习题课 3

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习题课三极限的计算(题目)

极限存在，并求此极限。
2. 设{ xn } 满足条件： x1 0 ， xn1 6 xn ， n1, 2, ，
试证数列 xn极限存在，并求此极限。
3. 给定两个正数a，b(b a)，作两个数列xn yn：
x1 a, y1 b, xn1
xn yn , yn1
xn
2
yn
证明：xn
yn
都收敛，且 lim n
习题课三极限计算
习题课三极限的计算
数列极限的计算
一、计算下列各题
1．
lim (
n
n2
1 n1
n2
2 n2
n2
n nn
)
2．
nlim[ (nn1)2
n (n 2)2
n (n n)2
]；
3．
lim(
n
n k 1
1 k2
1
)n
4． lim n 1 xn ( x2 )n ( x 0)
n
2
5． lim 1 3 L 2n 1 lim (2n 1)!!
（3）若{ xn } 无界，则{ yn } 必为无穷小。
（4）
若
{
1 xn
}
为无穷小，则
{
yn
}
必为无穷小。
5
习题课三极限的计算
二、填空题
1．
lim
x
x2 5cosx 3x2 6sinx
； 2. lim x sin x ______
x
x
3. 设 f ( x)
1
1
,
lim
x0
f (x)
__, lim x0
xn
lim
n
yn。

辽宁工业大学高数习题课(3)

1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析当 x 0 分子分母均趋近于0, 为型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或

型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!

平行线判定习题课三

3.如图，已知：∠A＝∠1，∠C＝∠2。求证：AB∥CD。
2
鸡西市第十九中学初二数学组
4.如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定 ED 与 CF 的位置关系，请说明理由。
5.已知：如图，
，
，且
. 求证：EC∥DF.
6.如图 10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 出图中平行的直线，并说明理由．
鸡西市第十九中学初二数学组
鸡西市第十九中学学案学科
时间
数学
课题
2012 年
平行线及其判定习题课
月日
班级课型
人教版
姓名新课
七年级上
学习目标重点难点
1．理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论． 2．掌握平行线的判定方法，能运用所学的“平行线的判定方法” ，判定两条直线是否平行．会运用平行线的三种判定方法解决问题. 灵活运用平行线的判定去推理证明. 学习内容
1．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线 a 与直线 b 平行，则记作______． 2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______． 3．平行公理是：______________________________________________． 4．平行公理的推论是如果两条直线都与______，那么这两条直线也______．即三条直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c，则______． 5．平行线的判定方法：（1）文字叙述：，，，（2）数学符号表示：如图：（1）∵ ∴ （2））∵ ∴ （3）∵ ∴ = ∥ = ∥ = ∥ ，。，。，。
3 4 2 b c 1 a
。。。
1

习题课3

2t 2 1 1 cos 2t lim lim 2 2 t 0 t 0 6 t 6t 3
1 x2 所以 xlim ( x tan ) x 1 n2 1 故 lim ( n tan ) e 3 n n 1 2 lim 例7: 求极限 x [ x x ln(1 )]. x 1 1 2 2 1 lim lim 解: 由于 x [ x x ln(1 )] x x [ ln(1 )] x x x 1 作变量替换: t , 则 x 1 0 1 2 1 lim x [ ln(1 )] lim 2 [t ln(1 t )] ( ) x t 0 t x x 0 1 1 t 1 1 t lim lim t 0 2t (1 t ) t 0 2 2t
再将f (x)在x=1处展开为一阶Taylor 公式: f ( ) ( x 1)2 , f (x) = f(1) + f (1)(x –1) + 2! 令x=0得, f ( ) , f (0) = f(1) – f (1) + 2! 又由于f (x)>0, 则 f ( ) < f (1). f (1) – f(0) = f (1) – 2! 综合以上两式得证: f (1)> f(1)–f(0)> f (0). 另外用Lagrange中值定理和单调性证明: 由于f (x)在[0, 1]上满足Lagrange中值定理的条件, 故存在(0, 1)使得 f(1)–f(0)= f (). 在[0, 1]上f (x)>0, 则在[0, 1]上f (x)单调增加, 所以f (0)< f ()< f (1)
1 1 1 ② 当 f ( ) ln 1 0, a . a a e 1 方程仅有一个实根, 即 x . a 1 1 ③ 当 f ( ) ln 1 0 时, 方程无实根. a a

