2020年高考数学考点分析与突破性讲练专题32双曲线及其性质理
专题32双曲线及其性质
一、考纲要求：
1. 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）
3. 理解数形结合思想.
4. 了解双曲线的简单应用.
二、概念掌握和解题上注意点：
1.应用双曲线的定义需注意的问题，在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点动点具备
的几何条件，即“到两定点焦点的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两
定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支?同时需注意定义的转化应用.
2?在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|| PF| —|PF2|| = 2a平方，建立与
|PF| ? PFF间的联系.
3.求双曲线标准方程的主要方法
1定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2, b2,得双曲线方程.
2待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.
4?与双曲线几何性质有关问题的解题策略
1求双曲线的离心率或范围.依据题设条件，将问题转化为关于a, c的等式或不
等式，解方程或不等式即可求得?
2求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.
三、高考考题题例分析
例1. （2020课标卷I ）已知双曲线C:丄一-y2=1，0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
直线与C的两条渐近线的交点分别为M 2若厶OMF为直角三角形，则|MN|=（）
A. —
B. 3
C. 2 :■: D . 4
【答案】B
【解析】：双曲线C：青-y2=1的渐近线方程为：y=±d垃，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F
（2，0）的直线为：y=方仗町），
例2. （2020课标卷II ） 双曲线一一=1 （ a >0, b > 0）的离心率为 ；，则其渐近线方
“ b 2
程为（
）
A. y= ±心；乎x B . y=±“fp C . y= ±二_x D. y=± x
2 2
【答案】A
【解析】:?腰曲线的离心率为宀屁
a
即双曲线的渐近线方程为百士牛丈屈 故选：A ,
O 是坐标原点.过 F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P,若|PF i |= r.|OP|，则C 的离心率
为（ ） A.
B. 2
D. ■::
【答案】C
???点F 2到渐近线的距离d= 八
=b ,即|PF 2|=b ,
Va 2 + b 2
则:
,y=/3（x-2） 解得M （
3 V3 —? — --
例3. （2020课标卷III ）
右焦点, 【解析】：双曲线 C:
二7=1 （ a > 0. b > 0）的一条渐近线方程
为
b 2
故选：B.
2
设F i , F 2是双曲线C ::'
2 a
=1 （a > 0. b > 0）的左,
丿叽丨5屮,__________________ a H |
???|0P|=U 1严，COS / PF2O丄,
???|PF i|= 一一?|OP| ,
???|PF i|= 一.a,
_ 2 2 2
在三角形F i PH中，由余弦定理可得|PF i| =|PF2| +戶冋 -2|PF2| ?|F I F2|COS/ PF2O,
2 2 2 L 2 2 2 2 2
? 6a =b +4c - 2X b x 2cx±L=4c - 3b =4c - 3 (c - a ),
c
即3a2=c2,
即「;a=c,
? e===.
a
故选：C.
双曲线及其性质练习题
一、选择题
2 2
x y
1 .已知双曲线才一二=1( a>0)的离心率为2,贝U a= ( )
A. 2C上
.2
D. 1
【答案】D
【解析】依题意，e= c—归=
a a= 2,^ a2+ 3= 2a,则a2= 1, a= 1.
2?若双曲线E:
2 2
x-—y-=1 的左、
9 16 的左
右焦点分别为F1, F2, 点P在双曲线E上，且| PF| = 3,
则| PF等于()
A. 11
B.9 C . 5 D.3
【答案】B
【解析】由题意知a= 3, b= 4,「. c = 5.由双曲线的定义|| PF| —|PF2|| = |3 - | PF2|| = 2a
=6, ?I PF| = 9.
A. 48
B. 24 1 1 3
4
2 2
3.已知双曲线 § —占=1(a >0, b >0)的焦距为
a b
2 :E ，且双曲线的一条渐近线与直线
2x + y
=0垂直，则双曲线的方程为 2
x 2 A. — 一 y = 1
4 B.
(
2
2
y 彳
x —
4 =1
3x 2 3y 2 C 20 - 卩 1 D. 3x 2 3y 2
5 20
1
【解析】由題意可得s 僅1
日F ^4-^ = 5； 山＞0,五＞0,
^=1,所以怨曲线的方程为;
y —1?故选 4 .已知双曲线的离心率为2 , 焦点是(一
4,0),
(4,0),则双曲线的方程为
A. 2
x
B — 12
C. 2 2 x
y 彳 ——=1 10 6 【答案】 已知双曲线的离心率为 2,焦点是(一4,0)， 2 2 线方程为:一 ；2= 1，故选A. 2 2
5.双曲线笃一y 2= 1(a >0, b >0)的一条渐近线与直线 a b 【解
析】 (4,0) 2
，贝U c = 4, a = 2, b = 12,双曲
x + 2 y — 1= 0垂直，则双曲线的离心
率为 A. C. D. ：3+
1
【答案】 【解析】 由已知得 6已知双曲线x 2— b
c
=2，所以e == a a
2
24=1的两个焦点为
B.
2 2 a + b 2 a
F i ，F 2, P 为双曲线右支上一点?若
4
|PF | = 3I PF ，
△
F i PF