2013年辽宁省高考数学试卷理科
2013年辽宁高考理科数学卷(含答案解析)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B I( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB u u u r同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是 ( )A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x ∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e xx f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = . 15.已知椭圆22221=()0x ya Cb a b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a (3sin )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=12x -时,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）.21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时,（Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O e 直径,直线CD 与O e 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明：（Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC g .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos()=224ρθ-. （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集； （Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）454422cos 2xx ⎫++⎪⎭x ⎫⎪⎭（2）设()(2)2()h x f x a f x =+-，则20()4202a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，由|()|2h x ≤解得，它与12x ≤≤等价，然后求出a 的值【考点】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)及解析
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）复数的模长为（）A、B、C、D、22、（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A、（0，1）B、（0，2]C、（1，2）D、（1，2]3、（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A、B、C、D、4、（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A、p1，p2B、p3，p4C、p2，p3D、p1，p45、（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）、若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A、45B、50C、55D、606、（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c、asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A、B、C、 D、7、（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A、4B、5C、6D、78、（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A、B、C、D、9、（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A、b=a3B、C、D、10、（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A、B、C、D、11、（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8、设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A、16B、﹣16C、﹣16a2﹣2a﹣16D、16a2+2a﹣1612、（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是、14、（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和、若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=、15、（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=、16、（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（12分）设向量，，、（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值、18、（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点、（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值、19、（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答、（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题、设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立、用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望、20、（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣、（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）、21、（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围、请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年辽宁卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科数学本试卷共24题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题 1．复数的11z i =−模为（ ）A ．12B ．2C D ．22．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B ，则=<<=≤⋂=A ．()01，B ．(]02， C ．()1,2D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B −则与AB 同方向的单位向量为( ) A ．3455⎛⎫− ⎪⎝⎭， B ．4355⎛⎫− ⎪⎝⎭，C ．3455⎛⎫− ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫− ⎪⎝⎭，4．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为( ) A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．6．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B =（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的( )A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.,O A b B a a ABC ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫−−−= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a−+−−= 10．已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC −==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A B ．C ．132D ．11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =−++=−+−−+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B −=（ ）A ．16B ．16−C ．2216a a −−D ．2216a a +−12．设函数()f x 满足()()()222,2,8x e ex f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第II 卷（非选择题）二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a ，3a 是方程2540x x −+=的两个根，则6S =__________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,,5AF BF AB AF cos ABF C e ==∠==连接若则的离心率 .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题 17．设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18．如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 （I ）求证PAC PBC ⊥平面平面；（II ）2.AB AC PA C PB A ===−−若，1，1，求证：二面角的余弦值19．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.20．如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==−>点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1.2MA 切线的斜率为-（I ）求p 的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21．已知函数()()()[]321,12.0,12xx f x x e g x ax xcosx x −=+=+++∈当时，（I ）求证()11;1x f x x−≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围.22．如图，AB 为直径，直线CD 与相切于E 。
