浙江专用高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第19练圆锥曲线热点问题课件
审题路线图 (1) 椭圆C上的点满足条件 ―→ 列出a，b的关系式 ―已――知―离a―2心―＝―率b―2＋e―＝―c2―23―，→ 基本量法求得椭圆C的方程 (2)① P在C上，Q在E上 ―P―，―共―O―线，――Q→ 设坐标代入方程 ―→ 求出||OOQP|| ② 直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立 ――通―法―→ 研究判别式Δ并判断根与系数的关系 → 用m，k表示S△OAB → 求S△OAB最值 ――S―△―AB―Q―利 和――S用― △① O―A―B得―的―关――系―→ 得S△ABQ的最大值
7.(2018·全国Ⅰ) 设椭圆C：x2＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A， 2
B两点，点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
解 由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点
A
的坐标为1，
22或1，－
22.
又M(2,0)，
的直线被椭圆截得的线段长为4
3 3.
(1)求椭圆的方程；
解 因为过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为433，
所以2ab2＝4
3
3 .
因为椭圆的离心率为 33，所以ac＝ 33，
又 a2＝b2＋c2，可解得 b＝ 2，c＝1，a＝ 3.
所以椭圆的方程为x32＋y22＝1.
解答
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C， D两点.若 A→C·D→B＋A→D·C→BO＝为8，坐标原点，求△OCD的面积.
解答
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直 的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.
解答
考点三 圆锥曲线中的证明问题
方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现.无论证 明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求 条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向.
方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的 方程与直线方程联立来处理. (1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两 种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b(斜率不为0)的形式. (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的 判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系. (3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|或|AB|＝
1＋k12·|y1－y2|.
1.已知 F 是椭圆x62＋y22＝1 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)， B(x1，y2)两点. (1)若 x1＋x2＝3，求弦 AB 的长；
解答
(2)O
为坐标原点，∠AOB＝θ，满足
→→ 3OA·OBtan
θ＝4
6，求直线 l 的方程.
解答
4.(2017·浙江)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A－12，14，B32，49，抛物线上
的点 P(x，y)－12＜x＜32，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
解
设直线 AP 的斜率为 k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
(*)
则有 x1＋x2＝－1＋ 8km4k2，x1x2＝41m＋2－4k126.
4 16k2＋4－m2 所以|x1－x2|＝ 1＋4k2 .
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB 的面积 S＝12|m||x1－x2|＝2
16k2＋4－m2|m| 1＋4k2
2 16k2＋4－m2m2
解 设点 F 的坐标为(－c，0)，依题意，得ac＝12， 2p＝a，a－c＝12，
解得 a＝1，c＝21，p＝2，
于是 b2＝a2－c2＝43.
所以椭圆的方程为 x2＋43y2＝1，抛物线的方程为 y2＝4x.
解答
(2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(点 B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若△APD 的面积为 26，求直线 AP 的方程.
规范解答·评分标准
解 (1)由题意知a32＋41b2＝1.
又
a2－b2 a＝
23，a2＝b2＋c2，
解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
3分
(2)由(1)知椭圆 E 的方程为1x62 ＋y42＝1.
①设 P(x0，y0)，||OOQP||＝λ(λ＞0)，
由题意知Q(－λx0，－λy0).
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
4.已知椭圆 E：xt2＋y32＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0) 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
解答
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.
解答
5.已知点 A(0，－2)，椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E的方程；
因为x420＋y20＝1， 又－1λ6x02＋－λ4y02＝1，
即λ42x420＋y20＝1，
所以 λ＝2，即||OOQP||＝2.
7分
②设A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，
第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第19练 圆锥曲线热点问题[解答题突破练]
明晰考情 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问 题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型. 2.题目难度：中高档难度.
栏目索 引
核心考点突破练 模板答题规范练
核心考点突破练
考点一 直线与圆锥曲线
因为－12＜x＜23.
所以直线AP斜率的取值范围为(－1,1).
解答
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解答
本课结束
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
证明
9.已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点0，12 作直线l与抛物线C交于 不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B， 其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 解 由抛物线 C：y2＝2px 过点 P(1,1)，得 p＝12， 所以抛物线C的方程为y2＝x，
解 由题设知焦距为 2 3，所以 c＝ 3.
又因为椭圆过点
3，12，
1
所以代入椭圆方程得a32＋b42＝1，
因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1,
故所求椭圆 C 的方程是x42＋y2＝1.
解答
(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任 意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝ －1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN.
解答
考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题
方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑 利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不 等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参 数的范围.
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求 直线AB的方程.
解答
3.设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为12.已知 A 是
抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为12.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
13 分
故 0＜S≤2 3，当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3. 14 分
由①知，△ABQ 的面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值为 6 3. 15 分
构建答题模板 [第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程； [第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2 ＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系； [第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系； [第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数 关系； [第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围 或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
抛物线 C 的焦点坐标为41，0，准线方程为 x＝－14.
解答
(2)求证：A为线段BM的中点.
证明
模板答题规范练
模板体验
例 (15 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的 离心率为 23，且点 3，12在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx ＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ①求||OOQP||的值；②求△ABQ 面积的最大值.
浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第21练基本初等函数函数的应用课
1 － ， 0 3 范围是__________.
解析
2 1 1 3 m＝ 2 ，所以 log4m＝2log2 2 ＝－3； 2 3
1 1 － ， 0 ＝－ >1 ，解得 x 的取值范围是 log 4 x 2 . 3 3x
2 3
解析
b 2
C.(1＋a)a>(1＋b)b
√
D.(1－a)a>(1－b)b
解析 因为0<a<1，所以0<1－a<1，所以y＝(1－a)x是减函数，
1 b 又因为 0<b<1，所以 >b，b> ， b 2
1 所以(1－a) b
b <(1－a)b，(1－a)b<(1－a) 2 ，所以A，B两项均错；
又1<1＋a<1＋b，所以(1＋a)a<(1＋b)a<(1＋b)b，所以C错；
5 1 5 1 解析 logab＋logba＝ ⇒logab＋ ＝ ⇒logab＝2 或 ， 2 logab 2 2
因为a>b>1，所以logab<1，
1 1 所以 logab＝ ⇒b＝a 2 ⇒b2＝a， 2
b2 ∴ ＝1. a
解析
答案
4.已知 m＝2
2 1 3
1 － x 3 ；满足 lognm>1 的实数 x 的取值 ， n＝4 ，则 log4m＝____
解析 答案
2 ，x<2， 11.已知函数f(x)＝ x 若关于 x 的方程 f(x) － k ＝ 0 有唯 2 － x － 3 ＋2，x≥2， 一
[0,1)∪(2，＋∞)
A.2 018 C.2 020
浙江省高考数学 精准提分练 解答题滚动练2-人教版高三全册数学试题
解答题滚动练21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于M ，已知S △OAM ＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由S △OAM ＝55和α为锐角， ∴sin α＝255，cos α＝55. 又点B 的纵坐标是210， ∴sin β＝210，cos β＝－7210. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)∵cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×255×55＝45， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. ∵sin(2α－β)＝sin 2α·cos β－cos 2α·sin β＝－22， ∴2α－β＝－π4.2．如图，在三棱锥P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝PC ＝2，AC ＝4，∠PBC ＝π6，点E 在BC 上，且BE ＝12EC . (1)求证：平面PAB ⊥平面PBC ；(2)求AE 与平面PAB 所成角的正弦值．(1)证明 因为PC ⊥平面ABC ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以PC ⊥AB ，PC ⊥BC .又因为在△PBC 中，PC ＝2，∠PBC ＝π6，所以BC ＝23， 而AB ＝2，AC ＝4，所以AC 2＝AB 2＋BC 2，所以AB ⊥BC .又AB ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ，所以AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC .(2)解 设AE 与平面PAB 所成的角为θ.因为BE ＝12EC ， 所以点E 到平面PAB 的距离d E ＝13d C (d C 表示点C 到平面PAB 的距离)． 过C 作CF ⊥PB 于点F ，由(1)知CF ⊥平面PAB ，易得d C ＝CF ＝3，所以d E ＝13d C ＝33. 又AE ＝AB 2＋BE 2＝433，所以sin θ＝d E AE ＝14. 3．已知数列{a n }的各项均为非负数，其前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有a n ＋1≤a n ＋a n ＋22. (1)若a 1＝1，a 505＝2017，求a 6的最大值；(2)若对任意n ∈N *，都有S n ≤1，求证：0≤a n －a n ＋1≤2n (n ＋1). (1)解 由题意知a n ＋1－a n ≤a n ＋2－a n ＋1，设d i ＝a i ＋1－a i (i ＝1,2，…，504)，则d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 504＝a 505－a 1＝2016，∵d 1＋d 2＋…＋d 55≤d 6＋d 7＋…＋d 504499＝2016－(d 1＋d 2＋…＋d 5)499，∴d 1＋d 2＋…＋d 5≤20，∴a 6＝a 1＋(d 1＋d 2＋…＋d 5)≤21，∴a 6的最大值为21.(2)证明 若存在k ∈N *，使得a k <a k ＋1，则由a n ＋1≤a n ＋a n ＋22，得a k ＋1≤a k －a k ＋1＋a k ＋2＜a k ＋2，因此，从第k 项a k 开始，数列{a n }严格递增，故a 1＋a 2＋…＋a n ＞a k ＋a k ＋1＋…＋a n ＞(n －k ＋1)a k ，对于固定的k ，当n 足够大时，必有a 1＋a 2＋…＋a n ＞1，与题设矛盾， ∴{a n }不可能递增，即只能a n －a n ＋1≥0.令b k ＝a k －a k ＋1(k ∈N *)，由a k －a k ＋1≥a k ＋1－a k ＋2得b k ≥b k ＋1，b k ≥0，故1≥a 1＋a 2＋…＋a n＝(b 1＋a 2)＋a 2＋…＋a n＝b 1＋2(b 2＋a 3)＋a 3＋…＋a n ＝…＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ＋na n ＋1≥(1＋2＋…＋n )b n ＝n (n ＋1)2b n ， ∴b n ≤2n (n ＋1)，综上，对一切n ∈N *，都有0≤a n －a n ＋1≤2n (n ＋1). 4．已知函数f (x )＝x 2－x ，g (x )＝e x －ax －1.(1)讨论函数g (x )的单调性；(2)当x ＞0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)g ′(x )＝e x －a .①当a ≤0时，g ′(x )＞0，g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，当x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上，当a ≤0时，g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，g (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)当x ＞0时，x 2－x ≤e x－ax －1，即a ≤e x x －x －1x＋1. 令h (x )＝e x x －x －1x＋1(x ＞0)， 则h ′(x )＝e x (x －1)－x 2＋1x 2(x >0)． 令F (x )＝e x (x －1)－x 2＋1(x ＞0)，则F ′(x )＝x (e x －2)(x >0)．当x ∈(0，ln 2)时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减；当x ∈(ln 2，＋∞)时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增．又F (0)＝0，F (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，F (x )＜0，即h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F (x )＞0，即h ′(x )＞0，h (x )单调递增．所以h (x )min ＝h (1)＝e －1，所以a ∈(－∞，e －1]．。
浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第11练三角函数与解三角形课件20
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x得，
f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin2x＋6π. 所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得，
π2＋2kπ≤2x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z，
又∠ABD＝60°，∠ACB＝30°，
则∠BAC＋∠CBD＝90°，
则sin∠BAC＝cos∠CBD，
所以BC＝4cos∠CBD.
