流体力学434相似定理
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流体力学434相似定理
系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，
是模型试验的理论基础,为对流动现象进行理论分析的一 个重要手段。
一、比尺
1、比尺λ：
原型和模型对应的物理量之比
比尺的数目与物理量的个数相同
λg=1
3/ l
2
二、模型设计
步骤： 1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定
出长度比尺λl；再以选定的比尺缩小原型的几何尺
寸，得出模型区的几何边界；
2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作 用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律； 3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺λv 及 模型的流量。
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
有 力的比尺
F
Tp Tm
Gp Pp L L Gm Pm
Ip Im
达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯 性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封 闭力多边形。
动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应 力（同名力）成比例。
4.初始条件和边界条件相似 # 边界条件相似指两个流动相应边界性质相同， 如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面； 原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，
是模型试验的理论基础,为对流动现象进行理论分析的一 个重要手段。
一、比尺
1、比尺λ：
原型和模型对应的物理量之比
比尺的数目与物理量的个数相同
λg=1
3/ l
2
二、模型设计
步骤： 1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定
出长度比尺λl；再以选定的比尺缩小原型的几何尺
寸，得出模型区的几何边界；
2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作 用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律； 3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺λv 及 模型的流量。
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
有 力的比尺
F
Tp Tm
Gp Pp L L Gm Pm
Ip Im
达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯 性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封 闭力多边形。
动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应 力（同名力）成比例。
4.初始条件和边界条件相似 # 边界条件相似指两个流动相应边界性质相同， 如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面； 原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。
流体力学4相似原理(2).
（4-5）
加速度比例尺:
2 ' C C a' Ca t v v v a Ct Cl t
v'
（4-6）
注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。
第一节 流动的力学相似
体积流量比例尺:
C qV q' C 2 V 3 t ' l Cl CV qV Ct l t l '3
油池的最小油深为
hmin h'min 5 50 250 （mm） Cl
【例 4-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几何相似的喷 嘴中喷出。一种液体的表面张力为 0.04409N/m，出口流束直径 为 7.5cm，流速为 12.5m/s，在离喷嘴 10m 处破裂成雾滴；另一 液体的表面张力为 0.07348N/m。如果二流动相似，另一液体的 出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距离应多大？
3
（4-7）
运动粘度比例尺:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cl v' t ' Cv 2 Cl C v v l Ct t
l '2
2
（4-8）
第一节 流动的力学相似
三. 动力相似（时间相似）
定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上、对应 瞬时作用在两相似几何微团上的力，作用方向一 致、大小互成比例，即它们的动力场相似。
流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量 都成比例。 相似流动必然满足以下条件：
1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应 点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述； 2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即 流动满足单值条件； 3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动 相似也必须满足的条件。
流体力学试验相似准则
流体力学实验相似准则
两个流动相似包括几何相似、运动学相似、质量相似、动力学相似、热力学相似五个方面。
5．热力学相似
•模型流动与实物流动中的传热方式相同，且对流传热、热传导传热、热辐射传热等各项对应成比例。
•例1
•河流中水流作用于桥墩的冲击力主要受重力的影响，因此，设计桥墩的模型实验应遵循重力
相似准则。
现有直径D=0.8米的圆柱形桥墩建
在水深H=3.5米的河流中，河水流速V=1.9米/
秒，选定模型比尺为1：10在水槽中进行模型
实验，实验测量到模型所受冲击力为f=6.8牛顿，水流绕过模型的时间为t=5秒，求：（1）模型
桥墩的直径d和水槽中的水深h；（2）水槽中
的流速v；（3）实际桥墩受到的水流冲击力F
和水流绕过桥墩的时间T。
•例2煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1：3的模型中用水来进行试验。
已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分别为0.010cm2／s和
0.045cm2／s，
•(1) 已知原型煤油流量，为达到动力相似，模型中水的流量应为多少?
•(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差，推算原型中的测管水头差应为多少?。
流体力学第九章 相似理论[精]
![流体力学第九章 相似理论[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/e5081f5943323968001c9262.png)
Re大：表示粘性作用小， Re小：表示粘性作用大。 对于理想流体ν →0，此时Re→∞
（２）佛劳德数 (Froude number) Fr v
gl
惯性力 质量力
v2 l
/g
v2 gl
Fr 2
反应重力（质量力）对流体的作用,Fr相等 表示现象的重力作用相似。
与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰 船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。
实际问题中，先保证佛劳德数相似，进行试验， 然后进行修正。
§９-４ 因次分析法与Π 定理 几个基本概念： • 因次（或量纲）：物理量测量单位的种类 • 基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量
纲独立的量。 在不可压流体力学中，通常有:
长度[L], 质量[M], 时间[T], 其余可由这三个基本量纲导出(见p179.)
v tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
v tp 0
tm 0
m
无因次的流体动力系数Ｃｐ由下式定义：
CP
P
1 2
v2S
（9-4）
其中Ｐ为流体作用力，ρ，ｖ和Ｓ分别为选定 的作为特征量的流体密度、速度和面积 。
下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等
CP
1 2
Pp
pvp2
一、物理现象相似
如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征 量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数 dimensionless number ），则这两个物理现象称为相 似的。
二、流动现象相似
相似性包括三方面：
1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
1.几何相似: 对CF Pm
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
流体力学试验相似准则
流体力学实验相似准则
两个流动相似包括几何相似、运动学相似、质量相似、动力学相似、热力学相似五个方面。
5．热力学相似
•模型流动与实物流动中的传热方式相同，且对流传热、热传导传热、热辐射传热等各项对应成比例。
•例1
•河流中水流作用于桥墩的冲击力主要受重力的影响，因此，设计桥墩的模型实验应遵循重力
相似准则。
现有直径D=0.8米的圆柱形桥墩建
在水深H=3.5米的河流中，河水流速V=1.9米/
秒，选定模型比尺为1：10在水槽中进行模型
实验，实验测量到模型所受冲击力为f=6.8牛顿，水流绕过模型的时间为t=5秒，求：（1）模型
桥墩的直径d和水槽中的水深h；（2）水槽中
的流速v；（3）实际桥墩受到的水流冲击力F
和水流绕过桥墩的时间T。
•例2煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为300mm，喉部直径为150mm，在1：3的模型中用水来进行试验。
已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数分别为0.010cm2／s和
0.045cm2／s，
•(1) 已知原型煤油流量，为达到动力相似，模型中水的流量应为多少?
•(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差，推算原型中的测管水头差应为多少?。
流体力学 第4章
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。
4.2 动力相似准则
4.2.1.重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fg Fg
V g Vg
k kl3kg
代入
kF k kl2kv2
kv (kl kg )1/ 2
1
v (gl)1/ 2
v (gl)1/ 2
Fr
Fr——弗劳德数，惯性力与重力的比值。
自模化状态 紊流的阻力有两部分
例如：泵与风机的动力相似是自动满足的
如图为弧形闸门放水时的情形，已知水深h=6m， 模型闸门是按比例尺kl=1/20制作，试验时的开度与 原型相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模 型 上 测 得 收 缩 截 面 的 平 均 流 速 vˊ=2.0m 流 量 qvˊ=30L/s, 水作用在闸门上的力Fˊ=92N，绕闸门的 力矩Mˊ=110N·m，试求原型上收缩截面的平均流速、 流量、以及作用在闸门上的力。
第4章 相似原理和量纲分析
4.1 流动的力学相似
一、几何相似
模型与原形的全部对应线形长度的比例相等
长度比例尺
kl
l l
面积比例尺
kA
A A
l2 l2
kl2
L
体积比例尺
kV
V V
l3 l3
kl3
L
二、运动相似
模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻 的流速方向相同而流速大小的比例相等。
速度比例尺 时间比例尺 加速度比例尺 体积流量比例尺 运动粘度比例尺
力的比例尺
kF
FP FP
F F
Fg Fg
Fi Fi
FP ——总压力 F ——切向力 Fg ——重力 Fi ——惯性力
工程流体力学流动相似原理
前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足 以上条件为流动相似，模型实验的结果方可用到原型 设备中去。
通常，要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不 到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只 有两个定性准则，即 Re 和Fr 同时满足两个准则： Re Re, Fr Fr
在重力场下实验
为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性， 并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两 者在流动上相似。即两个互为相似流动的对应部位上 对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应满足几何相似 、运动相 似、 动力相似 。
模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常 数。即流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角 度相等。
λCFF
t' l3 vCλC ρ l2λCl2v2 λv2
t
CλF Cλρ Cλl2l2Cλv22
1
各比尺之间具有一定的关系
或
F' F
'l'2 v'2 l2v2
ห้องสมุดไป่ตู้
令
F Ne
l2v2
Ne称为牛顿数，是作用力与惯性力的比值。
两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为 牛顿数相似准则，说明了完全的动力相似。完全的动力相似，要求惯性力与 其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用 的力给予满足。
5.相似原理与量纲分析
5.1 流动的力学相似 5.2 相似准则 5.3 流动相似条件 5.4 近似模拟试验 5.5 量纲分析法
流体力学 问题
实物实验 比拟实验 模型实验
数学分析
数学模型
数值计算
数值结果
通常，要做到流动完全相似是很难办到（甚至是根本办不 到）的。比如，对于粘性不可压缩流体定常流动，尽管只 有两个定性准则，即 Re 和Fr 同时满足两个准则： Re Re, Fr Fr
在重力场下实验
为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性， 并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两 者在流动上相似。即两个互为相似流动的对应部位上 对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应满足几何相似 、运动相 似、 动力相似 。
模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常 数。即流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角 度相等。
λCFF
t' l3 vCλC ρ l2λCl2v2 λv2
t
CλF Cλρ Cλl2l2Cλv22
1
各比尺之间具有一定的关系
或
F' F
'l'2 v'2 l2v2
ห้องสมุดไป่ตู้
令
F Ne
l2v2
Ne称为牛顿数，是作用力与惯性力的比值。
两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为 牛顿数相似准则，说明了完全的动力相似。完全的动力相似，要求惯性力与 其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用 的力给予满足。
5.相似原理与量纲分析
5.1 流动的力学相似 5.2 相似准则 5.3 流动相似条件 5.4 近似模拟试验 5.5 量纲分析法
流体力学 问题
实物实验 比拟实验 模型实验
数学分析
数学模型
数值计算
数值结果
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4. 韦伯准则 We（表面张力）
当流动受表面张力影响时
Twp I p
Tw =σ l I=ρl 2v2
pl
2 p
v
2 p
Twm Im
mlm2 vm2
plp
mlm
We
pl
p
v
2 p
p
Wep = Wem
韦伯数表征惯性力与表面张力之比，两流动相
应的韦伯数相等，则表面张力相似Weber number.
