函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
函数的极限知识点总结
函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。
如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。
2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。
3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。
即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。
2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。
即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。
3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。
即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。
4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。
即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。
三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。
函数的极限
若 0 ， 使 得 x U ( x0 , ) , 都 有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要 使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理 若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。
这个极限值被称为该数列的极限。
柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。
我们可以通过柯西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。
步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。
步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。
步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。
这是因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。
步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有项都在一个有界的区间内。
步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。
步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限等于c。
三大收敛定理
三大收敛定理引言在数学领域，收敛是一个重要的概念。
当一个数列或函数的值越来越接近一个确定的极限值时，我们称之为收敛。
收敛定理是指一系列定理，用于判断数列或函数是否收敛以及极限的性质。
本文将介绍三大收敛定理，分别是柯西收敛准则、夹逼定理和单调有界数列定理。
这些定理是数学分析中最重要的基本定理之一。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种重要方法。
柯西收敛准则的基本思想是：如果对于任意给定的正数ε，存在一个自然数N，使得当n和m大于等于N时，数列的前n个元素和前m个元素之差的绝对值小于ε，则该数列是收敛的。
表达式表示如下：对于任意给定的ε>0，存在自然数N，对于任意n,m>N，有|an - am| < ε。
二、夹逼定理夹逼定理是用来判断函数极限的一种重要方法。
夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在某个区间上的两个函数夹住，且两个函数的极限相等，则这个函数的极限也相等。
具体的说：假设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]内定义，并且当x在这个区间上时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果当x趋于某个值c时，有lim(g(x)) = lim(h(x)) = L，则lim(f(x))也等于L。
三、单调有界数列定理单调有界数列定理是判断数列是否收敛的一种常用方法。
该定理分为两部分：单调有上界的数列必有极限，以及单调有下界的数列必有极限。
单调有上界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递增且有上界，那么这个数列是收敛的。
同理，单调有下界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递减且有下界，那么这个数列也是收敛的。
实例应用下面我们通过一个实例来应用上述三大收敛定理。
例：判断数列{(-1)^n/n}是否收敛。
首先，我们可以通过柯西收敛准则来判断数列是否收敛。
对于任意给定的ε>0，我们有：|an - am| = |(-1)^n/n - (-1)^m/m| ≤ 2/n ≤ ε。
3-2函数极限的性质和函数极限存在条件解读
有f ( x) g ( x), 则A B. （反证法）
推论2.若 lim f ( x) A且A B( A B), 则 0, x : 0 x x0
x x0
有f ( x) B( f ( x) B（取 ). g ( x) B）
特别地，B 0时称函数极限的保号性。
x x0 x x0
x : 0 | x x0 | , 有f ( x) g ( x).
证明：取 A B ， 0，x : 0 x x0 ，有 2 A B f ( x) g ( x). 2
x x0
推论1. 若 lim f ( x) A， lim g ( x) B, 且 0, x : 0 x x0
定理(函数极限的四则运算)若 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
x x0 x x0
x x0
lim [ f ( x) g ( x)] A B,
x x0
lim f ( x) g ( x) AB ,
f ( x) A lim （B 0） . x x0 g ( x ) B
n
lim xn x0，xn x0，都有 lim f（xn） A.