证明
(2)点C移动时，判断CD是否为定长，并说明理由. 解 CD为定长，因为在△BCD中，由(1)及余弦定理可知， CD2＝BC2＋BD2－2×BC×BD×cos∠CBD， ＝BC2＋4－4BCcos∠CBD ＝BC2＋4－BC2＝4， 所以CD＝2.
因为 0＜A＜π，所以 A＝π3.
解答
(2)若bc＝12＋ 3，a＝ 15，求 b 的值. 解 根据正弦定理，得cb＝ssiinn CB＝sinsiAn＋B B
sin Acos B＋cos Asin B
＝
sin B
＝stainn AB＋cos A＝2tan3B＋12＝12＋ 3，
解得
tanBΒιβλιοθήκη 12，所以第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分
第11练 三角函数与解三角形[解答题突破练]
明晰考情 1.命题角度：常与三角恒等变换相结合，考查三角函数的单调性、对称 性、周期性、最值等；常与三角恒等变换、三角函数的性质相结合， 考查解三角形及三角形的面积等问题. 2.题目难度：一般在解答题的第一题的位置，中低档难度.
sin
B＝
5 5.
由正弦定理得，b＝assininAB＝
浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第17练直线与圆试题
第17练 直线与圆[明晰考情] 1.命题角度：直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时主要考查求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度．考点一 直线的方程方法技巧 (1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．1．已知直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 “l 1⊥l 2”的充要条件是“m (m －3)＋1×2＝0⇔m ＝1或m ＝2”，因此“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值(m －6m )范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]答案 C解析 由题意得，两点A (1,2)，B (2,11)分布在直线y ＝x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中(m －6m )一点在直线上)，∴≤0，(m －6m －2＋1)[2(m －6m )－11＋1]解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.3．过点P (2,3)的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △AOB 的最小值为________．答案 12解析 依题意，设直线l 的方程为＋＝1(a >0，b >0)．x a yb ∵点P (2,3)在直线l 上，∴＋＝1，则ab ＝3a ＋2b ≥2，2a 3b 6ab 故ab ≥24，当且仅当3a ＝2b (即a ＝4，b ＝6)时取等号．因此S △AOB ＝ab ≥12，即S △AOB 的最小值为12.124．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．答案 32解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得＝，即|m ＋7|＝|m ＋5|，解得m ＝－6，即|m ＋7|2|m ＋5|2l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为＝3.|－6|22考点二 圆的方程方法技巧 (1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程．5．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 设圆心坐标为(a ，－a )，则＝，即|a |＝|a －2|，|a －(－a )|2|a －(－a )－4|2解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝＝，222故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆心在曲线y ＝(x ＞0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )2x A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25答案 A解析 y ＝的导数y ′＝－，令－＝－2，2x 2x 22x 2得x ＝1(舍负)，平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝(x ＞0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，2x 得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为＝.555故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的5距离为，则圆C 的方程为________________．455答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 ∵圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0.则圆心C 到直线2x －y ＝0的距离d ＝＝，|2a －0|5455解得a ＝2(舍负)．∴圆C 的半径r ＝|CM |＝＝3，(2－0)2＋(0－5)2因此圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得的弦长为2，3则圆C 的标准方程为__________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆心(a >0)，半径为a .(a ，a2)由勾股定理得()2＋2＝a 2，解得a ＝2(舍负)．3(a2)所以圆心为(2,1)，半径为2，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.考点三 点、直线、圆的位置关系方法技巧 (1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．(2)与弦长l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．l29．过点P (－3,1)，Q (a ，0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为( )A ．－ B.5353C.D ．－3535答案 A解析 点P (－3,1)关于x 轴的对称点为P ′(－3，－1)，由题意得直线P ′Q 与圆x 2＋y 2＝1相切，因为直线P ′Q ：x －(a ＋3)y －a ＝0＝1，得a ＝－.|－a |1＋(a ＋3)25310．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)，若倾斜角为45°的直线l 过抛物线y 2＝－12x 的焦点，且直线l 被圆C 截得的弦长为2，则a 等于( )3A.＋1 B.22C ．2－ D.－122答案 D解析 ∵抛物线y 2＝－12x 的焦点为(－3,0)，故直线的方程为x －y ＋3＝0.∵弦长为2，圆的半径r ＝2，3∴圆心到直线的距离d ＝1，即＝1，|a －2＋3|2结合a >0，得a ＝－1，故选D.211．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 5－42解析 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，由点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，得(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝5，所以(|PM |＋|PN |)min ＝5－(1＋3)22＝5－4.212．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为______________________．答案 (x ＋1)2＋(y －)2＝13解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )．又F (1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a )．AC → AF→ 由题意知与的夹角为120°，AC → AF→ 得cos120°＝＝＝－，AC → ·AF →|AC → |·|AF →|－11×1＋a212解得a ＝(舍负)．3所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1.31．直线x cos θ＋y ＋2＝0的倾斜角α的取值范围是________．3答案 ∪[0，π6][5π6，π)解析 设直线的斜率为k ，则k ＝tan α＝－cos θ.33因为－1≤cos θ≤1，所以－≤－cos θ≤.333333所以－≤tan α≤.3333①当0≤tan α≤时，0≤α≤；33π6②当－≤tan α＜0时，≤α＜π.335π6故此直线的倾斜角α的取值范围是∪.[0，π6][5π6，π)2．已知过点(2,4)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －5＝0截得的弦长为6，则直线l 的方程为________________．答案 x －2＝0或3x －4y ＋10＝0解析 当l 斜率不存在时，符合题意；当l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)＋4，C ：(x －1)2＋(y －2)2＝10.由题意可得2＋2＝10，(|2－k |k 2＋1)(62)解得k ＝，此时l ：3x －4y ＋10＝0.34综上，直线l 的方程是x －2＝0或3x －4y ＋10＝0.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案 7解析 如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝＝，|PM|2－|MQ |2|PM |2－1要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝＝2.|3－0＋1|12＋(－1)22所以|PM |的最小值为2.2所以|PQ |＝≥＝.|PM |2－1(22)2－17解题秘籍 (1)直线倾斜角的范围是[0，π)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围．(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形．(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系．1．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 “直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.∴命题p 是命题q 的充分不必要条件．2．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞) B ．(0,5]C ．(，＋∞) D ．(0，]3434答案 D解析 当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为＝，(－1－2)2＋[2－(－3)]234∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，]．故选D.343．已知过点P (2,2)的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－B ．1C ．2D.1212答案 C解析 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，且P 为圆C 上一点，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以＝a ，解得a ＝2.2－02－14．若直线x －y ＋m ＝0被圆C ：(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为2，则m 的值为( )3A ．1B ．－3C ．1或－3D ．2答案 C解析 ∵圆C ：(x －1)2＋y 2＝5的圆心C (1,0)，半径r ＝，5又直线x －y ＋m ＝0被圆截得的弦长为2.3∴圆心C 到直线的距离d ＝＝，r 2－(3)22∴＝，∴m ＝1或m ＝－3.|1－0＋m |12＋(－1)225．已知三点A (1,0)，B (0，)，C (2，)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )33A. B.53213C. D.25343答案 B解析 设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴Error!∴Error!∴△ABC 外接圆的圆心为，(1，233)∴圆心到原点的距离d ＝＝.12＋(233)22136．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．10B ．9C ．10D ．931212311答案 C解析 易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝，2∴最短弦的长为2＝2＝2，r 2－|PC |225－223故所求四边形的面积S ＝×10×2＝10.1223237．已知圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＋11＝0，直线l ：x ＋y －t ＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l 的距离等于，则参数t 的取值范围为( )22A ．(2,4)∪(6,8) B ．(2.4]∪[6,8)C ．(2,4) D ．(6,8)答案 A解析 把x 2＋y 2－4x －6y ＋11＝0变形为(x －2)2＋(y －3)2＝2，所以圆心坐标为(2,3)，半径为，则<<＋，解得2<t <4或6<t <8.222|2＋3－t |22228．如图，圆M 和圆N 与直线l ：y ＝kx 分别相切于点A ，B ，与x 轴相切，并且圆心连线与l 交于点C ，若|OM |＝|ON |且＝2，则实数k 的值为( )AC → CB→A ．1 B.34C. D.343答案 D解析 过两圆圆心分别作x 轴的垂线，垂足分别为P ，Q ，设圆M ，圆N 的半径分别为R ，r ，∵＝2，∴|AC |＝2|BC |.AC → CB→ ∵OB 是圆M ，圆N 的切线，∴AM ⊥OB ，BN ⊥OB ，△MAC ∽△NBC ，∴＝＝2，即R ＝2r .|AM ||BN ||AC ||BC |∵x 轴是两圆的公切线，且OB 也是两圆的公切线，∴OM 平分∠BOP ，ON 平分∠BOQ ，∴∠NOQ ＋∠POM ＝90°，∴∠NOQ ＝∠PMO ，又|OM |＝|ON |，∴△MPO ≌△OQN ，∴|OQ |＝|MP |＝R .∴tan∠NOQ ＝＝＝，|NQ ||OQ |r R 12∴tan∠BOQ ＝tan2∠NOQ ＝＝，∴k ＝.12＋121－(12)243439．(2018·全国Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝______.答案 22解析 由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝，∴|AB |＝2＝2＝2.2r 2－d 24－2210．直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直2角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最大值为________．答案 ＋12解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离等于，由点到直222＝，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－且b ∈[－，]．点12a 2＋b 222b 2222P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝＝，因此当b ＝－时，a 2＋(b －1)212b 2－2b ＋22d max ＝＝＋1.3＋22211．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线l ：y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的方程为________．答案 x ＋y －3＝0解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋(y －1)2＝9，∴圆C 的圆心C (4,1)，半径r ＝3.又直线l ：y ＝a (x －3)过定点P (3,0)，则当直线l 与直线CP 垂直时，被圆C 截得的弦长最短．因此a ·k CP ＝a ·＝－1，1－04－3∴a ＝－1.故所求直线l 的方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知，(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理得3k 2－4k ≤0，|4k －2|k 2＋1解得0≤k ≤.故k 的最大值是.4343。
浙江高考数学第二轮复习专题练习《圆》(后附参考答案与解析过程)
