2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第五章 5.2.2 同角三角函数的基本关系
5.2.2 同角三角函数的基本关系
课标要求素养要求
1.理解同角三角函数的基本关系式.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明.通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
教材知识探究
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点
.
蝴蝶效应
问题 既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
1.同角三角函数的基本关系注意角的范围
sin2α＋cos2α＝1
2.同角三角函数基本关系式的变形公式的熟练程度决定解题的速度
1－cos2α1－sin2α
cos αtan α
教材拓展补遗
[微判断]
1.sin 2α＋cos 2β＝1.(
)提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝
1.
×√
×
×
解析 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案 B
答案 2
[微思考]
同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？
∴α是第二或第三象限角，(1)当α是第二象限角时，则
(2)当α是第三象限角时，则
规律方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
规律方法 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
解 (1)法一 (代入法)∵tan α＝2，
法二 (弦化切)∵tan α＝2.
由上知，θ为第二象限的角，
方向2 sin α±cos α型求值问题 注意判断符号
规律方法 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.
(2)由题中等式易知cos α≠0，
整理得9tan2α＋30tan α－11＝0，即(3tan α－1)(3tan α＋11)＝0，
所以等式成立.
所以等式成立.
方向2 条件恒等式的证明
【例4－2】 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
规律方法 含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.
∴原等式成立.
(2)设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
即(m－n)2＝0.∴m＝n，
答案 B
答案 A
答案 B
答案 B
41
本节内容结束。
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修第一册
5．2.2 同角三角函数的基本关系1．能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2．理解同角三角函数的基本关系式．3．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切(α≠k π＋π2，k ∈Z )． 温馨提示：(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z )成立．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin2α3＋cos2α3＝1都成立．( )(2)对任意角α，sin2αcos2α＝tan2α都成立．( )(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( )(4)若sin α＝35，则cos α＝1－sin 2α＝45.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用同角三角函数的基本关系式求值【典例1】 (1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝3，求sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α的值． [思路导引] 利用同角三角函数的基本关系式求解．[解] (1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223. [变式] (1)由本例(2)条件变为：“sin α＋cos αsin α－cos α＝2”，求4sin α－cos α3sin α＋5cos α的值．(2)若本例(2)条件不变，求34sin 2α＋12cos 2α的值．[解] (1)由sin α＋cos αsin α－cos α＝2得tan α＝3，所以原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.(2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(4)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．[针对训练]1．已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.[解] cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.2．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解] 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 题型二三角函数式的化简【典例2】 化简：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos 210°. [思路导引] 结合题目特点，利用平方关系求解． [解] (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝(cos10°＋sin10°)2cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos10°＋sin10°＝1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．[针对训练]3．化简：tanα1sin2α－1，其中α是第二象限角．[解]因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.原式＝tanα1－sin2αsin2α＝tanαcos2αsin2α＝sinαcosα·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosαsinα＝sinαcosα·(－cosα)sinα＝－1.4．化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β. [解]原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.题型三证明简单的三角恒等式【典例3】求证：tanαsinαtanα－sinα＝tanα＋sinαtanαsinα.[思路导引] 从一边证明，使它等于另一边．[证明]∵右边＝tan2α－sin2α(tanα－sinα)tanαsinα＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， ∴原等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1.[针对训练]5．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.[证明] sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1. 课堂归纳小结1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其它三角函数值．2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求： (1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量 不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.1．下列等式中恒成立的个数为( ) ①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3D ．0[解析] ①②③都正确，故选C. [答案] C2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513C.512D ．－512[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513.[答案] B 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. [答案] A 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35[解析] sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝25－1＝－35. [答案] B5．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.