2013年辽宁高考理科数学卷
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .22.已知集合4=0log {1|}A x x ＜＜,{|=}2B x x ≤,则=A B ( )A .(0,1)B .(0,2]C .(1,2)D .(1,2] 3.已知点(1,3)A ,1(4,)B -,则与向量AB 同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为：[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A .45B .50C .55D .606.在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若sin cos sin cos =12a cb B C B A +,且a b >,则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.使(3()n n x +∈＋N 的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .78.执行如图所示的程序框图,若输入10n =,则输出S = ( )A .511 B .1011 C .3655 D .72559.已知点(0,0)O ,()0,A b ,3(),B a a .若OAB △为直角三角形,则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ,=4AC ,AB AC ⊥,112=AA ,则球O 的半径为( ) AB.C .132D.11.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+,22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,,2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ,q 中的较大值,min{},p q 表示p ,q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ,2()H x 的最大值为B ,则A B -=( )A .16B .16-C .2216a a --D .2216a a +-12.设函数()f x 满足2()2()e x x f x xf x x'+=,2(2)e 8f =,则0x >时,()f x( )--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ,3a 是方程2540x x +=-的两个根,则6S = .15.已知椭圆22221=()0x y a C ba b :>>+的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,连接AF ,BF .若||=10AB ,||=6AF ,4os 5c ABF ∠=,则C的离心率=e .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a )=,sin x x ,b (,=cos s )in x x ,2[]π0,x ∈. （Ⅰ）若|a |=|b |,求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ,求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若=2AB ,=1AC ,=1PA ,求二面角C PB A ——的余弦值.19.（本小题满分12分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答. （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,抛物线214C x y :=,222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为A ,B （M 为原点O 时,A ,B 重合于O ）.当0=1x ,切线MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ,B 重合于O 时,中点为O ）. 21.（本小题满分12分）已知函数2()1e ()xf x x -=+,312cos 2()x g x ax x x +++=.当[0,1]x ∈时, （Ⅰ）求证：)1(11x f x x≤≤-+；（Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 为O 直径,直线CD 与O 相切于E ,AD 垂直CD 于D ,BC 垂直CD 于C ,EF 垂直AB 于F ,连接AE ,BE .证明： （Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ,πcos(4ρθ- （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数）,求a ,b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|(|)f x x a =-,其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时,求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤,求a 的值.。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
2013年全国高考(理科)数学试卷(辽宁卷)【已整理】
2013年辽宁高考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、复数11-=i z 的模为（ ） A ．21 B ．22 C ．2 D ．2 2、已知集合}1log 0|{4<<=x x A ，}2|{≤=x x B ，则=B A （ ） A ．)1 , 0( B ．]2 , 0( C ．)2 , 1( D ．]2 , 1(3、已知点)3 , 1(A ，)1 , 4(-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为（ ） A ．)54 , 53(- B ．)53 , 54(- C ．)54 , 53(- D ．)53 , 54(- 4、下面是关于公差0d >的等差数列}{n a 的四个命题：1p ：数列}{n a 是递增数列；2p ：数列}{n na 是递增数列；3p ：数列}{na n是递增数列；4p ：数列}3{nd a n +是递增数列；其中的真命题为（ ）A ．1p ，2pB ．3p ，4pC ．2p ，3pD ．1p ，4p5、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：)40 , 20[，)60 , 40[，)80 , 60[，)001 , 80[；若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．606、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ；b A B c C B a 21cos sin cos sin =+，且b a >，则=∠B （ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7、使得n xx x )13(+（*∈N n ）的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、执行如图所示的程序框图，若输入10=n ，则输出的=S （ ）A ．115 B ．1110 C ．5536 D ．5572 9、已知点)0 , 0(O ，) , 0(b A ，) , (3a a B ，若OAB ∆为直角三角形，则必有（ ） A ．3b a = B ．31b a a =+C ．0)1)((33=---a a b a bD ．0|1|||33=--+-aa b a b 10、已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若3=AB ，4=AC ，AC AB ⊥，121=AA ，则求O 的半径为（ ） A ．2173 B ．102 C ．213 D ．10311、已知函数22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g ，设)}( , )(max{)(1x g x f x H =，)}( , )(min{)(2x g x f x H =（} , max{q p 表示p 、q 中的较大值，} , min{q p 表示p 、q 中的较小值）．记)(1x H 的最小值为A ，)(2x H 的最小值为B ，则=-B A （ ） A ．1622--a a B ．1622-+a a C ．-16 D ．1612、设函数)(x f 满足xe x xf x f x x =+)(2)('2，8)2(2ef =，则0>x 时，)(x f （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．14、已知等比数列}{n a 是递增数列，n S 是}{n a 的前n 项和．若1a 、3a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S __________．15、已知椭圆1:2222=+b y a x C （0>>b a ）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若10||=AB ，6||=AF ，54cos =∠ABF ，则C 的离心率=e __________． 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为__________．