浙江高考数学第二轮复习专题练习：《圆》【复习目标】掌握圆的方程；掌握直线与圆的位置关系，会根据条件求弦长（取值范围、最值等），能解决圆与直线、圆锥曲线相关联时的综合问题.一、单选题1．（2020·全国高考真题（文））已知圆x2+y2−6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2 C．3D．42．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4B．5C．6D．73．（2020·全国高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（）A．√55B．2√55C．3√55D．4√554．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=√x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+125．（2013·重庆高考真题（理））已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4B．1C．6﹣2D．6．（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0C．2x−y+1=0D．2x+y+1=0二、多选题7．（2020·海南高考真题）已知曲线C:mx2+ny2=1.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn xD ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题8．（2020·天津高考真题）已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A,B 两点．若||6AB ，则r 的值为_________．9．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．10．（2009·全国高考真题（文））已知圆O ：和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________11．（2010·天津高考真题（理））已知圆C 的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C 相交于两点，且，则圆C 的方程为__________________.12．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则点A 的横坐标为________．13．（2017·天津高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC =120°，则圆的方程为____________ .14．（2017·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________ 五、双空题15．（2020·浙江高考真题）设直线l:y =kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，则k =_______；b =______．16．（2019·浙江高考真题）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x−y+3=0与圆相切于点A(−2,−1)，则m=_____，r=______.四、解答题17．（2012·湖南高考真题（文））在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为1的椭圆E的2一个焦点为圆C：x2+y2−4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切（Ⅰ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12时，求P的坐标．18．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅰ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．参考答案1．B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(−2)2=2√2根据弦长公式得最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2. 故选：B.2．A【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.3．B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x−y−3=0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(a,a )，则圆的半径为a ， 圆的标准方程为(x −a )2+(y −a )2=a 2. 由题意可得(2−a )2+(1−a )2=a 2， 可得a 2−6a +5=0，解得1a =或a =5， 所以圆心的坐标为(1,1)或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线2x −y −3=0的距离均为d =√5=2√55； 所以，圆心到直线2x −y −3=0的距离为2√55.故选：B. 4．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x ，设直线l 的方程为y −√x 0=2x x −x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则01+4x =√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即y =12x +12. 故选：D.5．A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．6．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=2×1+1+2√22+12=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|√5min，|PA|min，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.7．ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn<0时表示双曲线，m=0,n>0时表示两条直线.【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，因为m>n>0，所以1m <1n，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为√nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=±√−mnx，故C正确；对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，y=±√nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.8．5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2√r2−d2，即可求得r．【详解】因为圆心(0,0)到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，由|AB|=2√r2−d2可得6=2√r2−42，解得r=5．故答案为：5．9．(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4. 10．254【解析】试题分析：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为−1K OA =−121=−12，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=−12（x-1）， 即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为12×52×5=25411．x 2+(y −1)2=10 【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，r 2=32+(0−3−2)252=10，圆C 的方程为x 2+(y −1)2=10. 12．3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设A (a,2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 中点得C (a+52,a),易得⊙C:(x −5)(x −a )+y (y −2a )=0，与y =2x 联立解得点D 的横坐标x D =1,所以D (1,2).所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5−a,−2a ),CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−a+52,2−a)，由AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(5−a )(1−a+52)+(−2a )(2−a )=0,a 2−2a −3=0,a =3或a =−1，因为a >0，所以a =3.13． (x +1)2+(y −√3)2=1 【解析】设圆心坐标为C(−1,m)，则A(0,m)，焦点F(1,0)，AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0),AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−m )cos∠CAF =AC⃑⃑⃑⃑⃑ ∙AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|∙|AF|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√1+m2=−12,m =±√3， 由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则取m ，所求圆得圆心为(−1,√3)，半径为1， 所求圆的方程为(x +1)2+(y −√3)2=1.14．[−5√2,1] 【解析】设P(x,y)，由PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ≤20，易得2x −y +5≤0，由{2x −y +5=0x 2+y 2=50，可得A:{x =−5y =−5或B:{x =1y =7，由2x −y +5≤0得P 点在圆左边弧AB⏜上，结合限制条件−5√2≤x ≤5√2，可得点P 横坐标的取值范围为[−5√2,1]．15．√33−2√33【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设C 1:x 2+y 2=1，C 2:(x −4)2+y 2=1，由题意，C 1,C 2到直线的距离等于半径，即√k 2+12=1，√k 2+12=1，所以|b|=|4k +b |，所以k =0（舍）或者b =−2k ， 解得k =√33,b =−2√33. 故答案为：√33;−2√3316．m =−2 r =√5 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,m)代入后求得m ，计算得解. 【详解】11可知k AC =−12⇒AC:y +1=−12(x +2)，把(0,m)代入得m =−2，此时r =|AC|=√4+1=√5.17．（Ⅰ）x 216+y 212=1.（Ⅰ）()2,3-，或(−2,−3)，或(185,√575)，或(185,−√575). 【解析】（1）圆的标准方程为(x −2)2+y 2=2，圆心为(2,0)，所以c =2，又e =ca =12，a =4，b 2=a 2−c 2=12，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为x 216+y 212=1．（2）设P (x 0,y 0)，得l 1:y −y 0=k 1(x −x 0),l 2:y −y 0=k 2(x −x 0) ∵k 1k 2=12，依题意C (2,0)到l 1的距离为1010√1+k 1=√2整理得[(2−x 0)2−2]k 12+2(2−x 0)y 0k 1+y 02−2=0同理[(2−x 0)2−2]k 22+2(2−x 0)y 0k 2+y 02−2=0∴k 1k 2是方程[(2−x 0)2−2]k 2+2(2−x 0)y 0k +y 02−2=0的两实根{(2−x 0)2−2≠0Δ=8[(2−x 0)2+y 02−2]>0k 1k 2=y 02−2(2−x0)2−2=12∴{x 0216+y 0212=1(2−x 0)2−2=2(y 02−2)⇒P (−2,3)或P (−2,−3)或(185,√575)或(185,−√575) 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）圆的切线．18．(Ⅰ) x 2=−4y ，y =1； 【解析】(Ⅰ)将点(2,−1)代入抛物线方程：22=2p ×(−1)可得：p =2， 故抛物线方程为：x 2=−4y ，其准线方程为：y =1. (Ⅰ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为(0,−1)，设直线方程为y =kx −1，与抛物线方程x 2=−4y 联立可得：x 2+4kx −4=0. 故：x 1+x 2=−4k,x 1x 2=−4.设M (x 1,−x 124),N (x 2,−x224)，则k OM =−x 14,k ON =−x24，直线OM的方程为y=−x14x，与y=−1联立可得：A(4x1,−1)，同理可得B(4x2,−1)，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：(2x1+2x2,−1)，圆的半径为：|2x1−2x2|，且：2x1+2x2=2(x1+x2)x1x2=2k，|2x1−2x2|=2×√(x1+x2)2−4x1x2|x1x2|=2√k2+1，则圆的方程为：(x−2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0整理可得：y2+2y−3=0，解得：y1=−3,y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,−3),(0,1).12。
(浙江专用)高考数学二轮复习精准提分 第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分 第23练 导数与函数的
第23练 导数与函数的单调性、极值、最值[明晰考情] 1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数X 围是高考的热点.2.题目难度：偏难题．考点一 利用导数研究函数的单调性方法技巧 (1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在此区间内单调递减． (2)已知函数的单调性求参数的取值X 围：若可导函数f (x )在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f (x )在这个区间内f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)．(3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解． 1．已知函数f (x )＝e x＋1ax(a ≠0，x ≠0)在x ＝1处的切线与直线(e －1)x －y ＋2018＝0平行，求a 的值并讨论函数y ＝f (x )在(－∞，0)上的单调性． 解 ∵f ′(x )＝e x－1ax2，f ′(1)＝e －1a＝e －1，∴a ＝1.∴f ′(x )＝e x－1x 2＝x 2e x －1x 2，令h (x )＝x 2e x －1，则h ′(x )＝(2x ＋x 2)e x，∴当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x )>0；当x ∈(－2,0)时，h ′(x )<0. 则h (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减． ∴当x ∈(－∞，0)时，h (x )≤h (－2)＝4e 2－1<0，即当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0,2)上的单调性． 解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2(x >0，k >0)．①当0<k <2时，4k >k >0，且4k>2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4k＝k ＝2，f ′(x )<0在(0,2)上恒成立，所以f (x )在(0,2)上是减函数； ③当k >2时，0<4k <2，k >4k，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4k，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0,2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k，2上是增函数．3．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解 f ′(x )＝a x ＋1－a －2x ＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2＋a 2x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)， ①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1,0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1,0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减； 若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增； 若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1,0)上单调递增， 在(0，＋∞)上单调递减； 当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1，－a ＋22上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； 当a ＜－2时，f (x )在(－1,0)上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋22上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．