[解] ∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θcos 2θsin 2θ＋cos 2θcos 2θ ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2， ∴原式＝－2(－2)2＋1＝－25. 课内拓展 课外探究sin α±cos α与sin αcos α关系的应用sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.【典例】 已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，求：(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α. [解] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±75.又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝75.(3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α) ＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1225＝15×3725＝37125. [点评] (1)已知sin α±cos α，sin αcos α中的一个，求其它两个的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．课后作业(四十)复习巩固一、选择题1．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15C.513D ．－513[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512.又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－513.故选D.[答案] D2．若cos α＝23，则tan αsin α＝( )A.56B.23C.45D.34[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝56.[答案] A3．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α) ＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. [答案] B4．化简1－2sin1cos1的结果为( ) A ．sin1－cos1 B ．cos1－sin1 C ．sin1＋cos1D ．－sin1－cos1[解析] 易知sin1>cos1，所以1－2sin1cos1＝(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A. [答案] A5．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.32 B.34 C ．－32D ．±32[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－32.故选C. [答案] C 二、填空题6．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1，则tan α的值为________．[解析]2sin α＋cos α3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋13tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3. [答案] 37．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．[解析] 因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.[答案] －125三、解答题8．化简：1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．[解] ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1cos 2α·1＋sin 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α·cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 9．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.[解] 因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝12.(1)原式＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)原式＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135. 10．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1. [证明] 证法一：∵左边 ＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sin x cos x －1sin x cos x＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ； 左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x. ∴左边＝右边，原式成立．综合运用11．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )A ．第二、三、四象限角B ．第一、二、三象限角C ．第一、二、四象限角D ．第一、三、四象限角 [解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C.[答案] C12．若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α等于( ) A ．－1B ．1C ．－25D ．－1或－25[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝45， 所以cos α－2sin α＝－25.故选C. [答案] C13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. [解析] ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4>0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.[答案] 22314．已知f (tan x )＝1cos 2x，则f (－3)＝________. [解析] 因为f (tan x )＝1cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.[答案] 415．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．[解] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225<0. 因为0<A <π，⎩⎪⎨⎪⎧ sin A >0cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)因为sin A ·cos A ＝－1225， 所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925. 又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75. 又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.。
2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第五章 5.2 5.2.1 第一课时 三角函数的定义
2
2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
基础达标
一、选择题
－ 3，－1 1.已知角α的终边与单位圆交于点 2 2 ，则 sin α的值为( )
A.－ 3 2
B.－1 2
C. 3
D.1
2
2
解析 由定义知 r＝1，∴sin α＝－1，故选 B. 2
答案 B
2.已知角α的终边经过点 P(3，－4)，则 sin α＋ 1 ＝( ) cos α
∴－2<a≤3.
答案 (－2，3]
5.已知角α的终边在射线 y＝ 3x(x>0)上，求角α的正弦、余弦和正切值.
解 设角α的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，
则 x2＋y2＝1，
又 y＝ 3x(x>0)，
x＝1， 2
解得 y＝
3.
2
于是 sin α＝y＝ 3，cos α＝x＝1，tan α＝y＝ 3.
5.2 三角函数的概念
5.2.1 三角函数的概念
第一课时 三角函数的定义
课标要求
素养要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数定 通过对正弦函数、余弦函数、正切函数
义.
定义的理解，重点提升学生的数学抽象
2.能利用定义解决相关问题.
和直观想象素养.
教材知识探究
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为 h0，它的 直径为 2R，逆时针方向匀速运动，转动一周需要 360 秒.
