2018-2019 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题 含答案
2018-2019 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题
1. 若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( ) A ．－4 B ．3 C ．－43 D.4
3
2．(2016·江西)设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个根，则αβ的值是( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1
3．一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＝－1，x 2＝2 B ．x 1＝1，x 2＝－2 C ．x 1＋x 2＝3 D ．x 1x 2＝2
4．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( )
A.14 B ．－1
4
C ．4
D ．－1 5. 对于任意的非零实数m ，关于x 的方程x 2－4x －m 2＝0的根的情况是( ) A ．有两个正实数根 B ．有两个负实数根 C ．有一个正实数根，一个负实数根 D ．没有实数根
6. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －1)x －(2m －2)＝0的两根之和等于两根之积，则m 的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
7. 已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是____，m＝____．
8. 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝____，x1x2＝____．
9. 已知关于x的方程x2＋x＋2a－1＝0的一个根是0，则a＝____．
10. 方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写出一个根为[－2，3]的一元二次方程________________________．
11. 设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝____，m＝____．
12. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
13. 已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为____．
14. 不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
(1) 3x2－1＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______ ；
(2) x2－6x＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______
15. 若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程______________________________________．
16. 已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则m＝____，另一个根为____．
17. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2＋4x＝0；
(2)2x2－3x＝5.
18. 已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．
19. 已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．
20. 关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.
(1)a为何值时，方程的一根为0?
(2)a为何值时，两根互为相反数？
21. 学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的
两个根为x1，x2，就能快速求出1
x1＋
1
x2
，x12＋x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2
＋2x－3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，得1
x1＋
1
x2
＝
x1＋x2
x1x2
＝
2
3
.”
(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；
(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．
22. 已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.
(1)若方程有两个不等实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m的值．
参考答案： 1---6 DDACC A 7. －3 1 8. －b a c a
9. 12
10. x 2－x －6＝0(答案不唯一) 11. 4 3 12. －1 13. 23
14. (1) 0 －1
3
（2） 6 0
15. 答案不唯一，如：x 2－5x ＋6＝0 16. 2 2
17. (1) x 1＋x 2＝－4 x 1x 2＝0 (2) x 1＋x 2＝32 x 1x 2＝－5
2
18. 由根与系数的关系可得：m ＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m ＝n ，∴n ＝－2 19. ∵(m －1)(n －1)＝－6，∴mn －(m ＋n)＋7＝0.又∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a.∴a －3＋7＝0.解得a ＝－4 20. (1)由方程的一根为0可得：－a ＋1
2
＝0，∴a ＝1
(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，∵两根互为相反数，∴x 1＋x 2＝0.∴a 2－4
2
＝0，∴a
＝±2.∵当a ＝－2时，方程2x 2－(a 2
－4)x －a ＋1＝0无解，∴a ＝2
21. (1)小亮的说法不对．若有一根为零时，就无法计算1x 1＋1
x 2的值了，因为零作除
数无意义
(2)答案不唯一，如：一元二次方程x 2－5x －6＝0.设方程的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6.又∵x 12＋x 22＋2x 1x 2－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，将x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝－6代入，得x 12＋x 22＝52－2×(－6)＝37 22. (1)由题意得m ≠0且(－2m)2－4m(m －2)>0，∴m>0
(2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －2
m ，又∵|x 1－x 2|＝1，∴(x 1－x 2)2＝1，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝1，即22
－4×m －2
m
＝1，∴m ＝8，经检验m ＝8是原方程的解，且符合题意，∴m ＝
8。
北师大九年级数学上2.5 一元二次方程_根与系数的关系
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
例2： 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 有两个不相等的实数根
b2 4ac 0 有两个相等的实数根
0 没有实数根
新课讲解
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和， 两根之积是与各项系数之间有什么关系？
解得：x1=23
x2=1
所以得到,x1+x2=
5 2
x1 •x2=
3 2
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
k 5
2
。
答：方程的另一个根是
3 5
，k=-7
练习：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
九年级数学上册第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系教案北师大版(最新整理)
2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二章一元二次方程2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案（新版）北师大版的全部内容。
*2。
5一元二次方程的根与系数的关系教学目标： 【知识技能目标】1。
能说出根与系数的关系;2.会利用根与系数的关系解有关的问题. 【过程性目标】在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中,通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦。
【情感态度目标】1。
通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯； 2。
