,2),(4,0),A B P -是椭圆22
1259
x y +=上一点，则||||PA PB +的最大值为
（ ）A 。
10 B 。
10 C 。
105+ D 。
10+5．若1sin()26
y x π=--的图象按向量a 平移得到1sin()2y x =-的图象，则向量a 可
以是（ ）A ．(,0)3π- B ．(,0)3π C ．(,0)6π- D ．(,0)6π
6.已知
ABC
∆的顶点
(0,3),(4,0)
A B ，顶点C 在直线
650
x y -=上，且
11AB AC ⋅=，则点C 的坐标是A ．(5,6)- B ．(5,6) C ．(5,6)- D ．(6,5)
7．设n 是直线l 的法向量，A ，B 为两个定点，,,A l B l P ∈∉为一动点，若点P 满足：
||
||||
PA n PB n ⋅=，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线
8．若函数
()3sin()f x x ωϕ=+对任意x 恒有()()3f x f x π+=-,则()6
f π
=
A ．3或0
B ．3-或3
C ．0
D ．3-或0
9．函数22()cos ()sin ()12424x x f x ππ=-++-是（ ）
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为2π的偶函数
C ．周期为π的奇函数
D ．周期为π的偶函数
10．若双曲线2
219
x y -=的左右焦点为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，1||5PF =，那
么2
||PF =( ) A. 11 B. 8 C. 11或1 D.8或2
11．直线10y kx --=与曲线22
15x y m
+=(0m >)恒有公共点,则m 的取值范围是
12．在直角坐标系中两定点12(5,0),(5,0)F F -，动点P 满足:12||12PF PF +=，则动
点P 的轨迹方程是（ ）
13．椭圆22194
x y +=的焦点为12,F F ，点00(,)P x y 为其上的动点，若12F PF ∠为锐角，
则点P 的横坐标0x 的取值范围是（ ）
14．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点作倾角为
4
π
的直线交抛物线于A ，B 两点，A 点
在x 轴的上方，则||:||AF BF =（ ）
2005年高考数学复习客观题限时训练（二）
《解析几何与三角函数》答案及解析
11．
1m ≥ 12．2236x y +=
13
03x <≤
或03x -≤< 14
．3+ 答案提示：
(1)(0x +
=表示单位圆的左半部分，可排除A ，C ，而
(0y -=表示单位圆的上半部分，可排除B
(2)sin sin[()]α
αββ=-+展开可得。
(3)设A ，B 两点到右准线的距离分别是
12
,d d ，则圆心到准线的距离
12||||22d d AF BF r
d r
e e
++=
==<（中位线性质及双曲线的第二定义） (4)点
B
为左焦点，设右焦点为
2
F ，则由椭圆的定义可得
222||||2||||10||||10||PA PB a PA PF PA PF AF +=+-=+-≤+
(5)设
()f x =1sin()2x -,则11sin()sin[()]()26233y x x f x πππ=--=-+=+
是由
()f x =1sin()2x -向左平移
3
π
个单位而得到的，或各取这两个函数图象的起点坐
标(,0),(0,0)3
π
-
的关系来确定平移单位，因为函数图象的变换表现为对应点的变换。
(6)把各点坐标代入650x y
-=检验可得。
(7)
||
|||cos ,|||
PA n PA PA n n ⋅=⋅〈〉表示P 到直线l 的距离，符合抛物线的定义.
