全等三角形难题集锦(整理)

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全等三角形难题集

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线分平角的 CAB∠是 PA:证求.P 交线
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E C B D
C

(完整版)全等三角形难题超级好题汇总

1. 如图，已知等边△ ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△ APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE；（2）试证明：EM-PM=AM.3.已知，如图①所示，在△ABC和△ ADE中，AB AC，AD AE，BAC DAE ，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：① BE CD ；② AM AN ；2）在图①的基础上，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立4、如图１，以△ ABC的边AB 、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．2、点 C 为线段AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E，BM,CN交于点F。

求证：1）AN=MB. （2）将△ ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，1）中的结论是否依然成立？（3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

B图①CB图１）F7、已知 Rt △ ABC 中， AC BC ，∠C 90，D 为AB 边的中点， EDF 90°，EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F．1 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于E时（如图1），易证S △DEF S △CEF S △ ABC ．DEF CEF 2 ABC当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；8. 已知 AC//BD, ∠CAB 和∠ DBA 的平分线 EA 、EB 与 CD 相交于点 E. 求证 :AB=AC+BD.5、如图所示，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，且 A 、 HB 平分∠ AHD ；④∠ AHC=60 °，⑤△ BFG 是等边三角形；⑥ A ．3个 B ．4 个 C ．5个 D ．6 个B 、D 三点共线．下列结论：① AE=CD ；② BF=BG ；③ FG ∥AD ．其中正确的有（）6. 如图所示，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝90°，AD 交 AD 于点 F ，求证：∠ ADC ＝∠ BDE ．是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E ，、 S △CEF 、 S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．图1若不成立，S △ DEF 图2图210、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ ABC 。

各类型中高难度全等三角形125题(答案版)

1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ．由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ，于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形．从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ，所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ，所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ．即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状，并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ．又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ．又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ．而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点，求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ，故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ．因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ．因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ．因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法．如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ．因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ．因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ．又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ．又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形．解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ．又设 ME ' 交 PF 于Q ，则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ．同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ．又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ，即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ．又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ．于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ．又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ，故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ．从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．解易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。

全等三角形难题集锦超级好

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EM-PM=AM.2.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图B E3.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB ，连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDBF4、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF 1A1CADBECF 1A1C5. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．ABCD EF6已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°， EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．A EC F BD图1图3ADFECBADBCE 图2F7、已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.8.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．DCBA9.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ；（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；10、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，则∠B 与∠ADC 互补.为什么？ABCD FE 图2DBEAC图十一11如图，在△ABC 中∠ABC,∠ACB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线12、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，EBAC图2DCB13如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD14如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF15如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

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2、点C 为线段AB 上一点，△ ACM, △ CBN 都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证:(1) AN=MB.(2)将厶ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，(1)中的结论是否依然成立？ ( 3) AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