B.11
4
4
C.－4
D.4
解析 cos α＝ m ＝－4，解得 m＝－4(m＝4 不合题意，舍去). m2＋9 5
答案 C
4.点 P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标 3
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册5.2三角函数的概念学案(2)含答案
【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系（人教A 版）1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．一、 预习导入阅读课本182-183页，填写。
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝________.商数关系：sin αcos α＝________⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的 ________等于1，________等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立．( )(2)对任意角α，sinα2cos α2＝tan α2都成立．( ) (3)若sin α＝12，则cos α＝32.( ) 2．化简1－sin 2π5的结果是( ) A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π53．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B ．34C ．±34D ．±434．已知tan α＝2，则cos α－5sin α3cos α＋sin α＝________. 题型一 应用同角三角函数关系求值例1(1)若3sin 5α=-，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．题型二 三角函数式的化简、求值例2(1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin 2α－1. 跟踪训练二1．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 题型三 三角函数式的证明 例3 求证：cos 1sin .1sin cos x x x x +=-.跟踪训练三1．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x 1－tan x. 题型四 “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系例4 已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π. 求：(1)sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．跟踪训练四1.已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝． 2.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值： (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1．下列各式中成立的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＝1B ．tan α＝sin αcos α(α任意)C ．cos 2α2＝1－sin 2α2D ．sin α＝1－cos 2α2．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2，cos α＝45，则tan α＝( ) A ．±34B ．34C ．－34D ．433．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是． 4．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.5．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．6．(1)化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.答案小试牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－95. 自主探究例1【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－45，tan α＝34. α是第四象限角时，cos α＝45，tan α＝-34 (2)如果α是第二象限角，那么sin α＝1517，tan α＝－158. 如果α是第三象限角， sin α＝－1517，tan α＝158. 【解析】(1)∵sin α＝－35，α是第三、第四象限角， 当α是第三象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34. α是第四象限角时，cos α＝1－sin 2α＝45，tan α＝sin αcos α＝-34 (2) ∵cos α＝－817＜0， ∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 跟踪训练一1．【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 【解析】∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 例2【答案】（1）1； （2）-1.【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1. (2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1. 跟踪训练二 1．【答案】(1)1；(2) cos θ.【解析】 (1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θsin θ－cos θsin θ－cos θ＝cos θ. 例3 【答案】见解析【解析】跟踪训练三1．【答案】见解析【解析】证明： 右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x 2cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边， ∴原等式成立．例4【答案】(1)－1225； (2)75.【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125， ∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225. (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. 又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75. 跟踪训练四1、【答案】－125. 【解析】法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，① 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169， 即2sin αcos α＝－120169. 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1713.② 由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513， 所以tan α＝sin αcos α＝－125. 法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169， 整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125. 由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125. 2.【答案】（1）89；(2)1310. 【解析】由sin α＋cos αsin α－cos α＝2， 化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.（1）法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. 法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 当堂检测1-2． CA3．434．－385．【答案】sin α＝43，cos α＝－45.【解析】由tan α＝sin αcos α＝43得sin α＝43cos α.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1.∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cos α＝－35.∴sin α＝43，cos α＝－45.6．【答案】见解析【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α（1－sin 2α） ＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.sin2αcos2α＝cos2α＋sin2αcos2α＝1cos2α.(2)证明：1＋tan2α＝1＋。
高数数学必修一《5.2.2同角三角函数的基本关系》教学课件
再由公式tanα＝
求tan α.
cos α
sin α
α＝
＝m⇒sin
cos α
(3)若已知tan α＝m，则tan
α＝m cos α及sin2α＋
cos2α＝1，通过方程组求解．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号．
跟踪训练1
π
5
已知0<α< ，sinα＝ ，求cos
2
sinα2 ，前者是α的正弦的平方，后者是α2 的正弦，两者是不同的，要
弄清它们的区别，并能正确书写．
共学案
【学习目标】
(1)理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．
(2)会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证
明．
题型 1 利用同角三角函数的基本关系式求同角的三角函数值
【问题探究1】
)
2．若α为第二象限角，且sin
A．－
5
3
1
B．
3
答案：A
解析：∵α是第二象限角，
5
∴cos α＝－ 1 − sin2 ＝－ 3 .故选A.
2
α＝ ，则cos
3
5
C．
3
α＝(
)
1
D．－
3
1
－2
3．若2sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．
解析：因为2sinα＋cos α＝0，
D．－
3
答案：D
3π
解析：因为α∈(π， 2 )，所以sinα<0.
1
2 2
.故选D.
3
又cos α＝－3，所以sin α＝－ 1 − cos 2 α＝－
新教材高中数学第五章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册
2
所以tan α= sin ＝ 3.
cos
答案： 3
时3，
2
【跟踪训练】
1.已知 sin cos =2，计算下列各式的值.
sin－cos
(1) 3sin－cos .
2sin 3cos
(2)sin2α-2sin αcos α+1.