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）设向量)sin , sin 3(x x a =，)sin , (cos x x b =，]2, 0[π∈x ．（1）若||||b a =，求x 的值；（2）设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值．18、（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若2=AB ，1=AC ，1=PA ，求二面角A PB C --的余弦值．19、（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是53，答对每道乙类题的概率都是54，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）如图，抛物线y x C 4:21=，py x C 2:22-=（0>p ），点) , (00y x M 在抛物线2C 上，过点M 作1C 的切线，切点为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ）．当210-=x 时，切线MA 的斜率为21-．（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O 时，中点为O ）．21、（本小题满分12分）已知函数xex x f 2)1()(-+=，x x x ax x g cos 212)(3+++=．当]1 , 0[∈x 时，（1）求证：xx f x +≤≤-11)(1； （2）若)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22、【选修14-：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE 、BE ，证明：（1）CEB FEB ∠=∠； （2）BC AD EF ⋅=2．23、【选修44-：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-=πθρ．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y at x （Rt ∈为参数），求a 、b 的值．24、【选修54-：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数||)(a x x f -=，其中1>a ．（1）当2=a 时，求不等式|4|4)(--≥x x f 的解集；（2）已知关于x 的不等式2|)(2)2(|≤-+x f a x f 的解集为}21|{≤≤x x ，求a 的值．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷(理科)
数学试卷↑第1页（共4页） 数学试卷↑第2页（共4页）（第5题）（第13题）（第8题）2013年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷（理科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、复数11z i =-的模为（ ）A 、12B 、2C D 、22、已知集合4{0log 1}A x x =<<，{2}B x x =≤，则A B = （ ） A 、(0,1) B 、(0,2] C 、(1,2) D 、(1,2]3、已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB同方向的单位向量为（ ）A 、34(,)55-B 、43(,)55-C 、34(,)55-D 、43(,)55-4、下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ ）A 、1p ，2pB 、3p ，4pC 、2p ，3pD 、1p ，4p 5、某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布 直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]. 若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）A 、45B 、50C 、55D 、60 6、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=，且a b >，则B ∠=（ ）A 、6πB 、3πC 、23πD 、56π7、使(3()n x n N +∈的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、78、执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出S =（ ）A 、511B 、1011C 、3655D 、72559、已知点(0,0)O ，(0,)A b ，3(,)B a a . 若OAB ∆为直角三角 形，则必有（ ）A 、3b a =B 、31b a a=+C 、331()()0b a b a a---= D 、3310b a b a a -+--=10、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上. 若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A 、2B 、C 、132D 、 11、已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，22()2(2)8g x x a x a =-+--+. 设1()H x =max{(),()}f x g x ，2()min{(),()}H x f x g x =（max{,}p q 表示,p q 中的较大值，min{,}p q 表示,p q 中的较小值）. 记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A 、16 B 、16- C 、2216a a -- D 、2216a a +-12、设函数()f x 满足2()2()x e x f x xf x x '+=，2(2)8e f =，则0x >时，()f x （ ）A 、有极大值，无极小值B 、有极小值，无极大值C 、既有极大值又有极小值D 、既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分， 把答案填在题中横线上）13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是______；14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和. 若13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S =______；数学试卷↑第3页（共4页） 数学试卷↑第4页（共4页）15、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF . 若10AB =，6AF =，4cos 5ABF ∠=，则椭圆C 的离心率e =______； 16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全班随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12分）设向量,sin )a x x = ，(cos ,sin )b x x = ，[0,]2x π∈.（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值.18、（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若2AB =，1AC =，1PA =，求二面 角C PB A --的余弦值.19、（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题. 设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立. 用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.20、（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：24x y =，2C ：22(0)x py p =->. 点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ）.当01x =时，切线MA 的斜率为12-（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（,A B 重合于O 时，中点为O ）. 21、（本小题满分12分）已知函数2()(1)xf x x e -=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++.当[0,1]x ∈时（1）求证：11()1x f x x-≤≤+； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：（1）FEB CEB ∠=∠； （2）2EF AD BC =⋅.23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆1C ，直线2C 的极坐标分别为4sin ρθ=，cos()4πρθ-=.（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求,a b 的值.24、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，其中1a >.（1）当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（2）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{12}x x ≤≤，求a 的值.（第18题）（第22题）（第20题）。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