5.已知，如图①所示，在 △ ABC 和厶ADE 中，AB AC ，AD AE ， BAC DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接 BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点.(1)求证：① BE CD :② AM AN ；(2)在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图出(1)中的两个结论是否仍然成立6.如图，C 为线段AE 上一动点(不与点 A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE AD 与BE 交于点O, AD 与BC 交于点P, BE 与CD 交于点 Q 连结PQ 以下五个结论：① AD=BE ;② PQ // AE ;③ AP=BQ;④DE=DP ⑤ / AOB=60 ⑥CP=CQ ⑦厶CPQ 为等边三角形. ⑧共有2对全等三角形⑨CO 平分/ AOP ⑩CO 平分/ BCD恒成立的结论有 _________________ (把你认为正确的序号都填上).10.已知：如图，△ ABC 是等边三角形, 使 DE DB ，连接 AE ，CD .(1)求证：△ AGE ◎△ DAC ；过AB 边上的点D 作DG // BC ，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点 E ， 1.如图，已知等边厶ABC P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△ APE,EC 延长线交BP 于M 连接AM,求证：(1) BP=CE(2)试证明：EM-PM=AM.（把你认为正确的序号都填A. 3个1、在厶 ABC 中，AB BC 2, ABC 120°将△ ABC 绕(0 ° 90 °得厶ABG , AB 交AC 于点E , A 1C 1分别点B 顺时针旋转角交 AC 、BC 于 D 、F2.如图所示，△ ABC 是等腰直角三角形，/ ACB= 90° AB 于点E ,交AD 于点F ,求证：/ ADC=Z BDE（2）过点E 作EF // DC ,交BC 于点F ,请你连接AF ,并判断△ AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论.11、如图1,以 △ ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连结EG ，试判断△ ABC与厶AEG 面积之间的关系，并说明理由.9如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A, E 重合），在AE 同侧分别作正三角形 AD 与BC 交于点P, BE 与CD 交于点Q,连结PQ 以下五个结论:① AD=BE ; ② PQ // AE ③ AP=BQ ④ DE=DP ⑤ / AOB=60 .恒成立的结论有 ________________ 10.如图所示，已知△ ABC^n ^ BDE 都是等边三角形，且 A 、B 、D 三点共线.下列结论： ①AE=CD ②BF=BG ③HB 平分/ AHD ④/ AHC=60，⑤A BFG 是等边三角形； ⑥FG// AD.其中正确的有（）两点•如图1,观察并猜想，在旋转过程中，线段EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论;Q113. 如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

全等三角形难题集锦超级好题汇总

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EM-PM=AM.2、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证：（1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立（3）AN与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

3.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，ADAE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.22题PB EAB A B N CNA4、如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．5、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．AGFCBDE（图１）ABC DEF7、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEFABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．8.已知AC 求证:AB=AC+BD.A E C FBD图1图3ADFECBADBCE 图2FDCBA9.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ；（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；10、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

完整版)全等三角形难题题型归类及解析

完整版)全等三角形难题题型归类及解析1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE=AC，DE=2cm，BD=3cm，求BC的长度。

为了解决这个问题，我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形ADE和ABC。

因为AE=AC，所以三角形ADE和三角形ABC的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠DAE=∠CAB，∠AED=∠ACB。

又因为AD是角BAC的平分线，所以∠DAE=∠EAC，因此∠CAB=2∠EAC。

设BC=x，则根据正弦定理可得：3/x=sin(2EAC)/sin(EAC)，化简后得到x=6.2.在三角形ABC中，BD是角ABC的平分线，AB=BC，P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求解PM与PN 的关系。

首先，我们可以利用角平分线的性质，构造等腰三角形ABD和CBD。

因为AB=BC，所以三角形ABD和三角形CBD的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠BDA=∠BDC，∠ADB=∠CDB。

又因为BD是角ABC的平分线，所以∠ADB=∠BDC，因此∠BDA=∠CDB。

因此，三角形APM和三角形CPN是全等的。

因为全等三角形的对应边相等，所以PM=PN。

3.在三角形OAB中，P是角OAB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，OC=4cm，求解AO+BO的值。

我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形OAC和OBC。

因为∠OAP+∠OBP=180°，所以∠AOP=∠BOP=90°。

因此，三角形OAP和三角形OBP是直角三角形。

设AO=x，BO=y，则根据勾股定理可得：x^2+PC^2=OP^2，y^2+PC^2=OP^2.又因为OC=4cm，所以PC=2cm。

将PC代入上面的两个式子中，得到x^2+y^2=OP^2-4.又因为三角形OAC和三角形OBC是全等的，所以x=y，因此2x^2=OP^2-4，即OP^2=2x^2+4.因此，AO+BO=2x=2√((OP^2-4)/2)=2√(2x^2)=2√(2y^2)=2√(2x^2+4)/2=2√(OP^2)/2=OP√2=2√6.4.在三角形ABC中，E在边AC上，且∠XXX∠ABC。

(完整)全等三角形难题及答案

1、如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =,连接,AE EF 和CF 。

求证:AE CF =.2、如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =.3、如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠,P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