2.(1)已知sin α+cos α= 7 ，α∈(0，π)，则tan α=_______.
13
(2)已知tan α= 4 ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
C. 5
D.12
13
13
【解析】选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二
象限角，所以cos α= － 1－sin2＝－12
13
关键能力·合作学习
类型一 利用同角三角函数的关系求特殊值(数学运算)
【题组训练】
1.(2020·通州高一检测)已知cos α= 5 ，且α∈(0，π)，则tan α=
(2)本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系. (3)应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么？
提示：一是“角相同”，如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角
(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另 一边，其依据是相等关系的传递性. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量 的两个量相等. (3)作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证.
人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第5章 三角函数 同角三角函数的基本关系
解析
2sin-3cos
(1)
4sin-9cos
2sin2 -3cos2
(2) 2
4sin -9cos2
=
=
2tan-3
4tan-9
2tan2 -3
4tan2 -9
=
=
2×2-3
=-1.
4×2-9
2×4-3
4×4-9
=
5
.
7
(3)sin2α+cos2α=1,则有 4sin2α-3sin αcos
解 ∵tan α=3,∴cos α≠0.
原式的分子、分母同除以 cos
1 2 3 4 5
4tan -1
α,得原式=
3tan +5
=
4×3-1
3×3+5
=
11
.
14
(2)已知sin θ+cos
解 由 sin θ+cos
3
=-8<0,而
1
θ= 2 (0<θ<π),求sin
1
θ=2,得(sin
θ+cos θ)
么就可以利用平方关系求出其余的两个.
2.sin θ±cos θ的符号的判定方法
(1)sin θ-cos θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线
y=x上时,sin θ=cos θ,即sin θ-cos θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区
域内时,sin θ>cos θ,即sin θ-cos θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区
=
sin -cos
=cos ·sin =-1.
高一数学人教A版必修一5.2.2同角三角函数的基本关系课件
cos 5 4 4
如果α是第四象限角,那么 cos 4 , tan 3
5
4
例3、 已 知tan 3，为 第 三 象 限 角 ， 求sin ,cos的 值 。
4
联 立 方 程 组
tan sin cos
方程(组)思想
si n2 cos2 1
练 习1、 已 知sin cos 5 ，180 270， 求tan的 值 。
5
所 以tan sin 2 cos
类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式
例4、 化 简(：1) sin cos tan 1
切化弦
si n si n
co s
1
co s
si n si n
cos cos
2cos2 1
(2)
1 2sin2
“1”的代换
2cos2 (sin2 cos2 )
(2)求
s
i
n2 5
si
sin cos n cos si
n2
3co
s2 1
(3)求2sin2 sin cos 3cos2
小结 1、同角三角函数的基本关系
平方关系: sin2 cos2 1
商数关系: tan si n ( k , k Z )
cos
2
2、已知sinα(或cosα)求其它
4
3
例2、 已 知sin 3 ,求cos , tan的 值 。
5
解：因为sinα<0，sinα≠-1, 所以α是第三或第四象限角
由sin2α+cos2α=1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
5 25
如果α是第三象限角,那么 cos 16 4
人教A版高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系【课件】
=
=
=左边,
(-)
-
∴原等式成立.
(+)
(方法二)∵左边=
-
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
自主预习·新知导学
同角三角函数的基本关系
1.计算下列式子的值:
(1)sin20°+cos20°;
(2)sin245°+cos245°;
(3)sin260°+cos260°.
由此你能得出什么结论?尝试证明它.
提示:3个式子的值均为1.由此可以猜想:
对于任意角α,有sin2α+cos2α=1,下面用三角函数的定义证明:
设角α的终边与单位圆☉O的交点为P(x,y),
则由三角函数的定义,得sin α=y,cos α=x.
故sin2α+cos2α=x2+y2=|OP|2=1.
2.由三角函数的定义,tan α与sin α,cos α之间具有怎样的等量
4.(1)sin24 092°+cos24 092°=(
A.0
B.1
C.4 092 D.4 092°
(2)若sin θ+cos θ=0,则tan θ=
)
.