(8)条件
()()3f x f x π+=-说明函数()f x 的图象的对称轴是6
x π
=，而()f x 的图象的对称轴经过图象的最高点或最低点。
(9)化简
1cos()1cos()
2424()1sin 22
x x f
x x ππ
+--+=
+-= (10)若点P 在右支上，则1
||35PF a c ≥+=+>，故点P 在左支上，由双曲线的定
义2
12||||6||11PF PF PF -=⇒=
(11)直线10y kx --=过定点(0,1)，而曲线22
15x y m
+=(0m >)是封闭的（椭
圆或圆），当且仅当定点在曲线上或在曲线内部时，它们有公共点，故1m ≥
(12)设(,)P x y ，则12(5,),(5,)PF x y PF x y =---=-- 故12||(12PF PF +=
-=（注意与椭圆定义的区别）
(13)由焦半径公式1020||,||PF a ex PF a ex =+=-及锐角条件可得：
22222120||||41PF PF c e x +>⇒>
（14）设直线方程为2p y
x =-
代入2
2(0)y px p =>得221304
x px p -+=
112212(,),(,)()A x y B x y x x >，12x x ==
由抛物线定义12||:||():()(2:(222
p p
AF BF x x =+
+=+-。
高中数学总复习之基础知识要点三角函数
高考复习科目：数学 高中数学总复习（四）复习内容：高中数学第四章-三角函数 复习范围：第四章I. 基础知识要点1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|ββ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.4. 三角函数的公式： （一）基本关系公式组二 公式组三SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域xx k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ xx x x xx x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-公式组四 公式组五 公式组六xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ xx x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ xx x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2tan 1tan 22tan -=βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2cos 12sinαα-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2cos 12cos αα+±=βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 公式组三 公式组四 公式组五2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan1cos 22ααα+-= 2tan 12tan 2tan 2ααα-=42675cos 15sin -== ,42615cos 75sin +== ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== . 公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =xx sin cos 1+tan 2x =sec 2x tan x ·cot x =11+cot 2x =csc 2x=1()()[]()()[]()()[]()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=cos cos 21sin sin cos cos 21cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21cos sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβα-+=+2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=ααπsin )21cos(-=+ααπcos )21sin(=+ααπcot )21tan(-=+ααπsin )21cos(=-ααπcos )21sin(=-ααπcot )21tan(=-注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②x y sin =与x y cos =的周期是π.③)sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .2tan xy =的周期为2π（πωπ2=⇒=T T ，如图，翻折无效）.④)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=−−−→−=原点对称⑤当αtan ·,1tan =β)(2Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-ππβα.⑥x y cos =与⎪⎭⎫⎝⎛++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(ϕω+=x y 是偶函数，则 )cos()21sin()(x k x x y ωππωϕω±=++=+=.⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31tan(π+=x y 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f .（x ∉0的定义域，则无此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T）； x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（π=T ）； 212cos +=x y 的周期为π（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩abb a b a y =+++=+=ϕϕαβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. II. 竞赛知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：⑴反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，[]1,1-∈x （一定要注明定义域，若()+∞∞-∈,x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数）注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2arcsin ππx .⑵反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-，[]1,1-∈x .注：①x x =)cos(arccos ，[]1,1-∈x ，[]π,0arccos ∈x .②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数.⑶反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x y arctan =是奇函数，x x arctan )arctan(-=-，∈x ),(+∞-∞.注：x x =)tan(arctan ，∈x ),(+∞-∞.⑷反余切函数：x arc y cot =，定义域),(+∞-∞，值域（2,2ππ-），x arc y cot =是非奇非偶.ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-，∈x ),(+∞-∞.注：①x x arc =)cot cot(，∈x ),(+∞-∞.②x y arcsin =与)1arcsin(x y -=互为奇函数，x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ.⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集a＞1 ∅ a ＞1 ∅ a=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π a＜1 (){}Z k a k x x k∈-+=,arcsin 1|π a ＜1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π③a x =tan 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集：{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式.ααααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()αββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-y=cos |x|图象ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 11++=n n ny=|cos2x +1/2|图象组一 组二∏===nk nn nk12sin2sin 2cos8cos4cos2cos2cos ααααααα∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )cos())1sin(()cos()cos(cos )cos(∑=++=+++++=+nk dnd x d n nd x d x x kd x 0sin )sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(αγγββαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++组三 三角函数不等式x sin ＜x ＜)2,0(,tan π∈x x xxx f sin )(=在),0(π上是减函数 若π=++C B A ，则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++。