考点二 利用函数的单调性求参数X 围方法技巧 (1)已知函数的单调性，求参数的取值X 围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值X 围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的X 围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解． 4．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求b的取值X 围．解 f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜12，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x＜0，依题意得当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，b ≤19.所以b 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19.5．设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值X 围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋aex， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0. 当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xe x， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知，f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x. 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数； 当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数； 当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数． 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数知， x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.6．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2＋2ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x.当0<x <1或x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当1<x <2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(0,1)，(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)． (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数， 则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝x －2ax－2≥0恒成立，即x 2－2x －2a x≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴x 2－2x －2a ≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤12(x 2－2x )＝12(x －1)2－12恒成立．又φ(x )＝12(x －1)2－12，x ∈(0，＋∞)的最小值为－12.∴当a ≤－12时，g ′(x )≥0恒成立．又当a ＝－12时，g ′(x )＝(x －1)2x ，当且仅当x ＝1时，g ′(x )＝0.故当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12时，g (x )＝f (x )－ax 在(0，＋∞)上单调递增．考点三 导数与函数的极值、最值要点重组 (1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值，在x 0处，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．(3)一般地，在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么函数y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．函数的最值必在极值点或区间的端点处取得． 7．(2017·某某)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值X 围． 解 (1)因为(x －2x －1)′＝1－12x －1，(e －x)′＝－e －x，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x＝(1－x )(2x －1－2)e －x2x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12. (2)由f ′(x )＝(1－x )(2x －1－2)e－x2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝52.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：又f (x )＝12(2x －1－1)2e －x≥0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的取值X 围是1210e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.8．讨论函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )(a ∈R )的极值点的个数． 解 由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； ②当a ＞0时，令2ax 2＋ax －a ＋1＝0，则Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0.故f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点； 当a ＞89时，Δ＞0.设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14，由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 因此函数f (x )有两个极值点；③当a ＜0时，Δ＞0，由g (－1)＝1＞0，可得x 1＜－1. 当x ∈(－1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，所以函数f (x )有一个极值点．综上所述，当a ＜0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a ＞89时，函数f (x )有两个极值点．9．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立，求正数a 的取值X 围． 解 (1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2，x ∈(0，＋∞)．①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，无极值； ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )上为减函数；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在(0，＋∞)上有极小值，无极大值，f (x )的极小值为f (a )＝ln a ＋1.(2)若对任意x >0，均有x (2ln a －ln x )≤a 恒成立， 即对任意x >0，均有2ln a ≤a x＋ln x 恒成立，由(1)可知f (x )的最小值为ln a ＋1，问题转化为2ln a ≤ln a ＋1，即ln a ≤1，故0<a ≤e， 故正数a 的取值X 围是(0，e]．例 (15分)设函数f (x )＝12a 2x 2－ln x (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果函数f (x )的图象不在x 轴的下方，某某数a 的取值X 围． 审题路线图(1)求导得f ′(x )＝a 2x －1x(x >0)→分a ＝0，a >0，a <0讨论→得f (x )的单调区间(2)将所求转化为f (x )≥0，即a 2≥2ln x x2→令h (x )＝2ln x x 2(x >0)，利用导数，求出h (x )的最大值为1e →解不等式a 2≥1e ，可求得a 的取值X 围规X 解答·评分标准解 (1)f ′(x )＝a 2x －1x(x ＞0).1分当a ＝0时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a 2x 2－1x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1a 2x，由f ′(x )≥0，得x ≥1a ；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a.4分所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞.当a <0时，f ′(x )＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1a 2x ，由f ′(x )≥0，得x ≥－1a；由f ′(x )<0，得0＜x <－1a.7分所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1a ，＋∞.综上，当a ＝0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞；当a ＜0时，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1a ，＋∞.8分(2)f (x )的图象不在x 轴的下方，即当x ＞0时，f (x )≥0恒成立， 所以12a 2x 2－ln x ≥0，即a 2≥2ln x x 2.9分令h (x )＝2ln xx2(x ＞0)，则h ′(x )＝2(x －2x ln x )x 4＝2(1－2ln x )x3，12分由h ′(x )＞0，得0＜x ＜e ；由h ′(x )＜0，得x ＞ e.故h (x )在(0，e]上单调递增，在[e ，＋∞)上单调递减．当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e .所以a 2≥1e ，解得a ≤－e e 或a ≥e e .14分故实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－e e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫e e ，＋∞.15分 构建答题模板[第一步] 求导：一般先确定函数的定义域，再求导数f ′(x )．[第二步] 转化：“判断函数单调性、求极值(最值)”常转化为“判断f ′(x )的符号”，“切线方程、切线的斜率(或倾斜角)、切点坐标”，常转化为“导数的几何意义”，“恒成立问题”常转化为“求最值”等．[第三步] 求解：根据题意求出函数的单调区间、极值、最值等问题． [第四步] 反思：单调区间不能用“∪”连接；X 围问题的端点能否取到．1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数． 2．已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )．若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，某某数a 的取值X 围．解 函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x ＝－(2ax ＋1)(ax －1)x.方法一 ①当a ＝0时，f ′(x )＝1x＞0，所以f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，不合题意；②当a ＞0时，令f ′(x )≤0(x ＞0)，即(2ax ＋1)(ax －1)≥0(x ＞0)，即x ≥1a，此时f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a≤1，a ＞0，解得a ≥1；③当a ＜0时，令f ′(x )≤0(x ＞0)，即(2ax ＋1)(ax －1)≥0(x ＞0)，即x ≥－12a. 此时f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，＋∞. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12a≤1，a ＜0，解得a ≤－12.综上，实数a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 方法二 ①当a ＝0时，f ′(x )＝1x＞0，所以f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，不合题意；②当a ≠0时，要使函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，只需f ′(x )≤0在区间[1，＋∞)上恒成立．因为x ＞0，所以只要2a 2x 2－ax －1≥0在区间[1，＋∞)上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4a2≤1，2a 2－a －1≥0，解得a ≥1或a ≤－12.综上，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，讨论g (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－ax ，所以当a ＝2时，f (3)＝0，f ′(x )＝x 2－2x ，所以f ′(3)＝3，因此曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.(2)因为g (x )＝f (x )＋(x －a )cos x －sin x ，所以g ′(x )＝f ′(x )＋cos x －(x －a )sin x －cos x ＝x (x －a )－(x －a )sin x ＝(x －a )(x －sin x )．令h (x )＝x －sin x ，则h ′(x )＝1－cos x ≥0，所以h (x )在R 上单调递增．因为h (0)＝0，所以当x >0时，h (x )>0；当x <0时，h (x )<0.①当a <0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，a )时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(a ，0)时，x －a >0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝a 时，g (x )取到极大值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ； 当x ＝0时，g (x )取到极小值，极小值是g (0)＝－a .②当a ＝0时，g ′(x )＝x (x －sin x )，当x ∈(－∞，＋∞)时，g ′(x )≥0，g (x )单调递增；所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，g (x )无极大值也无极小值．③当a >0时，g ′(x )＝(x －a )(x －sin x )，当x ∈(－∞，0)时，x －a <0，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(0，a )时，x －a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，x －a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以当x ＝0时，g (x )取到极大值，极大值是g (0)＝－a ；当x ＝a 时，g (x )取到极小值，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a . 综上所述，当a <0时，函数g (x )在(－∞，a )和(0，＋∞)上单调递增，在(a ，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (a )＝－16a 3－sin a ，极小值是g (0)＝－a ； 当a ＝0时，函数g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a >0时，函数g (x )在(－∞，0)和(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g (0)＝－a ，极小值是g (a )＝－16a 3－sin a . 4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋2ln x .(1)若函数y ＝f (x )在定义域上单调递增，某某数a 的取值X 围； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，若x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ，且f (x 1)≥t ＋f (x 2)恒成立，某某数t 的取值X 围．解 (1)因为函数y ＝f (x )在定义域上单调递增，所以f ′(x )≥0，即2x －a ＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x ＋2x(x ∈(0，＋∞))． 而2x ＋2x ≥22x ·2x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时等号成立，所以a ≤4， 所以实数a 的取值X 围是(－∞，4]．(2)因为f ′(x )＝2x 2－ax ＋2x(x ＞0)， 由题意可得x 1，x 2为方程f ′(x )＝0，即2x 2－ax ＋2＝0(x ＞0)的两个不同实根， 所以ax 1＝2x 21＋2，ax 2＝2x 22＋2.由根与系数的关系可得x 1x 2＝1.由已知0＜x 1≤1e ，则x 2＝1x 1≥e. 而f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－ax 1＋2ln x 1)－(x 22－ax 2＋2ln x 2)＝[x 21－(2x 21＋2)＋2ln x 1]－[x 22－(2x 22＋2)＋2ln x 2]＝(－x 21－2＋2ln x 1)－(－x 22－2＋2ln x 2)＝x 22－x 21＋2(ln x 1－ln x 2) ＝x 22－x 21＋2ln x 1x 2＝x 22－1x 22＋2ln 1x 22＝x 22－1x 22－2ln x 22(x 2≥e)． 设p (x )＝x －1x－2ln x (x ≥e 2)， 则p ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x2， 显然当x ≥e 2时，p ′(x )＞0，函数p (x )单调递增，故p (x )≥p (e 2)＝e 2－1e 2－2lne 2＝e 2－1e 2－4.故f (x 1)－f (x 2)≥e 2－1e 2－4， 故t ≤e 2－1e 2－4. 所以实数t 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2－1e 2－4.。