解析:(1)由平方关系知sin24 092°+cos24 092°=1.
(2)由sin θ+cos θ=0,得sin θ=-cos θ,
所以 tan
θ=
=
答案:(1)B (2)-1
-
=-1.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第一册学案：5.2.2 同角三角函数的基本关系含解析
5．2.2同角三角函数的基本关系内 容 标 准学 科 素 养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．逻辑推理 数学运算 2.理解同角三角函数的基本关系式． 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.授课提示：对应学生用书第84页[教材提炼]知识点同角三角函数基本关系式 预习教材，思考问题如图，设点P (x ，y )是角α的终边与单位圆的交点．过P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，则△OMP 是直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理有OM 2＋MP 2＝1.由此想到sin α、cos α、tan α之间有什么关系？知识梳理 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan_α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．(3)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．[自主检测]1．化简1－cos 2 π5的结果是( )A ．cos π5B ．－sin π5C ．sin π5D ．－cos π5答案：C2．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________. 答案：－133．若sin θ＋cos θ＝15，则sin θcos θ＝________.答案：－1225授课提示：对应学生用书第85页探究一利用基本关系式求值[例1][教材P 183例6拓展探究](1)已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． [解析]法一：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1， 即cos 2α＝15；当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255； 当α为第四象限角时，cos α＝55，代入①得sin α＝－255. 法二：∵tan α＝－2<0，∴α为第二或第四象限角． 由tan α＝sin αcos α，两边分别平方，得tan 2α＝sin 2αcos 2α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＝1cos 2α， 即cos 2α＝11＋tan 2α.当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－ 11＋tan 2α＝－11＋(－2)2＝－55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－55＝255.当α为第四象限角时，cos α>0， ∴cos α＝11＋tan 2α＝11＋(－2)2＝55， ∴sin α＝tan α·cos α＝(－2)×55＝－255. (2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[解析]∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－8172＝－1517， tan α＝sin αcos α＝158.(3)已知tan α＝3，求：①2sin α－3cos α4sin α－9cos α；②sin 2α－3sin αcos α＋1.[解析]①原式＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1.②原式＝sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－3tan α1＋tan 2α＋1＝32－3×31＋32＋1＝0＋1＝1.由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类(1)依据：cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝sin αcos α时，不存在符号的选取问题．(2)分类：①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ. 探究二三角函数式的化简 [例2]化简下列各式． (1)1－cos θ1＋cos θ＋1＋cos θ1－cos θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π； (2)sin x1－cos x ·tan x －sin xtan x ＋sin x.[解析](1)原式＝(1－cos θ)2sin 2θ＋(1＋cos θ)2sin 2θ＝1－cos θ|sin θ|＋1＋cos θ|sin θ|＝2|sin θ|.∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴原式＝2sin θ. (2)原式＝sin x1－cos x·sin xcos x－sin x sin xcos x＋sin x＝sin x 1－cos x ·sin x (1－cos x )sin x (1＋cos x )＝sin x 1－cos x ·1－cos x |sin x |＝sin x|sin x |＝⎩⎨⎧1，x ∈⎝⎛⎭⎫2k π，2k π＋π2∪⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )，－1，x ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π，2k π＋3π2∪⎝⎛⎭⎫2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z ).1．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则．(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．对三角函数式化简的原则 (1)使三角函数式的次数尽量低． (2)使式中的项数尽量少． (3)使三角函数的种类尽量少． (4)使式中的分母尽量不含有三角函数． (5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号．(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．化简：sin θ1－sin 2θ＋1－cos 2θcos θ.解析：原式＝sin θ|cos θ|＋|sin θ|cos θ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2tan θ⎝⎛⎭⎫2k π<θ<2k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫2k π＋π2<θ<2k π＋π，－2tan θ⎝⎛⎭⎫2k π＋π<θ<2k π＋32π(k ∈Z )，0⎝⎛⎭⎫2k π＋32π<θ<2k π＋2π，0(θ＝k π).探究三三角恒等式的证明[例3]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [证明]法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin 2α＋cos 2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin 2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos 2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．法二：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1－x ，cos α＝y .由sin 2α＋cos 2α＝1，消去α得(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2＝2x ，∴左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2＝右边． ∴原式成立．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. (4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 求证：sin 4α－cos 4α＝2sin 2α－1.证明：左边＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝右边．所以等式成立．