数学高考必备知识总结三角函数与立体几何的应用技巧
数学高考必备知识总结三角函数与立体几何的应用技巧在数学高考中，三角函数与立体几何是难度较大的部分，需要掌握一些应用技巧。
本文将对这两个知识点进行总结和归纳，并分享一些解题技巧，帮助考生更好地备考和应对高考。
一、三角函数的应用技巧1. 利用正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形中各种角度、边长关系的重要工具。
正弦定理表明，三角形的任意一条边与其对应的角的正弦值成正比；余弦定理则描述了三边之间的关系，可用于求解三角形的边长。
通过熟练掌握和灵活运用这两个定理，可以在考试中应对各种三角形问题。
2. 使用特殊角的基本值高考考题中经常涉及到特殊角的计算，如30°、45°、60°等。
对于这些角度，可以利用它们的基本值，如根号3/2、1/2等，快速进行计算。
熟练掌握特殊角的基本值，能够节省解题时间，并提高解题准确率。
3. 舍近求远，利用单位圆三角函数与单位圆密切相关。
单位圆上的任意一点，其坐标值与其对应的三角函数值之间存在一一对应的关系。
利用单位圆的性质，可以简化计算过程，特别是计算一些特殊角的三角函数值，直接通过读图即可得出结果。
在解决一些三角函数曲线的相关问题时，也可以通过单位圆来辅助理解和分析。
二、立体几何的应用技巧1. 利用平行面和平行线的相交关系在立体几何中，平行面和平行线的相交关系有着重要的应用。
当两个平行面被一条平行线截断时，可以利用相似三角形的性质，快速求解各种线段的关系。
同时，利用平行线的相交性质，可以解决一些与平行四边形、平行六面体等有关的问题。
2. 运用向量方法求解立体几何中的向量方法可以用来求解空间中的线段长度、面积、体积等问题。
通过将空间中的线段用向量表示，可以灵活地运用向量的运算性质，进行计算和推导。
向量方法不仅可以简化计算过程，还能加深对空间几何概念的理解。
3. 利用平行截面和相似比例关系在计算立体体积时，可以利用平行截面的概念。
通过选取合适的平行截面，将复杂的空间图形转化为简单的二维图形，从而求解体积问题。
高中数学三角函数与解析几何知识点总结
高中数学三角函数与解析几何知识点总结一、三角函数基本概念1. 弧度制和角度制的转换在三角函数的计算中，我们一般使用弧度制表示角度。
弧度制是指以单位圆上的弧长表示角度的一种计量方式。
角度制是指以度数表示角度的计量方式。
它们之间的转换关系是π 弧度 = 180°。
2. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数 sin(x)，余弦函数 cos(x)，正切函数 tan(x) 等。
正弦函数 sin(x) 表示直角三角形的斜边与斜边所对的角的比值。
余弦函数 cos(x) 表示直角三角形的邻边与斜边的比值。
正切函数 tan(x)表示直角三角形的斜边与邻边的比值。
3. 各种三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性等性质。
其中，正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π，正切函数的最小正周期是π。
二、三角函数的图像与性质1. 正弦函数与余弦函数的图像正弦函数和余弦函数的图像都是连续的、周期性的波形。
正弦函数的图像在原点上方和下方交替变动，而余弦函数的图像在原点的上方和下方相交。
2. 正弦函数与余弦函数的性质正弦函数和余弦函数都具有振幅、周期、相位差等性质。
振幅表示波形的最大纵向范围，而周期表示波形重复的最小距离。
相位差表示两个波形的起始位置之间的差异。
三、三角函数的基本关系及其应用1. 三角函数之间的基本关系正弦函数和余弦函数之间存在着基本关系 sin²(x) + cos²(x) = 1。
这个关系也被称为三角恒等式，可以用来推导其他三角函数之间的关系式。
2. 三角函数在解析几何中的应用三角函数在解析几何中有广泛的应用，用于表示和计算线段、直线、平面等几何图形的性质。
例如，利用三角函数可以求解两条直线的夹角、直线与平面的夹角以及直线在平面上的投影等。
四、解析几何基本概念1. 二维坐标系与平面几何在解析几何中，我们常常使用二维坐标系来描述平面上的点和图形。
二维坐标系由 x 轴和 y 轴组成，原点是坐标系的起始位置。
（精心整理）高中数学三角函数专题（重要知识点和经典方法大合集）
1 专题复习——三角函数（一）知识梳理1、角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad p p ì=»ïïíæöï=»ç÷ïèøî2、扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n Rl n n R a a a p p ì=ìíï=ïïîïíì=ïïïïíïïïïîî①弧长弧度制为弧度为弧度))②扇形面积②扇形面积S S ①弧长角度制为角度为角度))②扇形面积②扇形面积SS 3、同角三角函数恒等式2222222sin 1cos sin cos 1cos 1sin (sin tan cos 1cos 1tan (tan sin 1tan a a a a a a a a a a a a a aa a ìì=±-ïïïï+=Þ=±-íïïï±ïîïïï=íïïì=±ïï+ïï±íïïï=±ïï+îî①其中其中““”由所在象限确定）②③推论其中其中““”由所在象限确定）4、诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k a p a p a a a p a p a a a p a p a a a a p a a a a p a aa a p a a +=+=-ììïï+=+=-ííïï+=+=îî-=--=ììïï-=-=-ííïï-=-=-îî公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22p p a a a a p p a a a a p p a a a a p pa a a aìïïïïïïïïììí-=+=ïïïïïïííïïï-=+=-ïïïîîïììï-=-+=-ïïïííïïïï-=-+=ïïîîî公式六推论推论11推论推论225、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tana b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a ba ba ba ba ba ba bì-=+ï+=-ïï-=-ïï+=+í-ï-=ï+ï++=ï-î余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tana a a a a aa a aaa a aaa a aaaaìï=Þ=ïï=-ï-ï=-Þ=íï+ï=-Þ=ïïï=ï-î7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c Cì===Dïï===ïïï===íïï=ïï===ïî①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A A bca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cabì+-=+-Þ=ïï+-ï=+-Þ=íïï+-=+-Þ=ïî9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc Aì=ïïï=++Díïï==ïî为底，为底，h h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tw j pw j wpw jw ì=++ï=++ïíï=++ïî最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxp pp pp pp pp pp pp p-ìéù-+Îïêúïëûíéùï+Îêúïëûîì+Î=ïíï+Î=-ïîι=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为周期性：周期为22且0),0),最小正周期为最小正周期为最小正周期为22.奇偶性：,; (6)2.Rx k k Zk k Zp ppìïïïïïïïïïíïïïïïïïì+ÎïïíïïÎïîî为上的奇函数上的奇函数..