4、如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的高，F 、G 分别是线段DE 、BC 的中点求证:DE FG ⊥5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F ，求证:∠ADC＝∠BDE6、如图,在锐角ABC ∆中，已知C ABC ∠=∠2,ABC ∠的平分线BE 与AD 垂直，垂足为D ，若cm BD 4=，求AC 的长参考答案1、思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形.以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点∴90ABC CBF ∠=∠=在ABE ∆与CBF ∆中AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

2、思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

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1、（1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.图1 图22、（1）如图1，现有一正方形ABCD ，将三角尺的指直角顶点放在A 点处，两条直角边也与CB 的延长线、DC 分别交于点E 、F ．请你通过观察、测量，判断AE 与AF 之间的数量关系，并说明理由．（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE 、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理由．（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE 、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．4、C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD=BE ； ② AE PQ //； ③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ︒=∠60AOB ⑥CP=CQ ⑦△CPQ 为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO 平分AOE ∠ ⑩CO 平分BCD ∠ 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．CHF ED BAABC ED O P Q5、D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN ，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F 。

（1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DE=DF 。

（2）若AB=2，求四边形DECF 的面积。

6、如图，ABC ∆是正三角形，△BDC 是顶角︒=∠120BDC 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．7、点C 为线段AB 上一点，△ACM ， △CBN 都是等边三角形，线段AN ，MC 交于点E ，BM ，CN 交于点F 。

求证：（1）AN=MB .（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？（3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

图① 图②8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在ABC ∆中，AB=AC ，P 是ABC ∆内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使BAC QAP ∠=∠，连接BQ 、CP ，则BQ=CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ=CP 之后，将点P 移到等ABAB腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC ∆和DEF ∆．且ABC ∆≌DEF ∆。

将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF ∆绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ． ①当DEF ∆旋转至如图②位置，点)(E B ，C ，D 在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是． ②当DEF ∆继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？AO 与DO 存在怎样的数量关系？请说明理由．10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC ⊥BE ．11、两个全等的含30°、60°角的三角板ADE 和三角板ABC 放置在一起，︒=∠=∠90ACB DEA ，︒=∠=∠30ABC DAE ，E 、A 、C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．12、如图，AD//BC ，AD=BC ，AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，且AE=AD ，AF=AB ，求证：AC=EF13、如图，AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB=AE ，∠B=∠E ，求证：（1）BD=CE ；（2）BD ⊥CE ．14、如图，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，且BD=CD 。

求证：（1）△BDE ≌△CDF ；（2）点D 在∠A 的平分线上15、如图1，A 、E 、F 、C 在同一条直线上，AE=CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，（1）若AB=CD ，试说明BD 平分EF ；（2）若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动变为图2时，其余条件不变，BD 是否还平分EF ，请说明理由。

16、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在ABC ∆中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在ABC ∆中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

17、如图1，点M 为锐角ABC ∆内任意一点，连接AM 、BM 、CM ．以AB 为一边向外作等边ABE ∆，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）若AM+BM+CM 的值最小，则称点M 为ABC ∆的费尔马点．若点M 为ABC ∆的费尔马点，试求此时AMB ∠、BMC ∠、CMA ∠的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以ABC ∆的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为ABC ∆的费尔马点．试说明这种作法的依据．18、如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F . （1）如图1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF满足的数量关系是； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是； ③ 请证明你的上述两猜想.（2）如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明OP AMNEB CD FACEFBD图①图②图③图1 图219、如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.20、如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？21、如图1，在ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．22、如图①所示，在ABC ∆和ADE ∆中，AC AB =，AE AD =，DAE BAC ∠=∠，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为的中点．（1）求证：①；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE ∆绕点按顺时针方向旋转︒180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.23、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．︒=∠90AEF ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE=EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证AME ∆≌ECF ∆，所以EF AE =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”BE CD ，BE CD =A图1（ F）BC P A （E ） llPB C F图2lQ仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．24、问题背景，如下命题：① 如图1，在正三角形ABC 中，N 为BC 边上任一点，CM 为正三角形外角∠ACK 的平分线，若︒=∠60ANM ，则AN=NM 。