指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应 的线段长度成比例、夹角相等。
以脚标p表示原型、m表示模型，则有
l p1 l m1
l p2 lm2
lp lm
l
p1 m1 , p2 m2
长度比尺 面积比尺
l
A
lp lm
Ap Am
l
2 p
lm2
体积比尺
l2
V
Vp Vm
lp3 lm3
3l
p m
tm tp
t
l t2
3.动力相似（dynamic similarity）
指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力 的方向相同，大小成比例。
分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作
用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则
有 力的比尺
F
Tp Tm
Gp Pp L L Gm Pm
2.弗劳德准则 Fr（重力）
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系
G gl3
I l22
Gp Ip
Gm Im
2 p
m2
g plp gmlm
Fr
Fr
2
p
m gl
❖弗劳德数（Froude number）表征惯性力与重力之比。 两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。
适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的 各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔 口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞 流动等。
λv 、λQ 、λa ……
二、流动相似
若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压 强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两 个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： • 几何相似 • 运动相似 • 动力相似 • 初始条件和边界条件相似
1. 几何相似（geometric similarity）
第三节 相似原理
原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型(M（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究
原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，
Ip Im
达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯 性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封 闭力多边形。
动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应 力（同名力）成比例。
4.初始条件和边界条件相似 # 边界条件相似指两个流动相应边界性质相同， 如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面； 原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
三、相似准则
F
Tp Tm
Gp Gm
Pp Pm
L L
Ip Im
相似准则：要使两个流动动力相似，前面定义的各项
比尺须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准 则。
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持
某种固定不变的比例关系。
1、雷诺准则 Re（粘滞力）
考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系
Tp I p Tm Im
T A du l
dy
plp mlm
I
ma
l3
l t2
l 2 2
Re p Rem
vd
p
vd
m
无量纲数Re称雷诺数（Reynolds number）
❖雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘 滞力起主要作用时，雷诺数相等。
适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。
马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动 相应的马赫数相等，则弹性力相似。
第四节 模型实验
建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以 模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。
一、模型律的选择
原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为 雷诺模型律。
原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称 为弗劳德模型律。
2. 运动相似（kinematic similarity）
指原型和模型流体运动的速度场相似，即两
流场各相应点（包括边界上各点）的速度u 及
加速度 a 方向相同，且大小具有同一比值。
速度比尺
up um
p m
lp / tp lm / tm
lp lm
tm tp
l t
加速度比尺
a
ap am
p /tp m / tm
是模型试验的理论基础,为对流动现象进行理论分析的一 个重要手段。
一、比尺
1、比尺λ：
原型和模型对应的物理量之比
比尺的数目与物理量的个数相同
2、基本比尺：
对应基本量纲，互相独立的基本物理量的原型和模 型的比值，对于力学
λl=lp/lm λt=tp/tm
3、导出比尺：
λF=Fp/Fm
由基本比尺以指数形式的乘积组成的比尺
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number
在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系
FEp I p FEm Im
FE=El2 E=ρa2
I=ρl 2v2 FE= ρl2a2
pl
2 p
v2p
pl
p2a
2 p
mlm2 vm2 mlm2 am2
vp vm ap am
Map = Mam
Ma v a
3. 欧拉准则 Eu（压力）
考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系
P pl2
I l22
Pp I p
Pm Im
pp
p
2 p
pm
mm2
Eu p
Eu m
p
2
❖欧拉数（Euler number）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。
由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。