注意，此处要求 xn在f（x）之定义域内。
证明“ : ” 0， 0, x : 0 x x0 , 有
f ( x) A , 又已知，对任意xn , 有 lim xn x0 ,
0 0
于是， 0, 0, x : 0 | x x0 | 有 | f ( x) A | . 2 从而，x ', x ": 0 | x ' x f ( x ') f ( x ") || f ( x ') A | | f ( x ") A |
函数的极限
ln (1+x )
������→0
lim
ln
ln (1+x) x
ex − 1
= lim =−
ln (1 +
ln 1+x −x x
)
������→0
x
−1 ln 1 + x − x 1+x lim = lim = lim 1+x ������→0 ������→0 ������→0 2x x2 2x
1
= lim x 2 ex − 1 − x
x →+∞
= lim x 2
x →+∞
1 1 1 2 + + o(x ) − x = x 2! x 2 2 (2011，数一，10 分)
4、 lim������→0 ( 【解析】
ln (1+x) x
)e x −1
1
ln ln (1 + x) x1 x lim( )e −1 = lim e e x −1 ������→0 ������→0 x
+
sinx =1 x
x
6、 lim������→0 【解析】
������→0
sinx −sin sinx sinx x4
(2008，数一，9 分)
lim
sinx − sin sinx sinx sinx − sin sinx x cosx − cos sinx cosx = lim = lim ������→0 ������→0 x4 x4 3x 2 sin2 x 1 1 1 − cos (sin x ) 1 2 = lim = lim = 3 ������→0 x2 3 ������→0 x 2 6
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
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§1.6 函数极限的性质和收敛准则上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞→ ⑵ )(lim x f x −∞→ ⑶ )(lim x f x ∞→⑷ )(lim x f ax +→ ⑸)(lim x f ax −→ ⑹ )(lim x f ax → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。
我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。
一、函数极限的性质1Th （唯一性）如果)(lim x f ax →存在，则必定唯一。
证一：设)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 。
则,0,01>∃>∀δε当1||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|A x f (1),02>∃δ当2||0δ<−<a x 时，ε<−|)(|B x f (2)取{}2,1min δδδ=，则当δ<−<a x 0时（1）和（2）同时成立。
因而有ε2)()())(())((<−+−≤−−−=−B x f A x f B x f A x f B A ……（3） 由ε的任意性，（3）式只有当0=−B A 时，即B A =时才成立。
证二：反证，如)(lim x f ax →A =，B x f ax =→)(lim 且B A >，取20BA −=ε，则0>∃δ，使当δ<−<a x 0时，00)(,)(εε<−<−B x f A x f 即2)(200BA B x f A B A +=+<<−=+εε 矛盾。
2Th （局部有界性）如果)(lim x f ax →存在，则()U a ∃o使)(x f 在()U a o内有界。
证：设b x f ax =→)(lim ，则对10=ε，00>∃δ，当00δ<−<a x 时有1)(<−b x f从而()()1f x f x b b b ≤−+<+令b M +=1，则当00δ<−<a x 时有 ()f x M <。
Th3（保序性）设b x f ax =→)(lim ，c x g ax =→)(lim1） 若c b >，则00>∃δ，当00δ<−<a x 时有)()(x g x f >； 2） 若00>∃δ，当00δ<−<a x 时有)()(x g x f ≥，则c b ≥。
证：1） 取20cb −=ε即得。
2）反证，由1）即得。
推论（保号性）如果b x f ax =→)(lim 且0≠b ，则00>∃δ使当00δ<−<a x 时)(x f 与b 同号。
4Th （四则运算法则）若)(lim x f ax →与)(lim x g ax →都存在，则))()((lim x g x f ax ±→，)()(lim x g x f ax →皆存在，且))()((lim x g x f ax ±→=)(lim x f ax →±)(lim x g ax →)()(lim x g x f ax →=⋅→)(lim x f ax )(lim x g ax →又若)(lim x g a x →0≠，则)()(lim x g x f a x →也存在且)()(lim x g x f a x →=)(lim )(lim x g x f ax a x →→（证略）。
特例：若)(lim x f ax →存在，则对任意常数c 有)(lim )(lim x f c x cf ax ax →→=。
Th5 （复合函数求极限法则）（或叫变量替换法则） 若)(lim x g ax →A =，B u f Au =→)(lim ，则当下面两个条件1）0>∃δ，当(,)x U a δ∈o时，A x g ≠)( 2）f 在A 点有定义且)(A f B =有一个满足时都有B u f x g f Au ax ==→→)(lim ))((lim（证略）。