浙江专用2019高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练中高档题得高分第19练圆锥曲线热点问题试题
第19练 圆锥曲线热点问题[明晰考情] 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型.2.题目难度：中高档难度．考点一 直线与圆锥曲线方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b (斜率不为0)的形式．(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB |＝·|x 1－x 2|或|AB |＝·|y 1－y 2|.1＋k 21＋1k21．已知F 是椭圆＋＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 1，y 2)两点．x 26y 22(1)若x 1＋x 2＝3，求弦AB 的长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3·tan θ＝4，求直线l 的方程．OA → OB →6解 (1)由题意可知过F 的直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，联立Error!得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，Δ>0显然成立．∵x 1＋x 2＝3，∴＝3，12k 23k 2＋1∴k 2＝1，则x 1x 2＝＝，12k 2－63k 2＋132∴|AB |＝|x 1－x 2|1＋k 2＝＝.2(x 1＋x 2)2－4x 1x 26(2)∵3·tan θ＝4，OA → OB →6∴||||sin θ＝，OA → OB →463∴S △AOB ＝，263即×2×|y 1－y 2|＝，12263由题意知，l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为x ＝my ＋2，联立Error!得(m 2＋3)y 2＋4my －2＝0，Δ>0显然成立．∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，4m m 2＋32m 2＋3∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝，83即m 4－3m 2＝0，∴m ＝0或m ＝±，3∴直线l 的方程为x ＝2或x ±y －2＝0.32．设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，x 24A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝，y 2＝，x 1＋x 2＝4，x 214x 24于是直线AB 的斜率k ＝＝＝1.y 1－y 2x 1－x 2x 1＋x 24(2)由y ＝，得y ′＝.x 24x2设M (x 3，y 3)，由题设知＝1，x 32解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝，x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2.m ＋1从而|AB |＝|x 1－x 2|＝4.22(m ＋1)由题设知|AB |＝2|MN |，即4＝2(m ＋1)，2(m ＋1)解得m ＝7或m ＝－1(舍)．所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.3．设椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为.已知A 是抛物线y 2＝x 2a 2y 2b 2122px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为.12(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (点B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为，求直线AP 的方程．62解 (1)设点F 的坐标为(－c ，0)，依题意，得＝，c a 12＝a ，a －c ＝，p212解得a ＝1，c ＝，p ＝2，12于是b 2＝a 2－c 2＝.34所以椭圆的方程为x 2＋＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .4y 23(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ，(－1，－2m)故点Q .(－1，2m)将x ＝my ＋1与x 2＋＝1联立，消去x ，4y 23整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝.－6m3m 2＋4由点B 异于点A ，可得点B ，(－3m 2＋43m 2＋4，－6m3m 2＋4)由Q ，可得直线BQ 的方程为(x ＋1)－＝0，(－1，2m )(－6m 3m 2＋4－2m )(－3m 2＋43m 2＋4＋1)(y －2m)令y ＝0，解得x ＝，2－3m 23m 2＋2故点D .(2－3m 23m 2＋2，0)所以|AD |＝1－＝.2－3m 23m 2＋26m 23m 2＋2又因为△APD 的面积为，62故××＝，整理得3m 2－2|m |＋2＝0，126m 23m 2＋22|m |626解得|m |＝，63所以m ＝±.63所以直线AP 的方程为3x ＋y －3＝0或3x －y －3＝0.66考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．4．已知椭圆E ：＋＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，Mx 2t y 23两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；(2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，椭圆E 的方程为＋＝1，A (－2,0)．x 24y 23由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为.π4因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入＋＝1，得7y 2－12y ＝0，x 24y 23解得y ＝0或y ＝，所以y 1＝.127127因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×××＝.1212712714449(2)由题意知t >3，k >0，A (－，0)，设M (x 1，y 1)，t 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋)代入＋＝1，t x 2t y 23得(3＋tk 2)x 2＋2·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.t 由x 1·(－)＝，t t 2k 2－3t3＋tk 2得x 1＝，t (3－tk 2)3＋tk 2故|AM |＝|x 1＋|＝.t 1＋k 26t (1＋k 2)3＋tk 2由题设，直线AN 的方程为y ＝－(x ＋)，1kt 故同理可得|AN |＝.6k t (1＋k 2)3k 2＋t 由2|AM |＝|AN |，得＝，23＋tk 2k3k 2＋t即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝时上式不成立，因此t ＝.323k (2k －1)k 3－2t >3等价于＝<0，即<0.k 3－2k 2＋k －2k 3－2(k －2)(k 2＋1)k 3－2k －2k 3－2由此得Error!或Error!解得<k <2.32因此k 的取值范围是(，2)．325．已知点A (0，－2)，椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的离心率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFx 2a 2y 2b 232的斜率为，O 为坐标原点．233(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解 (1)设F (c ，0)，由条件知，＝，得c ＝.2c 2333又＝，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.c a32故E 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入＋y 2＝1，x 24得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>时，x 1,2＝.348k ±24k 2－34k 2＋1从而|PQ |＝|x 1－x 2|＝.k 2＋14k 2＋14k 2－34k 2＋1又点O 到直线PQ 的距离d ＝，2k 2＋1所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝·d ·|PQ |＝.1244k 2－34k 2＋1设＝t ，4k 2－3则t >0，S △OPQ ＝＝≤1.4t t 2＋44t ＋4t当且仅当t ＝2，即k ＝±时等号成立，且满足Δ>0.72所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±x ＋4＝0.76．(2016·浙江)如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p ＝2.p2(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1,0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1，B (x B ，y B )．∵AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由Error!消去x 得y 2－4sy －4＝0，Δ>0显然成立．故2t ·y B ＝－4，∴y B ＝－，2t∴B.(1t2，－2t)又直线AB 的斜率为，2tt 2－1故直线FN 的斜率为－，t 2－12t从而得直线FN ：y ＝－(x －1)，t 2－12t直线BN ：y ＝－.2t∴N .(t 2＋3t 2－1，－2t)设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得＝，2tt 2－m2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1于是m ＝＝2＋，2t 2t 2－12t 2－1∴m <0或m >2.经检验知，m <0或m >2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．考点三 圆锥曲线中的证明问题方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现．无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向．7．(2018·全国Ⅰ) 设椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，x 22点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.由已知可得，点A 的坐标为或.(1，22)(1，－22)又M (2,0)，所以AM 的方程为y ＝－x ＋或y ＝x －.222222即x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.22(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＜，x 2＜，直线MA ，MB 的斜率之和22k MA ＋k MB ＝＋.y 1x 1－2y 2x 2－2由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得k MA ＋k MB ＝.2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k(x 1－2)(x 2－2)将y ＝k (x －1)代入＋y 2＝1，得x 22(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ＞0恒成立，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.4k 22k 2＋12k 2－22k 2＋1则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝＝0，4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .8．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的焦距为2，且C 过点.x 2a 2y 2b 23(3，12)(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 1，B 2分别是椭圆C 的下顶点和上顶点，P 是椭圆上异于B 1，B 2的任意一点，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，N 为线段PM 的中点，直线B 2N 与直线y ＝－1交于点D ，E 为线段B 1D 的中点，O 为坐标原点，求证：ON ⊥EN .(1)解 由题设知焦距为2，所以c ＝. 33又因为椭圆过点，(3，12)所以代入椭圆方程得＋＝1，3a 214b2因为a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1,故所求椭圆C 的方程是＋y 2＝1.x 24(2)证明 设P (x 0，y 0)，x 0≠0，则M (0，y 0)，N .(x 02，y 0)因为点P 在椭圆C 上，所以＋y ＝1.x 20420即x ＝4－4y .2020又B 2(0,1)，所以直线B 2N 的方程为y －1＝x .2(y 0－1)x 0令y ＝－1，得x ＝，x 01－y 0所以D .(x 01－y 0，－1)又B 1(0，－1)，E 为线段B 1D 的中点，所以E.(x 02(1－y 0)，－1)所以＝，＝.ON → (x 02，y 0)EN →(x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1)因为·＝＋y 0(y 0＋1)ON → EN → x 02[x 02－x 02(1－y 0)]＝－＋y ＋y 0＝1－＋y 0＝1－y 0－1＋y 0＝0，x 204x 204(1－y 0)204－4y 24(1－y 0)所以⊥，即ON ⊥EN .ON → EN →9．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，(0，12)过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px过点P (1,1)，得p ＝，12所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(14，0)14(2)证明 由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．12由Error!