①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kp p pp p ppp pp pp-ì-Îïí+ÎïîÎ=ìí+Î=-îι=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为周期性：周期为22且0),0),最小正周期为最小正周期为最小正周期为22.奇偶性：为上的偶函数上的偶函数..①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k ZppìïïïïïïïíïïïïÎìïïïíÎïïîî②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx 1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan (5),0),.2x x k k Z Rk k k Z k k Z k x k k Z p p p p p p p p p ììü¹+Îíýîþïï+Îïïïιíï=ïïìïïíïÎïïîî（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数为奇函数..①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为②是中心对称图形，对称中心为((14、简谐运动sin()y A x w j =+[)2=1(0,0,0,)2x A x T p www pw j j ìïïïï=>>Î+¥íïïïïïî①振幅：①振幅：A A②周期：②周期：T T ③频率：③频率：f=f=其中④相位：x+⑤初相：=0=0时的相位时的相位2222sin cos sin()(tan )0)sin cos cos()(tan )b a x b x a b x aa a a xb x a b x b w w w j j w w w j j ì+=++=ïïí>ï+=+-=ïî①其中1515、三角恒等变换之辅助角公式、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下： 证明： asinx w+bcosx w=22a b+(22a a b+sinx w+22b a b+cosx w ),① 令22aa b +=cosj,22ba b +=sinj ,则asin x w +bcos x w=22a b +(sin x w cos j +cos x w sin j ) =22a b+sin(x w +j ) (其中tan j =b a)② 令22a ab +=sin j ,22b a b +=cos j,则asinx w +bcos x w =22a b+(sin x w sin j +cos x w cos j ) =22a b+cos(x w -j ),(其中tan j =a b) 注：其中j的大小可以由sinj 、cosj的符号确定j的象限,再由tanj的值求出；或由tanj =ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简3sin 2cos 2y x x =+. 法一：逆用差（和）角公式313sin 2cos 22(sin 2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)22666y x x x x x x x p p p =+=+=+=+法二：应用辅助角公式3sin 2cos 22sin(2)6y x x x p=+=+ (其中13tan 363p j j ==Þ=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43.(1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC .解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23(2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×2×44x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×4×3×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1)2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A \-=Þ=- 又0A p << 23A p\=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 \sin B ＝sin C ＝12又0,022B C p p <<<< \B ＝C \△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：22sin cos sin()(tan )ba xb x a b x aw w w j j +=++=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R Î（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x p éùÎêúëû，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++2sin(2)14x p=++（1） f(x)的最小正周期为22T p p ==，最大值为max ()21f x =+. （2） 由222,242k x k k Z p p p p p -+£+£+Î得3,88k x k k p p p p p -+££+Î \函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z p pp p éù-++Îêúëû（3）02x p ££ 52444x p p p\£+£2sin(2)124x p \-£+£ 02s i n (2)1214x p \£++£+即0()21f x ££+ \函数f(x)的值域为0,21éù+ëû即时训练：已知函数22(sin cos )23cos 3y x x x =++-，x R Î（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x p<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大. 【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos qq q=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步第二步 计算出正弦与余弦之间的关系；计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步第三步 结合三角恒等变换可得所求结果. 例1已知1tan()2p a +=，则sin cos 2sin cos a aa a-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21-【答案】C 【解析】试题分析：21tan =a ，将原式上下同时除以a cos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-a a aa a a ，故选C. 考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-a p ，则=+aa 2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52 C.25- D.3-【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式. 方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果. 例2已知,31tan ,71tan ==b a 则=+)2tan(b a【答案】1 【解析】 试题分析：212t a n ta n,t an31tanb b b b===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174ab a b a b++\+===--´考点：两角和的正切公式. 方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35°+°+°°； ②()2sin35cos25cos35cos65°°+°°；③1tan151tan15+°-°；④2tan61tan 6p p -. A. ①②①②B. ③C. ①②③①②③D. ②③④②③④ 【答案】C 【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A． B． C．D．【答案】B 【解析】分析：由公式可得. 详解：，故答案为B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4a = ，则2cos 2sin 2a a +=（ ）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4a =，得34sin ,cos 55a a ==或34sin ,cos 55a a =-=-，所以2161264cos 2sin 24252525a a +=+´=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 4.