高中人教A版数学必修4：习题课(三) Word版含解析

一、选择题1．对于非零向量ab 下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b 则|a |＝|b |B ．若a ∥b 则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b 则a ·b ＝0D ．a ∥b 与ab 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反但模长不确定因此B 错误．2．设向量ab 满足|a ＋b |＝10|a －b |＝6则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6两式相减并除以4可得a ·b ＝1 3．设xy ∈R 向量a ＝(x 1)b ＝(1y )c ＝(2－4)且a ⊥cb ∥c 则|a ＋b |等于( )A 5B 10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ∴2x －4＝0x ＝2又b ∥c ∴2y ＋4＝0∴y ＝－2∴a ＋b ＝(x ＋11＋y )＝(3－1)． ∴|a ＋b |＝10 4．对于非零向量αβ定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β已知非零向量ab 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2且a °bb °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ⎪⎪n 2n ∈N 中则a °b ＝( ) A 52或32 B 12或32C ．1D 12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2n ∈N ①同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2m ∈N ②再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4mn ∈N ∴m ＝n ＝1∴a °b ＝n 2＝12选D 二、填空题7．若向量OA →＝(1－3)|OB →|＝|OA →|OA →·OB →＝0则|AB →|＝________答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20所以|AB →|＝20＝2 58．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝3a ＋b ＝(31)则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4故|a －b |＝2因此cos 〈a －ba ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12故所求夹角是2π3 9．设正三角形ABC 的面积为2边ABAC 的中点分别为DEM 为线段DE 上的动点则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________．答案：532 解析：设正三角形ABC 的边长为2a 因为正三角形ABC 的面积为2所以a 2＝233设MD ＝x (0≤x ≤a )则ME ＝a －xMB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2当x ＝a 2时MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532三、解答题10．已知|a |＝4|b |＝8a 与b 的夹角是120°(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3(2)由题意知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0即16k －16(2k －1)－2×64＝0解得k ＝－711．如图在△OAB 中P 为线段AB 上一点且OP →＝xOA →＋yOB →(1)若AP →＝PB →求xy 的值；(2)若AP →＝3PB →|OA →|＝4|OB →|＝2且OA →与OB →的夹角为60°求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →则OP →＝12OA →＋12OB → 故x ＝y ＝12(2)若AP →＝3PB →则OP →＝14OA →＋34OB → OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3能力提升12．已知A (10)B (5－2)C (84)D (46)那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4－2)BC →＝(36)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0故AB →⊥BC →又DC →＝(4－2)故 AB →＝DC →又|AB →|＝20＝2 5|BC →|＝45＝3 5故|AB →|≠|BC →|所以四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中已知三点A (40)B (t 2)C (6t )t ∈R O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －42)AC →＝(2t )BC →＝(6－tt －2)若∠A ＝90°则AB →·AC →＝0即2(t －4)＋2t ＝0∴t ＝2；若∠B ＝90°则AB →·BC →＝0即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0∴t ＝6±22；若∠C ＝90°则AC →·BC →＝0即2(6－t )＋t (t －2)＝0无解∴满足条件的t 的值为2或6±2 2(2)若四边形ABCD 是平行四边形则AD →＝BC →设点D 的坐标为(xy )即(x －4y )＝(6－tt －2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2即D (10－tt －2) ∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104∴当t ＝6时|OD →|取得最小值4 2。

北大操作系统第三章：操作系统习题课(三)

操作系统习题讲解进程的同步与互斥（三）赵俊峰P 、V 题的一般分析过程1问题的分析确定有哪些进程y1.问题的分析，确定有哪些进程；2y2.确定各个进程之间的同步互斥关系；y3.信号量的设计（初值以及用来实现哪些进程间的同步互斥、是否需要一般变量的辅助）辅助）；y4、实现（避免出现不公平现象比如饥饿、避免出现死锁如P 操作的次序问题）。