通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神. 重点和难点：重点：一元二次方程两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系； 难点：对根与系数这一性质进行应用. 教学过程:一、创设情境1．请说出解一元二次方程的四种解法.2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中,你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系? (1)x 2－2x ＝0； (2）x 2＋3x －4＝0; （3)x 2－5x ＋6＝0.方程1x2x21x x +21x x •二、探究归纳方程1x2x21x x + 21x x •x 2－2x ＝00 2 2 0可以得到：一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q 一般地,对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0）,试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1•x 2的值,你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致. （此探索过程让学生分组进行交流、协作完成） 探索过程 qqp p q p p x x pqp p q p p x x qp p x q p p x q p p a ac b b x q p ac b q c p b a q px x =---•-+-=•-=---+-+-=+---=-+-=-±-=-±-=≥-=-====++24242424242424240441022212221222122222，，，结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一致的。
数学北师大版九年级上册课件.5一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的 根与系数的关系
学习目标 知识与技能 1.掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由 已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次 方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。 2.掌握一元二次方程根的判别式，并会运用根的判别式判断方程根 的情况。
过程与方法 能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根 与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。 情感、态度与价值观 培养学生观察，归纳数学思想 【教学重难点】 教学重点 根与系数的关系及其推导。 教学难点 根的判别式与跟与系数的关系
1.解下列方程，写出下列方程两个根的和与两 个根的积：
2.问题：观察两根之和，两根之积与方 程的系数之间有什么关系？
方 程 a x b x ca 0 ( 0 ) 的 求 根 公 式 是
2
2 b b 4ac ( b 4 ac 0 ) x 2a
2
猜想： 如果一元二次方程
b ⑵在使用X1+X2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写。
2 2 ( 2 ) 5 x 14 x x
交流展示
1.不解方程，求下列方程两根的和与积： （1）x2－3x=15 （1）5x2－1=4x2+x
小结
通过本节课的学习你有何收获？
作业
课后习题1,2题
世界上最难战胜的人其实就是自己。
2 2 2 2 -b+b -4ac-b-b -4ac -b+ b -4ac-bb -4ac x x = x + x = + 1 2 1 2 2a 2a 2a 2a
2 2 (-b+ b -4ac )(-bb -4ac ) = 2 4 a
数学九年级上北师大版2.5一元二次方程的根与系数关系
探究点一 一元二次方程的根与系数的关系 的推导
并解决如下问题 ：
活动一：阅读课本第40页至第41页内容，相互交流
活动二：阅读见教材第41页例4，相互交流 思考下面的问题 ： (1)方程（3）与方程（1）（2）在形式 上有何区别 ？
第5课时 一元二次方程根与 系数的关系
这节课我们就来学习一元二次方程根与系数的关 系.
1．了解一元二次方程的根与系数的关
系，能运用它由已知一元二次方程的一 个根求出另一个根及未知系数．
2与两根 积的代数式的值，并从中体会整体代换 的思想．
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
北师大版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
讲授新课
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
1
x2
2. x12 x22
x1
3.
x2
4.( x1
5. x1
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
2
1
x2
x1
x
( x1 x2 )2 2 x1 x2
;
x1 x2
2
2
x
x1 x2
1)( x2
x2
1)
( x1 x2 )2
x1 x2 ( x1
( x1
x2 ) 1;
x2 ) 2
4 x1 x2 .
讲授新课
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
讲授新课
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
讲授新课
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反
反应了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数
之间的联系还有其他表现方式吗？
讲授新课
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为
2.5 一元二次方程的根与系数的关系 北师大版九年级上册教学课件
x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c； 探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理 一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾 若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知 解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》精品课件(共23张PPT).ppt
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/182020/12/182020/12/182020/12/18
谢谢观看
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式 上有何区别 ？
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须 将方程怎样处理 ？
【针对训练】
【答案】
●总结梳理 整合提高
●当堂检测 反馈矫正
【答案】
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/182020/12/18Friday, December 18, 2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/182020/12/182020/12/1812/18/2020 11:33:27 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/182020/12/182020/12/18Dec-2018-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/182020/12/182020/12/18Friday, December 18, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/182020/12/182020/12/182020/12/二次方程的根与系数的关系 的推导 ➢ 活动一：阅读课本第40页至第41页内容，相互
九年级北师大版数学上册课件：第2章 5.一元二次方程的根与系数的关系 (共12张PPT)
( C) A.12
B．－12
C．2
D．－2
5．已知方程 x2－3x＋m＝0 的一个根为 1，则它的另一个根为 2 ，m＝ 2 .
4
6．已知 x1、x2 是方程 x2－4x＋2＝0 的两根，求： (1)x11＋x12的值； (2)x21＋x22的值． 解：(1)∵x1＋x2＝4，x1·x2＝2，∴原式＝xx1＋1xx2 2＝2； (2)原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－4＝12.
6
8．设 x1、x2 是方程 x2＋5x－3＝0 的两个根，则 x21＋x22的值是( C )
A．19
B．25
C．31
D．30
9．已知 m、n 是关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a＝0 的两个解，若(m－1)(n
－1)＝－6，则 a 的值为( C )
A．－10
B．4
C．－4
D．10
7
10．方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2＝x1x2， 则 m 是( C )
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利用根与系数的关系求字母或式子的值
自我诊断 3. 已知：x1、x2 是一元二次方程 x2＋2ax＋b＝0 的两根，且 x1＋
x2＝3，x1x2＝1，则 a、b 的值分别是( D )
A．a＝－3，b＝1
B．a＝3，b＝1
C．a＝－32，b＝－1
D．a＝－32，b＝1
自我诊断 4. 方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，则(x1－1)(x2 －1)＝ －2 .
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15．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0. (1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 x1、x2，且满足 x21＋x22＝31＋|x1x2|，求实数 m 的 值． 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0 有实数根，∴ Δ≥0，即(2m＋3)2－4(m2＋2)≥0，∴m≥－112； (2)根据题意得 x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2，∵x21＋x22＝31＋|x1x2|，∴(x1 ＋x2)2－2x1x2＝31＋|x1x2|，即(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，解得 m＝－ 14 或 m＝2.