授课提示：对应学生用书第86页一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin 2α＋cos 2α＝1可变换成(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1，其中sin α＋cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系．若以sin α，cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．[典例]已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ. (1)求k 的值； (2)求tan θ＋1tan θ的值．[解析] (1)已知方程有两个实根sin θ，cos θ，应满足如下条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－32·(2k ＋1)≥0，①sin θ＋cos θ＝－34k ，②sin θ·cos θ＝2k ＋18.③由平方关系可建立关于k 的等式．∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，即(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，④ ∴将②③代入④，得9k 216－2k ＋14＝1，即9k 2－8k －20＝0， 解得k ＝－109或k ＝2.将k 值代入Δ≥0验证． ∵k ＝2不满足①式，故舍去，∴k ＝－109.(2)切化弦，再通分．tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θ·cos θ，把(1)求得的k 值代入．由(1)知sin θ·cos θ＝2k ＋18＝－1172，∴tan θ＋1tan θ＝1sin θ·cos θ＝－7211.二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解[典例]已知sin θ＋cos θ＝15，且0＜θ＜π，求sin θ－cos θ.[解析]∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0＜θ＜π，且sin θcos θ＜0， ∴sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝75.纠错心得此题易错为忽略“0＜θ＜π”的条件，错解为sin θ－cos θ＝±75.当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围．确定三角函数值的符号．。
《5.2 三角函数的概念》导学案最新版(统编人教A版高中必修第一册)
【新教材】5.2.1 三角函数的概念（人教A版）1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．一、预习导入阅读课本177-180页，填写。
1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以__________为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与__________交于点P(x，y)，那么：图121(2)结论①y叫做α的__________，记作__________，即sin α＝y；②x叫做α的__________，记作__________，即cos α＝x；③yx叫做α的__________，记作__________，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝x2＋y2＞0)．三角函数定义名称sinα__________ 正弦cosα__________ 余弦tanα__________ 正切正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin α__________cos α__________tan α__________4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：图122(2)口诀：“一全正，二__________，三__________，四__________”．5．诱导公式一1．若角α的终边经过点P (2，3)，则有( )A ．sin α＝21313B ．cos α＝132C ．sin α＝31313D ．tan α＝232．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3．sin 253π＝ ．4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α＋sin α的值为 ．题型一 三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 题型二 三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．(2)判断下列各式的符号： ①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5. 跟踪训练二1．确定下列式子的符号：(1) tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.题型三 诱导公式一的应用例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3. 跟踪训练三 1．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②sin α是“sin”与“α”的乘积；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－. 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．如果α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α＝( )A. 12B ．－12 C. 32 D ．－323．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( )A ．第一或第四象限B ．第一或第三象限C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．－25．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝51，则sin β＝ ．6．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°；(2)cos 25π3+tan15π4.答案小试牛刀 1．C 2．B 3．32 4.3＋12. 自主探究例1 【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－55，tan α＝－2.当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝55，tan α＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.跟踪训练一1．【答案】当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当x ＝－1时，此时sin θ＝31010，tan θ＝－3.【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 例2 【答案】（1）四； （2） ①sin 183°<0；②tan 7π4<0；③cos 5>0. 【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限． (2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.跟踪训练二1．【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0；（3）tan 120°sin 269°＞0.【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0. (2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.从而tan 120°sin 269°＞0.例3 【答案】（1）32；（2）54. 【解析】 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3 ＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.跟踪训练三1．【答案】（1）(a －b )2 ； （2）12.【解析】(1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12. 当堂检测1-4． BDBD5.−156．【答案】(1) 0；(2) 32 .【解析】 (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.(2) cos25π3+tan15π4＝cos π3+tan π4 ＝12＋1＝32.。