【2017山东，文4】已知3cos 4x=,则cos2x =A.14-B.14C.18-D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13a =-，且a 为第四象限角，则tan a 的值等于（的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin a 、cosa、tan a三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角a的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】. 【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得. 详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确. 7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果. 详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410Ap æö+=ç÷èø， ,4A p p æöÎç÷èø，则sin A 的值为（ ）A ． 35B ． 45C ． 35或45D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A p p p p p æöæöÎ\+Îç÷ç÷èøèø，所以cos 04A p æö+<ç÷èø，且22cos 1sin 4410A A p p æöæö+=--+=-ç÷ç÷èøèø，所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A AA A p p p p p p éùæöæöæö=+-=+-+=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A p p éùæö+-ç÷êúèøëû. 2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3a =，则sin21cos2aa=+（ ）A ． 3-B ． 13- C ．13D ． 3【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos a a a a a a===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】0000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 32-B ． 12-C ． 12D ． 32【答案】C 【解析】由题得()0000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90a ΰ°，若()3s i n 7525a °+=-，则()()sin 15sin 75a a °+×°-= ( ) A ．110 B ． 220 C ． 110- D ． 220-【答案】B 【解析】()()sin 75cos 15a a -=+，所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022a a a ++=+而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522a a a a éùéù+=+-=+-+ëûëû，()75275,255a +Î ，又因为()sin 7520a +<，所以()752180,255a +Î，可求得()4cos 7525a +=- ，那么()()()22342sin 302sin 752cos 752225510a a a éùæöæöéù+=+-+=---=ç÷ç÷êúëûèøèøëû， 那么()12sin 302220a +=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5a =， 3,22p a p æöÎç÷èø，则cos 3pa æö-=ç÷èø__________． 【答案】34310-【解析】∵3cos 5a =， 3,22p a p æöÎç÷èø∴4sin 5a =-∴3143343cos cos cos sin sin 333525210p p pa a a -æöæö-=+=´+-´=ç÷ç÷èøèø 故答案为34310-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。
其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。
总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。
（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。
（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如 2002 年（ 15 ）题。
（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如 2001 年（ 7 ）题。
（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。
（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
((完整版))高中数学三角函数知识点总结和常见题类型归纳,推荐文档
高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中出现的三角函数问题，难度相对较低，重点突出。
该类试题集中在第15题的位置，共分为两种考察形式：解三角形和三角函数变换。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求函数值和最值等重点内容的复习；又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合1．熟练掌握三角变换公式，理解每个公式的含义以及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能灵活应用这些方法进行三角函数的求值、化简；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题。
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点，会用五点作图法画出函数y=Asin( x+ )的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化。
3.熟练掌握三角形中的正弦定理和余弦定理，明确两个定理的应用条件。
能够依托题目给的不同已知条件，灵活运用两个定理解决实际问题。
二、高考考点分析近些年北京高考中本部分所占分值大约是13-18分，主要以解答题的形式出现，少数时候会有填空题。
主要考察内容按难度分，我认为有以下两个层次：第一层次：通过对诱导公式和倍角公式等公式的灵活运用，解决有关三角函数基本性质的问题，如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等；通过正弦定理和余弦定理的灵活运用，解决有关三角形的简单问题，如求角、边长等。
第二层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题，如：求复合函数值域。
三、方法技巧（1）常数的代换：特别是：1=cos2θ+sin2θ。
（2）项的分拆与角的配凑。
（3）降幂扩角法和升幂半角法。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
高考数学专题复习-三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝23,则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±66,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52,则f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4,所以0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4. 答案 A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13,则cos(α－β)＝________.(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝223,∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知,cos(α－β)＝－79.法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sinα, cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α,k ∈Z .