全等三角形难题及答案

1、 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，

BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。

2、 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，

ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。求证：2AC AE =。

3、 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。

4、如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的

边AC 、AB 上的高，F 、G 分别是

线段DE 、BC 的中点

求证：DE FG ⊥

5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边

上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE

6、如图，在锐角ABC ∆中，已知C ABC ∠=∠2，

ABC ∠的平分线BE 与AD 垂直，垂足为D ，

若cm BD 4=，求AC 的长

参考答案

1、 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点

∴90ABC CBF ∠=∠=

在ABE ∆与CBF ∆中

AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)

∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

2、 思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF

在ABE ∆与FDE ∆中

AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)

∴B EDF ∠=∠

ADF ADB EDF

∠=∠+∠，ADC BAD B

∠=∠+∠

又ADB BAD

∠=∠

∴ADF ADC

∠=∠

AB DF

=，AB CD

=

∴DF DC

=

在ADF

∆与ADC

∆中

AD AD

ADF ADC

DF DC

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴ADF ADC

∆≅∆(SAS)

∴AF AC

=

又2

AF AE

=

∴2

AC AE

=。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行

3、思路分析：欲证AB AC PB PC

->-，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC

-。而构造AB AC

-可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取AN AC

=，连接PN

在APN

∆与APC

∆中

12

AN AC

AP AP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴APN APC

∆≅∆(SAS)

∴PN PC

=

在BPN

∆中，PB PN BN

-<

∴-<-

PB PC AB AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM AB

=，连接PM 在ABP

∆与AMP

∆中

12

AB AM

AP AP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴ABP AMP

∆≅∆(SAS)

∴PB PM

=

在PCM

∆中，CM PM PC

>-

∴AB AC PB PC

->-。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

4、连结DG，EG，易得EG

DG=

再由三线合一，得证

6、以A为圆心，以AB为半径，画弧交BC于N，连结AN，则AB

AN=

C

ABN

ANB∠

=

∠

=

∠

∴2，C

CAN∠

=

∠，NC

AN=

∴

过N作AC

NM⊥，交AC于M，且得MC

AM=

易证ABD

∆≌ANM

∆，得cm

AM

BD4

=

=

cm

AC8

=

∴