同学们的问题1有几个进程进程的划分？y：有几个进程，进程的划分？y 2：if 判断语句与P/V 之间的区别？多余的判断？y 3：每个进程的行为划分？对于行为的控制？该谁去控制？触发行为的条件及被触发的行为？y 5：触发行为的条件及被触发的行为？y 6：需要全面考虑题目要求需要全面考虑题目要求y 7：什么时候需要计数？共享变量需要互斥使用y 8：共享变量需要互斥使用进程同步与互斥习题（四）请用信号量解决以下问题y 把学生和监考老师都看作进程, 学生有N 人, 考场门口每次只能进出个人教师1人. 考场门口每次只能进出一个人, 进考场原则是先来先进. 当N 个学生都进入考场后, 教师才能发卷子. 学生交卷后可以离开考场. 教师要等收上来全部卷子并封装卷子后才能离开考场.(1)(1)问共需设置几个进程?(2) 试用P 、V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.进程同步与互斥习题（四）共享资源：考场门口请用信号量解决以下问题y 把学生和监考老师都看作进程, 学生有N 人, 考场门口每次只能进出个人教师1人. 考场门口每次只能进出一个人, 进考场原则是先来先进.c 当N 个学生都进入考场后, 教师才能发卷子. 学生交卷后可以离开考场. d 教师要等收上来全部卷子并封离同步行为：c d 装卷子后才能离开考场.(1) ?()问共需设置几个进程(2) 试用P 、V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.信号量及其他变量的设置需设置以下的信号量S_Door = 1//能否进出门；S St d tR d 0学生是否到齐S_StudentReady = 0//学生是否到齐；S_Mutex1 = 1//互斥信号量；S M t 21互斥信号量S_Mutex2 = 1//互斥信号量；S_ExamBegin = 0//开始考试；S E O 0考试结束所有试卷S_ExamOver = 0//考试结束，所有试卷已交；int nStudentNum 0;int nStudentNum = 0;int nPaperNum = 0;student(){学生进程P(S_Door);进门；V(S Door);V(S_Door);P(S_Mutex1);// 增加学生的个数nStudentNum ++;if(nStudentNum N)V(S StudentReady);if(nStudentNum == N) V(S_StudentReady);V(S_Mutex1);P(S_ExamBegin);//等老师宣布考试开始考试；交卷；P(S Mutex2);P(S_Mutex2);//增加试卷的份数nPaperNum ++;if(nPaperNum == N) V(S_ExamOver);V(S Mutex2);V(S_Mutex2);P(S_Door);出门；V(S_Door);}Teacher()教师进程(){P(S_Door);进门进门；V(S_Door);P(S StudentReady);//P(S_StudentReady); 最后一个进来学生把老师唤醒；发卷子；for(i=1; i <= N; i++)(;;)V(S_ExamBegin);//开始考试；P(S_ExamOver);//等待考试结束；封装卷子P(S_Door);出门；V(S_Door);}进程同步与互斥习题（五）某商店有两种食品B A 和B, 最大数量各为m 个.该商店将A,B 两种食品搭配出售, 每次各取一个. 为避免食品变质, 遵循先到食品先出售的原则, 有两个食品公司分别不断地供应A,B 两)种食品(每次一个). 为保证正常销售, 当某种食品的数量比另一种的数量超过k(k<m)个时, 暂停对数量大的食品进货, 补充数量少的食品.◦(1)(1) 问共需设置几个进程?◦(2) 试用P ,V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.生产者-消费者中的消费者行为进程同步与互斥习题（五）某商店有两种食品B A 和B, 最大数量各为m 个. 该商店将A,B 两种食品搭配出售, 每次各取一个. 为避免食品变质, 遵循先到食品先出售的原则, 有两个食品公司分别不断地供应A,B 两)种食品(每次一个).为保证正常销售, 当某种食品的数量比另一种的数量超过k(k<m)个生产者-消费者中的生产者行为生产者之间时, 暂停对数量大的食品进货, 补充数量少的食品.的同步行为◦(1) 问共需设置几个进程?(2)PV ◦(2) 试用P ,V 操作解决上述问题中的同步和互斥关系.信号量及其他变量的设置设置以下的信号量 S_Mutex = 1 S Wait A = 0; S_Wait_A = 0; S_Num_A = 0； S BuffNum A = m; S_BuffNum_A = m; S_Wait_B = 0; S Num B 0； S_Num_B = 0 S_BuffNum_B = m; i t N int nNum_A = 0; A 0 int nNum_B = 0; //用于互斥访问的信号量 //A太多了，要等一等太多了要等一等B //食品A的空闲缓冲区个数； //B太多了，要等一等A //食品B的空闲缓冲区个数；Producer_A() A进程 { int b_TooMuch; while(1) { 生产产品； P(S_Mutex); if((nNum A nNum_B) == k) b_TooMuch = 1; if((nNum_A nNum B) == k) b TooMuch = 1; else b_TooMuch = 0; V(S_Mutex); if(b T M h) P(S W i A) //A太多了 if(b_TooMuch) P(S_Wait_A); 太多 P(S_BuffNum_A); 向商店提供一个向商店提供个A商品； V(S_Num_A); P(S_Mutex); nNum A ++; nNum_A ++; if(nNum_B - nNum_A == k-1) V(S_Wait_B); //可以进B了}}V(S Mutex); V(S_Mutex);Producer_B() B进程 { int b_TooMuch; while(1) { 生产产品； P(S_Mutex); if((nNum B nNum_A) == k) b_TooMuch = 1; if((nNum_B nNum A) == k) b TooMuch = 1; else b_TooMuch = 0; V(S_Mutex); if(b T M h) P(S W i B) //B太多了 if(b_TooMuch) P(S_Wait_B); 太多 P(S_BuffNum_B); 向商店提供一个向商店提供个B商品； V(S_Num_B); P(S_Mutex); nNum B ++; nNum_B ++; if(nNum_A - nNum_B == k-1) V(S_Wait_A); //可以进A了}}V(S Mutex); V(S_Mutex);Shop() Sh () { while(1) { P(S_Num_A); ( _Num_B); ); P(S 出售A、B食品各一个； V(S BuffNum A); V(S_BuffNum_A); V(S_BuffNum_B); } }Shop进程信号量和P、V原语的小结对信号量和P、V原语的使用可以归纳为三种情形：第一，把信号量视为一个加锁标志位，其目的是为了实现对某个唯一实现对某个唯唯一的共享数据唯的共享数据共享数据的互斥访问互斥访问，如数据库中的某个记录，各个进程间的某个共享变量。