当sin α＝13时,cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义,得cos α＝－35,sin α＝45,∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 答案 (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出,则无论点P 选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(潍坊三模)在直角坐标系中,若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,则sin(π－α)＝( ) A.12B.32C.－12D.－32(2)(北京卷)在平面直角坐标系中,AB ︵,CD ︵,EF ︵,GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵解析 (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π,且|OP |＝1.∴由三角函数定义,知sinα＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ,y ),由三角函数的定义得yx <x <y ,所以－1<x <0,0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. 答案 (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象,只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度,再向下平移1个单位长度(2)(湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后,得到的图象关于y 轴对称,那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称C.关于直线x ＝π12对称D.关于直线x ＝－π12对称解析 (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1,故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意,T ＝π,ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2,k ∈Z . 由|φ|<π2,取φ＝－π6,因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6,代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0,A 正确.答案 (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ,令z ＝0,π2,π,3π2,2π,求出x 的值与相应的y 的值,描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求解析式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2,T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π,ω＝2,因为当x ＝5π12时取得最大值2,所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ, 所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2,k ∈Z ,解得φ＝2k π－π3,k ∈Z , 因为|φ|<π2,得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知,A ＝1,T ＝π,则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点,∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0,φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3,且f (x 1)＝f (x 2),所以x 1＋x 22＝π12,则x 1＋x 2＝π6,因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. 答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的12倍,再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度,得到函数y ＝g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ,由题图可知 A ＝1,T 2＝2π3－π6＝π2,即T ＝π,所以π＝2πω,解得ω＝2,所以f (x )＝sin(2x ＋φ),又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0,由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π,k ∈Z , 则φ＝2k π－π3,k ∈Z ,因为|φ|＜π2,所以φ＝－π3,故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时,4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6,所以当x ＝π8时,g (x )取得最小值,且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4,且T ＝π,∴ω＝2,于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z ),得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,所以令k ＝0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性,研究函数的周期性、奇偶性与对称性,都必须首先利用辅助角公式,将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的单调区间,是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间),但是当A ＞0,ω＜0时,需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ),则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )在[0,b ](b >0)上至少含有10个零点,求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π,得ω＝1, 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2,k ∈Z ,整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12,k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0,得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z ),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y ＝g (x )在[0,b ]上有10个零点,则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质,关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式,利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ,－1),n ＝(sin ωx －cos ωx ,2)(ω>0),函数f (x )＝m·n ＋3,若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )的图象,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时,求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4.依题意知,最小正周期T ＝π.∴ω＝1,因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π,k ∈Z ,求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π,k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位,得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12倍,得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,由π4≤x ≤π2,知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22.