2013年XX省高考数学试卷（理科）大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选一、选择题：本.的项中，只有一项是符合题目要求（）1．（5分）复数的模长为A．B．C．D．22．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]（）为3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4如图，数据的5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=第1页（共21页）B=（）b，且a＞b，则∠A．B．C．D．n7．（5分）使得（3x+）（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7n=10，则输出的S=（）8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A．B．C．D．3），若△OAB为直角三角形，9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a则必有（）A．b=a3B．C．D．A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，10．（5分）已知三棱柱ABC﹣AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣a2+8．设11．（5分）已知函数f（x）=x2）x﹣H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表H1（x）的最小值为示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）2﹣2a﹣16C．﹣16a16D．16a2+2a﹣16A．16B．﹣x12．（5分）设函数f（x）满足2f（′x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，21页）第2页（共f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．第3页（共21页）18．（12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C ﹣P B ﹣A 的余弦值．19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3 道题解答．（Ⅰ）求X 同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对甲类题的 概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X 表 示X 同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望． 20．（12分）如图，抛物线C 1：x2=4y ，C 2：x 2=﹣2py （p ＞0），点M （x 0，y 0）在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）， 当x 0=1﹣时，切线MA 的斜率为﹣． （Ⅰ）求P 的值；（Ⅱ）当M 在C 2上运动时，求线段A B 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时， 中点为O ）．﹣2x 21．（12分）已知函数f （x ）=（1+x ）e ，g （x ）=ax++1+2xcosx ，当x ∈[0， 1]时，第4页（共21页）（I）求证：；．（II）若f（x）≥g（x）恒成立，XX数a的取值X围请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23．在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆 C1，直
线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ，ρcos（
）=2 ．
（Ⅰ）求 C1 与 C2 交点的极坐标； （Ⅱ）设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方
，
，
．
（1）若
，求 x 的值；
（2）设函数
，求 f（x）的最大值．
第 3 页（共 21 页）
18．（12 分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBC； （Ⅱ）若 AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角 C﹣PB﹣A 的余弦值．
19．（12 分）现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任取 3 道 题解答． （Ⅰ）求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； （Ⅱ）已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题．设张同学答对甲类题的 概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立．用 X 表 示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望． 20．（12 分）如图，抛物线 C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点 M（x0，y0）在 抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B（M 为原点 O 时，A，B 重合于 O）， 当 x0=1﹣ 时，切线 MA 的斜率为﹣ ． （Ⅰ）求 P 的值； （Ⅱ）当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程（A，B 重合于 O 时， 中点为 O）．
12．（5 分）设函数 f（x）满足 x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，则 x＞0 时，f
第 2 页（共 21 页）
（x）（ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
9．（5 分）已知点 O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB 为直角三角形， 则必有（ ） A．b=a3 B．
C．
D．
10．（5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，
AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球 O 的半径为（ ）
A．
B．
C． D．
11．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设 H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表 示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值），记 H1（x）的最小值为 A，H2（x）的最大值为 B，则 A﹣B=（ ） A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16
第 1 页（共 21 页）
b，且 a＞b，则∠B=（ ） A． B． C． D． 7．（5 分）使得（3x+ ）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（ ）
A． B． C． D．
14．（5 分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn 是{an}的前 n 项和．若 a1，a3 是方 程 x2﹣5x+4=0 的两个根，则 S6= ．
15．（5 分）已知椭圆
的左焦点为 F，C 与过原点的直线
相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，则 C 的离
2013 年辽宁省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）复数
的模长为（ ）
A． B． C． D．2
2．（5 分）已知集合 A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则 A∩B=（ ） A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]
3．（5 分）已知点 A（1，3），B（4，﹣1），则与向量 同方向的单位向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）下列关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列
是递增数列；
p4：数列{an+3nd}是递增数列； 其中真命题是（ ）
21．（12 分）已知函数 f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax+ +1+2xcosx，当 x∈[0， 1]时，
第 4 页（共 21 页）
（I）求证：
；
（II）若 f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围． 请考生在 21、22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（10 分）选修 4﹣1：几何证明选讲 如图，AB 为⊙O 直径，直线 CD 与⊙O 相切与 E，AD 垂直于 CD 于 D，BC 垂直于 CD 于 C，EF 垂直于 F，连接 AE，BE．证明： （I）∠FEB=∠CEB； （II）EF2=AD•BC．
心率 e= ．
16．（5 分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，
把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为 7，样本方差为
4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）设向量
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 5．（5 分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的 分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于 60 分的人数
是 15 人，则该班的学生人数是（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60 6．（5 分）在△ABC，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=