随机过程及应用习题课三

随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞，其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.（1）证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程；（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0，自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程，证明1()()Y t X t =，0t >，2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。

3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程，试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。

4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。

5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。

6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? （1）(){},0W t t '≥是否为正态过程；（2）(){},0W t t '≥是否为维纳过程。

8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程，则对于任意的非负数,s t 和τ，证明：（1）2[()](,)()E X t C t t D t ==；（2）222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==；2（3）222cov((),())2(,)X s X t C s t =；（4）[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+；（5）2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++；（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程，令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求：()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。

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¸
O
根据 B H 0rH
r
B=0 r H=410-71031.0103 T=1.2 T。
I
I
由定义：
¸ H
B
¸ M
M
B
H
0
4π
101
4π 107
103
A m-1
0
4π 107
1.0 106 A m-1
也可以由 M m H (r 1)H 计算磁化强度的大小。
例1 对于无限长密绕载流直螺线管，已知：单位长度上有 n匝线圈，每匝线圈通有电流I。求：螺线管内
任一点的磁场。
解：无限长直螺线管由于是密
绕的，所以每匝线圈可以视为
B
一个圆电流。
由对称性分析磁场的结构：
1.磁场只有与轴平行的水平分量；
2.螺线管无限长，因此在与轴等距离的平行线上的各点的磁感应强度相等。
结论：对于无限长密绕螺
B
线管，管内的磁场只有与
轴平行的水平分量；管外
dB3Βιβλιοθήκη 任意一点的磁场是零。电流元1 dB2
×
r¸1
×
P r¸3 电流元3
r¸2 dB4
r¸4
电流元4
电流元2
dB1
根据磁场的特点，取矩形回
cLd
路L, ab和cd 边与轴平行，另外
两个边bc、da 垂直于轴。
b
×
a
根据安培环路定理，有
匝通有电流 I=2.0A 。求磁介质环内的磁场强度
H、磁感应强度B和磁化强度M的大小。
L
解利用安培环路定理可求
得磁介质内的磁场强度H
¸
LH.dl I0
O
r
I
I
取介质环的平均周长(半径为r)为积分
路径，得 2 rH = 2 rnI
环内的磁场强度大小为
H=nI = 5002.0 Am1=1.0103Am-1 。
B
¸
Bdl L
B dl
ab
B dl
bc
B dl
cd
Bdl
da
0n | ab| I
没有垂直于轴线方向的磁场分量，管外磁场为零，因此：
Bab 0nabI
B 0nI
可以看出管内为均匀磁场，其方向与电流满足右手
螺旋法则。
例2 在相对磁导率r=1000的磁介质环上均匀绕着
线圈, 平均周长单位长度上的匝数为n=500m，每