求极限之例：例1：2241lim lim 5lim 2lim lim 152lim 1211121221==+++=+++−→−→−→−→−→−→x x x x x x x x x x x x 例2：)1311(lim 31+−+−→x x x解：1−→x 时13,113++x x 极限都不存在，所以不能直接应用四则运算法则。
但当1−≠x 时有 121)2)(1(1311233−−−=+−+=+−+x x x x x x x x 所以=+−−=+−−=+−+−→−→−→−→)1(lim )2(lim 12lim )1311(lim 2112131x x x x x x x x x x x x 1−=L 例3：13132lim 22−−+−∞→x x x x x解：由于1lim 0x x →∞=，而222211313213132xx x x x x x x −−+−=−−+−，故 2002)132(lim 2=+−=+−∞→x x x 且3003)113(lim 2=−−=−−∞→x x x因此，原式32=。
例4：)34(lim 22+−++∞→x x x x解：由于==，故原式lim 2x ===其中，141lim=++∞→x x 的求法是根据1)41(lim =++∞→x x 、a u au =→lim （上节习题）及复合函数求极限法则而得。
例5：证明)1,0.(lim ,1lim 00≠>==→→a a a a a xxx x xx（留作自学内容。
书上有）。
例6：01limx x→− 解：令t x =+1，则0→x 时1→t ；且当0≠x 时1≠t 。
故0001111limlim )1x t t x x x x x t αα→→→→−===− 例7：38231limxx x +−−−→解：令t x =3，则3x t =；且当8−→x 时2−→t ；8−≠x 时，2−≠t 。
故)31)(2(31lim 231lim 231lim3323238+−+−−=+−−=+−−−→−→−→t t t t t xx t t x )31)(2(8lim 332+−+−−=−→t t t t261231)42(lim322−=−=+−+−−=−→t t t t二、函数极限存在的判别准则数列极限与函数极限之间的联系：6Th （Heine 定理，海涅定理或叫归结原则）设)(x f 在a 点的某个去心邻域()U a o内有定义，则极限b x f ax =→)(lim 存在的充要条件是：对任何以a 为极限且含于)(a U o的数列{}n a 都有b a f n n =∞→)(lim 。
（证明可不作要求）注：⑴ 此Th 说明函数极限与数列极限之间的联系，它把函数极限问题 归结为数列极限问题来处理，因此有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。
⑵ 这里给出a x →时的归结原则，其它类型的归结原则可类似给出。
⑶ 利用该定理可判断函数极限不存在。
方法如下：i） 在)(a U o内找到一数列{}n a ，a a n → 但)(lim n n a f ∞→不存在。
ii）在)(a U o内找到两数列{}'n a ，{}"n a ，a a a n n n n ==∞→∞→"'lim lim ，但)(lim )(lim "'n n n n a f a f ∞→∞→≠方法ii））比i）更方便、常用。
例：证明xx 1sinlim 0→不存在。
证：令221ππ+=n a n ，πn b n 21=，0lim lim ==∞→∞→n n n n b a 但122sin(1sin →+=ππn a n ，02sin 1sin==πn b n 。
故xx 1sin lim 0→不存在。
海涅定理的证明：（必要性）b x f ax =→)(lim ，则0>∀ε，0>∃δ，当δ<−<a x 0时，有ε<−b x f )(∈n a )(a U o且a a n n =∞→lim 。
对上述的0,0n ∃>δ，当0n n >时有δ<−<a a n 0，从而ε<−b a f n )(，即b a f n n =∞→)(lim充分性：（反证法）设f 定义在),('δa U o上，如lim ()x af x b →≠，则00>∃ε，0>∀δ，δx ∃，δδ<−<a x 0，但0)(εδ≥−b x f取, (2),...,2,2'2''n δδδδ=则∃相应的,...,...,,21n a a a尽管20'1δ<−<a a ，但 01|)(|ε≥−b a f ；20'2δ<−<a a ，但 02|)(|ε≥−b a f (2)0'δ<−<a a n ，但 0|)(|ε≥−b a f n ……),(}{δ′⊂⇒a U a n o且a a n n =∞→lim但n ∀，)(n a f 与b 的距离始终大于等于0ε，这与)()(∞→→n b a f n 矛盾。
#7Th （两边夹定理，迫敛性）如)(x f 、)(x g 和)(x h 均在)(a U o 内有定义，且当()x U a ∈o时，有)()()(x h x g x f ≤≤，b x h x f ax ax ==→→)(lim )(lim 则极限)(lim x g ax →存在且等于b 。
证：（完全可以根据δε−定义推出，这里用另一种方法）由Heine 定理，只须证对任一)(a U o中满足a a n n =∞→lim 的数列}{n a 都有ba g n n =∞→)(lim 成立即可。
由假设，)()()(n n n a h a g a f ≤≤ L ,2,1=n由Heine 定理及b x h x f ax ax ==→→)(lim )(lim 得 =∞→)(lim n n a f b a h n n =∞→)(lim再由数列的两边夹定理知b a g n n =∞→)(lim再由Heine 定理知 b x g ax =→)(lim #8Th （Cauchy 收敛准则）设)(x f 在),('δa U o内有定义，则极限)(lim x f ax →存在的充要条件是：0>∀ε，0>∃δ（δδ′<）使对任何x ′，x ′′(,)U a δ∈o都有ε<′′−′|)()(|x f x f 。