逻辑函数最大项表达式及其卡诺图化简_赖家胜

摘 要 :通过对逻辑函数最大 项性质的分析 , 对比由 逻辑真值表 求逻辑函 数标准“ 与或” 式以及 用卡诺图 化简求最简“与或” 式的方法 , 推导 出求逻辑函数标准“ 或与” 式及用卡诺图化简求最简“或与” 式的方法 .
关键词 :逻辑函数 ;最小项 ;最 大项 ;卡诺图 中图分类号 :O 14 文献标识码 :A 文章编号 :1003 -7020(2002)04-0098-03
Y 2 =(A +B +C)(A +D)(A +B +C)(C +D), 容易验证 :
Y 1=Y 2 . 2 .2 具有无关项的逻辑函数 的化简
图3 无关项是指逻辑函数中不可能存在的 项 , 或者这些 项 的取值对函数 值 不产 生影 响 .无关 项包 括 约束 项和 任 意 项 .在卡诺图中 , 在这些项对应的方格内填“ ×” .在进行 化 简合并时 , 可以 把这 些项 看作“1” , 也可 以 把这 些项 看 作 “ 0” .以方便化简为原则 .因而在化简求函数最简“ 或与” 式 时 , 我们可以象求最简“与或” 式一样根据需要对这些项 进 行取舍 .例如对逻辑函数 Y = A B + A D +A C +B C , 其
(1)
则 Y
=∑
mi
=∑m k ≠i
k
,
而
Y =Y = ∑ mk = ∏ mk = ∏Mk .
k ≠i
k ≠i
k ≠i
(2)
(2)式即为该逻辑函数的最大项表达式 .对比(1)、(2)两 式
我们不难发现 :(2)式中最大项的编号与(1)式中最小项 的
编号互补 , 即(2)式中 最大项 的编号 恰好是 所有编 号中 除
逻辑函数的标 准“ 与 或” 式 也 即最 小 项表 达式 , 标 准 “ 或与” 式也即最大项表达式 .为了说明如何根据逻 辑真值 表写出函数的最大项表达式 , 我们先看一下根据逻 辑真值 表写出函数的最小项表达式的 方法[ 2] (P19):在此以楼 梯照 明灯控制电路为 例来 说明 , 其 电 路如 图 1, 真 值 表如 表 1 所示 .
(3)把上述各 乘积项相 加 , 即得所 要求 的逻辑 函数 最 小项表达式 .如上例中 Y =AB +A B . 1 .2 根据逻辑真值表求逻辑函数标准“ 或与”式的方法
根据反演定律 ∑ mi =∏ mi 以 及最 大 项与 最小 项 之
间的关系mi =Mi , 若某逻辑函数的最小项表达式为 :
Y =∑ mi ,
图2 例如 , 对逻辑函数 Y(A , B , C , D)=∑ m(1 , 5 , 7 , 11, 12, 13, 15), 我们画出其卡诺图如图 2 所示 , 分别用合并 最 小项(如 a)和合并最大项(如 b)的方法对 其化简 , 分别 得 到结果为
Y 1 =AB C +A CD +ACD +BD 和
Y 2 =B(C +D)=BC +B D +BC D
=BC +B D +C D =BC +C D =Y 1 , 即在考虑到约束条件的情况下 , 两式是等价的 .
参考文献 :
[ 1] 阎石 .数字电子技术基础[ M] .第 3 版 .高等教育出版社 , 1994.
[ 2] 鬲淑芳 .数字电子技术基础[ M] .陕西师范大学出版社, 2000 . [ 3] 清华大学电子学教研室 .数字电子技术基础简明教程[ M] .高等教育出版社 , 1996 .
图4 在对包含无关项的逻辑函数化简时 , 有时所求 得的最 简“ 与或” 式和最简“ 或与” 式在形式上并不相等 , 但只要
把约束条件考虑进去 , 则两者实质上还是等价的 .例如 :对 逻辑函数 Y = A BC +B C D , 其约 束条 件为 :AB + AC + BC D =0, 画出卡诺图(如图 4), 分别用合并最 小项(如 a) 和合并最大项(如 b)的方 法对 其化简 , 得 到结 果为 Y 1 = BC +C D 和 Y 2 =B(C +D).初看 两表 达式并 不相 等 , 其 原因是因为在合并 的过程 中 , 对 无关项 的处 理不相 同 .编 号为 4 和 12 的两 无关项在 两次 合并中 都被 圈入包 围圈 , 但在求最简“ 与或” 表达式 时 , 它 们被当 作 1 处理 , 而在 求 最简“或 与” 表达式 时 , 它 们被当 作 0 处 理 , 因而得 到的 结 果形式 不相同 .但我 们只要 考虑到 其约束 条件 BC D =0, 则
例如表 1 中有 A =0 , B =0 和 A =1, B =1 两组 ;
(2)把上述每一组取值组合写成一个最大项 , 写时 , 凡
是取值为 0 的变量写成原变量 , 取值为 1 的变量写成反 变
量 .如上例中 A +B 和 A +B ;
收稿日期 :2002 -09 -10 作者简介 :赖家胜(1972 —), 男 , 江西赣县人 , 讲师 。
(责任编辑 :梁文杰)
T he M aximum Formula of Logic Function and Its Simplification of Karnaugh Diagram
LAI Jia-sheng (P hysics Department , Liuzhou T eachers College , Liuzhou , Guang xi 545003 , China)