得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.1－kk 214k 2Δ＝(4k －4)2－16k 2＝16k 2－32k ＋16－16k 2＝－32k ＋16>0，所以k <.12因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.y 2x 2(x 1，y 2x 1x2)因为y 1＋－2x 1＝y 2x 1x 2y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝(kx 1＋12)x 2＋(kx 2＋12)x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝＝0，(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x2所以y 1＋＝2x 1，y 2x 1x2故A 为线段BM的中点．例 (15分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且x 2a 2y 2b 232点在椭圆C 上．(3，12)(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：＋＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，Bx 24a 2y 24b2两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求的值；|OQ ||OP |②求△ABQ 面积的最大值．审题路线图(1)―→椭圆C 上的点满足条件列出a ，b 的关系式――――――――→已知离心率e ＝32，a 2＝b 2＋c 2基本量法求得椭圆C 的方程(2)①―→P 在C 上，Q 在E 上――――→P ，O ，Q共线设坐标代入方程求出|OQ ||OP |②→直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法研究判别式Δ并判断根与系数的关系→用m ，k 表示S△OAB 求S △OAB 最值――――――――→利用①得S△ABQ 和S △OAB 的关系得S △ABQ 的最大值规范解答·评分标准解 (1)由题意知＋＝1.3a 214b2又＝，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1.a 2－b 2a 32所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.3分x 24(2)由(1)知椭圆E 的方程为＋＝1.x 216y 24①设P (x 0，y 0)，＝λ(λ＞0)，|OQ ||OP |由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为＋y ＝1，x 2420又＋＝1，即＝1，(－λx 0)216(－λy 0)24λ24(x 204＋y 20)所以λ＝2，即＝2.7分|OQ ||OP |②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，(*)则有x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8km 1＋4k 24m 2－161＋4k 2所以|x 1－x 2|＝.10分416k 2＋4－m 21＋4k 2因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝|m ||x 1－x 2|12＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2.12分(4－m 21＋4k 2)m 21＋4k 2设＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，m 21＋4k 2可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)由(*)和(**)可知0＜t ≤1，因此S ＝2＝2，13分(4－t )t －t 2＋4t 故0＜S ≤2，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2.14分33由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6.15分3构建答题模板[第一步] 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程；[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系；[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系；[第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系；[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件．1．如图，设点A ，F 1，F 2分别为椭圆＋＝1的左顶点和左、右焦点，过点A 作斜率为k 的x 24y 23直线交椭圆于另一点B ，连接BF 2并延长交椭圆于点C .(1)求点B 的坐标(用k 表示)；(2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解 (1)设点B (x B ，y B )，直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立＋＝1，x 24y 23得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，Δ＝(16k 2)2－4(3＋4k 2)(16k 2－12)＞0，∴－2x B ＝，16k 2－123＋4k 2即x B ＝.－8k 2＋63＋4k 2∴y B ＝k (x B ＋2)＝，12k3＋4k 2即B .(－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2)(2)易知F 2(1,0)，2BF k ＝，1CF k ＝－，4k 1－4k 21k∴直线BF 2，CF 1的方程分别为y ＝(x －1)，4k1－4k 2y ＝－(x ＋1)．1k由Error!解得C (8k 2－1，－8k )，代入＋＝1，x 24y 23得192k 4＋208k 2－9＝0，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，得k 2＝，124所以k ＝±.6122．设椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆x 2a 2y 2b 233截得的线段长为.433(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若·AC →＋·＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积．DB → AD → CB →解 (1)因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.4332b 2a 433因为椭圆的离心率为，所以＝，33ca 33又a 2＝b 2＋c 2，可解得b ＝，c ＝1，a ＝.23所以椭圆的方程为＋＝1.x 23y 22(2)由(1)可知F (－1,0)，则直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立Error!消去y 得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.6k 22＋3k 23k 2－62＋3k 2又A (－，0)，B (，0)，33所以·＋·AC → DB → AD → CB→＝(x 1＋，y 1)·(－x 2，－y 2)＋(x 2＋，y 2)·(－x 1，－y 1)3333＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋＝8，2k 2＋122＋3k 2解得k ＝±.2从而x 1＋x 2＝－＝－，x 1x 2＝＝0.6×22＋3×2323×2－62＋3×2所以|x 1－x 2|＝＝＝，(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(－32)2－4×032|CD |＝|x 1－x 2|＝×＝.1＋k 21＋232332而原点O 到直线CD 的距离d ＝＝＝，|k |1＋k221＋263所以△OCD 的面积S ＝|CD |×d ＝××＝.1212332633243．(2018·金华浦江适应性考试)如图，设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)，左、右焦点为F 1，F 2，x 2a 2y 2b2上顶点为D ，离心率为，且·＝－2.63DF 1→ DF 2→(1)求椭圆C 的方程；(2)设E 是x 轴正半轴上的一点，过点E 任作直线l 与C 相交于A ，B 两点，如果＋1|EA |21|EB |2是定值，试确定点E 的位置，并求S △DAE ·S △DBE 的最大值．解 (1)由题意知，D (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由e ＝，得＝.63c a 63由·＝－2，得－c 2＋b 2＝－2，DF 1→ DF 2→又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝，b ＝，c ＝2.62∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 26y 22(2)当l 的斜率不为0时，设AB 的方程为x ＝ty ＋m ，由Error!消去x ，得∴(t 2＋3)y 2＋2tmy ＋m 2－6＝0，Δ＝4t 2m 2－4(m 2－6)(t 2＋3)＝4(6t 2＋18－3m 2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝，2tm t 2＋3m 2－6t 2＋3∴＋＝＝·＝，1|EA |21|EB |211＋t 2(1y 21＋1y 2)11＋t 2(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(y 1y 2)2(2m 2＋12)t 2－6(m 2－6)(m 2－6)2(1＋t 2)∴m ＝，它满足Δ>0，3∴E (，0)，＋为定值2.31|EA |21|EB |2当E 为(，0)，l ：y ＝0时，满足＋＝2，31|EA |21|EB |2此时S △DAE ·S △DBE ＝××(－)×××(＋)＝.122631226332当l 的斜率不为0时，y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，23tt 2＋33t 2＋3由D 到AB 的距离d ＝，|AE |＝|y 1|，|BE |＝|y 2|，|2t ＋3|1＋t21＋t 21＋t 2得S △DAE ·S △DBE ＝d ·|AE |·＝.12(12·d ·|BE |)3(2t ＋3)24(t 2＋3)令u ＝t ＋，则t ＝，23u －32则S △DAE ·S △DBE ＝×＝＝≤，32u 2u 2－23u ＋932(9u2－23u ＋1)32[9(1u －39)2＋23]94当且仅当＝，即u ＝3，t ＝时，等号成立．1u3936故(S △DAE ·S △DBE )max ＝.944．(2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ，B ，抛物线上的点P (x ，y )(－12，14)(32，94)，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(－12＜x ＜32)(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|PA |·|PQ |的最大值．解 (1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝＝x －，x 2－14x ＋1212因为－＜x ＜.1232所以直线AP 斜率的取值范围为(－1,1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程Error!解得点Q 的横坐标是x Q ＝.－k 2＋4k ＋32(k 2＋1)因为|PA |＝1＋k 2(x ＋12)＝(k ＋1)，1＋k 2|PQ |＝(x Q －x )1＋k 2＝－，(k －1)(k ＋1)2k 2＋1所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3，令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间上单调递增，在区间上单调递减．(－1，12)(12，1)因此当k ＝时，|PA |·|PQ |取得最大值.122716。
(浙江专用)高考数学二轮复习精准提分第二篇重点专题分层练,中高档题得高分第21练基本初等函数、函数的
又因为0</?<1,所以尹,bБайду номын сангаас^,
£I
所以(l—d/v(l_d)b,(1_胖<(1_q)2,所以A, B两项均错;又ivi + xi + »所以(i + Q)yi + b)yi+M\所以c错；对于D,(1一。)">(1一鲜>(1一掰,所以(1-掰,故选D.
第二篇重点专题分层练,中高档题得高分
明晰考情
1•命题角度：考查二次函数、分段函数、幕函数、指数函数、对数函数 的图象与性质；以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函 数零点存在性定理；能利用函数解决简单的实际问题.
2.题目难度：中档偏难.
核心考点突破练 易错易混专项练 高考押题冲刺练
核心考点突破练
考点—
方法技巧幕、指数、对数的大小比较方法
（1）单调性法；（2）中间值法.
1.(2018-浙江省杭州市第二中学模拟)已知0<a<b<l,贝IJ
丄-
A.(l -6Z?>(1-a)bB.(l — °y>(l —°)2
C.(l+o)">( 1+掰心1-">(1-"
解析因为Ovovl,所以Ovl-ovl,所以y二(1-M是减函数，
(浙江专用)高考数学二轮复习精准提分 第二篇 重点专题分层练,中高档题得高分 第12练 数列的基本运
第12练 数列的基本运算及性质[明晰考情] 1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：中档难度或较难难度．考点一 等差数列与等比数列要点重组 (1)在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)在等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等差数列．(4)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .(5)在等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(当q ＝－1时，n 不能为偶数)． 1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9＝1，S 18＝0，当S n 取最大值时n 的值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析 方法一 设公差为d ， 则a 1＋8d ＝1且18a 1＋18×172d ＝0，解得a 1＝17，d ＝－2，所以S n ＝17n －n (n －1)＝－n 2＋18n ， 当n ＝9时，S n 取得最大值，故选C. 方法二 因为S 18＝a 1＋a 182×18＝0，所以a 1＋a 18＝a 9＋a 10＝0，所以a 10＝－1，即数列{a n }中前9项为正值，从第10项开始为负值，故其前9项之和最大．故选C. 3．已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，a 7＝64，a 1a 5＋a 3＝20，则S 5等于( ) A ．31B ．63C ．16D ．127 答案 A解析 设公比为q (q >0)，因为a 1a 5＋a 3＝20， 所以a 23＋a 3－20＝0，即(a 3＋5)(a 3－4)＝0， ∵a 3>0，∴a 3＝4，∵a 7＝a 3q 4＝64，∴q ＝2，a 1＝1. 所以S 5＝1－251－2＝31，故选A.4．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________. 答案 －9解析 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．(2)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项时，要注意检验n ＝1的情况．5．数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2019等于( ) A.12019B.12018C.20182019D.20172018 答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1＝0，11－a n －11－a n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴11－a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴11－a n＝1＋(n －1)＝n ， ∴11－a 2019＝2019，解得a 2019＝20182019.6．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝22n (n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则t的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 答案 D解析 ∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝22n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2； 当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(1)2n －，可得a n ＝22n －1，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，∴1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，首项为12，公比为14. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23. ∵对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，∴t 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 7．(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1(1－2n )1－2＝1－2n，∴S 6＝1－26＝－63.8．在已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2017＝________. 答案11009解析 当n ≥2时，由2a na n S n －S 2n＝1，得2(S n －S n －1)＝a n S n －S 2n ＝－S n S n －1， 所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2017＝11009.考点三 数列的综合应用方法技巧 (1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项a n 、前n 项和S n 的关系．(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决．9．已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )的前n 项和为S n ，则S 20的值为( ) A.325462B.1920 C.119256D.20102011 答案 A解析 因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S 20＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120－122＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－121－122＝325462. 10．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( ) A ．1B. 2 C.3D ．无法确定 答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1.11．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 答案 64解析 由已知a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 3q ＝5， 两式相除得a 1＋a 3q (a 1＋a 3)＝105，解得q ＝12，a 1＝8，所以a 1a 2…a n ＝8n·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝27222n n-+，抛物线f (n )＝－n 22＋7n 2的对称轴为n ＝－722×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝72，又n ∈N *，所以当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取最大值为26＝64.12．已知函数f (x )＝3|x ＋5|－2|x ＋2|，数列{a n }满足a 1<－2，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.若要使数列{a n }成等差数列，则a 1的取值集合为______________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11，x ≥－2，5x ＋19，－5<x <－2，－x －11，x ≤－5，所以若数列{a n }成等差数列，则当a 1为直线y ＝x ＋11与直线y ＝－x －11的交点的横坐标，即a 1＝－11时，数列{a n }是以－11为首项，11为公差的等差数列；当f (a 1)＝a 1，即5a 1＋19＝a 1或－a 1－11＝a 1，即a 1＝－194或a 1＝－112时，数列{a n }是以0为公差的等差数列，因此a 1的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11，－112，－194.1．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于( )A ．210B ．211C ．224D ．225 答案 B解析 当n ＞1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝2，n ≥2. ∴数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列， ∴S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211.2．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，a 1＝1，数列{b n }满足：b n ＝a n ·a n ＋1，则数列{b n }的前2017项的和S 2017＝________. 答案20174035解析 由a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)，可得1a n ＋1－1a n＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，故1a n＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以a n ＝12n －1.又b n ＝a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S 2017＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋14033－14035 ＝12×40344035＝20174035. 3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 答案212解析 由题意，得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)，n ≥2，累加整理可得a n ＝n 2－n ＋33，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝33也满足，∴a n n＝n ＋33n－1(n ∈N *)． 由函数f (x )＝x ＋33x－1(x ＞0)的单调性可知，a nn的最小值为f (5)，f (6)中较小的一个． 又f (6)＝212，f (5)＝535，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n min ＝212. 解题秘籍 (1)利用a n ＝S n －S n －1寻找数列的关系，一定要注意n ≥2这个条件． (2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件．1．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．8 答案 A解析 由已知条件可得a 1＝1，d ≠0， 由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )， 解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×(－2)2＝－24.2．(2017·某某)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方法一 ∵数列{a n }是公差为d 的等差数列， ∴S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， ∴S 4＋S 6＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d .若d ＞0，则21d ＞20d ，10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6＞2S 5.若S 4＋S 6＞2S 5，则10a 1＋21d ＞10a 1＋20d ，即21d ＞20d ，∴d ＞0.∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 故选C.方法二 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0. ∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 故选C.3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|等于( ) A ．9B ．15C ．18D ．30 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.4．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 a n b n ＝2a n 2b n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，验证知，当n ＝1,2,3,5,11时a n b n为整数．5．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B.2n－13C ．4n－1D.4n－13答案 D解析 设S n 为{a n }的前n 项和，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，当n ≥2时，S n －1＝2n －1－1，a n＝2n－1－(2n －1－1)＝2n －1，a 2n ＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝4n－13. 6．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4等于( ) A ．2B.73C.310D ．1或2 答案 B解析 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列， 又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ， ∴S 6－S 4＝4k ， ∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 7．设{a n }是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．2X ＋Z ＝3Y B ．4X ＋Z ＝4Y C ．2X ＋3Z ＝7Y D ．8X ＋Z ＝6Y 答案 D解析 根据等差数列的性质X ，Y －X ，S 3n －Y ，Z －S 3n 成等差数列，∴S 3n ＝3Y －3X ， 又2(S 3n －Y )＝(Y －X )＋(Z －S 3n )， ∴4Y －6X ＝Y －X ＋Z －3Y ＋3X ， ∴8X ＋Z ＝6Y .8．若数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2018等于( )A.40332018B.20152018C.40352019D.40362019 答案 D解析 由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，得a n ＋1－a n ＝n ＋1， 则a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1， a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝(n －1)＋1，n ≥2.以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1，n ≥2，把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2，n ≥2，1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝1也满足， ∴1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，n ∈N *， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2018＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12018－12019 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12019＝40362019. 9．已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________. 答案 4 28解析 由题意，得a m －1＝a 1＋(m －2)d ＝2m －6，a m ＝2m －4，则由a m a m －1＝2m －42m －6＝2，解得m ＝4，所以数列{a n }的前6项依次为－2,0,2,4,8,16， 所以S 6＝28.10．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且2S n ＝a n ＋1a n ，a 1＝4，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为奇数，n ，n 为偶数解析 因为2S n ＝a n ＋1a n ，a 1＝4， 所以n ＝1时，2×4＝4a 2，解得a 2＝2.n ≥2时，2S n －1＝a n a n －1，可得2a n ＝a n ＋1a n －a n a n －1， 所以a n ＝0(舍去)或a n ＋1－a n －1＝2.n ≥2时，a n ＋1－a n －1＝2，可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列．所以a 2k －1＝4＋2(k －1)＝2k ＋2，k ∈N *，a 2k ＝2＋2(k －1)＝2k ，k ∈N *.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为奇数，n ，n 为偶数.11．对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2n ＋12n(n ∈N *)word11 / 11 解析 由H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，① 所以a 1＝32，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2(n ≥2)，② ①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n，n ≥2. 又当n ＝1时，a 1＝32也满足上式， 所以a n ＝2n ＋12n，n ∈N *. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，则实数t 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－5]解析 n ＝1时，a 1＝S 1＝3. n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.n ＝1时也成立， 所以a n ＝2n ＋1.所以b n ＝a n a n ＋1cos[(n ＋1)π]＝(2n ＋1)(2n ＋3)cos[(n ＋1)π]， n 为奇数时，cos[(n ＋1)π]＝1，n 为偶数时，cos[(n ＋1)π]＝－1.因此当n 为奇数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…＋(2n ＋1)(2n ＋3)＝3×5＋4×(7＋11＋…＋2n ＋1)＝15＋4×(2n ＋8)(n －1)4＝2n 2＋6n ＋7. 因为T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，所以2n 2＋6n ＋7≥tn 2，t ≤7n 2＋6n ＋2＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋372＋57， 所以t ≤2.当n 为偶数时，T n ＝3×5－5×7＋7×9－9×11＋…－(2n ＋1)(2n ＋3) ＝－4×(5＋9＋13＋…＋2n ＋1)＝－2n 2－6n . 因为T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，所以－2n 2－6n ≥tn 2，t ≤－2－6n， 所以t ≤－5.综上可得t ≤－5.。
高考数学浙江课标大二轮复习模拟预测优选新题专题六 函数与导数专题对点练19函数与导数综合练