故函数g (x )的值域是[－2,1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0,ω＞0)的图象求解析式(1)A＝y max－y min2,B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω,ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质,只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”,采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z),可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体,可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间,注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx ＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π解析f(x)＝tan x1＋tan2x＝sin xcos x1＋sin2xcos2x＝sin x cos xcos2x＋sin2x＝sin x cos x＝12sin 2x,所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.答案 C2.(全国Ⅲ卷)函数f(x)＝15sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＋cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的最大值为()A.65 B.1 C.35 D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,函数的最大值为65. 答案 A3.(湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3,依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π,k ∈Z ,则φmin ＝23π. 答案 C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ,F 是函数与x 轴的交点,点G 在图象上),则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2解析 依题设,T 2＝|EF |＝4,T ＝8,ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数,且0<φ<π. ∴φ＝π2,在等腰直角△EGF 中,易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ,则f (1)＝ 2.答案 C5.(天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象,由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z ),令k ＝1,得3π4≤x ≤5π4,即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.答案 A 二、填空题6.(江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2,所以π6<2π3＋φ<7π6,则2π3＋φ＝π2,φ＝－π6.答案 －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,其中|PQ |＝2 5.则f (x )的解析式为________.解析 由题图可知A ＝2,P (x 1,－2),Q (x 2,2),所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2,所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4,即2πω＝4,解得ω＝π2.又函数图象过点(0,－3),所以2sin φ＝－3,即sin φ＝－32.又|φ|<π2,所以φ＝－π3,所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x ＝π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1,πω4－π6＝2k π(k ∈Z ),∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin ＝23.答案 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π,k ∈Z },f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4,B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ,易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z ),即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π,k ∈Z ,∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1＋x 2＝56π,则x 1＝56π－x 2,∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3, 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23,故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,其中0＜ω＜3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2,所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z ,故ω＝6k ＋2,k ∈Z . 又0＜ω＜3,所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4,所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32.。
高三总复习(三角函数重要知识点)
三角函数知识点一、任意角的三角函数1、终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．2．象限角是指： ．3．区间角是指： ．4．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．5．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．6．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .7．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；8．三角函数的符号与角所在象限的关系：910．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式：－ ＋ －+cos x ,＋ ＋ － － sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x y O xyO x y O规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．三、两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π四、二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ．五、三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式； ④ 次数尽可能低、尽可能求出值． 2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π]、（2,2ππ-）的角．六、三角函数的恒等变形（一）、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． （二）、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．七、三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象． 函数y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 图象注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．3．“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． 4．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．八、三角函数的性质1．三角函数的性质函 数 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性最大(小)值2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数．九、三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．。