最 小项和最 大项是 逻辑函 数表达 式中常 见的形 式 . 在包含 n 个变量的逻辑函 数中 , 若 m 为包含 n 个因 子的 乘积项 , 而且这 n 个变量 均以 原 变量 或反 变量 的形 式在 m 中出现一次 , 则 称 m 为该组变量的最小项[ 1] (P22);若 M 为 n 个变量之和 , 而且 这 n 个 变 量均 以原 变量 或反 变量 的形式 在 M 中 出 现 一 次 , 则 称 M 为 该 组 变 量 的 最 大 项[ 1] (P23).用 最小项 可以 构成逻 辑函 数的标 准与 或式 , 用 最大项可以构成逻辑函数的标准或与式 .在现行的 很多数 字电路教材[ 1] [ 2] [ 3] 中 , 对标准“与或” 式及用卡诺图化简求 最简“ 与或” 式介绍较多 , 而对标准“ 或与” 式及如何 用卡诺 图化简求最简“或与” 式介绍较少 , 对此本文根据最 大项与 最小项的关系 , 对照由逻辑真值表求逻辑函数 标准“ 与或” 式以及用卡诺图化简求最简“与或” 式的方法 , 推导 出由真 值表求逻辑函数标准“ 或与” 式 以及用 卡诺图化 简求 最简 “ 或与” 式的方法 . 1 根据逻辑真值表求逻辑函数标准“ 或与” 式的方法 1 .1 根据 逻辑真值表求逻辑函数标准“与或” 式的方法
在卡诺图中对应每一个最大 项编号的方 格内填 0, 其余 方 格内填 1 ;
(2)合并最大 项 :将相 邻的 2n 个标 有 0 的方 格圈 成 一组 , 每个包围圈即可写成一个新的逻辑或项 ;
(3)将所有包围圈对应的逻辑或项 相与即得最 简“ 或 与” 式 . 其中合并最大项的规则是 :如果有 2n 个最大项 相邻 , 则 它 们可以合并为一个逻辑或 项 , 并 消去 n 个 变化的 变量 , 合 并后的结果中只剩 下不变 的变量 .但需 要注 意的是 :写 成 逻辑或项时变量值为 0 的 , 写原变量 ;变量值为 1 的 , 写 反 变量 .这是与求最简“与或” 式所不同的 .
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赖家胜 :逻辑函数最大项表达式及其卡诺图化简
(3)把上述各最大 项相与 , 即得 所要 求的逻 辑函 数最 大项表达式 .如上例中
Y =(A +B)(A +B). 以上就是由真值表求逻辑函数标准“或与” 式的方法 . 2 用卡诺图化简求逻辑函数的最简“ 或与” 式 2 .1 一般逻辑函数的化简 为了说明如何用卡诺图化简求函数的最简“ 或与” 式 , 我们先看一下用卡诺图 化简求 函数的 最简“ 与或” 式 的方 法[ 2] (P29). (1)将逻辑函数写成最小项之和的表达式 ; (2)按最小项的编号填写卡诺图 ; (3)合并最小 项 :将 相邻 的标 有 1 的方 格圈 成一 组 , 每个包围圈即可写成一个新的乘积项 ; (4)将所 有 包围 圈对 应 的乘 积项 相 加即 得 最简“ 与 或” 式 . 其中合并最小项的规则是 :如果有 2 n 个最小项相邻 , 则它 们可以合并 为一个乘积项 , 并 消去 n 个 因子 , 合并后 的结 果中只剩下公共因子 . 上述方法主要是基于以下两个基本原理 :1 .对 于少于 五变量的卡 诺图 , 其 几 何相 邻(含 上下 底 、左 右边 和四 个 角)的最小项也是逻 辑相邻 的最小 项 ;2 .两个逻 辑相 邻的 最小项可以合并为一个 乘积项 , 消去 1 个 因子 , 结果 中只 剩下公共因子 , 即 AB +A B = A , 由 此推广 , 2n 个逻 辑相 邻的最小项 可以合并为一个乘 积项 , 并消去 n 个因子 , 结 果中只剩下公共因子 . 对比最大项与最小项的 性质 , 我 们发现 , 当 我们 使用 相同的卡诺图进行化简时 , 上述第一条原理对最大 项也适 用 , 即对于少于五变 量的卡诺 图 , 其几何 相邻(含 上下 底 、 左右边和四 个角)的 最大项 也是逻 辑相邻 的最大 项 ;其次 因为 (A +B)(A +B)= A , 即两个 逻辑 相邻的 最大 项可 以合并为一项 , 消去 1 个变化 的变量 , 结 果中只 剩下 不变 的变量 , 由此推广 , 2n 个逻辑相邻的 最大项 可以合并 为一 个逻辑或项 , 并消去 n 个变化的 变量 , 结果 中只剩下 不变 的变量 . 从以上的分析中得知 :用卡诺图化简求逻辑函 数最简 “ 与或” 式所基于的针对 最小项 的两条 原理对最 大项 也完 全适用 , 因而用卡诺图化简求逻辑函数最简“ 或与” 式的方 法也将与求最简“与或” 式的方法类同 .考虑到最大 项表达 式与最小项表达式的编 号互补 , 也即 在卡 诺图中 , 凡 标为 0 的方格所对 应的 编号才 是标 准“ 或与” 式 中各 最大 项的 编号 .因而我们得出用卡诺图化简求逻辑函数 最简“ 或与” 式的方法 : (1)画出逻辑 函数的 卡诺 图 .画图时 , 若逻 辑函 数表 达式为最小项之和的形式(标准“ 与或”式), 则在卡 诺图中 对应每一个最小项编号的方格内填 1 , 其余方格内 填 0;若 逻辑函数表达式为最大项之积的形式(标准“ 或与” 式), 则