专题对点练19 函数与导数综合练(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共10小题,满分40分)则f(f(e))=( )1.设函数f(x)=x2+1,x≤1,lnx,x>1,A.0B.1C.2D.ln(e2+1)答案 C解析 f(e)=ln e=1,所以f(f(e))=f(1)=12+1=2.故选C.,则a,b,c的大小关系为( ) 2.(2018天津,理5)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g113A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D解析因为c=lo g11=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以3log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2<ln e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案 D解析∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,y=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D.4.(2018全国Ⅲ,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )答案 D解析当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-124+122+2>2.排除C.故选D.5.函数y=1+log0.5(x-1)的图象一定经过点( )A.(1,1)B.(1,0)C.(2,1)D.(2,0)答案 C解析∵函数y=log0.5x恒过定点(1,0),而y=1+log0.5(x-1)的图象是由y=log0.5x的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C.6.若函数f(x)=cosx,x≤a,1x,x>a的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(-∞,-1]C.(0,1]D.(-1,0) 答案 A解析函数f(x)=cosx,x≤a,1x,x>a的值域为[-1,1],当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],满足题意;当x>a时,f(x)=1x∈[-1,1],应满足0<1x≤1,解得x≥1.∴a的取值范围是[1,+∞).7.已知函数f(x)=x12,则( )A.存在x0∈R,使得f(x)<0B.任意x∈(0,+∞),f(x)≥0C.存在x1,x2∈[0,+∞),使得f(x1)-f(x2)x1-x2<0D.任意x1∈[0,+∞),存在x2∈[0,+∞),使得f(x1)>f(x2)答案 B解析由函数f(x)=x12,知在A中f(x)≥0恒成立,故A错误,B正确;又f(x)=x12在[0,+∞)上是递增函数,故C错误;在D中,当x1=0时,不存在x2∈[0,+∞)使得f(x1)>f(x2),故D不成立.故选B.8.已知函数f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)为增函数,则“65<x<2”是“f[log2(2x-2)]>f log123”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析由f(x)是偶函数且当x≤0时,f(x)为增函数,则x>0时,f(x)是减函数,故由“f[log2(2x-2)]>f log123”,得|log2(2x-2)|<log123=log232,故0<2x-2<32,解得1<x<74,故“65<x<2”是“1<x<74”的既不充分也不必要条件,故选D.9.(2018高三第一学期浙江名校协作体试题,9)函数y=x+x2-2x+3的值域为( )A.[1+2,+∞)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(1,+∞)答案 D解析因为函数y=x+x2-2x+3=x+(x-1)2+2,所以当x≥1时,函数为增函数,所以y≥2+1,当x<1时,设x-1=t,则t<0,函数y=t+ t2+2+1=t2+2-t+1,所以函数在(-∞,0)上为增函数,当t→0时,y→2+1,当t→-∞时,y→1,所以1<y<2+1.综上所述,函数y=x+x2-2x+3的值域为(1,+∞),故选D.10.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是( )A.ln12e,+∞ B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)答案 A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-lnx1=1x1(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,x22+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(x22+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有1x1=2(x2+1),ln x1-1=-x22+a.因为x2<0<x1,所以0<1x1<2.又a=ln x1+12x1-12-1=-ln1x1+141x1-22-1,令t=1x1,所以0<t<2,a=14t2-t-ln t.设h(t)=14t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=12t-1-1t=(t-1)2-32t<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln12e,所以a∈ln12e,+∞.故选A.二、填空题(共7小题,满分36分)11.(2018浙江温州高三5月高考适应性测试,11)已知函数f(x)=2x-12x+1,则f(0)= ,f(log23)+f log213= .答案 0 0解析 f(0)=1-11+1=0;f(log23)+f log213=3-1 3+1+13-113+1=0.12.已知4a=5b=10,则a= ,1a +2b= .答案 log410 2解析由题意知,a=lg 410,b=lg510,则1a +2b=lg 4+2lg 5=2lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg5)=2.13.(2018浙江台州高三4月调研考试,13)若函数f(x)=a-22x-1(a∈R)是奇函数,则a= ,函数f(x)的值域为.答案 -1 (-∞,-1)∪(1,+∞)解析由f(x)=a-22x-1为奇函数可得f(1)+f(-1)=0,即a-22-1+a-22-1-1=0,解得a=-1;f(x)=-1-22x-1,因为2x-1>-1,所以22x-1∈(-∞,-2)∪(0,+∞),所以f(x)=-1-22x-1∈(-∞,-1)∪(1,+∞).14.(2018浙江湖州、衢州、丽水三地高三上学期期末教学质量检测,16改编)已知g(x)=x2-3x-2m(m∈R),则g(0),g(1),g(2)从大到小排列为,设f(x)=|g(x)|+m在x∈[0,2]上的最大值与最小值之差为3,则m= .答案 g(2)>g(0)>g(1) ±12解析 g(x)=x3-3x-2m,则g'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),显然g(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增,而g(0)=-2m,g(1)=-2-2m,g(2)=2-2m,g(2)>g(0)>g(1),所以当g(1)=-2-2m≥0或g(2)=2-2m≤0时,|g(x)|max-|g(x)|min=4,不符合题意;当g(1)=-2-2m<0,-g(1)=2+2m≤g(2),即-1<m≤0时,|g(x)|max=g(2),|g(x)|min=0,由g(2)=2-2m=3得m=-12,当g(1)=-2-2m<0,-g(1)=2+2m>g(2)>0,即0<m<1时,|g(x)|max=-g(1),|g(x)|min=0,由-g(1)=2+2m=3得m=12,所以m=±12.15.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案12,1解析 x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=12时,x2+y2取最小值12.因此x2+y2的取值范围为12,1.16.对于函数y=f(x),若其定义域内存在不同实数x1,x2,使得x i f(x i)=1(i=1,2)成立,则称函数f(x)具有性质P,若函数f(x)=e xa具有性质P,则实数a的取值范围为.答案-1e,0解析由题意知,若f(x)具有性质P,则在定义域内xf(x)=1有两个不同的实数根,∵f(x)=e xa ,∴x·e xa=1,即方程xe x=a在R上有两个不同的实数根,设g(x)=xe x,则g'(x)=e x+xe x=(1+x)e x,由g'(x)=0,得x=-1,∴g(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,∴当x=-1时,g(x)取到最小值是g(-1)=-1e,∵x<0,g(x)<0,x>0,g(x)>0,∴当方程xe x=a在R上有两个不同的实数根时,即函数g(x)与y=a的图象有两个交点,由图得-1e <a<0,∴实数a的取值范围为-1e,0.17.(2018浙江温州高三3月高考适应性测试,17)已知f(x)=x2-ax,|f(f(x))|≤2在[1,2]上恒成立,则实数a的最大值为.答案3+174解析由题意知|f(f(1))|≤2,|f(f(2))|≤2,即|f(1-a)|≤2,|f(4-2a)|≤2,|(1-a)2-a(1-a)|≤2,|(4-2a)2-a(4-2a)|≤2,解得3-174≤a≤3+174,1≤a≤73,则1≤a≤3+174,得到原不等式成立的一个必要条件.设g(x)=f(f(x))=(x2-ax)2-a(x2-ax)=(x2-ax)(x2-ax-a),则g'(x)=(2x-a)·(2x2-2ax-a),由g'(x)=0得x1=a2<1,x2=a-a2+2a2<0,x3=a+a2+2a2>1.因为x∈[1,2],所以只需要比较x3与2的大小,就可以得到g(x)的单调区间.当a+a2+2a2=2时,解得a=85,且有2x32-2ax3-a=0.①当1≤a≤85时,x3≤2,g(x)在[1,x3]上单调递减,在[x3,2]上单调递增,此时只需要满足g(x3)≥-2,即(x32-ax3)(x32-ax3-a)≥-1,即a2·-a2≥-2,解得a≤22,故当1≤a≤3+174,g(x3)≥-2恒成立,即|f(f(x))|≤2恒成立;②当a>85时,x3>2,g(x)在[1,2]上单调递减,此时1≤a≤3+174.综上,a的取值范围为1≤a≤3+174,即a的最大值为3+174.三、解答题(共5个题,满分74分)18.已知f(x)=e x与g(x)=ax+b的图象交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点.(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值;(2)若PQ的中点为M(x0,y0),求证:f(x0)<a<y0.(1)解 h(x)=e x-ax-b,求导得h'(x)=e x-a.当a≤0时,h'(x)=e x-a>0,h(x)在R上为增函数,不满足有两个零点,故不符合题意, 所以a>0,令h'(x)=e x-a=0,解得x=ln a,并且有x∈(-∞,ln a),h'(x)<0;x∈(ln a,+∞),h'(x)>0,故h(x)min=h(ln a)=e ln a-aln a-b=a-b-aln a.(2)证明要证f(x0)<a<y0成立,即证e x1+x22<e x2-e x1x2-x1<e x2+e x12,不妨设x2>x1,只需证e x2-x1<e x2-x1-1x2-x1<e x2-x1+12,令t=x2-x1>0,即为e t<e t-1t <e t+12,要证e t<e t-1t,只需证e t−e-t>t,令F(t)=e t−e-t-t,只需证F(t)>0,求导得F'(t)=12e t+12e-t-1=12(e t+e-t)-1>0,∴F(t)在(0,+∞)为增函数,故F(t)>F(0)=0,∴e t<e t-1t成立;要证e t-1t <e t+12,只需证明e t-1e t+1<t2,令G(t)=e t-1e+1−t2,求导得G'(t)=2e t(e t+1)2−12=4e t-(e t+1)22(e t+1)2=-(e t-1)22(e t+1)2<0,∴G(t)在(0,+∞)为减函数,故G(t)<G(0)=0,∴e t-1t <e t+12成立;∴e t<e t-1t <e t+12(t>0)成立,即f(x0)<a<y0.19.已知函数f(x)=2ln x+x2-ax.(1)当a=5时,求f(x)的单调区间;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y=f(x)图象上的两个相异的点,若直线AB的斜率k>1恒成立,求实数a的取值范围;(3)设函数f(x)有两个极值点x1,x2,x1<x2且x2>e,若f(x1)-f(x2)≥m恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)当a=5时,f(x)=2ln x+x2-5x,f'(x)=2x2-5x+2x =(2x-1)(x-2)x(x>0),令f'(x)>0,解得x>2或0<x<12,令f'(x)<0,解得12<x<2,∴f(x)的单调递增区间为0,12,(2,+∞);f(x)的单调递减区间为12,2.(2)由题意可知k=f(x2)-f(x1)x2-x1>1,∴[f(x2)-x2]-[f(x1)-x1]x2-x1>0,令g(x)=f(x)-x,则g(x)在(0,+∞)内单调递增, ∴g'(x)=f'(x)-1≥0,∴2x2-ax+2x-1≥0在(0,+∞)内恒成立,∴a≤2x+2x -1在(0,+∞)内恒成立,∵2x+2x≥4,x=1时取等号,∴a≤3.(3)∵x1+x2=a2,x1x2=1,∴a=2(x1+x2),x2=1x1,∴f(x1)-f(x2)=(2ln x1+x12-ax1)-(2ln x2+x22-ax2)=1x12−x12+2ln x12,令x12=x,则0<x<1e,h(x)=1x-x-2ln x,∴h'(x)=-(x-1)2x <0,∴h(x)在0,1e上单调递减,∴h(x)>h1e2=e2-1e2-4,∴m≤e2-1e-4.20.(2018浙江台州高三4月调研考试,22)已知函数f(x)=x3-3x2-m,g(x)=3e x-6(1-m)x-3(m∈R,e为自然对数的底数).(1)试讨论函数f(x)的零点个数;(2)证明:当m>0且x>0时,总有g(x)>f'(x).(1)解 f(x)=x3-3x2-m零点个数即为方程x3-3x2=m的根的个数.记h(x)=x3-3x2,则h'(x)=3x(x-2),令h'(x)=0得x=0或x=2.当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:h (x) 单调 递增 极大 值0 单调 递减 极小值-4单调递增故可画出h(x)的草图如图所示.由图象知,当m<-4或m>0时,函数f(x)恰有一个零点; 当m=-4或m=0时,函数f(x)恰有两个零点; 当-4<m<0时,函数f(x)恰有三个零点. (2)证明 f'(x)=3x 2-6x,设函数u(x)=g(x)-f'(x)=3e x -3x 2+6mx-3, 则u'(x)=3(e x -2x+2m), 记v(x)=e x -2x+2m, 则v'(x)=e x -2,当x 变化时,v'(x),v(x)的变化情况如下表:x((l由上表可知v(x)≥v(ln 2),而v(ln 2)=e ln 2-2ln 2+2m=2-2ln 2+2m=2(m-ln 2+1), 由于m>0,且1-ln 2>0,所以v(ln 2)>0,所以v(x)>0,即u'(x)>0,所以u(x)在区间(0,+∞)上为增函数.所以当x>0时,u(x)>u(0)=0.即当m>0且x>0时,g(x)>f'(x).21.已知函数f(x)=ln(1+ax)-2xx+2(a>0).(1)当a=12时,求f(x)的极值;(2)若a∈12,1,f(x)存在两个极值点x1,x2,试比较f(x1)+f(x2)与f(0)的大小;(3)求证:e n(n-1)>n!(n≥2,n∈N).(1)解 f(x)=ln1+12x −2xx+2,定义域1+12x>0,x+2≠0⇒x>-2,f'(x)=1x+2−4(x+2)2=x-2(x+2)2,∴f(x)在(-2,2)递减,(2,+∞)递增.故f(x)极小值=f(2)=ln 2-1,没有极大值.(2)解 f(x)=ln(1+ax)-2xx+2,x∈-1a,+∞,f'(x)=a1+ax −4(x+2)2=ax2-4(1-a)(1+ax)(x+2)2.∵a∈12,1,∴a(1-a)∈0,14,∴-1a <-2a(1-a)a.由ax2-4(1-a)=0,得x=±2a(1-a)a.f(x1)+f(x2)=ln [1+2a(1-a)]+ln [1-2a(1-a)]-41-a21-a+2a −-41-a-21-a+2a,f(x1)+f(x2)=ln[(1-2a)2]+4-4a2a-1=ln[(1-2a)2]+22a-1-2,设t=2a-1,当a∈12,1时,t∈(0,1),∴设f(x1)+f(x2)=g(t)=2ln t+2t-2,当t∈(0,1)时,g(t)=2ln t+2t -2,g'(t)=2t−2t2=2(t-1)t2<0,g(t)在t∈(0,1)内递减,g(t)>g(1)=0,即f(x1)+f(x2)>f(0)=0恒成立.(3)证明当t∈(0,1)时,g(t)=2ln t+2t-2>0恒成立,即ln t+1t-1>0恒成立,设t=1(n≥2,n∈N),n+n-1>0,∴n-1>ln n.即ln1n∴1>ln 2,2>ln 3,3>ln 4,…,n-1>ln n.∴1+2+3+…+(n-1)>ln 2+ln 3+ln 4+…+ln n=ln 2×3×4×…×n=ln(n!), ∴(n-1)n>ln(n!),2∴e(n-1)n>n!(n≥2,n∈N).22.(2018浙江名校新高考研究联盟高三第二次联考,22)已知函数f(x)满足x2.f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+12(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2解 (1)由已知得f'(x)=f'(1)e x-1-f(0)+x,所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.x2.从而f(x)=e x-x+12由于f'(x)=e x-1+x,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由已知条件得e x-(a+1)x≥b.①时,可得e x-(a+1)x<b,因此①式不(ⅰ)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<1-ba+1成立.(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.(ⅲ)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).x2+ax+b等价于所以f(x)≥12b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).所以h(a)在-1,e12-1单调递增,在e12-1,+∞单调递减,故h(a)在a=e12-1处取得最大值.从而h(a)≤e2,即(a+1)b≤e2.当a=e12-1,b=e 1 22时,②式成立,故f(x)≥12x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为e2.。