广东省佛山市第三中学2020年高三数学理测试题

广东省佛山市第三中学2020年高三数学理测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数与的图像交点的横坐标所在区间为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
2. 若变量满足约束条件，则的最大值为( ▲ )
A．B．C．D．
参考答案：
C
3. 若函数则的值域是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
4. 已知集合,,则A∩B= ( )
A. {0,1,2,3,4}
B.{0,1,2,3}
C.{0,1,2}
D.{1,2}
参考答案：
C
因为集合,集合,所
以.故选C.
5. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点
，关于直线对称，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D ．
参考答案：
C
6. 已知，则数列是 ( ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数
列 D．摆动数列
参考答案：
A
7. 已知命题p：任意，都有，命题q：存在，使，则下列命题为真命题的是（）
A．且B．且C．且D．且
参考答案：
B
略
8. 已知函数满足：且，．（）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
参考答案：
B
由题意可得下图：
项，，，故项错误；
项，若，如图，，，若，则等号成立，故项正确；
项，，，故项错误；
项，，，故项错误．
综上所述，故选．
9. 已知在区间内任取一个为，则不等式
的概率为（ )
A. B. C. D.
参考答案：
B
【点睛】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，对对数函数定义域和单调性的理解和掌握，是解决本题的关键，属于基础题，容易疏忽的是对数中真数大于零，正确求出不等式的解集是关键. 10. 已知 为非零向量，则“函数
为偶函数”是“
”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于
参考答案：
4 略
12. 已知实数,满足条件
则
的最大值为 ．
参考答案：
【知识点】简单的线性规划的应用. E5
【答案解析】解析：画出可行域如图:令，即，平移曲线知，当曲线过点B（1，1）时z最大，且最大值为.
【思路点拨】画出可行域，令目标函数，则，平移曲线
知，当曲线过可行域的顶点B（1，1）时z最大，且最大值为. 13. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为．
参考答案：
1或
14. 已知那么
参考答案：
12
15. 设函数的图象关于点P成中心对称，若，则=__参考答案：
16. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则．参考答案：
17. 若变量、满足约束条件，则的最大值．
参考答案：
试题分析：如图作出约束条件表示的可行域，线段，圆弧围成的封闭区域（含边界），由得，直线的截距越大，则取值越大，作直线，把直线向上平移到与圆弧相切时，取得最大值.
考点：线性规划的应用.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小題满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1，∠ABC＝90°，BB1⊥平面ABC，点E是A1B与AB1的交点，点D在线段AC上，B1C∥平面A1BD
（1）求证：BD⊥A1C
（2）求直线A1C与平面A1B1D所成的角的正弦值．
参考答案：
（1）如图，连接，因为平面平面，所以.
因为为的中点，所以为的中点.
因为，，
由平面平面，得，
又是平面所以内的两条相交直线，
得平面，因为平面，所以.
(2)令，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，得，
设是平面的一个法向量，
则，
令，得，
又,设直线与平面所成的角为，
则.
19. （04年全国卷III理）（14分）
已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=2a n +(-1)n,n≥1.
⑴写出数列{a n}的前3项a1,a2,a3；
⑵求数列{a n}的通项公式；
⑶证明：对任意的整数m>4，有.参考答案：
解析：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；
当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；
当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；
综上可知a1=1,a2=0,a3=2；
⑵由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.
故∴
数列{}的通项公式为：.
⑶由已知得：
.
故( m>4).
20. （16分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．
（1）将f（x）化成y=Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的周期；
（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内有图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间．
参考答案：
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：作图题；三角函数的图像与性质．
分析：（1）由两角差的正弦公式化简即可得解析式：f（x）=2sin（2x﹣），由周期公式即可求解；
（2）列表，描点连线即可用五点法做出图象；
（3）根据正弦函数的性质即可求得单调区间．
解答：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
所以函数f（x）的周期为=π．
（2）列表：
2x﹣
020﹣20
（3）函数f（x）的单调递减区间是：[k，k]（k∈Z）；单调递增区间是
[k，k]（k∈Z）．
点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，五点法作图，属于基础题．
21. (本小题满分10分)已知直线的参数方程为（其中为参数），曲线
：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位。

(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最大?若存在，求出距离最大值及点.若不存在，请说明理由。

参考答案：
（1）: ：……5分（2）由题意可知(其中为参数) ……6分到得距离为……7分
，
……8分
此时，，……9分
，
即
.
……10分
22. 已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
参考答案：
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；
（2）由x的范围，可得2x﹣的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．
解答：解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）
=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx
=+sin2x=+sin（2x﹣）
则函数f（x）的最小正周期T==π，
由2k≤2kπ+，k∈Z，
解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，
sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
则f（x）的值域为[0，1+]．
点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式，考查正弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于基础题．。